3.3 第2课时 勾股定理的实际应用（二） 导学案 （含答案） 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册
文档属性
| 名称 | 3.3 第2课时 勾股定理的实际应用（二） 导学案 （含答案） 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 436.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-19 13:41:08 | ||
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文档简介
3 勾股定理的应用举例
第2课时 勾股定理的实际应用（二）
[学习目标]
1.能运用勾股定理解决古代数学问题.
2.能运用勾股定理及其逆定理解决生活中与梯子、折叠有关的实际问题.体会方程思想的运用.
[新知探究]
[任务一 探究古代数学问题]
例1今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.（选自《九章算术》）
题目大意：有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇沿垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少
[即时测评]
1.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．
[任务二 探究利用“勾股定理模型”解实际问题]
例2如图,某单向隧道的截面是一个半径为4.2 m的半圆形,一辆高3.6 m、宽3 m的卡车能通过该隧道吗
问题1：请你能根据你对这个题的理解，画出卡车从隧道正中间通过时的示意图.
学生：通过交流、合作画出如图所示的示意图.
问题2：根据题意 你所画出的示意图中，各线段的长度分别是多少？
学生：由题意可知：车宽AB=3m,车高BC=4.2m.
问题3：需要求什么？如何判断卡车能不能通过该隧道.
学生：需要计算OC的长度，若OC的长度小于半径，卡车能通过，否则，卡车不能通过.
问题4：那如何计算OC的长度？
学生：可以利用勾股定理：= + ,计算.
[即时测评]
1．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
2．如图所示，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．如果保持梯子底端不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，那么小巷的宽度为（ ）
A．0.7m B．1.5m C．2.2m D．2.4m
3．如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是 m．
4．春秋季节筑城广场放风筝已经成为贵阳市的一道亮丽风景线．某校八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风等线BC的长为13米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想让风筝沿CD方向下降2米，则他应该往回收线多少米？
[当堂达标]
1．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（ ）
A．1m B．2m C．3m D．4m
2．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是 ．
4.《增删算法统宗》中记载：今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？其大意为：今有一房门（记为矩形ABCD，如图），不知宽与高，长竿横着进门（如BE所示），门的宽比竿短4尺；将竿竖着进门（如BF所示），竿比门的高长2尺；将竿斜着穿过门的对角（如AC所示），恰好进门．则竿长 尺．
5．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到25m（即AA'＝BB'＝25m），消防车高4m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19m（即A′M＝19m）高的A'处救人后，还要从24m（即B′M＝24m）高的B'处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米？
6．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．
答案:
任务一 探究古代数学问题
例1解：设水池的水深OA为x尺，则这根芦苇长OB为（x+1）尺，由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺，在Rt△OAC中，
由勾股定理得:
+ = ，
∴25+ = +2 x+1，
∴2 x=24，
∴ x=12， x+1=13
因此水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。
即时测评
1.解：设OA＝OB＝x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，
整理得：8x＝116，即2x＝29，
解得：x＝14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
任务二 探究利用“勾股定理模型”解实际问题
例2解：隧道的横截面如图所示，AB的中点O是隧道的截面半圆的圆心。
OB=1.5m，BC=3.6m，∠ABC为直角，
在Rt△OBC中，由勾股定理，得= + ,
即：= + =15.21，
隧道的截面半径r=4.2m，>16>15.21，
所以卡车可以沿着隧道中间顺利通过。
即时测评
1．A
2．C
3．8
4．解：（1）由题意可知，∠CDB＝90°，BD＝5米，BC＝13米，AB＝DE＝1.5米，
在Rt△CDB中，由勾股定理得：CD12（米），
∴CE＝CD+DE＝12+1.5＝13.5（米），
答：风筝的垂直高度CE为13.5米；
（2）如图，CM＝2米，连接BM，
∴DM＝CD﹣CM＝12﹣2＝10（米），
在Rt△MDB中，由勾股定理得：BM5（米），
∴BC﹣BM＝（13﹣5）（米），
∴他应该往回收线（13﹣5）米．
[当堂达标]
1．B
2．C
3．10km
4．．
5．解：由题意可知，DM＝4m，AA'＝BB'＝25m，A'M＝19m，B′M＝24m，AD⊥B′M，点A、B、D三点共线，
∴A'D＝A'M﹣DM＝19﹣4＝15（m），B′D＝B′M﹣DM＝24﹣4＝20（m），
在Rt△AA'D中，由勾股定理得：AD20（m），
在Rt△BB'D中，由勾股定理得：BD15（m），
∴AB＝AD﹣BD＝20﹣15＝5（m）．
答：这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为5m．
6．解：设BB′与矩形的宽的交点为C，
∵AB＝1米，AC＝0.8米，∠ACB＝90°，
∴BC0.6米，
∵BB′＝BC+CB′＝2.3+0.6＝2.9＜3.0，
∴不能通过．
第2课时 勾股定理的实际应用（二）
[学习目标]
1.能运用勾股定理解决古代数学问题.
2.能运用勾股定理及其逆定理解决生活中与梯子、折叠有关的实际问题.体会方程思想的运用.
[新知探究]
[任务一 探究古代数学问题]
例1今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.（选自《九章算术》）
题目大意：有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇沿垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少
[即时测评]
1.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．
[任务二 探究利用“勾股定理模型”解实际问题]
例2如图,某单向隧道的截面是一个半径为4.2 m的半圆形,一辆高3.6 m、宽3 m的卡车能通过该隧道吗
问题1：请你能根据你对这个题的理解，画出卡车从隧道正中间通过时的示意图.
学生：通过交流、合作画出如图所示的示意图.
问题2：根据题意 你所画出的示意图中，各线段的长度分别是多少？
学生：由题意可知：车宽AB=3m,车高BC=4.2m.
问题3：需要求什么？如何判断卡车能不能通过该隧道.
学生：需要计算OC的长度，若OC的长度小于半径，卡车能通过，否则，卡车不能通过.
问题4：那如何计算OC的长度？
学生：可以利用勾股定理：= + ,计算.
[即时测评]
1．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于（ ）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
2．如图所示，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．如果保持梯子底端不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，那么小巷的宽度为（ ）
A．0.7m B．1.5m C．2.2m D．2.4m
3．如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是 m．
4．春秋季节筑城广场放风筝已经成为贵阳市的一道亮丽风景线．某校八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风等线BC的长为13米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想让风筝沿CD方向下降2米，则他应该往回收线多少米？
[当堂达标]
1．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（ ）
A．1m B．2m C．3m D．4m
2．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是 ．
4.《增删算法统宗》中记载：今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？其大意为：今有一房门（记为矩形ABCD，如图），不知宽与高，长竿横着进门（如BE所示），门的宽比竿短4尺；将竿竖着进门（如BF所示），竿比门的高长2尺；将竿斜着穿过门的对角（如AC所示），恰好进门．则竿长 尺．
5．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到25m（即AA'＝BB'＝25m），消防车高4m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19m（即A′M＝19m）高的A'处救人后，还要从24m（即B′M＝24m）高的B'处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米？
6．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．
答案:
任务一 探究古代数学问题
例1解：设水池的水深OA为x尺，则这根芦苇长OB为（x+1）尺，由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺，在Rt△OAC中，
由勾股定理得:
+ = ，
∴25+ = +2 x+1，
∴2 x=24，
∴ x=12， x+1=13
因此水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。
即时测评
1.解：设OA＝OB＝x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，
整理得：8x＝116，即2x＝29，
解得：x＝14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
任务二 探究利用“勾股定理模型”解实际问题
例2解：隧道的横截面如图所示，AB的中点O是隧道的截面半圆的圆心。
OB=1.5m，BC=3.6m，∠ABC为直角，
在Rt△OBC中，由勾股定理，得= + ,
即：= + =15.21，
隧道的截面半径r=4.2m，>16>15.21，
所以卡车可以沿着隧道中间顺利通过。
即时测评
1．A
2．C
3．8
4．解：（1）由题意可知，∠CDB＝90°，BD＝5米，BC＝13米，AB＝DE＝1.5米，
在Rt△CDB中，由勾股定理得：CD12（米），
∴CE＝CD+DE＝12+1.5＝13.5（米），
答：风筝的垂直高度CE为13.5米；
（2）如图，CM＝2米，连接BM，
∴DM＝CD﹣CM＝12﹣2＝10（米），
在Rt△MDB中，由勾股定理得：BM5（米），
∴BC﹣BM＝（13﹣5）（米），
∴他应该往回收线（13﹣5）米．
[当堂达标]
1．B
2．C
3．10km
4．．
5．解：由题意可知，DM＝4m，AA'＝BB'＝25m，A'M＝19m，B′M＝24m，AD⊥B′M，点A、B、D三点共线，
∴A'D＝A'M﹣DM＝19﹣4＝15（m），B′D＝B′M﹣DM＝24﹣4＝20（m），
在Rt△AA'D中，由勾股定理得：AD20（m），
在Rt△BB'D中，由勾股定理得：BD15（m），
∴AB＝AD﹣BD＝20﹣15＝5（m）．
答：这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为5m．
6．解：设BB′与矩形的宽的交点为C，
∵AB＝1米，AC＝0.8米，∠ACB＝90°，
∴BC0.6米，
∵BB′＝BC+CB′＝2.3+0.6＝2.9＜3.0，
∴不能通过．