3.2.1 空间向量运算的坐标表示(课件 学案 练习)高中数学北师大版(2019)选择性必修 第一册 第三章

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名称 3.2.1 空间向量运算的坐标表示(课件 学案 练习)高中数学北师大版(2019)选择性必修 第一册 第三章
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文件大小 1.3MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-19 13:55:55

文档简介

       3.2.1 空间向量运算的坐标表示
课时目标
了解标准正交基.掌握空间向量的坐标表示.理解空间向量平行(共线)、垂直的条件.
逐点清(一) 标准正交基及空间向量的坐标表示
[多维度理解]
1.标准正交基
在空间直角坐标系O xyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作______向量i,j,k,这三个__________的______向量就构成空间向量的一组基{i,j,k},这组基叫作标准正交基.
2.空间向量的坐标表示
根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.反之,任意给出一个三元有序实数组________,也可找到唯一的一个向量p=xi+yj+zk与之对应.把三元有序实数组________叫作向量p在标准正交基下的坐标,记作p=__________.单位向量i,j,k都叫作__________.xi,yj,zk实际上分别是向量p在i,j,k方向上所作的__________,x,y,z分别是向量p在i,j,k方向上的投影______.
[细微点练明]
1.已知{i,j,k}是空间的一组标准正交基,且=-i+j-k,则的坐标为(  )
A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k)
C.(1,-1,-1) D.(1,-1,1)
2.若点A(-2,2,1)关于y轴的对称点为A′,则向量的坐标为(  )
A.(4,-4,-2) B.(0,-4,0)
C.(4,0,-2) D.(-4,0,2)
3.如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,
若以{,,}为基,则向量的坐标为__________,向量的坐标为__________,向量的坐标为__________.
4.已知在直三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=4,建立适当的空间直角坐标系,求向量,,的坐标.
逐点清(二) 空间向量的坐标运算
[多维度理解]
设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).则有
加法 a+b=____________________
减法 a-b=____________________
数乘 λa=______________________
数量积 a·b=____________________
[细微点练明]
1.若向量a=(4,0,-2),向量a-b=(0,1,-2),则b=(  )
A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4)
C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4)
2.已知向量a=(1,2,1),b=(1,-1,m),且a·b=-2,则m=(  )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
3.已知A(1,1,0),B(2,0,-1),C(-1,3,-2),则+=(  )
A.(4,-4,0) B.(-4,4,0)
C.(-2,2,0) D.(-2,2,-2)
4.若A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),则·=(  )
A.-11 B.3
C.4 D.15
5.已知向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=c-2a,则c=________.
逐点清(三) 空间向量平行(共线)和垂直的条件
[多维度理解]
设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
(1)当b≠0时,a∥b λ∈R,使得
(2)当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时,a∥b ==.
(3)a⊥b a·b=0 ____________________.
微点助解
(1)要证明a⊥b,就是证明a·b=0;要证明a∥b,就是证明a=λb(b≠0).
(2)若a∥b,则==成立的条件是x2y2z2≠0.
[细微点练明]
1.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(  )
A.a∥c,b∥c B.a∥c,a⊥b
C.a∥b,a⊥c D.以上都不对
2.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+b)∥(2a-b),则(  )
A.x=,y=1 B.x=,y=-4
C.x=2,y=- D.x=1,y=-1
3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,λ,2),且7a+5b与2a-b互相垂直,则实数λ等于(  )
A. B.或
C.0或 D.0或
4.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设=a,=b.
(1)设向量c=,试判断2a-b与c是否平行?
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k的值.
空间向量运算的坐标表示
[逐点清(一)]
[多维度理解] 1.单位 互相垂直 单位 2.(x,y,z) (x,y,z) (x,y,z) 坐标向量 投影向量 数量
[细微点练明]
1.选A 根据空间向量坐标的定义,
由=-i+j-k,知=(-1,1,-1).
2.选C 因为点A的坐标为(-2,2,1),所以点A关于y轴的对称点A′的坐标为(2,2,-1),连接OA,OA′(O为原点)(图略),则在标准正交基{i,j,k}下,=-2i+2j+k,=2i+2j-k,所以=-=4i-2k,所以=(4,0,-2).故选C.
3.解析:因为=++=++,所以向量的坐标为.因为=++=++,所以向量的坐标为.因为=++,所以向量的坐标为(1,1,1).
答案:  (1,1,1)
4.解:建立如图所示的空间直角坐标系,设=i,=j,=k,=4i+0j+0k=(4,0,0).
=+=0i+4j+4k=(0,4,4).=+=++
=-4i+4j+4k=(-4,4,4).
[逐点清(二)]
[多维度理解] (x1+x2,y1+y2,z1+z2) (x1-x2,y1-y2,z1-z2) (λx1,λy1,λz1),λ∈R x1x2+y1y2+z1z2
[细微点练明]
1.选C b=a-(a-b)=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).
2.选A 因为a·b=-2,所以1×1+2×(-1)+1×m=-2 m=-1,故选A.
3.选D +==(-1,3,-2)-(1,1,0)=(-2,2,-2).
4.选C 由已知,=(2-3,-4-(-4),-1-1)=(-1,0,-2),=(-1-3,5-(-4),1-1)=(-4,9,0),∴·=4+0+0=4.
5.解析:由题意,得c=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).
答案:(0,6,-20)
[逐点清(三)]
[多维度理解] (3)x1x2+y1y2+z1z2=0
[细微点练明]
1.选B 因为a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),所以a·b=-4+4=0,c=2a,则a∥c,a⊥b.
2.选B 由a=(1,2,-y),b=(x,1,2),得a+b=(x+1,3,2-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),由(a+b)∥(2a-b),得==,所以x=,y=-4.
3.选C 由题意得7a+5b=7(1,1,0)+5(-1,λ,2)=(2,7+5λ,10),2a-b=2(1,1,0)-(-1,λ,2)=(3,2-λ,-2),由7a+5b与2a-b互相垂直,得(7a+5b)·(2a-b)=2×3+(7+5λ)×(2-λ)+10×(-2)=0,解得λ=0或λ=.
4.解:(1)因为a==(1,1,0),
b==(-1,0,2),所以2a-b=(3,2,-2).
又c=,所以2a-b=-2c,
所以(2a-b)∥c.
(2)由(1)得ka+b=(k-1,k,2),
ka-2b=(k+2,k,-4).
又因为(ka+b)⊥(ka-2b),
所以(ka+b)·(ka-2b)=0,
即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,
解得k=2或k=-.(共58张PPT)
空间向量运算的坐标表示
(概念课—逐点理清式教学)
3.2.1
课时目标
了解标准正交基.掌握空间向量的坐标表示.理解空间向量平行(共线)、垂直的条件.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 
标准正交基及空间向量的坐标表示 
逐点清(二) 空间向量的坐标运算
逐点清(三) 
空间向量平行(共线)和垂直的条件 
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 
标准正交基及空间向量的坐标表示 
01
多维度理解
1.标准正交基
在空间直角坐标系O-xyz中,分别沿x轴、y轴、z轴正方向作______向量i,j,k,这三个__________的______向量就构成空间向量的一组基{i,j,k},这组基叫作标准正交基.
单位
互相垂直
单位
2.空间向量的坐标表示
根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.反之,任意给出一个三元有序实数组____________,也可找到唯一的一个向量p=xi+yj+zk与之对应.
(x,y,z)
(x,y,z)
(x,y,z)
坐标向量
投影向量
数量
细微点练明


(1,1,1)
逐点清(二) 空间向量的坐标运算
02
多维度理解
设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).则有
加法 a+b=______________________
减法 a-b=________________________
数乘 λa=____________________
数量积 a·b=________________
(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
(λx1,λy1,λz1),λ∈R
x1x2+y1y2+z1z2
细微点练明

1.若向量a=(4,0,-2),向量a-b=(0,1,-2),则b=(  )
A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4)
C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4)
解析:b=a-(a-b)=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).
2.已知向量a=(1,2,1),b=(1,-1,m),且a·b=-2,则m=(  )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
解析:因为a·b=-2,所以1×1+2×(-1)+1×m=-2 m=-1,故选A.



(0,6,-20)
解析:由题意,得c=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).
逐点清(三) 
空间向量平行(共线)和垂直的条件 
03
多维度理解
x1x2+y1y2+z1z2=0
细微点练明

1.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(  )
A.a∥c,b∥c B.a∥c,a⊥b
C.a∥b,a⊥c D.以上都不对
解析:因为a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),所以a·b=-4+4=0,c=2a,则a∥c,a⊥b.


所以2a-b=(3,2,-2).
所以2a-b=-2c,
所以(2a-b)∥c.
(2)由(1)得ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
又因为(ka+b)⊥(ka-2b),
所以(ka+b)·(ka-2b)=0,
即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,
课时跟踪检测
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1.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,3),B(-3,0,1),则线段AB的中点坐标是(  )
A.(-1,-1,2) B.(1,1,-2)
C.(2,2,-4) D.(-2,-2,4)
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2.若向量a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),则2a-b=(  )
A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4)
C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4)
解析:因为向量a=(2,0,-1),所以2a=(4,0,-2),又向量b=(0,1,-2),所以2a-b=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).故选C.
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3.若向量a,b的坐标满足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b等于(  )
A.5 B.-5
C.7 D.-1
解析:∵a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),∴两式相加得2a=(2,-4,0),解得a=(1,-2,0),∴b=(-3,1,2),∴a·b=1×(-3)+(-2)×1+0×2=-5.故选B.
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4.已知a=(1,-1,2),b=(-1,m,-2),若a∥b,则实数m的值是(  )
A.1 B.-1
C.2 D.-5
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9.若四边形ABCD是平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为(  )
A.(1,1,-7) B.(5,3,1)
C.(-3,1,5) D.(5,13,-3)
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10.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(1,3,λ),若a,b,c三个向量不能构成空间的一组基,则实数λ的值为(  )
A.1 B.2
C.3 D.4

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11.若m=(2,-1,1),n=(λ,5,1),且m⊥(m-n),则λ=________.
解析:由已知得m-n=(2-λ,-6,0).
由m·(m-n)=0得,2(2-λ)+6+0=0,所以λ=5.
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(1,0,1) 
(-1,1,-1)
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解析:点M(1,0,2),N(-1,1,0),
设点P(x,y,z),
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14.设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).
(1)若(ka+b)∥(a-3b),求k的值;
(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k的值.
解:因为a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),
所以ka+b=k(1,5,-1)+(-2,3,5)=(k-2,5k+3,5-k),a-3b=(1,5,-1)-3(-2,3,5)=(7,-4,-16),
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(1)若(ka+b)∥(a-3b),
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(2)若(ka+b)⊥(a-3b),
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解:∵点Q在直线OP上运动,
则Q(λ,λ,2λ),
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13课时跟踪检测(三十) 空间向量运算的坐标表示
1.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,3),B(-3,0,1),则线段AB的中点坐标是(  )
A.(-1,-1,2)      B.(1,1,-2)
C.(2,2,-4) D.(-2,-2,4)
2.若向量a=(2,0,-1),b=(0,1,-2),则2a-b=(  )
A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4)
C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4)
3.若向量a,b的坐标满足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b等于(  )
A.5 B.-5
C.7 D.-1
4.已知a=(1,-1,2),b=(-1,m,-2),若a∥b,则实数m的值是(  )
A.1 B.-1
C.2 D.-5
5.已知向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),则向量b在向量a方向上的投影向量为(  )
A. B.
C.(0,-1,-1) D.(-1,0,-1)
6.在△ABC中,C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为(  )
A. B.-
C.2 D.±
7.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,若点M是侧面CDD1C1的中心,则在基{,,}下的坐标为(  )
A. B.
C. D.
8.已知a=(sin θ,cos θ,tan θ),b=,且a⊥b,则θ为(  )
A.- B.
C.2kπ-(k∈Z) D.kπ-(k∈Z)
9.若四边形ABCD是平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为(  )
A.(1,1,-7) B.(5,3,1)
C.(-3,1,5) D.(5,13,-3)
10.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(1,3,λ),若a,b,c三个向量不能构成空间的一组基,则实数λ的值为(  )
A.1 B.2
C.3 D.4
11.若m=(2,-1,1),n=(λ,5,1),且m⊥(m-n),则λ=________.
12.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中建立空间直角坐标系,若正方体的棱长为1,则的坐标为____________,1的坐标为____________,的坐标为______________.
13.已知点M(1,0,2),N(-1,1,0),=2,则点P的坐标为________.
14.设a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).
(1)若(ka+b)∥(a-3b),求k的值;
(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k的值.
15.设O为坐标原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,求·取得最小值时点Q的坐标.
课时跟踪检测(三十)
1.选A 设线段AB的中点坐标为(x,y,z),所以x==-1,y==-1,z==2,故线段AB的中点坐标是(-1,-1,2).
2.选C 因为向量a=(2,0,-1),所以2a=(4,0,-2),又向量b=(0,1,-2),所以2a-b=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).故选C.
3.选B ∵a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),∴两式相加得2a=(2,-4,0),解得a=(1,-2,0),∴b=(-3,1,2),∴a·b=1×(-3)+(-2)×1+0×2=-5.故选B.
4.选A 因为a∥b,所以b=λa,所以解得
5.选A 因为向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),所以a·b=1,|a|=,所以向量b在向量a方向上的投影向量为·=a=.
6.选D 因为=(-6,1,2k),=(-3,2,-k),所以·=(-6)×(-3)+2+2k·(-k)=-2k2+20=0,解得k=±.
7.选D 由题可知,M为DC1的中点,=+=+(+)=+(+)=++,∴坐标为.
8.选D ∵ a=(sin θ,cos θ,tan θ),b=,且a⊥b,∴sin θcos θ+cos θsin θ+1=0,即sin 2θ=-1,∴2θ=-+2kπ,k∈Z,∴ θ=-+kπ,k∈Z.故选D.
9.选D ∵ABCD为平行四边形,∴=,设D(x,y,z),则=(-2,-6,-2),
=(3-x,7-y,-5-z),
∴解得
10.选A 若a,b,c三个向量不能构成空间向量的一组基,所以a,b,c共面,则存在x,y∈R使得c=xa+yb (1,3,λ)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),则解得
所以实数λ的值为1.
11.解析:由已知得m-n=(2-λ,-6,0).
由m·(m-n)=0得,2(2-λ)+6+0=0,
所以λ=5.
答案:5
12.解析:由题图,A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),C1(1,1,1),∴=(1,0,0)-(0,0,0)=(1,0,0),1=(1,1,1)-(0,1,0)=(1,0,1),=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1).
答案:(1,0,0) (1,0,1) (-1,1,-1)
13.解析:点M(1,0,2),N(-1,1,0),
则=(-2,1,-2),设点P(x,y,z),
则=(x-1,y,z-2),由=2,
得解得
所以点P的坐标为.
答案:
14.解:因为a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),
所以ka+b=k(1,5,-1)+(-2,3,5)=(k-2,5k+3,5-k),a-3b=(1,5,-1)-3(-2,3,5)=(7,-4,-16),
(1)若(ka+b)∥(a-3b),
则==,解得k=-.
(2)若(ka+b)⊥(a-3b),
则(ka+b)·(a-3b)=7(k-2)-4(5k+3)-16(5-k)=3k-106=0,解得k=.
15.解:∵点Q在直线OP上运动,
∴∥,设=λ,则Q(λ,λ,2λ),
∴=-=(1-λ,2-λ,3-2λ),
=-=(2-λ,1-λ,2-2λ),
∴·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=62-,故当λ=时,·取得最小值,此时Q.
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