湖南省岳阳市云溪区2024_2025学年高三数学上学期1月期末试卷(含答案)

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名称 湖南省岳阳市云溪区2024_2025学年高三数学上学期1月期末试卷(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-07-19 14:44:49

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2025年高三数学上学期期末考试试卷
一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.设集合,则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
2.已知向量,,若,则( )
A. B.3 C.4 D.
3.已知向量,,若与方向相同,则( )
A.0 B.1 C. D.
4.若复数满足且,则( )
A.5 B. C. D.10
5.某校举办中学生运动会,某班的甲,乙,丙,丁,戊名同学分别报名参加跳远,跳高,铅球,跑步个项目,每名同学只能报个项目,每个项目至少有名同学报名,且甲不能参加跳远,则不同的报名方法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
6.已知函数是上的单调函数,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线:的焦点为F,点P是C上的一点,点,则周长的最小值是( )
A. B. C. D.
2
8.已知函数恰有2个零点,则实数( )
A.有最大值,没有最小值 B.有最小值,没有最大值
C.既有最大值,也有最小值 D.既没有最大值,也没有最小值
二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分)
9.已知正四棱台的体积为,则( )
A.正四棱台的高为
B.与平面所成的角为
C.平面与平面夹角的正切值为
D.正四棱台外接球的表面积为
10.设公比为q的等比数列前n项的积为,则( )
A.若,则
B.若,则必有
C.若,,则有最大值
D.若,则数列一定是等差数列
11.曲线C是平面内与三个定点,和的距离的和等于的点的轨迹,P为C上一点,则( )
A.曲线C关于x轴对称 B.存在点P,使得
C.面积的最大值是1 D.存在点P,使得为钝角
12.设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,,且,,都有,则( )
A. B.
C. D.
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.的展开式中的系数为 (用数字作答)
14.已知数列中,,,(,),则 .
15.已知圆和圆与x轴和直线都相切,两圆相交于M,N两点,其中点M的坐标为,且两圆半径的乘积为5,则k的值为 .
16.若无穷数列满足,则称数列为数列. 若数列为递增数列,则 ;若数列满足,且,则 .
四、解答题(共5小题,共70分)
17.已知函数在处的切线为.
(1)求的值;
(2)求函数的单调区间与最大值.
18.某地为弘扬我国传统文化,举办知识竞赛活动,每位参赛者从以下两种方式中选择一种参赛:
①活动共设有3个问题,能正确回答问题者才能进入下一个问题,否则即被淘汰,3个问题都回答正确即获得“智慧星”称号;
②活动需参赛者回答5个问题,至少正确回答4个即能获得“智慧星”称号;甲乙两人参加此次竞赛活动,甲选择第一种方式,他能正确回答第一、二、三个问题的概率分别为,乙选择第二种方式,他能正确回答每一个问题的概率均为.两种方式下各个问题能否正确回答均互不影响,两人彼此之间也互不影响.
(1)求甲没有获得“智慧星”称号的概率;
(2)求乙获得“智慧星”称号的概率.
(3)记事件“乙正确回答问题的个数比甲正确回答问题的个数多3个”,求事件发生的概率.
19.已知双曲线E:与有相同的渐近线,且过点.
(1)求E的方程;
(2)已知O为坐标原点,直线与E交于P,Q两点,且,求m的值.
20.直线经过抛物线的焦点,且与交于两点(点在轴上方),点(,且)在轴上,直线,分别与交于点,,记直线与轴交点的横坐标为.
(1)若直线垂直于轴,求直线的方程.
(2)证明:.
21.数列满足对任意的正整数都成立,则称为数列.
(1)设是等差数列,是正项等比数列,记,证明:数列是数列;
(2)若为数列,且,求证:;
(3)若正项数列的前项和为,求证:.
《2025年高三上学期数学期末考试试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C B C B C A ACD BC
题号 11 12
答案 BCD BC
1.C
2.A
3.C
4.B
5.C
6.B
7.C
8.A
9.ACD
10.BC
11.BCD
12.BC
13.
14.
15.
16.
17.(1)
(2)在单调递减,单调递增,
(1)因为函数在处的切线为,
所以,,
又函数的导函数,
所以,
所以;
(2)由(1)知
当,当且仅当时取等号,
当,
在单调递减,单调递增,
又,,
.
18.(1)
(2)
(3)
(1)设甲获得“智慧星”称号的事件为,
根据独立事件的乘法公式,,
于是,
即甲没有获得“智慧星”称号的概率是;
(2)设乙答对的问题数为,则,
由题意,乙获得智慧星的概率为
(3)由于乙最多题,甲最多题,当乙比甲多对题时,甲可能答对题
当甲对题,乙对题时,;
当甲对题,乙对题时,;
当甲对题,乙对题时,;

19.(1)
(2)或
(1)由题意,设E的方程为,又E过点,
所以,解得,
所以E的方程为.
(2)设,,由得,
因为,
所以,,
所以

所以,
解得或.
20.(1)由抛物线的焦点为,
若直线垂直于轴,则,令,则、,
,则,即,
,即,
联立,解得或,即,
联立,解得或,即,
故直线的方程为;
(2)设直线为,联立,则有,
故,,
由,则,,
联立,则,
故,即,同理可得,
则,,
则,
令,即有,
又,则,
则,
故,由,
故,即得证.
21.(1)
∵数列为等差数列,
∵数列为等比数列,设数列的公比为,
∴,又

∴数列为数列;
(2)由为数列则
设则,

∴,

∴,

∴,
解得:;
(3)
由且,
∴,



∴,
∴.
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