4.2 第2课时 平方根 导学案（含答案） 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册
文档属性
| 名称 | 4.2 第2课时 平方根 导学案（含答案） 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 77.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-19 13:41:48 | ||
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文档简介
2 平方根与立方根
第2课时 平方根
[学习目标]
1．了解算术平方根和平方根、 开平方的概念．
2．明确算术平方根与平方根的区别和联系.
3. 进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.
[新知探究]
[任务一 探究平方根定义]
活动1
问题1：9的算术平方根是3，也就是说3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？这个数是
问题2：平方等于的数有 个是 ？
问题3：平方等于0.64的数有 个是
总结：一般地,如果一个数x的平方等于a,即,那么这个数叫作a的平方根，也叫作二次方根.
例1下列语句写成数学式子正确的是( )
A. 9是81的算术平方根：±＝9
B. 5是的算术平方根： ＝5
C. ±6是36的平方根：＝±6
D. －2是4的负的平方根：＝－2
[即时测评]
1．（﹣2）2的平方根是（ ）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
2．9的平方根是±3，用数学符号表示，正确的是（ ）
A． B．± C． D．±±3
3． 4的平方根是 ；4的算术平方根是 ．
4．求下列各数的平方根：
（1）64
（2）（﹣）2．
[任务二 探究平方根的性质及开平方]
活动2：请大家思考下面的问题：
问题1：平方根与算术平方根有哪些相同和不同之处？
区别 平方根 算术平方根
定义
表示法
个数不同
问题2：一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？
追问:我们如何表示一个正数a的平方根？怎样读平方根？
教师：我们把求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数.
归纳总结：平方根的性质
一个正数有 平方根；0只有一个平方根，是0本身；负数 平方根.
例2求下列各数的平方根:
(1)64;(2);(3)0.000 4;(4)(-25)2;(5)11.
例3 求下列各式的值：
(1) ；(2)﹣；(3).
[即时测评]
1.下列说法：①（﹣5）2的平方根是±5；②﹣a2一定没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负．其中，不正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如果实数m没有平方根，那么m可以是（ ）
A．﹣32 B．|﹣3| C．（﹣3）2 D．﹣（﹣3）
3．若3，求2x+5的平方根 ．
4．已知一个正数的平方根是2x和x﹣6，这个数是 ．
5．若一个正数a的两个平方根分别是3b﹣5和﹣2b+2．
（1）求a和b的值；
（2）求a+3b的平方根．
6．求下列各式中的x：
（1）3x2＝6；
（2）4（x﹣1）2＝9．
[当堂达标]
1. 下列说法中, 不正确的是( )
A. －11是121的一个平方根
B. 11是121的一个平方根
C. 121的平方根是11
D. 121的算术平方根是11
2．下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．﹣9的平方根是﹣3
C．（﹣2）2没有平方根 D．2是4的一个平方根
3．下列有关平方根的叙述，正确的个数是 。
①如果a存在平方根，那么a＞0；
②如果a有两个不相等的平方根，那么a＞0；
③如果a没有平方根，那么a＜0；
④如果a＞0，那么a的平方根也大于0．
4．如果a，b分别是2025的两个平方根，那么 ．
5．已知2x﹣1的平方根为±3，3x+y﹣1的平方根为±4，求x+2y的平方根．
6.求下列各式的值：
(1)± ；(2)；(3) ；
(4) － ；(5) .
7．计算：
= ，= ，= ，= ，= .
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．
（2）利用你总结的规律，计算：．
答案:
[任务一 探究平方根定义]
活动1
问题1：-3
问题2：2 ±
问题3：2 ±0.8
例1B
[即时测评
]1.C
2．D
3.±2；2．
4.解：（1）±=±8；
（2）±=±=±．
[任务二 探究平方根的性质及开平方]
活动2： 问题1：
区别 平方根 算术平方根
定义 如果一个数x的平方等于a,即，那么这个数叫作a的平方根，也叫作二次方根. 若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则这个正数x就叫作a的算术平方根.
表示法 ±
个数不同 （1）一个正数有两个平方根； （2）0的平方根只有一个； （2）负数没有平方根. （1）正数和0都有一个算术平方根； （2）负数没有算术平方根
问题2：正数a有两个平方根：“”（a的算术平方根）和“ ”.它们互为相反数，合起来可以记作“±”，读作“正、负根号a”.
教师：我们把求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数.
归纳总结：两个 没有
例2解：（1）因为=64，所以64的平方根是，即=8；
（2）因为=，所以的平方根是，即=；
（3）因为=0.0004，所以0.0004的平方根是，即=0.02；
（4）因为=，所以的平方根是，即=25；
（5）11的平方根是.
例3 解：（1）==15；
（2）﹣=﹣=﹣；
（3）=8.
[即时测评]
1.C
2.A
3．±．
4.16
5．解：（1）由题可知，
∴3b﹣5+（﹣2b+2）＝0，
∴b＝3，
∴a＝（3b﹣5）2＝42＝16；
（2）∵a＝16，b＝3，
∴a+3b＝16+3×3＝16+9＝25，
∵25的平方根是±5，
∴a+3b的平方根为±5
6．解：（1）原方程整理得：x2＝2，
则x＝±；
（2）原方程整理得：（x﹣1）2，
则x﹣1＝±，
解得：x或x．
[当堂达标]
1.C
2.D
3.②③
4.1
5.解：∵2x﹣1的平方根为±3，3x+y﹣1的平方根为±4，
∴2x﹣1＝9，3x+y﹣1＝16，
解得：x＝5，y＝2，
∴x+2y＝5+4＝9，
∴x+2y的平方根为±3．
7.解：=3，=0.7，=0，=6，=，
（1）=|a|；
（2）原式=|3.14﹣π|=π﹣3.14．
第2课时 平方根
[学习目标]
1．了解算术平方根和平方根、 开平方的概念．
2．明确算术平方根与平方根的区别和联系.
3. 进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.
[新知探究]
[任务一 探究平方根定义]
活动1
问题1：9的算术平方根是3，也就是说3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？这个数是
问题2：平方等于的数有 个是 ？
问题3：平方等于0.64的数有 个是
总结：一般地,如果一个数x的平方等于a,即,那么这个数叫作a的平方根，也叫作二次方根.
例1下列语句写成数学式子正确的是( )
A. 9是81的算术平方根：±＝9
B. 5是的算术平方根： ＝5
C. ±6是36的平方根：＝±6
D. －2是4的负的平方根：＝－2
[即时测评]
1．（﹣2）2的平方根是（ ）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
2．9的平方根是±3，用数学符号表示，正确的是（ ）
A． B．± C． D．±±3
3． 4的平方根是 ；4的算术平方根是 ．
4．求下列各数的平方根：
（1）64
（2）（﹣）2．
[任务二 探究平方根的性质及开平方]
活动2：请大家思考下面的问题：
问题1：平方根与算术平方根有哪些相同和不同之处？
区别 平方根 算术平方根
定义
表示法
个数不同
问题2：一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？
追问:我们如何表示一个正数a的平方根？怎样读平方根？
教师：我们把求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数.
归纳总结：平方根的性质
一个正数有 平方根；0只有一个平方根，是0本身；负数 平方根.
例2求下列各数的平方根:
(1)64;(2);(3)0.000 4;(4)(-25)2;(5)11.
例3 求下列各式的值：
(1) ；(2)﹣；(3).
[即时测评]
1.下列说法：①（﹣5）2的平方根是±5；②﹣a2一定没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负．其中，不正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如果实数m没有平方根，那么m可以是（ ）
A．﹣32 B．|﹣3| C．（﹣3）2 D．﹣（﹣3）
3．若3，求2x+5的平方根 ．
4．已知一个正数的平方根是2x和x﹣6，这个数是 ．
5．若一个正数a的两个平方根分别是3b﹣5和﹣2b+2．
（1）求a和b的值；
（2）求a+3b的平方根．
6．求下列各式中的x：
（1）3x2＝6；
（2）4（x﹣1）2＝9．
[当堂达标]
1. 下列说法中, 不正确的是( )
A. －11是121的一个平方根
B. 11是121的一个平方根
C. 121的平方根是11
D. 121的算术平方根是11
2．下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．﹣9的平方根是﹣3
C．（﹣2）2没有平方根 D．2是4的一个平方根
3．下列有关平方根的叙述，正确的个数是 。
①如果a存在平方根，那么a＞0；
②如果a有两个不相等的平方根，那么a＞0；
③如果a没有平方根，那么a＜0；
④如果a＞0，那么a的平方根也大于0．
4．如果a，b分别是2025的两个平方根，那么 ．
5．已知2x﹣1的平方根为±3，3x+y﹣1的平方根为±4，求x+2y的平方根．
6.求下列各式的值：
(1)± ；(2)；(3) ；
(4) － ；(5) .
7．计算：
= ，= ，= ，= ，= .
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．
（2）利用你总结的规律，计算：．
答案:
[任务一 探究平方根定义]
活动1
问题1：-3
问题2：2 ±
问题3：2 ±0.8
例1B
[即时测评
]1.C
2．D
3.±2；2．
4.解：（1）±=±8；
（2）±=±=±．
[任务二 探究平方根的性质及开平方]
活动2： 问题1：
区别 平方根 算术平方根
定义 如果一个数x的平方等于a,即，那么这个数叫作a的平方根，也叫作二次方根. 若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则这个正数x就叫作a的算术平方根.
表示法 ±
个数不同 （1）一个正数有两个平方根； （2）0的平方根只有一个； （2）负数没有平方根. （1）正数和0都有一个算术平方根； （2）负数没有算术平方根
问题2：正数a有两个平方根：“”（a的算术平方根）和“ ”.它们互为相反数，合起来可以记作“±”，读作“正、负根号a”.
教师：我们把求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数.
归纳总结：两个 没有
例2解：（1）因为=64，所以64的平方根是，即=8；
（2）因为=，所以的平方根是，即=；
（3）因为=0.0004，所以0.0004的平方根是，即=0.02；
（4）因为=，所以的平方根是，即=25；
（5）11的平方根是.
例3 解：（1）==15；
（2）﹣=﹣=﹣；
（3）=8.
[即时测评]
1.C
2.A
3．±．
4.16
5．解：（1）由题可知，
∴3b﹣5+（﹣2b+2）＝0，
∴b＝3，
∴a＝（3b﹣5）2＝42＝16；
（2）∵a＝16，b＝3，
∴a+3b＝16+3×3＝16+9＝25，
∵25的平方根是±5，
∴a+3b的平方根为±5
6．解：（1）原方程整理得：x2＝2，
则x＝±；
（2）原方程整理得：（x﹣1）2，
则x﹣1＝±，
解得：x或x．
[当堂达标]
1.C
2.D
3.②③
4.1
5.解：∵2x﹣1的平方根为±3，3x+y﹣1的平方根为±4，
∴2x﹣1＝9，3x+y﹣1＝16，
解得：x＝5，y＝2，
∴x+2y＝5+4＝9，
∴x+2y的平方根为±3．
7.解：=3，=0.7，=0，=6，=，
（1）=|a|；
（2）原式=|3.14﹣π|=π﹣3.14．