4.1 直线的方向向量与平面的法向量
课时目标
1.能用向量语言表述直线和平面.
2.理解直线的方向向量与平面的法向量.
3.会求直线的方向向量与平面的法向量.
(一)直线的方向向量
1.设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的__________.与平行的任意非零向量a也是直线l的__________.
2.直线的向量表示
已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量.那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得________.反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线l上.因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示.
微点助解
(1)空间中，一个向量若是直线l的方向向量，必须满足两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
[基点训练]
1.若A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A. B.
C. D.
2.已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z＝( )
A.0 B.1
C. D.3
(二)平面的法向量
1.如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的____________叫作平面α的法向量，则________.
2.设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有______________.反过来，满足此式的点P都在平面α内，所以把此式称为平面α的一个向量表示式.
微点助解
在求平面的法向量时，方程组有无数多个解，所以平面的法向量不是唯一的，只需给x，y，z中的一个变量赋予一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的一个法向量，则·n＝0.( )
(2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行.( )
2.已知向量＝，＝，则平面ABC的一个法向量为( )
A. B.
C. D.
3.经过点(1,1,1)且与z轴垂直的平面的方程为____________.
题型(一) 求直线的方向向量
[例1] 如图，在三棱台ABC A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间向量的一组基，求直线AD，AE的方向向量.
听课记录：
求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算.
[针对训练]
1.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________.
2.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：是直线GH的一个方向向量.
题型(二) 直线方向向量表示的应用
[例2] 在空间直角坐标系中，已知点A(－2,1，－1)，B(1，－3,4)，C(1,0，－3)，P为直线AC上的一点，且BP⊥AC，求的值.
听课记录：
直线的方向向量就是与直线平行的非零向量，对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的，然后根据共线建立方程组求解.
[针对训练]
3.已知在空间直角坐标系O xyz中，点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且3||＝||，则点C的坐标为________.
4.已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为________.
题型(三) 平面的法向量
[例3] 如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量.
听课记录：
利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设向量：设平面的一个法向量为n＝(x，y，z).
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.
(3)列方程组：
(4)解方程组：
(5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1).
(6)得结论：得到平面的一个法向量.
[针对训练]
5.已知点A(1,0,0)，B1，D1(0,0,2)，C(0,1,0)，若在平面AB1D1内存在点E，使得CE⊥平面AB1D1，则点E的坐标是________.
6.在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面BDD1B1的一个法向量；
(2)平面BDEF的一个法向量.
4.1 直线的方向向量与平面的法向量
?课前环节
(一)1.方向向量 方向向量 2.＝ta
[基点训练]
1.D 2.A
(二)1.方向向量n n⊥α 2.
[基点训练]
1.(1)√ (2)√ 2.D
3.解析：因为与z轴垂直的平面的一个法向量n＝(0,0,1)，所以所求平面的方程为z－1＝0.
答案：z－1＝0
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解：＝＋＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋＝a＋b＋c，
所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c.
＝＋＝＋
＝＋
＝＋＝b＋c，
所以直线AE的一个方向向量为b＋c.
[针对训练]
1.解析：因为DD1∥AA1，＝(0,0,1)，故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；因为BC1∥AD1，＝(0,1,1)，故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).
答案：(0,0,1) (0,1,1)(答案不唯一)
2.证明：连接MO(图略)，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点，又M是PC的中点，
∴MO∥PA.
∵MO 平面BDM，PA 平面BDM，
∴PA∥平面BDM.∵PA 平面PAG，平面PAG∩平面BDM＝GH，∴PA∥GH，
∴是直线GH的一个方向向量.
[题型(二)]
[例2] 解：设＝t，
因为＝(3，－1，－2)，＝(－3,4，－5)，
所以＝＋＝＋t
＝(－3,4，－5)＋t(3，－1，－2)
＝(3t－3,4－t，－5－2t).
又BP⊥AC，所以·＝0，
即(3，－1，－2)·(3t－3,4－t，－5－2t)＝0，
解得t＝.故＝.
[针对训练]
3.解析：由题意得＝(－2，－6，－2).
∵C为线段AB上一点，且3||＝||，
∴＝，∴＝＋＝(4,1,3)＋(－2，－6，－2)＝.
故点C的坐标为.
答案：
4.解析：由题意得＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，
则＝(－λ，λ－1，－1).
又BH⊥OA，∴·＝0，
即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，
即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H.
答案：
[题型(三)]
[例3] 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(0,1,0)，
C(1,1,0)，D，
S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面ABCD，
∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，
∴AD⊥平面SAB，
∴＝是平面SAB的一个法向量.
(3)在平面SCD中，
＝，＝(1,1，－1).
设平面SCD的一个法向量n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，
∴得
令y＝－1，则z＝1，x＝2，∴n＝(2，－1,1).
即n＝(2，－1,1)是平面SCD的一个法向量.
[针对训练]
5.解析：不妨设点E的坐标为(x0，y0，z0)，平面AB1D1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，
因为A(1,0,0)，B1，D1(0,0,2)，C(0,1,0)，所以＝(0,1,2)，＝(－1,0,2)，＝(x0，y0－1，z0)，
＝(x0－1，y0，z0)，
因为CE⊥平面AB1D1，
所以CE⊥AB1，CE⊥AD1，
所以)即 ①.
又由
不妨令z1＝1，则x1＝2，y1＝－2，
故n可以取(2，－2,1)，
从而·n＝0，即2x0－2y0＋z0＝2 ②，
联立①②可得，x0＝，y0＝，z0＝，
故点E的坐标为.
答案：
6.解：(1)由题意，可得D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，
连接AC，因为底面ABCD为正方形，
所以AC⊥BD.
又因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以DD1⊥AC，
且BD∩DD1＝D，
则AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.(答案不唯一).
(2)＝(2,2,0)，
＝(1,0,2).
设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则所以令x＝2，得y＝－2，z＝－1，所以n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量.(答案不唯一).(共79张PPT)
4.1
直线的方向向量与平面的法向量
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1．能用向量语言表述直线和平面.
2．理解直线的方向向量与平面的法向量．
3．会求直线的方向向量与平面的法向量．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
方向向量
方向向量
微点助解
(1)空间中，一个向量若是直线l的方向向量，必须满足两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
基点训练
√
√
方向向量n
n⊥α
基点训练
答案：(1)√ (2)√
√
3．经过点(1,1,1)且与z轴垂直的平面的方程为__________．
解析：因为与z轴垂直的平面的一个法向量n＝(0,0,1)，
所以所求平面的方程为z－1＝0.
z－1＝0
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 求直线的方向向量
求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算．
方法技巧
1.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为______，直线BC1的一个方向向量为__________________．
针对训练
(0,0,1)
(0,1,1)(答案不唯一)
故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；
故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．
证明：连接MO(图略)，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O为AC的中点，又M是PC的中点，
∴MO∥PA．
∵MO 平面BDM，PA 平面BDM，
∴PA∥平面BDM.
∵PA 平面PAG，平面PAG∩平面BDM＝GH，
∴PA∥GH，
题型(二) 直线方向向量表示的应用
又BP⊥AC，
即(3，－1，－2)·(3t－3,4－t，－5－2t)＝0，
直线的方向向量就是与直线平行的非零向量，对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的，然后根据共线建立方程组求解．
方法技巧
针对训练
4．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为_____________．
且点H在直线OA上，
可设H(－λ，λ，0)，
又BH⊥OA，
即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，
题型(三) 平面的法向量
解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别
为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
(1)∵SA⊥平面ABCD，
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，
∴AD⊥平面SAB，
设平面SCD的一个法向量n＝(x，y，z)，
令y＝－1，则z＝1，x＝2，
∴n＝(2，－1,1)．
即n＝(2，－1,1)是平面SCD的一个法向量．
方法技巧
解析：不妨设点E的坐标为(x0，y0，z0)，
平面AB1D1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，
针对训练
因为CE⊥平面AB1D1，
所以CE⊥AB1，CE⊥AD1，
则x1＝2，y1＝－2，
故n可以取(2，－2,1)，
即2x0－2y0＋z0＝2 ②，
6.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面BDD1B1的一个法向量；
(2)平面BDEF的一个法向量．
解：(1)由题意，可得D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，
连接AC，因为底面ABCD为正方形，
所以AC⊥BD．
又因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以DD1⊥AC，
且BD∩DD1＝D，则AC⊥平面BDD1B1，
设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，
所以n＝(2，－2，－1)
即为平面BDEF的一个法向量．(答案不唯一)．
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
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2．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
解析：由题意可得，要求平面α的一个法向量，即求与n共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2，3，－1)．
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3．平面α的一个法向量n＝(1,2,3)，P(1,1,1)，P∈α，Q∈α，则点Q的坐标可以是( )
A．(－1，－1，－1) B．(4,2，－1)
C．(3,2,1) D．(2,2,0)
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4．在空间直角坐标系内，平面α经过三点A(1,0,2)，B(0,1,0)，C(－2,1,1)，向量n＝(1，λ，μ)是平面α的一个法向量，则λ＋μ＝( )
A．－7 B．－5
C．5 D．7
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6．在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1,1，t)，B(2，2,4)，若平面ABC的一个法向量为m＝(3,1，－1)，则直线AB的一个方向向量为______．
解析：∵A(1,1，t)，B(2,2,4)，
(1,1,4)
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又平面ABC的一个法向量为m＝(3,1，－1)，
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7.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1在空间
直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一
个方向向量为__________________．
解析：由题意知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，
(1,1,1)(答案不唯一)
即直线DB1的一个方向向量为(1,1,1)．
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8．已知空间直角坐标系O－xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则直线OA的一个方向向量为__________________，点P的坐标满足的条件为____________．
(1,1,1)(答案不唯一)
x＋y＋z＝3
由题意知OA⊥α，
因为AP α，
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即x－1＋y－1＋z－1＝0，
所以x＋y＋z＝3.
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9．在△ABC中，A(1，－1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，M(x，y，z)是平面ABC内任意一点．
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)求x，y，z满足的关系式．
解：(1)设平面ABC的一个法向量n＝(a，b，c)．
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令b＝2，则a＝－3，c＝2.
∴平面ABC的一个法向量为n＝(－3,2,2)(答案不唯一)．
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(2)由(1)知n＝(－3,2,2)为平面ABC的一个法向量，
又点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，
∴－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0，
∴3x－2y－2z－1＝0.
故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0.
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解：(1)如图，连接EF，
因为E，F分别是PC，PB的中点，
又BC∥＝AD，
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取AD的中点M，连接MF，所以EF綊DM，
所以四边形DEFM是平行四边形，
所以MF∥DE，
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(2)以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
设N(x，y，z)，
因为点N在CP上，
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又AN⊥PC，
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12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A－BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝AB＝CD．若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量为( )
A．(0,1,0) B．(0,1,1)
C．(1,1,1) D．(1,1,0)
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解：由(1)AP∶PB＝1∶2，
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设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，
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因为(2)AQ∶QB＝2∶1，
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设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，
则上式换用坐标表示，
得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6.
因此，Q点的坐标是(0,2,6)．课时跟踪检测(三十二) 直线的方向向量与平面的法向量
A级——综合提能
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
2．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
3．平面α的一个法向量n＝(1,2,3)，P(1,1,1)，P∈α，Q∈α，则点Q的坐标可以是( )
A．(－1，－1，－1) B．(4,2，－1)
C．(3,2,1) D．(2,2,0)
4．在空间直角坐标系内，平面α经过三点A(1,0,2)，B(0,1,0)，C(－2,1,1)，向量n＝(1，λ，μ)是平面α的一个法向量，则λ＋μ＝( )
A．－7 B．－5
C．5 D．7
5．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为( )
A. B.
C. D.
6．在空间直角坐标系O xyz中，已知A(1,1，t)，B(2，2,4)，若平面ABC的一个法向量为m＝(3,1，－1)，则直线AB的一个方向向量为______．
7.棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为________．
8．已知空间直角坐标系O xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则直线OA的一个方向向量为______，点P的坐标满足的条件为________．
9．在△ABC中，A(1，－1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，M(x，y，z)是平面ABC内任意一点．
(1)求平面ABC的一个法向量；
(2)求x，y，z满足的关系式．
10.如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD＝2，E，F分别是PC，PB的中点．
(1)试以F为起点作直线DE的方向向量；
(2)若棱PC上存在一点N，且AN⊥PC，求的值．
B级——应用创新
11．已知平面α＝{P|n·＝0}，其中点P0(1,2,3)，法向量n＝(1,1,1)，则下列各点中不在平面α内的是( )
A．(3,2,1) B．(－2,5,4)
C．(－3,5,4) D．(2，－4,8)
12.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝AB＝CD.若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量为( )
A．(0,1,0) B．(0,1,1)
C．(1,1,1) D．(1,1,0)
13.如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.平面OCB1的一个法向量n＝( )
A．(0,1,1) B．(1，－1,1)
C．(1,0，－1) D．(－1，－1,1)
14．[多选]已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1，3,1)，则下列结论正确的是( )
A.⊥
B．与共线的单位向量是(1,1,0)
C.与夹角的余弦值是－
D．平面ABC的一个法向量是(1，－2,5)
15.已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1.
求点P和点Q的坐标．
课时跟踪检测(三十二)
1．选A 因为＝(2,4,6)，又(1,2,3)＝(2，4,6)，所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量．
2．选D 由题意可得，要求平面α的一个法向量，即求与n共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2，3，－1)．
3．选D 设点Q(x，y，z)在平面α上，因为P(1,1,1)，所以＝(x－1，y－1，z－1)，由·n＝(x－1)×1＋(y－1)×2＋(z－1)×3＝0，得x＋2y＋3z＝6，依次验证选项，只有D满足．
4．选D 因为＝(－1,1，－2)，＝(－2,0,1)，所以n·＝－1＋λ－2μ＝0，n·＝－2＋μ＝0，可得μ＝2，λ＝5，所以λ＋μ＝7.
5．选C 设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且＝，∴＝，即(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，
∴∴x＝，y＝－1，z＝.
因此点C的坐标为.故选C.
6．解析：∵A(1,1，t)，B(2,2,4)，∴＝(1,1，4－t)．又平面ABC的一个法向量为m＝(3,1，－1)，∴·m＝3＋1－4＋t＝0，解得t＝0，∴直线AB的一个方向向量为＝(1,1,4)．
答案：(1,1,4)
7．解析：由题意知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，所以＝(1,1,1)，即直线DB1的一个方向向量为(1,1,1)．
答案：(1,1,1)(答案不唯一)
8．解析：直线OA的一个方向向量为＝(1,1,1)．由题意知OA⊥α，因为AP α，所以OA⊥AP，＝(x－1，y－1，z－1)，则·＝0，即x－1＋y－1＋z－1＝0，所以x＋y＋z＝3.
答案：(1,1,1)(答案不唯一) x＋y＋z＝3
9．解：(1)设平面ABC的一个法向量n＝(a，b，c)．
∵＝(2,4，－1)，＝(2,2,1)，
∴∴
令b＝2，则a＝－3，c＝2.∴平面ABC的一个法向量为n＝(－3,2,2)(答案不唯一)．
(2)由(1)知n＝(－3,2,2)为平面ABC的一个法向量，又点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，∴⊥n，∵＝(x－1，y＋1，z－2)，
∴－3(x－1)＋2(y＋1)＋2(z－2)＝0，
∴3x－2y－2z－1＝0.
故x，y，z满足的关系式为3x－2y－2z－1＝0.
10．解：(1)如图，连接EF，
因为E，F分别是PC，PB的中点，
所以EF綊BC.
又BC∥＝AD，
所以EF綊AD.
取AD的中点M，连接MF，所以EF綊DM，
所以四边形DEFM是平行四边形，所以MF∥DE，即是直线DE的一个方向向量．
(2)以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)，
所以＝(0,2，－2)，＝(0,0,2)，
＝(－2,0,0)．
设N(x，y，z)，因为点N在CP上，所以存在实数t，使得＝t(0≤t≤1)，
则＝＋t＝(0,0,2)＋t(0,2，－2)＝(0,2t,2－2t)，所以＝＋＝(－2,0,0)＋(0,2t,2－2t)＝(－2,2t,2－2t)．
又AN⊥PC，所以·＝4t－2(2－2t)＝0，
解得t＝，所以＝.
11．选B 对于A，＝(2,0，－2)，n·＝1×2＋1×0＋1×(－2)＝0；对于B，＝(－3,3,1)，n·＝1×(－3)＋1×3＋1×1＝1≠0；对于C，＝(－4,3,1)，n·＝1×(－4)＋1×3＋1×1＝0；对于D，＝(1，－6,5)，n·＝1×1＋1×(－6)＋1×5＝0，故选B.
12．选B 根据题意，设BD＝AB＝CD＝1，则D(0，1,0)，C(1,1,0)，A(0,0,1)，则＝(1,0,0)，＝(0,1，－1)，设平面ACD的一个法向量为m＝(x，y，z)，则有令y＝1，可得z＝1，则m＝(0,1,1)．
13.选C 由题意建立如图所示的空间直角坐标系，∵四边形ABCD是正方形，且AB＝，∴AO＝OC＝1，∴OA1＝1，∴A(0，－1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，∴＝(1,1,0)，＝(0,1,0)，又＝＝(1,1,0)，∴B1(1,1,1)，＝(1,1,1)．设平面OCB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则得y＝0，x＝－z，结合选项，可得n＝(1,0，－1)，故选C.
14．选ACD 因为A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3，1)，所以＝(2,1,0)，＝(－1,2,1)，＝(－3,1,1)，·＝－2＋2＋0＝0，故⊥，A正确；(1,1,0)不是单位向量，且(1,1,0)与＝(2,1,0)不共线，B错误；cos〈，〉＝＝＝－，C正确；设m＝(1，－2,5)，则m·＝2－2＋0＝0，m·＝－1－4＋5＝0，所以m⊥，m⊥，又AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，所以向量(1，－2,5)是平面ABC的一个法向量，D正确．
15．解：由(1)AP∶PB＝1∶2，
得＝2，即－＝2(－)，
＝＋.
设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，
得(x，y，z)＝(2,4,0)＋(1,3,3)，
即x＝＋＝，y＝＋＝，z＝0＋1＝1.
因此，P点的坐标是.
因为(2)AQ∶QB＝2∶1，
所以＝－2，－＝－2(－)，＝－＋2.
设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6.
因此，Q点的坐标是(0,2,6)．
