2.2 简单的轴对称图形 第3课时 等腰三角形的性质 导学案（含答案） 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册

2 简单的轴对称图形
第3课时　等腰三角形的性质
[学习目标]
1.探索并了解等腰三角形的性质;
2.知道等边三角形是特殊的等腰三角形,并掌握其性质.
3.在探索轴对称性质的过程中,能够进行有条理地思考并进行简单地推理.
[复习回顾]
观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形,能找出对称轴吗？
[新知探究]
[任务一 探究等腰三角形的性质]
活动1：回顾等腰三角形中,有这样几个重要的概念:
(1)相等的两条边都叫 ；另一边叫 ；
(2)两腰的夹角∠A叫 ；
(3)腰与底边夹角∠B，∠C叫 .
活动2：同学们各自画一个等腰三角形,并动手将各自手中的三角形标上A,B,C.
将等腰三角形ABC纸板沿直线对折,我们将对折的痕迹标上AD.
问题1：结合我们之前学习的轴对称图形的意义,等腰三角形是轴对称图形吗 如果是，你能发现哪些相等的线段和相等的角？
问题2：等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线？你是如何描述的？
问题3：顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗 为什么？
问题4：底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗 底边上的高所在的直线呢
问题5：你认为等腰三角形有哪些特征？与同伴进行交流.
总结归纳:
1.等腰三角形是轴对称图形
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3.等腰三角形的两个底角相等。
例1 已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度。
[即时测评]
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠BAE的度数为（　　）
A．50° B．40° C．60° D．80°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，AD是BC边上的中线，E是AC边上一点．若DE＝DC，则∠ADE的度数为 　 　．
3．如图，△ABC中，∠A＝36°，D在边AC上，AD＝BD＝BC，求∠DBC的度数．
[任务二 探究等边三角形的性质]
活动3：在等腰三角形中,还有一类更特殊的三角形，底边和腰相等的三角形--等边三角形.
问题1：由于等边三角形是特殊的等腰三角形,那么等边三角形肯定也是轴对称图形,那它的对称轴有几条呢 为什么？
问题2：等腰三角形所具有的三线合一的性质,等边三角形也具有这个性质吗？
问题3：等腰三角形具有“等边对等角”性质，等边三角形中具有这样的性质吗？它的三个角有什么特征？
归纳总结：
1.等边三角形是 图形，它有 对称轴.
2.等边三角形的 、底边上的 、底边上的 重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3.等边三角形的三个内角相等，都等于 。
例2已知,如图,P,Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.
[即时测评]
1．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE交于点F，则∠AFE的度数是（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
2．如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，若BC＝10，则CD的长为 　 　．
3．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM交于点Q．
（1）求证：△BAN≌△ACM；
（2）求∠BQM的大小．
[当堂达标]
1.如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它的周长是（　　）
A．17cm B．22cm C．17或22cm D．无法确定
2.下列说法错误的是（　　）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍
3.已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，P是AD上任意一点．求证：∠ABP=∠ACP。
4.如图所示的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，整架身，使点A恰好在重锤线上，试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？
5.如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．试说明：
（1）CE＝AC+DC；
（2）∠ECD＝60°．
答案：
[任务一 探究等腰三角形的性质]
活动1：（1）腰 底边 （2）顶角 （3）底角
活动2：问题1：等腰三角形是轴对称图形,相等的线段：AB=AC、BD=CD；相等的角：∠B=∠C，∠BAD=∠CAD.
问题2：对折的折痕是它的对称轴，即线段BC的垂直平分线是对称轴.
问题3：我们沿着角平分线对折,等腰三角形能够完全重合,这说明,顶角平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴.
问题4：底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.底边上的高所在的直线是等腰三角形的对称轴.
问题5：你认为等腰三角形有哪些特征？与同伴进行交流.
1.等腰三角形是轴对称图形
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3.等腰三角形的两个底角相等。
例1 解：设这个等腰三角形顶角的应数为x，则底角的度数为2x。
根据“三角形三个内角的和等于180°”，得
X+2x+2x=180°
解得x=36°，
2x=72°，
所以。这个三角形的三个内角分别是36°，72°、72°.
[即时测评]
1．C
2．50°
3．解：∵BD＝AD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝72°，
∴∠DBC＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
[任务二 探究等边三角形的性质]
活动3：问题1：由于等边三角形的三边都是相等的,因此,无论从哪个角进行对折,都是重合的,因此,等边三角形有三条对称轴.
问题2：等边三角形页具有“三线合一”的性质.
问题3：它的三个角都是相等的,都为60°
归纳总结：
1.轴对称 三条
2. 顶角平分线 中线 高
3. 60°
例2解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．
又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ＝30°．
∴∠BAC＝120°．
故∠BAC的度数是120°．
[即时测评]
1．A
2．5
3．解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠BCA＝60°，
∵BM＝CN，
∴CM＝AN，
又∵∠BAN＝∠ACM，
∴△BAN≌△ACM；
（2）∴∠CAM＝∠ABN，
∴∠BQM＝∠ABN+∠BAQ＝∠CAM+∠BAQ＝∠BAC＝60°．
[当堂达标]
1.B
2.A
3.证明：∵△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴AD是角平分线，
∴∠BAP=∠CAP，
在△ABP与△ACP中，
∴△ABP≌△ACP（SAS），
∴∠ABP=∠ACP。
4.解：这时BC处于水平位置．
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC（三线合一）．
∵重锤线与地平线垂直，
∴BC处于水平位置。
5.解：（1）∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC，
∵BD＝BC+CD＝AC+CD，
∴CE＝BD＝AC+CD；
（2）由（1）知：△BAD≌△CAE，
∴∠ACE＝∠ABD＝60°，
∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°，
∴∠ECD＝60°．