4.2 第3课时 立方根 导学案（含答案） 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册
文档属性
| 名称 | 4.2 第3课时 立方根 导学案（含答案） 2025-2026学年数学鲁教版（五四制）七年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 142.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-19 13:42:04 | ||
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文档简介
2 平方根与立方根
第3课时 立方根
[学习目标]
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；
2.会用立方运算求千以内的完全立方数（及对应的负整数）的立方根。
3.了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质；
[复习回顾]
1、什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a≥0）的平方根
2、正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平
根？0的平方根是什么？
3、平方和开平方运算有何关系？
4、算术平方根和平方根有何区别与联系？
[新知探究]
[任务一 探究立方根的定义]
活动1：阅读课本，回答下列问题：
问题1： 如图.一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成。假如要制作一个休积为216的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少？
问题2：如果一个数的立方等于﹣，这个数是多少？与同伴进行交流。
总结：如果一个数x的立方等于，即，那么这个数叫作的立方根（也叫作三次方根）.
[任务二 探究立方根的性质及开立方]
活动2
问题1：一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有儿个呢
问题2：求8，0，-27的立方根.
问题3：正数有儿个立方根？0有几个立方根？负数呢？
问题4：我们知道求一个数的平方根叫作开平方，那么求一个数的立方根呢？
总结：（1）每个数a都有一个立方根、记作了读作“三次根号a”；
（2）正数的立方根是正数,0的立方根是0，负数的立方根是负数.
（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方.
拓展：平方根与立方根的异同
被开方数 平方根 立方根
正数 两个，是互为相反数 有一个，是正数
零 为零 为零
负数 无 有一个，是负数
例1求下列各数的立方根:
(1)-27;(2);(3)0.216;(4)-5.
[即时测评]
1．8的立方根是（ ）
A． B．±2 C．2 D．4
2．一个正方体木块的体积为125cm3，则它的棱长为 cm．
3．若x+2的立方根是﹣2，则2x+69的平方根是 ．
4．一个正数m的两个平方根分别为2n+3和n﹣6，求m，n的值以及2m+14n的立方根．
[任务三 探究利用()3=a,=a,=-进行化简]
活动3：根据例1，回答下列问题.
问题1：在例1中，一些数的立方根的结果没有“”了，这些数有什么特点？
问题2:在例1中、=-3，也就是=﹣3、一般地，=a成立吗？
问题3:＝a成立吗？与同伴进行交流.
例2求下列各式的值:
; (2); (3)-; (4)()3.
[即时测评]
1．下列各式正确的为（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则x﹣y＝ ．
3．已知与相等，则b的值为 ．
4.求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3）﹣ ；（4） ；（5）
通过以上计算，你发现了什么规律？
[当堂达标]
1．正方体的体积为7，则正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．73
2．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．8
3．已知，则a＝ ，b＝ ．
4．若，则a﹣b的立方根是 ．
5．已知是m+16的立方根，B是n+1的算术平方根，求A﹣B的值．
6.已知一个正数x的两个平方根分别为a+3和2a﹣6，b+3的立方根是﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）求x﹣b的立方根．
7．解方程：
（1）（x﹣2）3﹣3＝5；
（2）2（x+1）3＝128。
答案：
[任务一 探究立方根的定义]
活动1：
问题1：正方体的棱长是6cm
问题2：这个数是﹣。
[任务二 探究立方根的性质及开立方]
活动2
问题1：一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有1个.
问题2：答案：因为=8，所以8的立方根是2；
因为=0，所以0的立方根是0；
因为=﹣27，所以-27的立方根是﹣3。
问题3：答案：正数、0和负数的立方根都是1个。
问题4：我们知道求一个数的平方根叫作开平方，那么求一个数的立方根呢？
总结：（1）每个数a都有一个立方根、记作了读作“三次根号a”；
（2）正数的立方根是正数,0的立方根是0，负数的立方根是负数.
（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方.
拓展：平方根与立方根的异同
被开方数 平方根 立方根
正数 两个，是互为相反数 有一个，是正数
零 为零 为零
负数 无 有一个，是负数
例1解：（1）因为=27，所以27的立方根是3，即=3；
（2）因为=，所以的立方根是，即=；
（3）=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即=0.6；
（4）﹣5的立方根是.
[即时测评]
1．C
2．5
3．±7
4．解：根据题意得2n+3+n﹣6＝0，
解得n＝1，
所以2n+3＝5，
所以m＝52＝25，
所以2m+14n＝2×25+14×1＝64，
因为64的立方根是4，
所以2m+14n的立方根是4．
[任务三 探究利用()3=a,=a,=-进行化简]
活动3：根据例1，回答下列问题.
问题1：答案：这些数的某个数的三次方。
问题2:成立
问题3:成立
例2解：（1）==﹣2； （2）==0.4；
（3）-=-=﹣； （4）()3=9.
[即时测评]
1．D
2．﹣31
3．6
4.解：（1） =0.5 ；
（2） =-4 ；
（3）﹣ =﹣（-3）=3；
（4） =5；
（5）=16
[当堂达标]
1．B
2．B
3．1.285，2.342
4．﹣2
5．解：根据题意得，
解得，
所以A3，B4，
所以A﹣B＝3﹣4＝﹣1．
6.解：（1）因为一个正数x的两个平方根分别为a+3和2a﹣6，
所以a+3+2a﹣6＝0，
所以a＝1；
因为b+3的立方根是﹣2，
所以b+3＝（﹣2）3＝﹣8，
所以b＝﹣11；
（2）由（1）得a+3＝4，
所以x＝（a+3）2＝16，
所以x﹣b＝16﹣（﹣11）＝27，
所以x﹣b的立方根为3．
7．解：（1）2（x+1）3＝128，
所以（x+1）3＝64，
所以x+1＝4，
所以x＝3；
（2）（x﹣2）3﹣3＝5，
所以（x﹣2）3＝8，
所以x﹣2＝2，
所以x＝4．
第3课时 立方根
[学习目标]
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；
2.会用立方运算求千以内的完全立方数（及对应的负整数）的立方根。
3.了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质；
[复习回顾]
1、什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a≥0）的平方根
2、正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平
根？0的平方根是什么？
3、平方和开平方运算有何关系？
4、算术平方根和平方根有何区别与联系？
[新知探究]
[任务一 探究立方根的定义]
活动1：阅读课本，回答下列问题：
问题1： 如图.一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成。假如要制作一个休积为216的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少？
问题2：如果一个数的立方等于﹣，这个数是多少？与同伴进行交流。
总结：如果一个数x的立方等于，即，那么这个数叫作的立方根（也叫作三次方根）.
[任务二 探究立方根的性质及开立方]
活动2
问题1：一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有儿个呢
问题2：求8，0，-27的立方根.
问题3：正数有儿个立方根？0有几个立方根？负数呢？
问题4：我们知道求一个数的平方根叫作开平方，那么求一个数的立方根呢？
总结：（1）每个数a都有一个立方根、记作了读作“三次根号a”；
（2）正数的立方根是正数,0的立方根是0，负数的立方根是负数.
（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方.
拓展：平方根与立方根的异同
被开方数 平方根 立方根
正数 两个，是互为相反数 有一个，是正数
零 为零 为零
负数 无 有一个，是负数
例1求下列各数的立方根:
(1)-27;(2);(3)0.216;(4)-5.
[即时测评]
1．8的立方根是（ ）
A． B．±2 C．2 D．4
2．一个正方体木块的体积为125cm3，则它的棱长为 cm．
3．若x+2的立方根是﹣2，则2x+69的平方根是 ．
4．一个正数m的两个平方根分别为2n+3和n﹣6，求m，n的值以及2m+14n的立方根．
[任务三 探究利用()3=a,=a,=-进行化简]
活动3：根据例1，回答下列问题.
问题1：在例1中，一些数的立方根的结果没有“”了，这些数有什么特点？
问题2:在例1中、=-3，也就是=﹣3、一般地，=a成立吗？
问题3:＝a成立吗？与同伴进行交流.
例2求下列各式的值:
; (2); (3)-; (4)()3.
[即时测评]
1．下列各式正确的为（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则x﹣y＝ ．
3．已知与相等，则b的值为 ．
4.求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3）﹣ ；（4） ；（5）
通过以上计算，你发现了什么规律？
[当堂达标]
1．正方体的体积为7，则正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．73
2．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．8
3．已知，则a＝ ，b＝ ．
4．若，则a﹣b的立方根是 ．
5．已知是m+16的立方根，B是n+1的算术平方根，求A﹣B的值．
6.已知一个正数x的两个平方根分别为a+3和2a﹣6，b+3的立方根是﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）求x﹣b的立方根．
7．解方程：
（1）（x﹣2）3﹣3＝5；
（2）2（x+1）3＝128。
答案：
[任务一 探究立方根的定义]
活动1：
问题1：正方体的棱长是6cm
问题2：这个数是﹣。
[任务二 探究立方根的性质及开立方]
活动2
问题1：一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有1个.
问题2：答案：因为=8，所以8的立方根是2；
因为=0，所以0的立方根是0；
因为=﹣27，所以-27的立方根是﹣3。
问题3：答案：正数、0和负数的立方根都是1个。
问题4：我们知道求一个数的平方根叫作开平方，那么求一个数的立方根呢？
总结：（1）每个数a都有一个立方根、记作了读作“三次根号a”；
（2）正数的立方根是正数,0的立方根是0，负数的立方根是负数.
（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方.
拓展：平方根与立方根的异同
被开方数 平方根 立方根
正数 两个，是互为相反数 有一个，是正数
零 为零 为零
负数 无 有一个，是负数
例1解：（1）因为=27，所以27的立方根是3，即=3；
（2）因为=，所以的立方根是，即=；
（3）=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即=0.6；
（4）﹣5的立方根是.
[即时测评]
1．C
2．5
3．±7
4．解：根据题意得2n+3+n﹣6＝0，
解得n＝1，
所以2n+3＝5，
所以m＝52＝25，
所以2m+14n＝2×25+14×1＝64，
因为64的立方根是4，
所以2m+14n的立方根是4．
[任务三 探究利用()3=a,=a,=-进行化简]
活动3：根据例1，回答下列问题.
问题1：答案：这些数的某个数的三次方。
问题2:成立
问题3:成立
例2解：（1）==﹣2； （2）==0.4；
（3）-=-=﹣； （4）()3=9.
[即时测评]
1．D
2．﹣31
3．6
4.解：（1） =0.5 ；
（2） =-4 ；
（3）﹣ =﹣（-3）=3；
（4） =5；
（5）=16
[当堂达标]
1．B
2．B
3．1.285，2.342
4．﹣2
5．解：根据题意得，
解得，
所以A3，B4，
所以A﹣B＝3﹣4＝﹣1．
6.解：（1）因为一个正数x的两个平方根分别为a+3和2a﹣6，
所以a+3+2a﹣6＝0，
所以a＝1；
因为b+3的立方根是﹣2，
所以b+3＝（﹣2）3＝﹣8，
所以b＝﹣11；
（2）由（1）得a+3＝4，
所以x＝（a+3）2＝16，
所以x﹣b＝16﹣（﹣11）＝27，
所以x﹣b的立方根为3．
7．解：（1）2（x+1）3＝128，
所以（x+1）3＝64，
所以x+1＝4，
所以x＝3；
（2）（x﹣2）3﹣3＝5，
所以（x﹣2）3＝8，
所以x﹣2＝2，
所以x＝4．