4.2.1 向量方法研究平行关系(课件 学案 练习)高中数学北师大版(2019)选择性必修 第一册 第三章

文档属性

名称 4.2.1 向量方法研究平行关系(课件 学案 练习)高中数学北师大版(2019)选择性必修 第一册 第三章
格式 zip
文件大小 2.5MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-19 13:56:59

文档简介

      4.2.1 向量方法研究平行关系
课时目标
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
2.能用向量法判断或证明直线、平面间的平行关系.
空间中平行关系的向量表示
位置关系 向量表示
线线平行 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R,使得__________
线面平行 设直线l的方向向量为u,n是平面α的法向量,l α,则l∥α u⊥n __________
面面平行 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α∥β n1∥n2 λ∈R,使得____________
微点助解
用向量刻画空间中直线、平面的平行关系的注意点
(1)线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合.
(2)直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的,所以运用时应以运算简便为标准.
(3)线线平行、面面平行中向量仍平行,但线面平行中向量变为垂直.可简记为“同类同性,异类相反”.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行,则这条直线与这个平面平行.(  )
(2)两直线的方向向量垂直,则两条直线垂直.(  )
(3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.(  )
(4)两个(不重合)平面的法向量平行,则这两个平面平行,两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.(  )
2.[多选]若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则能使l∥α的是(  )
A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
题型(一) 证明直线与直线平行
[例1] 如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在棱DD1上,且SD1=2SD,点N,R分别为棱A1D1,BC的中点.
求证:MN∥RS.
听课记录:
[方法技巧] 证明线线平行的两种方法
基向量法 用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明
坐标法 建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示
[针对训练]
1.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,E为CP的中点,N为DE的中点,点M在DB上,且DM=DB,DA=DP=1,CD=2.
求证:MN∥AP.
题型(二) 证明直线与平面平行
[例2] 如图,在三棱锥P ABC中,PA⊥底面ABC, ∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=2,AB=1.求证:MN∥平面BDE.
听课记录:
利用空间向量证明线面平行的三种方法
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示.
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证.
(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 
[针对训练]
2.如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AB=BC=2,AD=4,E为棱PD的中点,=λ(λ为常数,且0<λ<1).若直线BF∥平面ACE,求实数λ的值.
题型(三) 证明平面与平面平行
[例3] 如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,求证:平面EFG∥平面PBC.
听课记录:
  证明面面平行问题的方法
(1)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.
[针对训练]
3.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面BDEF.
向量方法研究平行关系
?课前环节
u1=λu2 u·n=0 n1=λn2
[基点训练]
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.选AD 若l∥α,则a·n=0.A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 证明:法一 如图所示,建立空间直角坐标系,根据题意得
M,N(0,2,2),R(3,2,0),S.
则,分别为MN,RS的方向向量,
又=,=,
所以=,所以∥,
因为M RS,所以MN∥RS.
法二 设=a,=b,=c,
则=++=c-a+b,=++=b-a+c.
所以=,所以∥.
又R MN,所以MN∥RS.
[针对训练]
1.证明:法一:坐标法 由题意知,直线DA,DC,DP两两垂直.如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),P(0,0,1),E,N,M,所以=(-1,0,1),=,所以=,所以MN∥AP.
法二:基向量法 由题意得=+=+=+×(+)=++=+=(+)=,所以MN∥AP.
[题型(二)]
[例2] 证明:因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1),E(0,1,1),
M,N,
P(0,0,2),所以=(0,1,0),
=(1,0,-1),
设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,
则即不妨设z=1,可得n=(1,0,1),
又=,所以·n=1×+0×1+1×=0,
即⊥n,
因为MN 平面BDE, 所以MN∥平面BDE.
[针对训练]
2.解:因为PA⊥底面ABCD,AB,AD 平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.
由题意可知,AB,AD,AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,2),E(0,2,1),
所以=(2,2,0),=(0,2,1),
=(-2,0,2),=(2,2,-2),
则=λ=(2λ,2λ,-2λ),
所以=+=(2λ-2,2λ,2-2λ).
设平面ACE的一个法向量为m=(x,y,z).
由得
不妨令x=1,得m=(1,-1,2).
因为BF∥平面ACE,
所以·m=2λ-2-2λ+4-4λ=0,
解得λ=.故实数λ的值为.
[题型(三)]
[例3] 证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,
所以AB,AP,AD两两垂直,
如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、
y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
所以=(2,0,-2),=(0,-1,0),
=(1,1,-1),=(0,2,0).
设n1=(x1,y1,z1)是平面EFG的一个法向量,
则n1⊥,n1⊥,
即得
令z1=1,则x1=1,y1=0,所以n1=(1,0,1).
设n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的一个法向量,
由n2⊥,n2⊥,
即得
令z2=1,则x2=1,y2=0,
所以n2=(1,0,1),所以n1∥n2,
又平面EFG与平面PBC不重合,
所以平面EFG∥平面PBC.
[针对训练]
3.证明:
如图,以点D为原点,分别以,,为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),
M,N,
E,F.
于是=,=,=,=.
设n1=(x1,y1,z1)是平面AMN的一个法向量,

取z1=1,得x1=2,y1=-2,则n1=(2,-2,1).
设n2=(x2,y2,z2)是平面BDEF的一个法向量,

取z2=1,得y2=-2,x2=2,
则n2=(2,-2,1)=n1.
又平面AMN与平面BDEF不重合,
故平面AMN∥平面BDEF.(共75张PPT)
向量方法研究平行关系
(强基课—梯度进阶式教学)
4.2.1
课时目标
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
2.能用向量法判断或证明直线、平面间的平行关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
空间中平行关系的向量表示
位置关系 向量表示
线线平行 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R,使得__________
线面平行 设直线l的方向向量为u,n是平面α的法向量,l α,则l∥α u⊥n ___________
面面平行 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α∥β n1∥n2 λ∈R,使得___________
u1=λu2
u·n=0
n1=λn2
微点助解
用向量刻画空间中直线、平面的平行关系的注意点
(1)线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合.
(2)直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的,所以运用时应以运算简便为标准.
(3)线线平行、面面平行中向量仍平行,但线面平行中向量变为垂直.可简记为“同类同性,异类相反”.
基点训练
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行,则这条直线与这个平面平行.(  )
(2)两直线的方向向量垂直,则两条直线垂直.(  )
(3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.(  )
(4)两个(不重合)平面的法向量平行,则这两个平面平行,两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.(  )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.[多选]若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则能使l∥α的是(  )
A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)


解析:若l∥α,则a·n=0.A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0.
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在棱DD1上,且SD1=2SD,点N,R分别为棱A1D1,BC的中点.求证:MN∥RS.
题型(一) 证明直线与直线平行
证明:法一 如图所示,建立空间直角坐标系,
因为M RS,
所以MN∥RS.
又R MN,
所以MN∥RS.
证明线线平行的两种方法
方法技巧
基向 量法 用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明
坐标法 建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示
针对训练
证明:法一:坐标法 由题意知,直线DA,DC,
DP两两垂直.如图所示,
以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为
x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
所以MN∥AP.
所以MN∥AP.
[例2] 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,
∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中
点,M是线段AD的中点,PA=AC=2,AB=1.求证:
MN∥平面BDE.
题型(二) 证明直线与平面平行
证明:因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,建立
空间直角坐标系如图所示,
因为MN 平面BDE,
所以MN∥平面BDE.
利用空间向量证明线面平行的三种方法
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一组基表示.
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证.
(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.  
方法技巧
针对训练
解:因为PA⊥底面ABCD,AB,AD 平面ABCD,
所以PA⊥AB,PA⊥AD.
由题意可知,AB,AD,AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,2),E(0,2,1),
设平面ACE的一个法向量为m=(x,y,z).
不妨令x=1,得m=(1,-1,2).
因为BF∥平面ACE,
[例3] 如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,求证:平面EFG∥平面PBC.
题型(三) 证明平面与平面平行
证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,
所以AB,AP,AD两两垂直,
如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
设n1=(x1,y1,z1)是平面EFG的一个法向量,
令z1=1,则x1=1,y1=0,
所以n1=(1,0,1).
设n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的一个法向量,
令z2=1,则x2=1,y2=0,
所以n2=(1,0,1),
所以n1∥n2,又平面EFG与平面PBC不重合,
所以平面EFG∥平面PBC.
证明面面平行问题的方法
(1)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明.  
方法技巧
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面BDEF.
针对训练
设n1=(x1,y1,z1)是平面AMN的一个法向量,
取z1=1,得x1=2,y1=-2,
则n1=(2,-2,1).
设n2=(x2,y2,z2)是平面BDEF的一个法向量,
取z2=1,得y2=-2,x2=2,
则n2=(2,-2,1)=n1.
又平面AMN与平面BDEF不重合,
故平面AMN∥平面BDEF.
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.在空间直角坐标系中,a=(1,2,1)为直线l的一个方向向量,n=(2,t,4)为平面α的一个法向量,且l∥α,则t=(  )
A.3 B.1
C.-3 D.-1
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解析:因为l∥α,所以a=(1,2,1)与n=(2,t,4)垂直,故a·n=(1,2,1)·(2,t,4)=2+2t+4=0,解得t=-3.
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2.设u=(2,0,-1)是平面α的一个法向量,a=(1,0,2)是直线l的一个方向向量,则直线l与平面α的位置关系是(  )
A.平行或直线在平面内 B.不能确定
C.相交但不垂直 D.垂直
解析:因为u·a=2+0-2=0,所以u⊥a,所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内.
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3.已知A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是(  )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
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4.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z的值是(  )
A.-3 B.-4
C.3 D.4
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5.[多选]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,若直线EF∥平面A1BC1,则点F的位置可能是(  )
A.线段CC1中点 B.线段BC中点
C.线段CD中点 D.线段C1D1中点


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解析:因为a∥b,
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7.设平面α,β的一个法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则α,β的位置关系为________.
解析:因为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),
所以v=(-3,-6,6)=-3(1,2,-2)=-3u,
所以v∥u,
所以α∥β.
平行
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8.平面α经过点A(0,0,2)且一个法向量n=(1,-1,-1),则平面α与x轴的交点坐标是________.
解析:设平面α与x轴的交点为B(m,0,0),
因为平面α经过点A(0,0,2),
(-2,0,0)
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即m×1+(-2)×(-1)=0,解得m=-2,
故平面α与x轴的交点坐标是(-2,0,0).
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设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),
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又MN 平面PCD,
所以MN∥平面PCD.
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10.如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向
量法证明.
(1)MN∥平面CC1D1D;
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
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设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),
D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1).
由正方体的性质,知AD⊥平面CC1D1D,
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又MN 平面CC1D1D,
所以MN∥平面CC1D1D.
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所以平面MNP∥平面CC1D1D.
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设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z).
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令x=1,则y=0,z=1,
∴n=(1,0,1).
又AP 平面EFG,∴AP∥平面EFG.
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14.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点.在BC1上是否存在一点E,使得OE∥平面A1AB?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
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解:连接OA1,因为AA1=A1C,且O为AC的中点,
所以A1O⊥AC,
又平面AA1C1C⊥平面ABC,交线为AC,且A1O 平面AA1C1C,
所以A1O⊥平面ABC.
连接OB,由AB=BC,得OB⊥AC,以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,
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建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可知,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,
AB⊥BC,
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设平面AA1B的一个法向量为n=(x,y,z),
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所以在BC1上存在点E使得OE∥平面A1AB,
且E为BC1的中点.课时跟踪检测(三十三) 向量方法研究平行关系
A级——综合提能
1.在空间直角坐标系中,a=(1,2,1)为直线l的一个方向向量,n=(2,t,4)为平面α的一个法向量,且l∥α,则t=(  )
A.3            B.1
C.-3 D.-1
2.设u=(2,0,-1)是平面α的一个法向量,a=(1,0,2)是直线l的一个方向向量,则直线l与平面α的位置关系是(  )
A.平行或直线在平面内 B.不能确定
C.相交但不垂直 D.垂直
3.已知A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是(  )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
4.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z的值是(  )
A.-3 B.-4
C.3 D.4
5.[多选]在正方体ABCD A1B1C1D1中,E为AA1中点,若直线EF∥平面A1BC1,则点F的位置可能是(  )
A.线段CC1中点 B.线段BC中点
C.线段CD中点 D.线段C1D1中点
6.已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=,若a∥b,则k=________.
7.设平面α,β的一个法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则α,β的位置关系为________.
8.平面α经过点A(0,0,2)且一个法向量n=(1,-1,-1),则平面α与x轴的交点坐标是________.
9.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,PA⊥底面ABCD,PA=2,点M为PA的中点,点N为BC的中点,AF⊥CD于F,如图建立空间直角坐标系.求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD.
10.如图,已知在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向量法证明.
(1)MN∥平面CC1D1D;
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
                
B级——应用创新
11.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,点F在棱C1D1上,且=λ(0≤λ≤1),若B1F∥平面A1BE,则λ=(  )
A. B.
C. D.
12.在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P平行于平面AEF,则线段A1P长度的最小值为(  )
A. B.
C. D.
13.如图,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.试用向量法证明AP∥平面EFG.
14.如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点.在BC1上是否存在一点E,使得OE∥平面A1AB?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
课时跟踪检测(三十三)
1.选C 因为l∥α,所以a=(1,2,1)与n=(2,t,4)垂直,故a·n=(1,2,1)·(2,t,4)=2+2t+4=0,解得t=-3.
2.选A 因为u·a=2+0-2=0,所以u⊥a,所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内.
3.选A 因为=(-2,-2,2),=(1,1,-1),所以=-2,所以与平行.又四点不共线,所以直线AB与CD平行.
4.选A ∵α∥β,∴u1∥u2,故存在实数λ,使得u1=λu2,即(-3,y,2)=λ(6,-2,z),故解得
∴y+z=1-4=-3.
5.选ABD 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CC1,BC,CD,C1D1的中点分别为M,N,P,Q,不妨设棱长为2,则A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,0,1),M(0,2,1),N(1,2,0),P(0,1,0),Q(0,1,2),=(0,2,-2),=(-2,2,0),设平面A1BC1的一个法向量n=(x,y,z),则令y=1,则n=(1,1,1),又=(-2,2,0),=(-1,2,-1),=(-2,1,-1),=(-2,1,1),则·n=-2×1+2×1=0,·n=-1×1+2×1-1×1=0,·n=-2×1+1×1-1×1=-2,·n=-2×1+1×1+1×1=0,又EM,EN,EQ 平面A1BC1,则EM,EN,EQ都平行于平面A1BC1,即若直线EF∥平面A1BC1,则点F的位置可能是线段CC1中点,线段BC中点或线段C1D1中点.
6.解析:因为a∥b,所以m=λn,即(4,k,k-1)=λ,所以
解得λ=-2,k=-2.
答案:-2
7.解析:因为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),所以v=(-3,-6,6)=-3(1,2,-2)=-3u,所以v∥u,所以α∥β.
答案:平行
8.解析:设平面α与x轴的交点为B(m,0,0),因为平面α经过点A(0,0,2),所以AB 平面α.又=(m,0,-2),平面α的一个法向量n=(1,-1,-1),所以·n=0,即m×1+(-2)×(-1)=0,解得m=-2,故平面α与x轴的交点坐标是(-2,0,0).
答案:(-2,0,0)
9.证明:由题设知,在Rt△AFD中,AF=FD=,A(0,0,0),B(1,0,0),F,
D,P(0,0,2),M(0,0,1),
N.=,
=,=.
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),

令z=,得n=(0,4,).
因为·n=·(0,4, )=0,
又MN 平面PCD,所以MN∥平面PCD.
10.证明:(1)以D为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),
D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1).
由正方体的性质,
知AD⊥平面CC1D1D,
所以=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量.
由于=(0,1,-1),则·=0×2+1×0+(-1)×0=0,
所以⊥.
又MN 平面CC1D1D,
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)由(1)知=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量,由于=(0,2,0),=(0,1,-1),则即=(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量,所以平面MNP∥平面CC1D1D.
11.选C 如图所示,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则B(1,0,0),E,D1(0,1,1),C1(1,1,1),A1(0,0,1),可得=(-1,0,1),=,
设n=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量,则
令z=2,则x=2,y=1,即n=(2,1,2).
由=(1,0,0),且=λ,
可得F(λ,1,1)(0≤λ≤1),
又因为B1(1,0,1),则=(λ-1,1,0),
由B1F∥平面A1BE,可得
n·=2(λ-1)+1×1+0×2=0,
解得λ=.
12.选B 如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1),A1(2,0,2),所以=(-1,2,0),=(-2,2,1),设平面AEF的一个法向量n=(x,y,z),则 取y=1,得n=(2,1,2),设P(a,2,c),0≤a≤2,0≤c≤2,则=(a-2,2,c-2),因为A1P平行于平面AEF,所以·n=2(a-2)+2+2(c-2)=0,整理得a+c=3,∴线段A1P长度
||=

=,当且仅当a=c=时,线段A1P长度取最小值.
13.证明:如图,以D为原点,以,,分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0),=(-2,0,2),=(0,-1,0),=(1,1,-1).
设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z).
∴即
令x=1,则y=0,z=1,∴n=(1,0,1).
∵n·=1×(-2)+0×0+1×2=0,
∴n⊥.
又AP 平面EFG,∴AP∥平面EFG.
14.解:连接OA1,因为AA1=A1C,且O为AC的中点,所以A1O⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABC,交线为AC,且A1O 平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABC.连接OB,由AB=BC,得OB⊥AC,以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可知,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,所以OB=AC=1,
所以O(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,),
C1(0,2,),B(1,0,0),
则=(0,1,),=(1,1,0).
设平面AA1B的一个法向量为n=(x,y,z),则有即令y=1,得x=-1,z=-,所以n=.
设E(x0,y0,z0),=λ(0≤λ≤1),由=(-1,2,)得(x0-1,y0,z0)=λ(-1,2,),所以所以E(1-λ,2λ,λ),所以=(1-λ,2λ,λ).由OE∥平面AA1B,得·n=0,即-1+λ+2λ-λ=0,解得λ=.所以在BC1上存在点E使得OE∥平面A1AB,且E为BC1的中点.
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