第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 曲线与方程
课时目标 1.结合实例，了解曲线与方程的对应关系.2.了解求曲线方程的步骤.3.会求简单曲线的方程．
1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做______________；这条曲线叫做________________．
2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上?____________；②点P不在曲线C上?____________.
3．求曲线方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝__________；
(3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一、选择题
1．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
2．已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是( )
A．直线l B．与l垂直的一条直线
C．与l平行的一条直线 D．与l平行的两条直线
3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )
A．y＝与y2＝x
B．y＝x与＝1
C．y2－x2＝0与|y|＝|x|
D．y＝lg x2与y＝2lg x
4．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC底边AB的中线的方程是( )
A．x＝0 B．x＝0(0≤y≤3)
C．y＝0 D．y＝0(0≤x≤2)
5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4
B．x2＋y2＝4 (x>0)
C．y＝－
D．y＝－ (0
6．如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是( )
A．曲线C的方程是F(x，y)＝0
B．方程F(x，y)＝0的曲线是C
C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．若方程ax2＋by＝4的曲线经过点A(0,2)和B，则a＝________，b＝________.
8．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为
______________________________．
9．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是________________．
三、解答题
10．已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程．
11．动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
能力提升
12．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是( )
A. B.
C. D.
1．曲线C的方程是f(x，y)＝0要具备两个条件：①曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；②以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
2．求曲线的方程时，要将所求点的坐标设成(x，y)，所得方程会随坐标系的不同而不同．
3．方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 曲线与方程
知识梳理
1．(2)曲线的方程 方程的曲线
2．①f(x0，y0)＝0 ②f(x0，y0)≠0
3．(1)(x，y) (2){M|p(M)} (3)坐标
作业设计
1．B [可以利用特殊值法来选出答案，如曲线过点(－1,0)，(－1,2)两点．]
2．C [方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．故选C.]
3．C [考虑x、y的范围．]
4．B [直接法求解，注意△ABC底边AB的中线是线段，而不是直线．]
5．D [注意所求轨迹在第四象限内．]
6．C [直接法：
原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此即说法C.
特值方法：作如图所示的曲线C，考查C与方程F(x，y)＝x2－1＝0的关系，显然A、B、D中的说法都不正确．]
7．16－8 2
8．4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0
解析 设动点坐标为(x，y)，则＝1，
即|4x＋3y－5|＝5.
∴所求轨迹方程为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.
9．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
10．解
以两个定点A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．
由于|AB|＝2a，
则设A(－a,0)，B(a,0)，
动点M(x，y)．
因为|MA|∶|MB|＝2∶1，
所以∶＝2∶1，
即＝2，
化简得2＋y2＝a2.
所以所求动点M的轨迹方程为
2＋y2＝a2.
11．解 设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点，
∴，即，
又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.
∴点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
12．C [曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4 (1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b的距离等于2，解得b＝1＋2或b＝1－2，因为是下半圆故可得b＝1－2，当直线过(0,3)时，解得b＝3，故1－2≤b≤3，所以C正确．]
§2.2 椭圆
2.2.1 椭圆及其标准方程
课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
1．椭圆的概念：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，轨迹是______________，当|PF1|＋|PF2|<|F1F2|时__________轨迹．
2．椭圆的方程：焦点在x轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为____________；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________________．
一、选择题
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
2．椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为( )
A．32 B．16 C．8 D．4
3．椭圆2x2＋3y2＝1的焦点坐标是( )
A. B．(0，±1)
C．(±1,0) D.
4．方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1) B．(－3，－2)
C．(1，＋∞) D．(－3,1)
5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点，则该椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
6．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．直角三角形
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
8．P是椭圆＋＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是______，最小值是______．
9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n千米，远地点距地面m千米，地球半径为R，那么这个椭圆的焦距为________千米．
三、解答题
10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点.
11．已知点A(0，)和圆O1：x2＋(y＋)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．
能力提升
13.
如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．
1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F1F2|时轨迹才是椭圆，如果2a＝|F1F2|，轨迹是线段F1F2，如果2a<|F1F2|，则不存在轨迹．
2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．
3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1 (m，n为不相等的正数)．
§2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆及其标准方程
知识梳理
1．常数 椭圆 焦点 焦距 线段F1F2 不存在
2.＋＝1 (a>b>0) F1(－c，0)，F2(c，0) 2c ＋＝1 (a>b>0)
作业设计
1．D [∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段．]
2．B [由椭圆方程知2a＝8，
由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.]
3．D
4．B [|a|－1>a＋3>0.]
5．D [椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，又过点验证即可．]
6．D [由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
由题可得||PF1|－|PF2||＝2，则|PF1|＝5或3，|PF2|＝3或5.
又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．]
7．2 120°
解析
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.
在△F1PF2中，
cos∠F1PF2＝
＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.
8．4 3
解析 设|PF1|＝x，则k＝x(2a－x)，
因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.
∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴kmax＝4，kmin＝3.
9．m－n
解析 设a，c分别是椭圆的长半轴长和半焦距，
则，则2c＝m－n.
10．解 (1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)．
∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4.
∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1 (a>b>0)．
由椭圆的定义知，2a＝ ＋
＝＋＝2，
∴a＝.
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
11．解 ∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，
∴|PO1|＋|PA|＝4，又∵|O1A|＝2<4，
∴点P的轨迹是以A、O1为焦点的椭圆，
∴c＝，a＝2，b＝1，
∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1.
13．解 以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，
则B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，
则|BD|＋|CE|＝30.
由重心性质可知
|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20.
∵B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且20>12，
∴G点的轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点．
∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，
b2＝a2－c2＝102－62＝64，
故G点的轨迹方程为＋＝1，
去掉(10,0)、(－10,0)两点．
又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有＋＝1.
由重心坐标公式知
故A点轨迹方程为＋＝1.
即＋＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．
1．椭圆的简单几何性质
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
范围
顶点
轴长
短轴长＝____，长轴长＝____
焦点
焦距
对称性
对称轴是______，对称中心是______
离心率
2.直线与椭圆
直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1 (a>b>0)的位置关系：
直线与椭圆相切?有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交?有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离?________实数解，即Δ______0.
一、选择题
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3， B．10,6，
C．5,3， D．10,6，
2．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于( )
A. B. C. D.
4．如图所示，A、B、C分别
为椭圆＋＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( )
A. B．1－
C.－1 D.
5．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
A．(0,1) B.
C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．
8．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______．
9．椭圆E：＋＝1内有一点P(2,1)，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为____________．
三、解答题
10.
如图，已知P是椭圆＋＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－ (c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.
11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
能力提升
12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
13．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1(－，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．
1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．
2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．
3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．
4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
知识梳理
1.
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
＋＝1
＋＝1
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±b,0)，(0，±a)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
2c＝2
对称性
对称轴是坐标轴，对称中心是原点
离心率
e＝，02.一 ＝ 二 > 没有 <
作业设计
1．B [先将椭圆方程化为标准形式：＋＝1，
其中b＝3，a＝5，c＝4.]
2．A 3.B
4．A [由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，
∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，
∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.]
5．B [∵>2，∴<4.
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
∴过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点．]
∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，
由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，
设点P为椭圆上任意一点，则|OP|>c恒成立，
由椭圆性质知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长，
∴b>c，∴c22c2，
∴2<，∴e＝<.又∵07.＋＝1
解析 设椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0)，
将点(－5,4)代入得＋＝1，
又离心率e＝＝，即e2＝＝＝，
解之得a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.
8.
解析 由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x＋2y－2＝0与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b＝1，c＝2，从而a＝，e＝＝.
9．x＋2y－4＝0
解析 设弦的两个端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则，
两式相减，得＋＝0.
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，kMN＝，
∴kMN＝－，由点斜式可得弦所在直线的方程为
y＝－(x－2)＋1，即x＋2y－4＝0.
10．解 依题意知H，F(c,0)，B(0，b)．
设P(xP，yP)，且xP＝c，代入到椭圆的方程，
得yP＝.∴P.
∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.∴ab＝c2.
∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1.
∴e4＋e2－1＝0.∵011．解 (1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0.
解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，
x1x2＝(m2－1)．
设弦长为d，且y1－y2＝(x1＋m)－(x2＋m)＝x1－x2，
∴d＝＝
＝
＝
＝.
∴当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x.
12．B [由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝或e＝－1(舍去)．]
13．解 (1)∵a＝2，c＝，∴b＝＝1.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式，
得 ∴
又∵＋y＝1，∴＋2＝1
即为中点M的轨迹方程．
§ 2.3双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．
1．双曲线的有关概念
(1)双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．
(2)双曲线的焦点和焦距
双曲线定义中的两个定点F1、F2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________．
2．双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F1__________，F2__________.
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F1__________，F2__________.
(3)双曲线中a、b、c的关系是________________．
一、选择题
1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个曲线是( )
A．双曲线，焦点在x轴上
B．双曲线，焦点在y轴上
C．椭圆，焦点在x轴上
D．椭圆，焦点在y轴上
3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D.－＝1
4．双曲线－＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为( )
A. B．1或3
C. D.
5．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A．抛物线 B．圆
C．双曲线的一支 D．椭圆
6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
8．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
9．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝________________________________________________________________________.
三、解答题
10．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．
11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sin B－sin C＝sin A，求动点A的轨迹方程．
能力提升
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[，＋∞)
13．已知双曲线的一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，求双曲线的标准方程．
1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．
2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．
3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．
§2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
知识梳理
1．(1)|F1F2| 以F1，F2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距
2．(1)－＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0)
(2)－＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c)
(3)c2＝a2＋b2
作业设计
1．B [根据双曲线的定义，乙?甲，但甲乙，
只有当2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]
2．B [原方程可化为＋y2＝1，因为ab<0，所以<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.]
3．A [∵双曲线的焦点在x轴上，
∴设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)．
由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.①
又点(2,3)在双曲线上，∴－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝3，
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.]
4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，
∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝.]
5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，
∴|OO2|－|OO1|＝1<|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]
6．B [设双曲线方程为－＝1，因为c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以－＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(，4)．代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－＝1.故选B.]
7．2
解析 ∵||PF1|－|PF2||＝4，又PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2
＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2.
8．－1解析 因为方程－＝1表示双曲线，
所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k＋1)(k－1)<0.
所以－19．90°
解析 设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos α，
∴cos α＝＝＝0.
∴α＝90°.
10．解 方法一 设双曲线的标准方程为－＝1 (a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为±，于是有
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±，4)，
又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．
所以2a＝|－
|＝4，
即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
11．解 设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，
得＝＝＝2R，代入sin B－sin C＝sin A，
得－＝·，又|BC|＝8，
所以|AC|－|AB|＝4.
因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以a＝2，c＝4，b2＝12.
所以A点的轨迹方程为－＝1 (x>2)．
12．B
[由c＝2得a2＋1＝4，
∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1.
设P(x，y)(x≥)，
13．解 设双曲线的标准方程为－＝1，
且c＝，则a2＋b2＝7.①
由MN中点的横坐标为－知，
中点坐标为.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由
得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵，且＝1，
∴2b2＝5a2.②
由①，②求得a2＝2，b2＝5.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
2.3.2 双曲线的简单几何性质
课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．
1．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
焦距
范围
对称性
顶点
轴长
实轴长＝____，虚轴长＝____
离心率
渐近线
2.直线与双曲线
一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0)①
双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，
Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0?直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；
Δ＝0?直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；
Δ<0?直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．
一、选择题
1．下列曲线中离心率为的是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
2．双曲线－＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的方程为( )
A．2x2－4y2＝1 B．2x2－4y2＝2
C．2y2－4x2＝1 D．2y2－4x2＝3
4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
5．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A . B C. 2 D .
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝______.
8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．
9．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程为 __________．
三、解答题
10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；
(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.
11．设双曲线x2－＝1上两点A、B，AB中点M(1,2)，求直线AB的方程．
能力提升
12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
13．设双曲线C：－y2＝1 (a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
1．双曲线－＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.
2．双曲线的离心率e＝的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且＝，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．
3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记为－＝0；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ (λ≠0)．
2.3.2 双曲线的简单几何性质
知识梳理
1.
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝(e>1)
渐近线
y＝±x
y＝±x
2.(1)一点 (2)两个 一个 没有
作业设计
1．B [∵e＝，∴e2＝＝，∴＝，故选B.]
2．A
3．C [由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为，
则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，又由2＝a2＋b2，得a2＝，b2＝，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.故选C.]
4．C [由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y ＝±x.]
5．C [点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]
6．B [||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，
则≤.]
7.
解析 a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.
又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝，从而e＝＝.
8.－＝1(x>3)
解析 以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为－＝1(x>3)．
9.－＝1
解析 ∵所求双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为－＝λ (λ≠0)．∵点(－3,2)在双曲线上，
∴λ＝－＝.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
10．解 (1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1，由
解得故所求的双曲线方程为－＝1.
(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．
因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，
所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6.
又P与两顶点连线夹角为，
所以a＝|OP|·tan＝2，所以b2＝c2－a2＝24.
故所求的双曲线方程为－＝1.
11．解 方法一 (用韦达定理解决)
显然直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k，由
得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，
当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝＝，
∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.
方法二 (用点差法解决)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．
∵x1≠x2，∴＝，
∴kAB＝＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1，
代入x2－＝1满足Δ>0.
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
12.
D [设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
而kBF＝－，∴·(－)＝－1，整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)，故选D.]
13．解 (1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解，
消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴
解得－又∵a>0，∴0∵双曲线的离心率e＝＝ ，
∴0且e≠.
∴双曲线C的离心率e的取值范围是
∪(，＋∞)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．
∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，
由此可得x1＝x2.∵x1，x2都是方程①的根，
且1－a2≠0，∴x1＋x2＝x2＝－，
x1x2＝x＝－，消去x2得－＝，
即a2＝.又∵a>0，∴a＝.
§ 2.4抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程
(1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程．
(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向_______．
(3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是____________，准线方程是__________，开口方向________．
(4)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．
(5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是______，准线方程是________，开口方向________．
一、选择题
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A. B. C．|a| D．－
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝±8x
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是( )
A．a＋ B．a－
C．a＋p D．a－p
4．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
6．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于( )
A. B.
C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．
8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．
9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．
三、解答题
10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．
11．求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线的标准方程．
能力提升
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A. B．1 C．2 D．4
13．已知抛物线y2＝2px (p>0)上的一点M到定点A和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．
1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．
2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．
§2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
知识梳理
1．相等 焦点 准线
2．(1)标准 (2)(，0) x＝－ 向右
(3)(－，0) x＝ 向左 (4)(0，) y＝－ 向上 (5)(0，－) y＝ 向下
作业设计
1．B [因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为，故选B.]
2．D [由题意知抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.]
3．B [由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－.]
4．C [容易发现点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，或者l在M点处与抛物线相切时，l与抛物线有一个公共点，故选C.]
5．B [∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.]
6．A [如图所示，设过点M(，0)的直线方程为y＝k(x－)，代入y2＝2x并整理，
得k2x2－(2k2＋2)x＋3k2＝0，
则x1＋x2＝.
因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2.
不妨设x2＝2－＝是方程的一个根，
可得k2＝，
所以x1＝2.
＝＝＝＝＝.]
7．y＝3
解析 抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.
8．y＝4x2
9．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 由题意知，设P(x1，x－1)，Q(x2，x－1)，
即(－1－x1,1－x)·(x2－x1，x－x)＝0，
也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x)·(x－x)＝0.
∵x1≠x2，且x1≠－1，
∴上式化简得x2＝－x1＝＋(1－x1)－1，
由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3.
10．解 设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)，
则焦点F，由题意，得
解得或
故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2.
抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.
11．解 设所求抛物线方程为y2＝ax (a≠0)．①
直线方程变形为y＝2x＋1，②
设抛物线截直线所得弦为AB.
②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则|AB|＝ ＝.
解得a＝12或a＝－4.
∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.
12．C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．
方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－.
∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，
∴3＋＝4，∴p＝2.
方法二 作图可知，抛物线y2＝2px (p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，
所以－＝－1，p＝2.]
13．解
(1)当点A在抛物线内部时，如图，42<2p·，即p>时，|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.
当A，M，A′共线时，
(|MF|＋|MA|)min＝5，故＋＝5，∴p＝3满足p>，
∴抛物线方程为y2＝6x.
(2)当点A在抛物线外部或在抛物线上时42≥2p·，即0此时(|MA|＋|MF|)最小，即|AF|＝5.
即 ＝5，∴p＝1或p＝13(舍)．
∴抛物线方程为y2＝2x.
综上抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.
2.4.2 抛物线的简单几何性质
课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．
1．抛物线的简单几何性质
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)
(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是________，抛物线在y轴的______侧，当x的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．
(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________．
(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e表示，其值为______．
(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为，焦点到顶点的距离为________．
2．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程________________________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．
3．抛物线的焦点弦
设抛物线y2＝2px(p>0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．
(1)以AB为直径的圆与准线________．
(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)．
(3)|AB|＝x1＋x2＋______.
(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝________，y1y2＝________.
一、选择题
1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )
A．x2＝－y或y2＝x
B．y2＝－x或x2＝y
C．y2＝－x
D．x2＝y
2．若抛物线y2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是( )
A．成等差数列
B．既成等差数列又成等比数列
C．成等比数列
D．既不成等比数列也不成等差数列
3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B．3 C. D.
4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
5．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y2＝4x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．过抛物线y2＝ax (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于( )
A．2a B. C．4a D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
8．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．
9．过抛物线x2＝2py (p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则＝________.
三、解答题
10．设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
11．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．
能力提升
12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于( )
A．4 B．8 C．8 D．16
13.
已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．
2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
知识梳理
1．(1)x≥0 右 增大 (2)x轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p
2．k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 两 一 没有 平行或重合 一
3．(1)相切 (2)2(x0＋) (3)p (4) －p2
作业设计
1．B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．]
2．A [设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，
因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，
即|P1F|－＋|P3F|－＝2，
所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.]
3．A [
如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距离，则距离之和的最小值为 ＝.]
4．B [y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，令x ＝0得y＝－.
∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.]
5．C [∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C相交于A，B两点，∴过点P的直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条．]
6．D [可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xP＋＝＋＝，
|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝.]
7．y2＝4x
解析 设抛物线方程为y2＝ax.将y＝x代入y2＝ax，
得x＝0或x＝a，∴＝2.∴a＝4.
∴抛物线方程为y2＝4x.
8．2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2.
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
∵x1≠x2，∴＝＝1.
∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
将其代入y2＝4x，得A(0,0)、B(4,4)．
∴|AB|＝4.又F(1,0)到y＝x的距离为，
∴S△ABF＝××4＝2.
9.
解析 抛物线x2＝2py (p>0)的焦点为F，则直线AB的方程为y＝x＋，
由消去x，得12y2－20py＋3p2＝0，
解得y1＝，y2＝.
由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，
可知＝＝＝.
10．解 由y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
11．解 方法一 设以Q为中点的弦AB端点坐标为
A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则有y＝8x1，①
y＝8x2，②
∵Q(4,1)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.③
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．④
将③代入④得y1－y2＝4(x1－x2)，
即4＝，∴k＝4.
∴所求弦AB所在的直线方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
方法二 设弦AB所在直线方程为y＝k(x－4)＋1.
由消去x，
得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，
得y1＋y2＝，又y1＋y2＝2，∴k＝4.
∴所求弦AB所在的直线方程为4x－y－15＝0.
12.
B [如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4)．
设P(x0,4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8，选B.]
13．解 由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，
从而x1＝4－1＝3.
代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为
(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
课件24张PPT。第二章 §2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.
2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.
3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 曲线与方程的概念答案问题导学 思考1 设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？
①{P|PA＝PB}(A，B是两个定点)；
答案 ①线段AB的垂直平分线；
②{P|PO＝3 cm}(O为定点).
答案 ②以O为圆心，3 cm为半径的圆.思考2 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案答案 y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.梳理 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1) 都是这个方程的解； ①
(2)以这个方程的解为坐标的点都是 上的点， ②
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.答案曲线上点的坐标曲线知识点二 曲线的方程与方程的曲线解读答案思考1 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明.答案 不能，还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是不是都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.答案梳理 曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏.
曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了 关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.答案返回一一对应解析答案反思与感悟类型一 曲线与方程的概念应用题型探究 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明 ①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点.
因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，
所以|x0|·|y0|＝k，
即(x0，y0)是方程xy＝±k的解.
②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，
则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，
因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.
由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程. 反思与感悟解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.解析答案即x＋y－1＝0 (x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0 (x≥1). 类型二 曲线与方程关系的应用解析答案反思与感悟例2 如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( )
A.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
B.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上
C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解
D.坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上反思与感悟解析 因曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，
满足了曲线与方程的概念的条件①，而且阐明了曲线C上无坐标不满足方程F(x，y)＝0的点，
也就是说，坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上，
根据条件，无法判断满足曲线与方程概念的条件②，从而选项A、B、C均错误，故选D.
答案 D判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.跟踪训练2 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a) (a∈R)，求k的取值范围.解析答案解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.解析答案跟踪训练3 已知方程x2＋(y－1)2＝10.解析答案返回1.“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件解析答案B当堂训练 解析 由曲线C的方程是f(x，y)＝0得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.1234512345解析答案又动点C(x0，y0)在曲线x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1即为所求.C12345解析答案解析 原方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，
即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0，
∴原方程表示直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0.C3.方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是( )
A.直线2x－y＝0
B.直线2x＋y＋3＝0
C.直线2x－y＝0和直线2x＋y＋3＝0
D.直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝012345解析答案4112345解析答案5.方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________.∴方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是4个点.4个点返回(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.
(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.课件28张PPT。第二章 §2.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.
2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.
3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念. 问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点 求曲线方程的方法与步骤答案问题导学 (1)建立适当的坐标系，用 表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝ ；
(3)用 表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为 ；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点 .
简记为：建系、列式、代换、化简、说明，这五步构成一个有机的整体，每一步都有其特点和相应的作用.返回有序实数对(x，y){M|p(M)}最简形式都在曲线上坐标解析答案反思与感悟类型一 轨迹方程求解问题题型探究 例1 设A，B两点的坐标分别是(－1，－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.解 如图所示，设点M(x，y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点，
也就是点M属于集合P＝{M||MA|＝|MB|}.解析答案上式两边平方，并整理得x＋2y－7＝0. ①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
(1)由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；
(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，
即x1＋2y1－7＝0，x1＝7－2y1. 反思与感悟所以|M1A|＝|M1B|，
即点M1在线段AB的垂直平分线上.
由(1)(2)可知，方程①是线段AB的垂直平分线的方程. 求曲线方程一般都要按照5个步骤进行，建系要适当，尽量使点的坐标、线的方程最简.关键步骤是第二步，写出动点的条件集合，即找出等量关系，确定了等量关系式将点的坐标代入就得方程.步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明.解析答案跟踪训练1 已知△ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0,0)，B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程.解 设G(x，y)为△ABC的重心，顶点C的坐标为(x′，y′)，因为顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，
所以3y＝(3x－6)2＋3，
整理，得y＝3(x－2)2＋1.
故所求轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1. 类型二 求曲线方程的方法解析答案反思与感悟例2 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程.解 方法一 (直接法)
如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.
设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，方法二 (定义法)
如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，
则Q在以OC为直径的圆上， 解析答案反思与感悟方法三 (代入法或称相关点法)
设P(x1，y1)，Q(x，y)，求曲线方程的一般方法如下：
(1)直接法：就是直接依据题目中给定的条件进行确定方程.
(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.
(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.
(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数. 跟踪训练2 设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a＝(mx，y＋1)，向量b＝(x，y－1)，a⊥b，动点M(x，y)的轨迹为E.求轨迹E的方程.解析答案解 因为a⊥b，a＝(mx，y＋1)，b＝(x，y－1)，
所以a·b＝mx2＋y2－1＝0，
即mx2＋y2＝1为所求的轨迹E的方程.解析答案类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点反思与感悟解 当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，
不可能与曲线有两个公共点.
设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0. ①
当此方程有两个不同的根，
即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.
∴Δ＝(2－k)2＋4ka>0.解析答案设方程①的两根分别为y1，y2，
由根与系数的关系， 得y1＋y2＝2－k.
又∵y1＋y2＝a，
∴k＝2－a，
代入Δ>0中，得a2＋4a(2－a)>0，又∵k≠0，
∴2－a≠0，即a≠2.反思与感悟结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)＝0和G(x，y)＝0，则它们的交点坐标由方程组解析答案跟踪训练3 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.返回解 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，
再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，
∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，∵点M应在圆内，
∴所求的轨迹为圆内的部分.返回1.方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形分别是( )
A.前后两者都是一条直线和一个圆
B.前后两者都是两点
C.前者是一条直线和一个圆，后者是两点
D.前者是两点，后者是一条直线和一个圆解析答案C当堂训练 解析 前者是直线x＝0和圆x2＋y2＝1，后者是两点(0,1)和(0，－1)，故选C.1234512345解析答案故其方程为(x－1)2＋(y－2)2＝3.C12345解析答案解析 因线段AB是直线AB的一部分，
可先由两点式写出直线方程6x＋y－17＝0，
再对x进行限制.D3.已知A(2,5)，B(3，－1)，则线段AB的方程是( )
A.6x＋y－17＝0 B.6x＋y－17＝0(x≥3)
C.6x＋y－17＝0(x≤3) D.6x＋y－17＝0(2≤x≤3)12345解析答案4.线段AB的长度是2a(a>0)，它的两个端点A和B分别在x轴，y轴上滑动，则AB中点P的轨迹方程是_____________.解析 设P的坐标为(x，y)，则A(2x,0)，B(0,2y).化简，得x2＋y2＝a2，即为点P的轨迹方程.x2＋y2＝a212345解析答案5.已知曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，则实数k的取值范围为_____________.解析 因y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
故a2＋a2＋2a＋k＝0，得(1)求解曲线方程时：
①第一步在具体问题中有两种情况：a.所研究的问题中已给定了坐标系，直接在给定的坐标系中求方程；b.原题中没有确定的坐标系，需先建立适当的坐标系，选取特殊点为原点.
②第二步为求方程最重要的一步，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点满足的等量关系，列出几何关系式，但在具体解题的过程中经常不出现这一步(被省略).
③第三步将几何关系式转化为代数中的方程.返回④化简过程中，注意运算的合理性与准确性，避免增解与漏解，第五步从理论上讲很有必要，但在没有特殊情况的时候，常省略，有特殊情况时则不能省，可以说是对第四步的完善.
(2)很多时候在求出曲线方程后，第五步直接省略了，没将特殊情况进行说明，该剔除的没剔除，该补充的没补充，因此出现错误.课件32张PPT。第二章 §2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程(一)1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 椭圆的定义答案问题导学 思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案 在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆. 思考2 在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否为椭圆？答案答案 笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆.若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆.答案梳理 (1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 .
(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}.
(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：常数椭圆焦点焦距思考 若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？答案答案 以两定点的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0).设P(x，y)，依题意得|PA|＋|PB|＝10, 知识点二 椭圆的标准方程(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系返回解 方程x2＋y2－6x－55＝0化标准形式为：(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.
因为动圆M与已知圆相内切且过P点，
所以|MC|＋|MP|＝r＝8，
根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，
所以动点M的轨迹是椭圆. 解析答案反思与感悟类型一 椭圆定义的应用题型探究 例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.椭圆定义的双向运用
(1)判断：符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆.
(2)求值：椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a.解析答案跟踪训练1 (1)已知A(－5,0)，B(5,0).动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线
C.线段 D.点解析 因为|AC|＋|BC|＝10＝|AB|，
所以点C的轨迹是线段AB，故选C. C解析答案(2)已知定点A(0，－1)，点B在圆F：x2＋(y－1)2＝16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P.则动点P的轨迹E为___________________.解析 由题意得|PA|＝|PB|.
所以|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝4>|AF|＝2，
所以动点P的轨迹E是以A，F为焦点的椭圆.以A，F为焦点的椭圆类型二 求椭圆的标准方程解析答案反思与感悟解析答案由a>b>0知不合题意，故舍去.解析答案反思与感悟方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，求椭圆的标准方程的方法：
(1)定义法：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.
(2)待定系数法：①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆方程一定是标准形式，就可以利用待定系数法先建立方程，然后依照题设条件，计算出方程中a，b的值，从而确定方程.②当不明确焦点在哪个坐标轴上时，通常应进行分类讨论，但计算较复杂，此时，可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必再考虑焦点的位置，用待定系数法结合题目给出的条件求出m，n的值即可.解析答案解 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，解析答案类型三 椭圆中的焦点三角形问题反思与感悟又|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2
＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 30°， 反思与感悟由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，焦点三角形常和椭圆的定义、正(余)弦定理、内角和定理及面积公式等综合考查.解析答案返回返回在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4.1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线
C.射线 D.圆解析答案当堂训练 1234512345解析 连接FP，OF，MF，如图，由题意知，CD是线段MF的垂直平分线，
∴|MP|＝|PF|，
∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值).
又|MO|>|FO|，
∴根据椭圆的定义可推断出点P的轨迹是以F，O两点为焦点的椭圆.
答案 A12345解析答案12345答案 A 12345解析答案解析 由题意，知点P的轨迹是以点A，B为焦点的椭圆，B所以短轴长为4，易知|PM|的最大值为3，最小值为2.12345解析答案解析 由题意，得c＝4.
又点B1为线段OF1的中点，A为上顶点，△AOB1为等腰直角三角形，
所以b＝|OA|＝|OB1|＝2，所以a2＝b2＋c2＝20， 且△AOB1为等腰直角三角形，则椭圆C的标准方程是____________.12345解析答案解析 根据椭圆的定义，椭圆上的点到两定点的距离之和为10，
因为|CF1|＝2，
所以|CF2|＝8.8(1)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|).在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算.
(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.
(3)凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.返回课件29张PPT。第二章 §2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程(二)加深理解椭圆定义及标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 椭圆标准方程的推导答案问题导学 思考 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.答案 (1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.
(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0).答案(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上.由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程.(2)方程Ax2＋By2＝1表示椭圆的充要条件是 . 答案梳理 (1)椭圆的标准方程的形式A>0，B>0且A≠B思考1 已知椭圆的标准方程，怎样判定椭圆焦点在哪个坐标轴上？答案答案 看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上.较大的分母是a2，较小的分母是b2.如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上.知识点二 椭圆的焦点位置确定思考2 椭圆方程中的a、b以及参数c有什么意义，它们满足什么关系？答案答案 椭圆方程中，a表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距.
a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.梳理 (1)椭圆的焦点位置确定是由x2，y2的系数大小决定的.
(2)当求解椭圆标准方程，遇到其焦点位置不定时，需分类讨论.返回解 ∵椭圆的焦点在x轴上，解析答案类型一 椭圆标准方程的确定题型探究 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；由题意得c＝4,2a＝10，
∴a＝5，b2＝a2－c2＝9.解析答案反思与感悟解 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时，一定要结合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置.解析答案跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.解 ∵椭圆的焦点在y轴上，∴b2＝a2－c2＝6.解析答案(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).解 ∵椭圆的焦点在y轴上，又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，类型二 相关点法在求解椭圆方程中的应用解析答案反思与感悟例2 如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹.反思与感悟解 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，把x0＝x，y0＝2y代入方程①，所以点M的轨迹是一个椭圆.当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解.用相关点法求轨迹方程的基本步骤为
(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P(x，y)，已知曲线上动点坐标为Q(x1，y1).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.解析答案解 设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，返回解析答案当堂训练 12345解析 因焦点在x轴上，故m>1，故选A.A12345解析答案12345解析 由已知|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.
由椭圆的定义可知，点A的轨迹是椭圆的一部分，且2a＝10,2c＝8，
即a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，当点A在直线BC上，即y＝0时，A，B，C三点不能构成三角形.答案 A 12345解析答案解析 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3. ∵|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，
∴△PF1F2为直角三角形. B12345解析答案12345解析答案5.已知椭圆的焦点是F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则椭圆的方程为______________.解析 由题设知|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴2a＝4,2c＝2，(1)两种形式的椭圆的标准方程的比较如下表：返回课件29张PPT。第二章 §2.2 椭圆2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.
2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标答案问题导学 答案 (1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；
(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；
(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b).思考2 在画椭圆图象时，怎样才能画的更准确些？答案答案 在画椭圆图象时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b).梳理 椭圆的简单几何性质答案答案(±c,0)(0，±c)abba2a 2b知识点二 椭圆的离心率答案思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁.答案扁返回解析答案反思与感悟类型一 由椭圆方程研究其简单几何性质题型探究 例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.反思与感悟四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3).解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.解析答案跟踪训练1 求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.长轴长：2a＝18; 短轴长：2b＝6；顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0).类型二 椭圆的几何性质的简单应用解析答案反思与感悟反思与感悟由椭圆的对称性知|B1F|＝|B2F|，又B1F⊥B2F，
∴△B1FB2为等腰直角三角形， 确定椭圆的标准方程时，首先要分清其焦点位置，然后，找到关于a，b，c的等量关系，最后确定a2与b2的值即可确定其标准方程.解析答案∴点A是短轴的端点，
∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴c＝2，b2＝32－22＝5，解析答案类型三 椭圆的离心率的求解反思与感悟解 依题意得F1(－c,0)，直线l：y＝k(x＋c)，
则C(0，kc).解析答案所以2e4－17e2＋8≤0.反思与感悟解析答案返回返回∴(a＋c)·r＝|yp|·c，1.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.5、3、0.8 B.10、6、0.8
C.5、3、0.6 D.10、6、0.6解析答案当堂训练 12345B12345解析答案12345解析 由椭圆的定义得|PF2|＝2，因为0°<∠F1PF2<180°，
所以∠F1PF2＝120°.
答案 B 12345解析答案解析 据题意a＝5，c＝3，3.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为____________.又焦点在x轴上，12345解析答案4.已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是__________
_________.解析 因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，12345解析答案5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为____________.返回(1)可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.
(2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用.
(3)利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题.
(4)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.课件37张PPT。第二章 §2.2 椭圆2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.
2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 点与椭圆的位置关系答案问题导学 答案 点P与椭圆有三种位置关系：在椭圆外、在椭圆内、在椭圆上.知识点二 直线与椭圆的位置关系答案思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.答案答案梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法：
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线和椭圆 ；若Δ＝0，则直线和椭圆 ；若Δ<0，则直线和椭圆 .
(2)根与系数的关系及弦长公式：弦长相交相离相切答案返回(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.解析答案类型一 直线与椭圆的位置关系题型探究 解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，
因此必与椭圆相交. A解析答案反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程
(1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点.
(2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点.
(3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点.解析答案所以点(3，－1)在椭圆的内部，
故直线l与椭圆有2个公共点.C解析答案C解析答案类型二 直线与椭圆的相交弦问题若设A(x1，y1)，B(x2，y2).
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.解析答案反思与感悟(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.解 方法一 设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4).消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.解析答案即x＋2y－8＝0.方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，反思与感悟即x＋2y－8＝0.处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.解析答案解析答案设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， 解析答案解析答案类型三 椭圆中的最值(或范围)问题例3 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0， 解析答案反思与感悟(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0， 所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值.
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.
(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.解析答案返回返回解析答案当堂训练 12345A12345解析答案∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0,
∴直线与椭圆相离.C12345解析答案解析 椭圆的右焦点为F(1,0)，B12345解析答案12345答案 D 12345解析答案返回课件33张PPT。第二章 §2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 双曲线的定义答案问题导学 思考 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线.梳理 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 ；
(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的 (包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；
(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的 ；
(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是 .答案绝对值这两个定点焦距两条射线一支线段F1F2的中垂线知识点二 双曲线的标准方程答案思考1 双曲线的标准方程的推导过程是什么？答案 (1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系.
(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0).答案(5)验证：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程.(此步骤可省略)答案思考2 双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a、b、c的关系有何不同？答案 双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定.答案梳理 (1)两种形式标准方程F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a2＋b2＝c2(2)如果含x2项的系数为正数，那么焦点在x轴上，如果含y2项的系数是正数，那么焦点在y轴上.对于双曲线，a与b无截然的大小关系，因而不能像椭圆那样，通过比较a与b的大小来确定其焦点位置.返回解析答案类型一 双曲线定义的理解及应用题型探究 例1 (1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4
C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4解析 当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线定义，
P点的轨迹是双曲线.A(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.解析答案反思与感悟解析 如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，
根据两圆外切的条件 |MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|,
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝2，
这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，反思与感悟双曲线定义的两种应用
(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线.
(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为：
①寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系； ②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0)；
③判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c；
④根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.解析答案跟踪训练1 若平面内一动点P(x，y)到两定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的差的绝对值为定值a(a≥0)，讨论点P的轨迹.解 由题意可知|F1F2|＝2，
①当a＝2时，P点的轨迹是两条射线，方程为y＝0(x≥1)或y＝0(x≤－1)；
②当a＝0时，P点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，轨迹方程为x＝0；
③当0④当a>2时，P点的轨迹不存在.类型二 待定系数法求双曲线的标准方程解析答案解析答案反思与感悟待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.
(4)结论：写出双曲线的标准方程.解析答案解析答案解析答案类型三 双曲线定义的综合应用例3 已知A，B两地相距2 000 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.反思与感悟解 如图，建立直角坐标系xOy，使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x，y)，
则|PA|－|PB|＝340×4＝1 360.
即2a＝1 360，a＝680.
又|AB|＝2 000，
所以2c＝2 000，c＝1 000，b2＝c2－a2＝537 600.
因为|PA|－|PB|＝340×4＝1 360>0，所以x>0.反思与感悟结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力.解析答案返回返回解 在△MF1F2中，由余弦定理，
得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos θ. ①
∵|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋
2|MF1|·|MF2|＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，
∴①式化为4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|(1－cos θ)，解析答案D当堂训练 解析 |PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝10，根据双曲线的定义可得D正确.1234512345解析答案解析 由于a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，
所以可解得a＝1，故选D.D12345解析答案解析 由题意得(10－k)(5－k)<0，解得5①正确判断焦点的位置；②设出标准方程后，再运用待定系数法求解.
求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值.课件43张PPT。第二章 §2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).
2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.
4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 双曲线的范围、对称性答案问题导学 思考 观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？答案答案 关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心. (2)双曲线的对称轴为 ，对称中心为 .答案(－∞，－a]∪[a，＋∞)(－∞，－a]∪[a，＋∞)x轴、y轴原点知识点二 双曲线的顶点答案思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？答案 不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？答案 是，只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.答案(－a,0)(a,0)(0，－a)(0，a)答案知识点三 渐近线与离心率(3)双曲线的几何性质见下表：返回解析答案类型一 由双曲线方程研究其几何性质题型探究 例1 求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、半实轴长、半虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图.反思与感悟因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；反思与感悟根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质，双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关.双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关.解析答案跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程解析答案解析答案解析答案解析答案解析答案反思与感悟反思与感悟1.已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏.解析答案类型三 直线与双曲线的位置关系例3 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.
(1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；
(2)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的取值范围.解析答案反思与感悟(2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解.
当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解；
当1－k2≠0时，
应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0， 反思与感悟(1)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点，因此对直线与双曲线的位置关系的讨论，常常转化为对由它们的方程构成的方程组解的情况的讨论.
(2)直线与椭圆的位置关系是由它们交点的个数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能由其交点的个数决定.解析答案跟踪训练3 已知双曲线方程为3x2－y2＝3.
(1)求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；解析答案解 设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，
即y＝kx－2k＋1，将它代入3x2－y2＝3，
得(3－k2)x2－2k(1－2k)x－4k2＋4k－4＝0，①
设双曲线与直线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，因为A(2,1)为弦PQ的中点，解得k＝6，此时方程①为33x2－132x＋124＝0，
且Δ>0，所以方程①有两实数根，
即直线与双曲线相交于两点，从而所求直线方程为6x－y－11＝0.解析答案(2)以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由.返回解析答案解 方法一 不存在.理由如下：
设所求直线方程为y－1＝k(x－1)，
即y＝kx－k＋1，将它代入3x2－y2＝3中，
得(3－k2)x2－2k(1－k)x－k2＋2k－4＝0， ②
设直线与双曲线相交于M(x3，y3)，N(x4，y4)，此时方程②为6x2－12x＋7＝0，且Δ＝－24<0，解析答案所以方程②无实数根，
即直线与双曲线不相交，
从而可知以B(1,1)为中点的弦不存在.
方法二 不存在.理由如下：
假设这样的直线l存在，
设弦的两端点分别为Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)， 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
所以3(x1－x2)－(y1－y2)＝0.
若直线Q1Q2⊥x轴，则线段Q1Q2中点不可能是点B(1,1)，
所以直线Q1Q2的斜率存在， 即6x2－12x＋7＝0，故Δ＝144－4×6×7<0，
这就是说，直线l与双曲线没有公共点，
因此这样的直线不存在.返回解析答案当堂训练 12345C6解析答案解析 ∵方程表示双曲线，
∴a<0，A123456解析答案解析 由题意知a2＋5＝9, C123456解析答案解析 ∵等轴双曲线的焦点为(－6,0)，
∴c＝6，
∴2a2＝36，a2＝18.D123456解析答案123456解析答案123456渐近线方程为________.(2)双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点.
(3)等轴双曲线的统一方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，它表示焦点在x轴上的双曲线，当λ<0时，它表示焦点在y轴上的双曲线.其渐近线方程为y＝±x，且它们互相垂直.
(4)双曲线方程确定，其渐近线唯一确定；渐近线确定，其对应的双曲线不唯一确定.返回课件30张PPT。第二章 §2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.
2.掌握抛物线的标准方程及其推导.
3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 抛物线的定义答案问题导学 思考 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？答案 抛物线.梳理 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1).答案焦点准线相等知识点二 抛物线的标准方程答案思考 抛物线标准方程有何特点？梳理 一条抛物线，由于它在平面内的位置不同，所以方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：返回解析答案类型一 双曲线定义的理解及应用题型探究 设动点M(x，y)，上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离，
所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线.
答案 C (2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2＋y2＝1上运动，则点Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是________(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答).解析答案反思与感悟解析 设动点Q(x′，y′)，
则有x′＝x＋y, y′＝xy，又有x2＋y2＝1，
即(x＋y)2－2xy＝1，
所以x′2－2y′＝1，
故Q(x＋y，xy)的轨迹所在的曲线是抛物线.抛物线抛物线的判断方法
(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离.
(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.解析答案跟踪训练1 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.解 方法一 设点P的坐标为(x，y)，两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.解析答案方法二 由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，
由于点F(1,0)到y轴的距离为1，
故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；
当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，
故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，
方程为y2＝4x.类型二 求抛物线的标准方程解析答案例2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；解析答案反思与感悟(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.解 设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，又(－3)2＝2pm，
∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程.
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.解析答案跟踪训练2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.解析答案类型三 抛物线的实际运用例3 一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为0.5 m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.反思与感悟解 如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合.
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
由已知条件可得，
点A的坐标是(0.5,2.4)，
代入方程，
得2.42＝2p×0.5，
即p＝5.76.
所以所求抛物线的标准方程是y2＝11.52x，
焦点坐标是(2.88,0).反思与感悟把实际问题转化为数学问题，利用抛物线的知识来解决实际问题. 在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.解析答案返回跟踪训练3 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？返回解 如图所示，建立直角坐标系，
设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以25＝－2p·(－5)，
因此2p＝5，
所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，解析答案当堂训练 12345D12345解析答案解析 由焦点在直线x＝1上，故焦点坐标为(1,0)，D2.焦点在直线x＝1上的抛物线的标准方程是( )
A.y2＝2x B.x2＝4y
C.y2＝－4x D.y2＝4x∴方程为y2＝2px＝4x.12345解析答案解析 抛物线开口向右，方程为y2＝2px(p>0)的形式，B3.已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为( )
A.x2＝－28y B.y2＝28x
C.y2＝－28x D.x2＝28y12345解析答案解析 由已知可设抛物线方程为x2＝my代入点(2,4)
得4＝4m，
∴m＝1.故方程为x2＝y.x2＝y4.过(2,4)点，顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线的标准方程为_______.12345解析答案5.抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________.返回(3)对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.课件35张PPT。第二章 §2.4 抛物线2.4.2 抛物线的简单几何性质1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 抛物线的范围答案问题导学 思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？答案 抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心. (2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？答案知识点二 抛物线的对称性、准线方程抛物线四种形式的性质如下表所示：返回知识点三 直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组
___________解的个数，即二次方程____________________解的个数.
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有 个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线 公共点.
当k＝0时，直线与抛物线的轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0一没有平行或垂直1两答案解析答案类型一 抛物线的性质应用题型探究 例1 (1)已知抛物线y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围.解 抛物线y2＝8x，p＝4，
所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.解析答案反思与感悟∴抛物线的对称轴为x轴，
∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3或x＝3.把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.解析答案解 由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.
故可设抛物线方程为：y2＝ax(a≠0).
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，得x2＋3＝4，∴x＝±1，∴a＝±3.∴所求抛物线方程是：y2＝3x或y2＝－3x.类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题解析答案例2 (1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为___.解析 由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，
得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x
即x2－12x＋4＝0.
所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16. 16∴所求直线l的方程为y＋x－1＝0或x－y－1＝0.解析答案(2) 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________________.解析 ∵抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，
若l与x轴垂直，则|AB|＝4，不符合题意，
∴可设所求直线l的方程为y＝k(x－1).x＋y－1＝0或x－y－1＝0解析答案反思与感悟(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_____.解析 抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，
即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，(1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：(2)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；解析答案解析答案(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解析答案类型三 抛物线中的最值问题例3 如图，已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程；解 由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)， 所以抛物线C的方程为x2＝4y.反思与感悟解析答案(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点.若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值.解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.解析答案反思与感悟(1)利用抛物线的定义进行转化，然后利用图形的几何特征进行处理.
(2)建立目标函数，然后利用函数的相关性质求最值.如已知M(a,0)为抛物线y2＝2px(p>0)的对称轴上的一个定点，在抛物线上求一点N使得|MN|最小.其解法为：(3)除了上述几何法、二次函数法解决此类问题外，还要注重不等式方法的应用及利用函数的单调性求解最值问题.解析答案返回解析 抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
如图，过P作PN垂直x＝－1于N，
由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，即∠PAN最小，
即∠PAF最大，
此时，PA为抛物线的切线，解析答案返回设PA的方程为y＝k(x＋1)，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，
解得k＝±1，
所以∠PAF＝∠NPA＝45°，答案 B 解析答案当堂训练 12345C1.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A.x2＝±3y B.y2＝±6x
C.x2＝±12y D.y2＝±6y12345解析答案解析 由题意得当AB⊥x轴时，|AB|取最小值，最小值为2p.C2.设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦为AB，则|AB|的最小值为( )
A. B.p
C.2p D.无法确定解析 ∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，
∴直线过点(1,0)，又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部，
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.3.已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点12345解析答案C12345解析答案解析 焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，B12345解析答案y2＝8x(1)已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向 .一次项的变量如果为x(或y)，那么x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.例如抛物线的方程为x2＝－2y，则y轴为对称轴，开口方向和y轴正方向相反.
(2)由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p.
(3)画图时特别注意不要把抛物线看成双曲线的一支.返回(4)解决直线与抛物线相交问题时，一般常将直线方程代入抛物线的方程中得到一元二次方程，这个方程的两个根就是交点的横(纵)坐标，利用根与系数的关系可以解决弦中点、弦长、轨迹等问题.
(5)解决弦长问题时，应注意所给弦是否过焦点.
(6)解决中点弦问题的思路一般有两种：一是用根与系数的关系解，二是用“点差法”解决，其中“点差法”用的较多.课件37张PPT。第二章 圆锥曲线与方程章末复习课1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.
2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.
3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.
4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.5.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义及其特点答案问题导学 思考 椭圆与双曲线的定义有何异同？抛物线的定义有何特点？答案 相同：都是动点到两定点的距离为常数关系，都有条件限制.
不同：椭圆是动点到定点的距离之和为常数且大于两定点间的距离；双曲线是动点到定点的距离之差的绝对值为常数且小于两定点间的距离.
抛物线是动点到一定点与一定直线的距离相等，将前两种曲线定义中的一个定点换成了一条定直线.且距离之比为常数1.梳理 方程ax2＋by2＝1(ab≠0)，当 时，表示焦点在x轴上的椭圆；当 时，表示焦点在y轴上的椭圆；当 时，表示焦点在x轴上的双曲线；当 时，表示焦点在y轴上的双曲线(填a、b满足的条件).答案0b>0a>0，b<0a<0，b>0知识点二 圆锥曲线性质的应用结合圆锥曲线的方程，从范围、对称性、顶点、离心率等方
面研究其性质，在解题中灵活掌握.
对椭圆、双曲线中与三角形(以一个焦点为顶点，另一个焦点所在弦为一边的三角形)相关的问题，要灵活利用定义进行转化，抛物线中与焦点相关的问题，要灵活利用定义将其转化为与准线相关的问题，这样可简化运算.知识点三 直线与圆锥曲线的位置关系及应用直线和圆锥曲线的综合问题是历年高考命题的重点和热点，更是一个难点，通常作为压轴题出现，从高考的形式和内容上看，有以下几种考查形式：
(1)三种圆锥曲线两两综合，以求解圆锥曲线方程中的相关参数为主；
(2)利用方程组的思想解决直线和圆锥曲线的位置关系，求解弦长和三角形的面积等问题；
(3)求解直线和圆锥曲线中的有关最值与范围问题；
(4)综合考查直线和圆锥曲线中的定点、定值以及探究性问题等.解析答案反思与感悟类型一 圆锥曲线定义的应用题型探究 解析 如图，设点B为椭圆的左焦点，点M(2,1)在椭圆内，
那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，
所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，反思与感悟圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略.
研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题.跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )
A.直线 B.圆
C.双曲线 D.抛物线解析答案解析 ∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴D1C1⊥侧面BCC1B1.
∴D1C1⊥PC1.
∴PC1为P到直线D1C1的距离.
∵P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，
∴PC1等于P到直线BC的距离.
所以P到点C1的距离等于P到直线BC的距离，
由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线.
答案 D 类型二 圆锥曲线性质的应用解析答案反思与感悟例2 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.反思与感悟解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，
使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交得的点即为满足题意的点，有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问
题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解.解析答案答案 C 类型三 直线与圆锥曲线位置关系问题解析答案解 设椭圆的半焦距长为c，解析答案反思与感悟解 设A(x1，y1)，B(x2，y2).解析答案②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.把y＝kx＋m代入椭圆方程，
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0， 反思与感悟此时Δ＝12(3k2＋1－m2)>0，∴|AB|≤2，解析答案反思与感悟反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.解析答案跟踪训练3 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P在C上且其横坐标为1，以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切.
(1)求p的值；解 因为以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切，
所以圆的半径为p，即|FP|＝p，
所以FP⊥x轴，又点P的横坐标为1，
所以焦点F的坐标为(1,0)，从而p＝2. 解析答案(2)设l与x轴交点为E，过点E作一条直线与抛物线C交于A、B两点，求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围.返回解 由(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
线段AB的垂直平分线与x轴的交点D(x0,0)，解析答案设直线AB的方程为x＝my－1，代入抛物线C的方程，
得y2－4my＋4＝0，由Δ>0得m2>1，返回由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2，
代入①得x0＝2m2＋1>3，
故线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围是(3，＋∞).解析答案当堂训练 12345∴A、B、D三选项中两函数定义域不同，故选C.C12345解析答案解析 ∵两焦点恰好将长轴三等分，2a＝18，A12345解析答案12345解析 ∵y2＝8x的焦点为(2,0)，4.点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________.12345解析答案12345解析 设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
因为线段AB的中点为P(8,1)，
所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
代入x2－4y2＝4满足Δ>0.
即直线方程为2x－y－15＝0.答案 2x－y－15＝0 12345解析答案12345又∵直线y＝x＋3过椭圆顶点，
∴直线y＝x＋3与椭圆左半部分有两交点，共计3个交点. 答案 3(1)利用待定系数法求曲线标准方程的步骤：①定位：确定焦点位置；②定型：由焦点位置设方程；③定值：根据条件确定相关参数的值.
(2)利用待定系数法求双曲线方程的常用方法：(3)求解离心率时，关键是找a，b，c之间的等量关系式.
(4)解决最值问题常用的方法是由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上求最值的方法，利用函数的单调性等，亦可用基本不等式求解.
(5)常见题型及处理方法：
①求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题.返回②求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，在利用函数求最值的方法求解时，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围. 第二章 圆锥曲线与方程(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是( )
A. B. C．2 D．4
2．设椭圆＋＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
4．P是长轴在x轴上的椭圆＋＝1上的点，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是( )
A．1 B．a2 C．b2 D．c2
5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
6．设a>1，则双曲线－＝1的离心率e的取值范围是( )
A．(，2) B．(，)
C．(2,5) D．(2，)
7.
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于( )
A．9 B．6 C．4 D．3
9．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
10．若动圆圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
11．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4距离最近的点的坐标是( )
A. B．(1,1)
C. D．(2,4)
12．已知椭圆x2sin α－y2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．
14．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．
15．设椭圆＋＝1 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．
16．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②当1③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中所有正确命题的序号为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知点M在椭圆＋＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．
18．(12分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
19.(12分)直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．
20．(12分)已知点P(3,4)是椭圆＋＝1 (a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
(1)椭圆的方程；
(2)△PF1F2的面积．
21.(12分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
22．(12分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若⊥，求k的值．
第二章 圆锥曲线与方程(A)
1．A [由题意可得2＝2×2，解得m＝.]
2．B [∵y2＝8x的焦点为(2,0)，
∴＋＝1的右焦点为(2,0)，∴m>n且c＝2.
又e＝＝，∴m＝4.
∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.
∴椭圆方程为＋＝1.]
3．B [抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，故双曲线中c＝6.①
由双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，知＝，②
且c2＝a2＋b2.③
由①②③解得a2＝9，b2＝27.
故双曲线的方程为－＝1，故选B.]
4．D [由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a－c，a＋c]，
|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．
|PF1|·|PF2|＝|PF1|(2a－|PF1|)
＝－|PF1|2＋2a|PF1|＝－(|PF1|－a)2＋a2
≥－c2＋a2＝b2，
所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2－b2＝c2.]
5．B [由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a＝2，
且双曲线的标准方程为－＝1.
根据题意2a＋2b＝·2c，即a＋b＝c.
又a2＋b2＝c2，且a＝2，
∴解上述两个方程，得b2＝4.
∴符合题意的双曲线方程为－＝1.]
6．B [∵双曲线方程为－＝1，
∴c＝ .
∴e＝＝ ＝ .
又∵a>1，∴0<<1.∴1<＋1<2.
∴1<2<4.∴7．D [∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，
∴D1C1⊥侧面BCC1B1.
∴D1C1⊥PC1.∴PC1为P到直线D1C1的距离．
∵P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，
∴PC1等于P到直线BC的距离．
由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．]
8．B [设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)，
∵＋＋＝0，∴x1＋x2＋x3＝3.
又由抛物线定义知||＋||＋||
＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6.]
9．C [
如图所示，要使过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率，
∴≥，离心率e2＝＝≥4，
∴e≥2.]
10．B [根据抛物线的定义可得．]
11．B [设与直线2x－y＝4平行且与抛物线相切的直线为2x－y＋c＝0 (c≠－4)，由
得x2－2x－c＝0.①
由Δ＝4＋4c＝0得c＝－1，代入①式得x＝1.
∴y＝1，∴所求点的坐标为(1,1)．]
12．D [椭圆方程化为＋＝1.
∵椭圆焦点在y轴上，∴－>>0.
又∵0≤α<2π，∴<α<.]
13.
解析 由已知得∠AF1F2＝30°，故cos 30°＝，从而e＝.
14．2x－y－15＝0
解析 设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x－4y＝4，x－4y＝4，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
因为线段AB的中点为P(8,1)，
所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.
所以＝＝2.
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
代入x2－4y2＝4满足Δ>0.
即2x－y－15＝0.
15.
解析 由题意，得＝3?＋c＝3c－b?b＝c，
因此e＝＝ ＝ ＝ ＝.
16．③④
解析 ①错误，当k＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k＝时，方程表示圆；验证可得③④正确．
17．解 设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.
∵M是线段PP′的中点，
∴ 把代入＋＝1，
得＋＝1，即x2＋y2＝36.
∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝36.
18．解 设双曲线方程为－＝1.
由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，
∴对于双曲线C：c＝2.
又y＝x为双曲线C的一条渐近线，
∴＝，解得a2＝1，b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
19．解 将y＝kx－2代入y2＝8x中变形整理得：
k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
由，得k>－1且k≠0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得：x1＋x2＝＝4?k2＝k＋2?k2－k－2＝0.
解得：k＝2或k＝－1(舍去)，
由弦长公式得：
|AB|＝·＝×＝2.
20．解 (1)令F1(－c,0)，F2(c,0)，
则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，
所以kPF1·kPF2＝－1，即·＝－1，
解得c＝5，所以设椭圆方程为＋＝1.
因为点P(3,4)在椭圆上，所以＋＝1.
解得a2＝45或a2＝5.
又因为a>c，所以a2＝5舍去．
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6，①
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②
①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，
所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝20.
21．解 焦点F(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥Ox，则|AB|＝2p所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k(x－)，k≠0.
由消去x，
整理得ky2－2py－kp2＝0.
由韦达定理得，y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
∴|AB|＝
＝
＝ ·
＝2p(1＋)＝p.
解得k＝±2.∴AB所在的直线方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)．
22．解 (1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)、(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b＝＝1，
故曲线C的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.
其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)>0恒成立．
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
若⊥，即x1x2＋y1y2＝0.
而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，
化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±.
第二章 圆锥曲线与方程(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2．平面内有定点A、B及动点P，设命题甲是“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设a≠0，a∈R，则抛物线y＝ax2的焦点坐标为( )
A. B.
C. D.
4．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)
5．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±，0) D．(0，±)
6．设椭圆＋＝1 (m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7．已知双曲线的方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
8．已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )
A. B. C．2 D.
9．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A的横坐标的值为( )
A．－2 B．0
C．－2或0 D．－2或2
10．从抛物线y2＝8x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PFM的面积为( )
A．5 B．6
C．10 D．5
11．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k等于( )
A．2或－1 B．－1
C．2 D．1±
12．设F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于( )
A．3 B．6 C．1 D．2
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________．
14．已知抛物线C：y2＝2px (p>0)，过焦点F且斜率为k (k>0)的直线与C相交于A、B两点，若＝3，则k＝________.
15．已知抛物线y2＝2px (p>0)，过点M(p,0)的直线与抛物线交于A、B两点，则·＝________.
16．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)求与椭圆＋＝1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．
18．(12分)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．
19.(12分)已知两个定点A(－1,0)、B(2,0)，求使∠MBA＝2∠MAB的点M的轨迹方程．
20．(12分)已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足·＝y2－8.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C、D两点．求证：OC⊥OD(O为原点)．
21.(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程．
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
22．(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若＝m，＝n，求m＋n的值．
第二章 圆锥曲线与方程(B)
1．A [2a＝18，∵两焦点恰好将长轴三等分，
∴2c＝×2a＝6，∴a＝9，c＝3，
b2＝a2－c2＝72，
故椭圆的方程为＋＝1.]
2．B [点P在线段AB上时|PA|＋|PB|是定值，但点P轨迹不是椭圆，反之成立，故选B.]
3．D
4．D [P在以MN为直径的圆上．]
5．A
6．B [2a＝3＋1＝4.∴a＝2，
又∵c＝＝1，
∴离心率e＝＝.]
7．B [∵A，B在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|＋|AF1|－(|BF2|＋|AF2|)＝4a，|BF1|＋|AF1|＝4a＋m，
∴△ABF1的周长为4a＋m＋m＝4a＋2m.]
8．A
[如图所示过点F作FM垂直于直线3x－4y＋9＝0，当P点为直线FM与抛物线的交点时，d1＋d2最小值为＝.]
9．B [由题意B为抛物线的焦点．令A的横坐标为x0，则|AB|＝x0＋1＝1，∴x0＝0.]
10．A
11．C [由消去y得，
k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
故Δ＝[－4(k＋2)]2－4k2×4
＝64(1＋k)>0，
解得k>－1，由x1＋x2＝＝4，
解得k＝－1或k＝2，又k>－1，故k＝2.]
12．B [因为·＝0，所以⊥，
则||2＋||2＝|F1F2|2＝4c2＝36，
故|＋|2＝||2＋2·＋||2＝36，所以|＋|＝6.故选B.]
13.或－1
解析 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b＝c，此时可求得离心率e＝＝＝＝；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，
设直角边长为m，故有2c＝m,2a＝(1＋)m，
所以，离心率e＝＝＝＝－1.
14.
解析 设直线l为抛物线的准线，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，由＝3，∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝60°，∴tan∠BAE＝.
即k＝.
15．－p2
16．2
解析 设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.
17．解 由椭圆方程为＋＝1，知长半轴长a1＝3，短半轴长b1＝2，焦距的一半c1＝＝，
∴焦点是F1(－，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(－，0)，F2(，0)，设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，由题设条件及双曲线的性质，得，解得，
故所求双曲线的方程为－y2＝1.
18．解 设A、B的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由椭圆的方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，
∴F(，0)．
直线l的方程为y＝x－.①
将①代入＋y2＝1，化简整理得
5x2－8x＋8＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝＝.
19．解 设动点M的坐标为(x，y)．
设∠MAB＝β，∠MBA＝α，即α＝2β，
∴tan α＝tan 2β，则tan α＝.①
(1)如图(1)，当点M在x轴上方时，tan β＝，tan α＝，
将其代入①式并整理得3x2－y2＝3 (x>0，y>0)；
(2)如图(2)，当点M在x轴的下方时，
tan β＝，tan α＝，
将其代入①式并整理得3x2－y2＝3 (x>0，y<0)；
(3)当点M在x轴上时，若满足α＝2β，M点只能在线段AB上运动(端点A、B除外)，只能有α＝β＝0.
综上所述，可知点M的轨迹方程为3x2－y2＝3(右支)或y＝0 (－120．(1)解 ∵A(0，－2)，B(0,4)，
∴＝(－x，－2－y)，＝(－x,4－y)．
则·＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝x2＋y2－2y－8.
∴y2－8＝x2＋y2－2y－8，
∴x2＝2y.
(2)证明 将y＝x＋2代入x2＝2y，
得x2＝2(x＋2)，即x2－2x－4＝0，
且Δ＝4＋16>0，
设C、D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有x1＋x2＝2，x1x2＝－4.
而y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，
∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)
＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4，
∴kOC·kOD＝·＝＝－1，
∴OC⊥OD.
21．解 (1)将(1，－2)代入y2＝2px，
得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.
故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，
其方程为y＝－2x＋t.
由得y2＋2y－2t＝0.
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
另一方面，由直线OA到l的距离d＝
可得＝，解得t＝±1.
因为－1?[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
22．解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1 (a>b>0)．
抛物线方程可化为x2＝4y，其焦点为(0,1)，
则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1.
由e＝＝＝.
得a2＝5，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入方程＋y2＝1，
得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，
＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)．
∵＝m，＝n，
∴m＝，n＝，
∴m＋n＝，
又2x1x2－2(x1＋x2)＝
＝－，
4－2(x1＋x2)＋x1x2
＝4－＋＝，
∴m＋n＝10.
章末总结
知识点一 圆锥曲线的定义和性质
对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．
例1 已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12，求双曲线的标准方程．
知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．
在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．
例2
如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．
(1)求x1x2与y1y2的值；
(2)求证：OM⊥ON.
知识点三 轨迹问题
轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：
(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．
(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．
(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．
(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．
例3 设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
例4 若直线l：y＝kx＋m与椭圆＋＝1相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，A2为椭圆的右顶点且AA2⊥BA2，求证：直线l过定点．
知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略：
(1)平面几何法
平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．
(2)目标函数法
建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．
例5 已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值．
例6 已知F1、F2为椭圆x2＋＝1的上、下两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求△ABF2面积的最大值．
章末总结
重点解读
例1 解
如图所示，设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)．
∵e＝＝2，∴c＝2a.
由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c，
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)，
即4c2＝c2＋|PF1||PF2|.①
又S△PF1F2＝12，
∴|PF1||PF2|sin 60°＝12，
即|PF1||PF2|＝48.②
由①②，得c2＝16，c＝4，则a＝2，b2＝c2－a2＝12，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
例2 (1)解 过点P(2,0)且斜率为k的直线方程为：y＝k(x－2)．
把y＝k(x－2)代入y2＝2x，
消去y得k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0，
由于直线与抛物线交于不同两点，
故k2≠0且Δ＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，
x1x2＝4，x1＋x2＝4＋，
∵M、N两点在抛物线上，∴y·y＝4x1·x2＝16，
而y1·y2<0，∴y1y2＝－4.
例3 解 设直线OA的方程为y＝kx (k≠±1，因为当k＝±1时，直线AB的斜率不存在)，则直线OB的方程为y＝－，进而可求A、
B(4pk2，－4pk)．
于是直线AB的斜率为kAB＝，
从而kOM＝，
∴直线OM的方程为y＝x，①
直线AB的方程为y＋4pk＝(x－4pk2)．②
将①②相乘，得y2＋4pky＝－x(x－4pk2)，
即x2＋y2＝－4pky＋4pk2x＝4p(k2x－ky)，③
又k2x－ky＝x，代入③式并化简，
得(x－2p)2＋y2＝4p2.
当k＝±1时，易求得直线AB的方程为x＝4p.
故此时点M的坐标为(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)上．
∴点M的轨迹方程为(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)，
∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆，去掉坐标原点．
例4
证明 设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
联立
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
则
即
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2
＝.
∵椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2⊥BA2，
∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.
∴＋＋＋4＝0.
∴7m2＋16km＋4k2＝0，
解得m1＝－2k，m2＝－，
且均满足3＋4k2－m2>0.
当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，
直线过定点(2,0)，与已知矛盾．
当m2＝－时，l的方程为y＝k，直线过定点，
∴直线l过定点．
例5 解 因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左
焦点，则A′(－4,0)，由椭圆定义知|MA|＋|MA′|＝10.
如图所示，则|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|＋|MB|－|MA′|＝10＋|MB|－|MA′|≤10＋|A′B|.
当点M在BA′的延长线上时取等号．
所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，
(|MA|＋|MB|)max＝10＋|A′B|＝10＋2.
又如图所示，|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MA′|－|MA′|＋|MB|
＝10－(|MA′|－|MB|)
≥10－|A′B|，
当M在A′B的延长线上时取等号．
所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，
(|MA|＋|MB|)min＝10－|A′B|＝10－2.
例6 解 由题意，|F1F2|＝2.
设直线AB方程为y＝kx＋1，
代入椭圆方程2x2＋y2＝2，
得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则xA＋xB＝－，xA·xB＝－，
∴|xA－xB|＝.
S△ABF2＝|F1F2|·|xA－xB|＝2×
＝2×≤2×＝.
当＝，即k＝0时，
S△ABF2有最大面积为.
