2.2 简单的轴对称图形 第1课时 线段的垂直平分线及其性质 导学案 （含答案） 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册

2 简单的轴对称图形
第1课时　线段的垂直平分线及其性质
[学习目标]
1.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
2.能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.
[复习回顾]
1、什么样的图形叫做轴对称图形？
答：把一个图形沿着某条直线对折，如果对折的两部分是完全重合的，我们就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
2、下列图形哪些是轴对称图形？
[新知探究]
［任务一：探究轴对称图形及相关概念］
活动1：如图，画一条线段 AB，然后对折 AB，使 A，B 两点重合， 设折痕与 AB 的交点为 O．你发现了什么？
发现：线段是 图形，____________的直线是它的一条对称轴，另一条对称轴是线段所在的直线.
总结：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的 线（简称 ）．
活动2:如图 ，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是l上的任意一点。在线段AB上画出以有线l为对称轴的一组对应点D和，连接CD和C.
（1）你认为线段CD和C之间有什么关系？说说你的理由。
（2）改变点D的位置，按照操作，你认为线段CD和C之间有什么关系系？
（3）特别地，当点D时点A重合时，点位于什么位置？此时，线段CD
和C之间还有（1）中的关系吗？由此你能得到一个什么结论？
问题1：通过上面的探究，你发现了什么？
归纳总结：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ．
数学符号语言：
∵l是线段AB的垂直平分线，且C为l上任意一点，∴____=____.
问题2：你能用你学过的知识解释它吗？
例1 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上的一点.已知线段MA=12cm，则线段MB的长为_____cm.
[即时测评]
1．如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____.
2．如图，在△ABC，PM，QN分别垂直平分AB，AC，则: (1)若BC=10，则△APQ的周长=_____; (2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______.
[任务二 探究线段垂直平分线尺规作图]
活动3：如图，知线段AB，如何作出它的重直平分线？假设线段AB的垂直平分线已作出，那么
（1）这条直线有什么特征？
（2）如何确定这条直线上的两个点？用三角板、最角器、圆规等工具试一试，如果只用尺规呢？与同伴进行必流。
例2.利用尺规，作线段AB的垂直平分线(如图).
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
思考：（1）为什么要以大于线段AB一半的长为半径画弧？
（2）现在你会用尺规作图，找出线段的中点了吗？
（3）例2中，连接 AC、BC、AD、BD后你发现了什么？
（4）改变条件，使AC=BC,AD=BD,但AC≠AD，你能画出符合题意的图形吗？
[即时测评]
1．如图所示的尺规作图是作（ ）
A．线段的垂直平分线 B．一个半径为定值的圆
C．一条直线的平行线 D．一个角等于已知角
2.如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
[任务三 探究过直线上一点作已知直线的垂线]
活动4：如图2-15、已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作1的垂线，使它经过点P？你能说明这样作图的道理吗？
[即时测评]
1．已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的　　旁；
（2）以点C为　　，CK长为　　作弧，交AB于点D和E；
（3）分别以点D和点E为圆心，　　于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；
（4）作直线CF．直线CF就是所求作的垂线．
[当堂达标]
1．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，若BC＝10，AC＝6，则△ACD的周长为（　　）
A．16 B．14 C．20 D．18
2如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝10，△ABD的周长是40，则△ABC的周长是 .
3．如图，AB垂直平分CD．若AC＝2cm，四边形ACBD的周长为10 cm，则BD＝　 　cm．
4．如图所示，l是AB的中垂线，M是l上一点，D，E是AB上不同的两点，则AM＝BM吗？MD＝ME吗？
5．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．
答案：
[复习回顾]
1.答：把一个图形沿着某条直线对折，如果对折的两部分是完全重合的，我们就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
2.第（1）（3）（4）（6）
［任务一：探究轴对称图形及相关概念］
活动1：轴对称 垂直平分线段 垂直平分线 中垂线
活动2:
问题1：相等 AC=BC
问题2：解：因为l⊥AB，
所以∠AMC =∠BMC．
又 AM =CM，PC =PC，
所以 △AMC ≌△BMC（SAS）．
所以 CA =CB．
例1 12
[即时测评]
1.4cm 6cm
2.10cm 20°
[任务二 探究线段垂直平分线尺规作图]
活动3：（1）垂直线段且平分线段；
（2）略
例2
作法：
1.分别以点A和B为圆心，以大于 AB的
长为半径作弧，两弧相交于点C和D.
2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线(如右图).
思考：（1）若小于线段AB一半的长为半径画弧，则两弧没有交点；
（2）通过作线段的垂直平分线找出线段的中点；
（3）例2中，连接 AC、BC、AD、BD后你发现AC=BC=AD=BD；
（4）答案不唯一：如图：
[即时测评]
1.A
2.解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，
交AB于E.
因为EO是线段AB的垂直平分线，
所以点O到A，B的距离相等，
所以这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．
[任务三 探究过直线上一点作已知直线的垂线]
活动4：作法：（1）以点P为圆心，以适当长为半径画弧，交直线l与点A、B；
（2）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
（3）作直线CD.
直线CD就是直线l的垂线.
[即时测评]
1．两，圆心，半径，大．
[当堂达标]
1.A
2.60
3.3
4．解：AM＝BM，DM不一定等于ME，
理由：如图，∵l是AB的中垂线，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
AO＝BO，
在△AOM与△BOM中，，
∴AM＝BM，
∵OD不一定等于OE，
∴△ODM与△OEM不一定全等，
∴DM不一定等于ME．
5．解：如图所示AQ+PQ+BP为所求．