2.2 第4课时 等腰三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质 导学案（含答案） 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册

2 简单的轴对称图形
第4课时　等腰三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质
[学习目标]
1.掌握等腰三角形和等边三角形的性质及判定方法。
2.认识和探索含30°角的直角三角形的性质。
3.会综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算和推理。
[新知探究]
[任务一 探究等腰三角形的判定]
活动1：把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果------那么-----”形式。
学生：如果___________,那么___________。
问题1：如图，在ΔABC中，如果∠B=∠C，AD是BC边上的高，那么△ABD与△ACD全等吗？边AB与AC相等吗？说明理由.
问题2：通过以上证明，你得到什么结论？
总结归纳：等腰三角形的判定：
例1 如图,已知AD∥BC,BD是∠ABC的平分线,那么△ABD是等腰三角形吗 为什么
[即时测评]
1．在△ABC中，已知，∠B＝∠C，则（　　）
A．AB＝BC B．AB＝AC C．BC＝AC D．∠A＝60°
2．如图，若∠B＝72°，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中共有 　 　个等腰三角形．
3．如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E．求证：△CEB是等腰三角形．
[任务二 探究等边三角形的判定]
活动2：如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是什么三角形？为什么？
总结：三个角都相等的三角形是等边三角形.
几何语言表示：∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形.
活动3：如果一个等腰三角形有一个角是60°，那么这个三角形是什么三角形？为什么？
问题：你能总结一下等边三角形的判定有几种方法吗？
总结：等边三角形的判定:
（1）若 ，则 .
（2）若 ，则 .
（3）若 ，则 .
例2如图∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E，∠BCE＝60°．试说明：△BCE是等边三角形．
[即时测评]
1．下列条件中，能说明△ABC为等边三角形的是（　　）
A．∠A＝60° B．∠B＝60°，AB＝AC
C．∠B+∠C＝120° D．AB＝AC
2．若△ABC，∠B＝∠C，请添加一个条件使△ABC是等边三角形，则添加的条件可以是 　 　．（写出一个即可）
3．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F，延长FD、CA交于点E．若∠E＝30°，AD＝AE．求证：△ABC为等边三角形．
[任务三 探究30°角直角三角形的性质]
活动4：如图，将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起，所拼成的△ABD是什么三角形？
问题1：你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
问题2：在小组内交流，说出理由.你能得到什么结论？
结论： 含30°角的直角三角形的性质：
几何语言：∵ ，
∴
例3 如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC＝3，则DC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
[即时测评]
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是高，若BC＝8，则AD的长为（　　）
A．16 B．12 C．10 D．8
2．若等腰三角形的顶角为150°，腰长为10，则这个等腰三角形的面积为　 　．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，若AB＝8，求BD的长．
[当堂达标]
1．下列对△ABC的判断，错误的是（　　）
A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形
B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC是直角三角形
C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形
D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°
2．如图，下列哪个条件能推出△ABC是等边三角形的是（　　）
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC，BD＝CD
C．AD⊥BC，BD＝CD，∠BAD＝30°
D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD
3.如图，等边△ABC中，D是AC的中点，DE⊥BC于E，AB＝4．则EC的长 ．
4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为 　 　．
5．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F．求证：△AEF是等腰三角形．
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°。点D为AB边上的一点，过点D作DE∥AC，交BC于点E。则△DBE是等边三角形吗？为什么？
答案：
[任务一 探究等腰三角形的判定]
活动1：一个三角形是等腰三角形 它的两个底角相等
问题1：△ABD≌△ACD，AB=AC.
解：因为AD是BC边上的高，
所以AD⊥BC，
所以∠ADB=∠ADC，
因为∠B=∠C，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD（AAS），
所以AB=AC（全等三角形对应边相等） .
问题2：如果一个三角形有两个底角相等，那么它们所对的边也相等。
例1 解：△ABD是等腰三角形，
理由是：
∵BD是∠ABC的平分线
∴∠ABD＝∠DBC
又∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBC（两直线平等，内错角相等）
∴∠ADB＝∠ABD
∴△ABD是等腰三角形．
[即时测评]
1．B
2．3
3．证明：∵CE∥DA，
∴∠A＝∠CEB．
又∵∠A＝∠B，
∴∠CEB＝∠B．
∴CE＝CB．
∴△CEB是等腰三角形．
[任务二 探究等边三角形的判定]
活动2：
解： ∵∠A=∠B,
∴BC=AC.
∵∠B=∠C,
∴AC=AB.
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形.
活动3：
解：（1）顶角是60°.
∵AB=AC,
∴∠C=∠B.
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
∵∠A=60°,
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∴△ABC是等边三角形
（2）底角是60°.
解：∵AB=AC,
∴∠C=∠B=60°
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=60°，
∴∠A=∠B=∠C=60°
∴△ABC是等边三角形
问题：你能总结一下等边三角形的判定有几种方法吗？
总结：等边三角形的判定:
（1）若 三条边相等 ，则 三角形是等边三角形 .
（2）若 三个内角都相等的三角形 ，则 三角形是等边三角形 .
（3）若 有一个角是60°的等腰三角形 ，则 三角形是等边三角形 .
例2 解：∵CE∥DA，
∴∠A＝∠CEB，
∵∠A＝∠B，
∴∠CEB＝∠B，
∴CB＝CE；
又∵∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形．
[即时测评]
1．B
2．∠A＝∠B（答案不唯一）．
3．证明：∵AD＝AE，
∴∠E＝∠ADE＝30°，
∴∠CAB＝∠E+∠ADE＝30°+30°＝60°，
∵DF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠E＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠CAB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠C＝∠B＝∠CAB，
∴△ABC为等边三角形．
[任务三 探究30°角直角三角形的性质]
活动4： △ABD是等边三角形.
问题1：BC=AB或AB=2BC.
问题2：根据题意∠B＝∠D=90°-30°=60°，
所以△ABD是等边三角形，
所以AB=BD=AD，
因为BC=CD，
所以BC=AB或AB=2BC.
结论： 在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2.几何语言：∵ Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ BC=AB或AB=2BC
例3 C
[即时测评]
1．B
2．25
3．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8
∴，∠B＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∴．
[当堂达标]
1.D
2．C
3．等边三角形．
4．3
5．证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°，
∴∠E＝∠BFP，
又∵∠BFP＝∠AFE，
∴∠E＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴△AEF是等腰三角形．
6.证明：∵AB=AC,∠B=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°
又∵DE∥AC
∴∠BDE=∠A=60°，∠BED=∠C=60°
∴ ∠A=∠B=∠C= 60°
∴△ABC是等边三角形