4.3.2 空间中的距离问题
课时目标
1.能用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.
2.通过空间中距离问题的求解，体会向量法在研究几何问题中的作用.
1.点到平面的距离
点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，
即d＝____________.
2.点到直线的距离
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝ ________________.
[基点训练]
1.已知A(2,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，则点A到直线BC的距离为( )
A.2 B.
C.4 D.
2.已知a＝(1,1,1)为平面α的一个法向量，A(1,0,0)为α内的一点，则点D(1,1,2)到平面α的距离为( )
A. B.
C. D.
3.已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，P(1，－1，0)，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是( )
A. B.
C. D.
题型(一) 点到直线的距离
[例1] 如图，已知直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离.
听课记录：
[方法技巧] 用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的单位方向向量u.
(3)计算所求点P与直线上某一点所构成的向量a.
(4)利用公式PQ＝计算点到直线的距离.
[针对训练]
1.如图，在长方体ABCD A′B′C′D′中，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，点M是AD的中点，求点M到直线B′D′的距离.
题型(二) 点到平面的距离
[例2] 如图，P，O分别是正四棱柱ABCD A1B1C1D1上、下底面的中心，AB＝AA1＝2.
(1)求平面PBC的法向量；
(2)求点O到平面PBC的距离.
听课记录：
利用向量法求点到平面的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求出该平面的一个法向量.
(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.
(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离.
[针对训练]
2.如图，将边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，求点D到平面ABC的距离.
题型(三) 线面距与面面距
[例3] 如图，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别是OA，BC，AD的中点.求：
(1)直线MN与平面OCD的距离；
(2)平面MNR与平面OCD的距离.
听课记录：
用向量法研究空间距离问题的一般步骤
(1)确定法向量；
(2)选择参考向量；
(3)利用公式求解.
[针对训练]
3.如图，在直棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离.
空间中的距离问题
?课前环节
1.|·n0| 2.
[基点训练]
1.选B 由题意可得，＝(2，－1,0)，＝(0，－1,2)，则在上的投影数量为＝＝，则点A到直线BC的距离为 ＝＝.
2.选A 依题意，＝(0,1,2)，又a＝(1,1,1)为平面α的一个法向量，所以点D(1,1,2)到平面α的距离d＝＝＝.
3.选C 因为点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，所以＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，＝(0，－1,0)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即
令x＝1，得y＝1，z＝，则n＝，所以d＝＝，故选C.
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(4，0,1)，C1(0,3,1)，
B(0,0,0).直线A1C1的方向向量＝(－4，3,0)，
＝(0,3,1)，
所以点B到直线A1C1的距离
d＝
＝ ＝.
[针对训练]
1.解：连接D′M，建立如图所示的空间直角坐标系，M(1,0,0)，D′(0,0,3)，B′(2，1,3)，
＝(－1,0,3)，
＝(2,1,0)，
所以点M到直线B′D′的距离为
＝＝.
[题型(二)]
[例2] 解：
(1)因为P，O分别是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1上、下底面的中心，连接OA，OB，OC，OP，所以OA，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝AA1＝2，
所以OA＝OC＝OB＝2，OP＝AA1＝2，
所以B(0,2,0)，C(－2,0,0)，P(0,0,2)，
所以＝(0,2，－2)，＝(－2,0，－2).
设平面PBC的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则
取z＝1，则x＝－1，y＝1，所以m＝(－1,1,1)，
所以平面PBC的一个法向量为(－1,1,1).
(2)由(1)知平面PBC的一个法向量为
(－1,1,1)，又＝(0,2,0)，
所以点O到平面PBC的距离
d＝＝＝，
所以点O到平面PBC的距离为.
[针对训练]
2.解：设O是BD的中点，连接OA，OC，
由于折叠前四边形ABCD是正方形，边长为，所以OA＝OB＝OC＝OD＝1.
依题意，平面ABD⊥平面BCD且交线为BD，
OA 平面ABD，OA⊥BD，
所以OA⊥平面BCD，由于OC 平面BCD，所以OA⊥OC，则OA，OC，OD两两相互垂直，以O为原点建立
如图所示的空间直角坐标系，则
D(0,1,0)，B(0，－1，0)，A(0，0,1)，C(1，0,0)，
＝(0,2,0)，＝(0,1,1)，＝(1,1,0)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
故可设n＝(1，－1,1)，所以点D到平面ABC的距离为＝＝.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)因为OA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
以点A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2,2，0)，D(0,2,0)，O(0，0,2)，M(0,0,1)，N(2,1,0)，R(0，1,0)，
因为M，R分别为OA，AD的中点，则MR∥OD，
因为MR 平面OCD，OD 平面OCD，
所以MR∥平面OCD，因为AD∥BC且AD＝BC，R，N分别为AD，BC的中点，
则CN∥RD且CN＝RD，
所以四边形CDRN为平行四边形，
所以RN∥CD，
因为RN 平面OCD，CD 平面OCD，
所以RN∥平面OCD，
因为MR∩RN＝R，MR，RN 平面MNR，
所以平面MNR∥平面OCD，
因为MN 平面MNR，所以MN∥平面OCD，
设平面OCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，＝(2,0,0)，＝(0，－2,2)，
则
取y＝1，可得n＝(0,1,1)，＝(0,1,0)，
所以直线MN与平面OCD的距离为
d1＝＝＝.
(2)因为平面MNR∥平面OCD，
所以平面MNR与平面OCD的距离为
d2＝＝＝.
[针对训练]
3.解：∵A1B1∥AB，A1B1 平面ABE，AB 平面ABE，∴A1B1∥平面ABE，
∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离.
如图，以D为坐标原点，
分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，，1)，C(0，，0).过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，∴B(1,2，0)，
∴＝(0,2，0)，＝(－1，－，1).
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1).
∵＝(0,0,2)，∴点A1到平面ABE的距离d＝＝＝.
∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，
∴直线A1B1与平面ABE的距离为.(共85张PPT)
空间中的距离问题
(强基课—梯度进阶式教学)
4.3.2
课时目标
1．能用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．
2．通过空间中距离问题的求解，体会向量法在研究几何问题中的作用．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
2．点到直线的距离
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，
点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝
____________________.
基点训练
√
√
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
题型(一) 点到直线的距离
解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角
坐标系，
则A1(4，0,1)，C1(0,3,1)，B(0,0,0)．
方法技巧
1．如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，
AB＝1，BC＝2，AA′＝3，点M是AD的中点，求点
M到直线B′D′的距离．
针对训练
题型(二) 点到平面的距离
解：(1)因为P，O分别是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1上、下底面的中心，连接OA，OB，OC，OP，
所以OA，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
所以OA＝OC＝OB＝2，OP＝AA1＝2，
所以B(0,2,0)，C(－2,0,0)，P(0,0,2)，
设平面PBC的一个法向量为m＝(x，y，z)，
取z＝1，则x＝－1，y＝1，
所以m＝(－1,1,1)，
所以平面PBC的一个法向量为(－1,1,1)．
(2)由(1)知平面PBC的一个法向量为(－1,1,1)，
所以点O到平面PBC的距离
利用向量法求点到平面的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求出该平面的一个法向量．
(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量．
(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离．
方法技巧
针对训练
所以OA＝OB＝OC＝OD＝1.
依题意，平面ABD⊥平面BCD且交线为BD，
OA 平面ABD，OA⊥BD，
所以OA⊥平面BCD，由于OC 平面BCD，
所以OA⊥OC，
则OA，OC，OD两两相互垂直，
以O为原点建立
如图所示的空间直角坐标系，
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
故可设n＝(1，－1,1)，
[例3] 如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别是OA，BC，AD的中点．求：
(1)直线MN与平面OZCD的距离；
(2)平面MNR与平面OCD的距离．
题型(三) 线面距与面面距
解：(1)因为OA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
以点A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(2,2,0)，D(0,2,0)，O(0，0,2)，M(0,0,1)，N(2,1,0)，R(0，1,0)，
因为M，R分别为OA，AD的中点，
则MR∥OD，
因为MR 平面OCD，OD 平面OCD，
所以MR∥平面OCD，
因为AD∥BC且AD＝BC，R，N分别为AD，BC的中点，
则CN∥RD且CN＝RD，
所以四边形CDRN为平行四边形，
所以RN∥CD，
因为RN 平面OCD，CD 平面OCD，
所以RN∥平面OCD，
因为MR∩RN＝R，MR，RN 平面MNR，
所以平面MNR∥平面OCD，
因为MN 平面MNR，
所以MN∥平面OCD，
(2)因为平面MNR∥平面OCD，
用向量法研究空间距离问题的一般步骤
(1)确定法向量；(2)选择参考向量；(3)利用公式求解．
方法技巧
针对训练
解：∵A1B1∥AB，A1B1 平面ABE，AB 平面ABE，
∴A1B1∥平面ABE，
∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离．
如图，以D为坐标原点，
分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、
z轴，建立空间直角坐标系，
设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)．
∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，
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解析：设平面ABCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
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所以x＝y＝0，
所以取n＝(0,0，1)，
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8．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为________．
解析：因为B1D1∥BD，B1D1 平面BDC1，BD 平面BDC1，
所以B1D1∥平面BDC1，同理AD1∥平面BDC1，
又B1D1∩AD1＝D1，
所以平面AB1D1∥平面BDC1，
则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离．
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如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线
分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，
B1(a，a，a)，D1(0，0，a)，
设平面AB1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
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令x＝1，
则y＝－1，z＝1，
则n＝(1，－1,1)，
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9.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′的顶点
坐标为B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，A′(0,0,2)，
B′(1，0,2)，D′(0,2,2)，E和F分别是棱DD′和BB′
的中点，求CE与A′F之间的距离．
解：因为E和F分别是棱DD′和BB′的中点，
则E(0,2,1)，F(1,0,1)．
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所以CE∥A′F.
因此点F到直线CE的距离即为平行线CE与A′F之间的距离．
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10.如图，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD
是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中
∠AEB＝90°，求点D到平面ACE的距离．
解：取AB的中点O，连接OE.
因为△AEB是等腰直角三角形，
所以OE⊥AB，OE＝OA＝1.
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由已知得，平面ABCD⊥平面AEB，平面ABCD∩平面AEB＝AB，
所以OE⊥平面ABCD．
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标
系(其中z轴平行于BC)，则
C(0,1,2)，A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，
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设平面ACE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
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解析：以A为原点，AB，AC，AD所在的直线分别为x
轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(6,0,0)，C(0,6,0)，D(0，0,6)，E(3,0,0)，F(0,0,4)，
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13.如图，四棱锥P－ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PBC是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为__________．
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解析：连接AC，BD相交于点O，O点为底面ABCD的中心，
取BC中点为E，连接EO，EP，则EP⊥BC，
因为平面PBC⊥平面ABCD，则EP⊥平面ABCD，
建立如图所示的空间直角坐标系，且底面
ABCD的边长为2，△PBC是等边三角形，
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设平面DMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
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且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O到平面DMN的距离，
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解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，
所以AD∥BC．
因为AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC．
因为AD 平面ADE，平面ADE∩平面PBC＝EF，
所以EF∥AD．
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因为EF 平面PAD，AD 平面PAD，
所以EF∥平面PAD．
(2)在AB上取中点O，连接PO，OC，
因为△PAB是等腰直角三角形，
所以PO⊥AB．
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO 平面PAB，
所以PO⊥平面ABCD．
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又OC 平面ABCD，AB 平面ABCD，
所以PO⊥OC，PO⊥AB，又底面ABCD是边长为2的菱形，
且∠ABC＝60°，
所以OC⊥AB．
故以O为原点，
以OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，
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建立空间直角坐标系，如图所示，
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设m＝(x，y，z)是平面PAD的一个法向量，
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故点E为CP中点，
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设n＝(a，b，c)是平面ADE的一个法向量，
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2课时跟踪检测(三十六) 空间中的距离问题
A级——综合提能
1．已知A(1,2,0)，B(3,1,2)，C(2,0,4)，则点C到直线AB的距离为( )
A．2 B.
C．2 D．2
2．若平面α的一个法向量为n＝(1,2,1)，＝(－1，－1，2)，A α，B∈α，则点A到平面α的距离为( )
A．1 B.
C. D.
3．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为( )
A. B.
C. D.
4.如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F为BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为( )
A. B.
C. D.
5．在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝2，AA1＝6，点E，F分别为棱BB1，AC的中点，则点C1到平面A1EF的距离为( )
A. B.
C. D.
6．在四棱锥S ABCD中，＝(4，－1,0)，＝(0,3,0)，＝(－3,1，－5)，则这个四棱锥的高h为________ .
7．在空间直角坐标系O xyz中，A(1,2,1)，B(2,1，m)，C(0,1,2)，若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值：________.
8．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为________．
9．如图，长方体ABCD A′B′C′D′的顶点坐标为B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，A′(0,0,2)，B′(1，0,2)，D′(0,2,2)，E和F分别是棱DD′和BB′的中点，求CE与A′F之间的距离．
10.如图，在直二面角D AB E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，求点D到平面ACE的距离．
B级——应用创新
11.如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝2，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，P是A1B1的中点，则点A到平面MNP的距离为( )
A. B.
C. D.
12.如图，在三棱锥A BCD中，AB＝AC＝AD＝6，AB，AC，AD两两垂直，E为AB的中点，F为AD上更靠近点D的三等分点，O为△BCD的重心，则O到直线EF的距离为( )
A．2 B．1
C. D.
13.如图，四棱锥P ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PBC是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为__________．
14.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△PAB是等腰直角三角形，且∠APB＝90°，平面PAB⊥平面ABCD，点E是线段PC(不含端点)上的一个动点．
(1)设平面ADE交PB于点F，求证：EF∥平面PAD；
(2)当点E到平面PAD的距离为时，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．
课时跟踪检测(三十六)
1．选B 因为＝(2，－1,2)，＝(1，－2,4)，所以在方向上的投影数量为＝＝4.设点C到直线AB的距离为d，则d＝ ＝＝.
2．选B 因为＝(－1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(1,2,1)，所以点A到平面α的距离为＝.
3.选C 建立空间直角坐标系，如图，则C(1,1,0)，C1(1,1,1)，E，所以＝，1＝(0,0,1)，所以1在上的投影数量为＝＝，所以点C1到直线EC的距离d＝ ＝＝.
4.选D 由题意易知直线FC1∥平面AB1E，所以F到平面AB1E的距离即为直线FC1到平面AB1E的距离．建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，B1(1,1,1)，F，C1(0,1,1)，所以＝，＝(0,1,1)，＝，设平面AB1E的一个法向量n＝(x，y，z)，则即取z＝2，则x＝1，y＝－2，所以n＝(1，－2,2)，所以F到平面AB1E的距离d＝＝＝.
5.选C 如图，取A1C1的中点G，连接FG，以F为坐标原点，FB，FC，FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则F(0，0,0)，A1(0，－1,6)，E(，0,3)，C1(0,1，6)，
所以＝(0，－1，6)，＝(，0,3)，＝(0,1,6)，设平面A1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，所以令z＝1，解得x＝－，y＝6，所以平面A1EF的一个法向量为n＝(－，6,1)，所以点C1到平面A1EF的距离d＝＝.
6．解析：设平面ABCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则所以x＝y＝0，所以取n＝(0,0，1)，所以此四棱锥的高h＝＝＝5.
答案：5
7．解析：因为＝(1，－1，m－1)，＝(－1，－1,1)，所以点C到直线AB的距离d＝＝≥，解得1－≤m≤1＋.
答案：1(答案不唯一，只要1－≤m≤1＋即可)
8．解析：因为B1D1∥BD，B1D1 平面BDC1，BD 平面BDC1，所以B1D1∥平面BDC1，同理AD1∥平面BDC1，又B1D1∩AD1＝D1，所以平面AB1D1∥平面BDC1，则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离．如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，B1(a，a，a)，D1(0，0，a)，则＝(0，a，a)，＝(－a，－a,0)，＝(0，－a，0)．设平面AB1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
即令x＝1，则y＝－1，z＝1，则n＝(1，－1,1)，则点B到平面AB1D1的距离d＝＝＝a，所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为a.
答案：a
9．解：因为E和F分别是棱DD′和BB′的中点，
则E(0,2,1)，F(1,0,1)．又＝(－1,0,1)，
＝(1,0，－1)，且直线CE与A′F无公共点，
所以CE∥A′F.因此点F到直线CE的距离即为平行线CE与A′F之间的距离．
又因为＝(－1,0,1)，＝(0,2，－1)，
所以在上的投影数量为＝＝＝.
所以点F到直线CE的距离d＝＝＝.
因此CE与A′F之间的距离为.
10．解：取AB的中点O，连接OE.
因为△AEB是等腰直角三角形，所以OE⊥AB，OE＝OA＝1.由已知得，平面ABCD⊥平面AEB，平面ABCD∩平面AEB＝AB，
所以OE⊥平面ABCD.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(其中z轴平行于BC)，则C(0,1,2)，
A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，
所以＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，
＝(0,2,2)．设平面ACE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝＝＝.
11.选D 如图，以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接AM，则A(0,0,0)，M(0，2,1)，N(1,1,0)，P(1,0,2)，所以＝(－1,2，－1)，＝(0,1，－2)，＝(0,2,1)，设平面MNP的一个法向量为u＝(x，y，z)，则
令y＝2，则x＝3，z＝1，所以平面MNP的一个法向量u＝(3,2,1)，所以点A到平面MNP的距离为＝＝.
12.选C 以A为原点，AB，AC，AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(6,0,0)，C(0,6,0)，D(0，0,6)，E(3,0,0)，F(0,0,4)，得O(2，2,2)，＝(－3,0,4)，取a＝＝(－1,2,2)，u＝＝(－3,0，4)＝，则a2＝9，a·u＝，所以点O到直线EF的距离为 ＝.
13．解析：连接AC，BD相交于点O，O点为底面ABCD的中心，取BC中点为E，连接EO，EP，则EP⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，则EP⊥平面ABCD，以点E为原点，分别以，，为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，且底面ABCD的边长为2，△PBC是等边三角形，则D(2,1,0)，M(1，－1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，则N，O(1,0,0)，则＝，＝，＝(1,1,0)．设平面DMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
解得令z＝7，则y＝－，x＝2，所以n＝(2，－，7)，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O到平面DMN的距离，则d＝＝＝.
答案：
14．解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，
所以AD∥BC.因为AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC.
因为AD 平面ADE，平面ADE∩平面PBC＝EF，所以EF∥AD.
因为EF 平面PAD，AD 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
(2)在AB上取中点O，连接PO，OC，因为△PAB是等腰直角三角形，所以PO⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO 平面PAB，
所以PO⊥平面ABCD.又OC 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PO⊥OC，PO⊥AB，
又底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝60°，所以OC⊥AB.
故以O为原点，以OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，C(0，，0)，D(－2，，0)，P(0，0,1)，
＝(1，，0)，
＝(－1，，0)，
＝(1,0,1)，＝(0，－，1)，
设＝λ＝(1，－λ，λ)(0<λ<1)，
则＝＋＝(1，－λ，λ)．
设m＝(x，y，z)是平面PAD的一个法向量，
则即
令y＝，得m＝(3，，－3)，由点E到平面PAD的距离为得＝，所以＝，解得λ＝或λ＝(舍去)，
故点E为CP中点，所以E，所以＝，又＝(－1，，0)．
设n＝(a，b，c)是平面ADE的一个法向量，
则即
令b＝可得n＝(3，，－9)．
又⊥平面ABCD，故＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量，
得cos〈，n〉＝＝＝－，
所以平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为.
