第三章 空间向量与立体几何
§3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
课时目标
1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．
2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．
2．几类特殊向量
(1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________．
(2)单位向量：________的向量称为单位向量．
(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
(4)相反向量：与向量a长度______而方向________的向量，称为a的相反向量，记为________．
3．空间向量的加减法与运算律
空间向量
的加减法
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：
＝＋＝__________；＝－＝________.
加法运
算律
(1)交换律：a＋b＝________
(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________.；
一、选择题
1．下列命题中，假命题是( )
A. 向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2.如图所示，平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则下列等式成立的是( )
A. ＋＝ B. ＋＝
C. －＝ D. －＝
3.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2＋＋=0，则等于( )
A. B. C. D.2
4.已知向量，，满足||＝||＋||，则( )
A. ＝＋ B. ＝－－
C. 与同向 D. 与与同向
5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式-+化简后的结果是( )
A. B. C. D.
6．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
A.＋＋＝0 B. －－＝0
C.＋－＝0 D.－＋＝0
二、填空题
7.在平行六面体ABCD－A’B’C’D’中，与向量的模相等的向量有________个．
8.若G为△ABC内一点，且满足＋＋＝0，则G为△ABC的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)
9．判断下列各命题的真假：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为________．
三、解答题
10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．
11.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点，请化简：＋＋，(2)＋＋，并标出化简结果的向量．
能力提升
12.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．
1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．
2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．
3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．
4．a－b表示的是由b的终点指向a的终点的一条有向线段．
第三章 空间向量与立体几何
§3.1 空间向量及其运算
3．1.1 空间向量及其加减运算
知识梳理
1．大小 方向 (2)大小 模 (3)①有向线段
②
2．(1)长度为0 0 (2)模为1 (3)相同 相等
(4)相等 相反 －a
3．a＋b a－b (1)b＋a (2)a＋(b＋c)
作业设计
1．D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]
2．D [－＝＝.]
3．C [∵D为BC边中点，∴＋＝2，
∴＋＝0，∴＝.]
4．D [由||＝||＋||＝||＋||，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．]
5．A
[如图所示，
∵＝，1－
＝－＝，
＋＝1，
∴－＋＝.]
6．A [观察平行六面体ABCD—A1B1C1D1可知，向量，，平移后可以首尾相连，于是＋＋＝0.]
7．7
解析 ||＝||＝||＝||＝||
＝||＝||＝||.
8．重心
解析
如图，取BC的中点O，AC的中点D，连结OG、DG.由题意知＝－－＝＋＝2，同理＝2，故G为△ABC的重心．
9．3
解析 ①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
10．解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．
11．解 (1) ＋＋＝＋＝.
(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点．
∴＝，＝.
∴＋＋
＝＋＋＝.
故所求向量，，如图所示．
12．D [＝＋＝a＋
＝a＋(b－a)＝a＋b.]
13．证明
如图所示，平行六面体ABCD—A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则＝
＝(＋＋)．
设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点．
则＝＋＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋(－＋＋)
＝(＋＋)．
同理可证：＝(＋＋)
＝(＋＋)．
由此可知O，P，M，N四点重合．
故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．
3.1.2 空间向量的数乘运算
课时目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．
1．空间向量的数乘运算
(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向________；当λ<0时，λa与向量a方向________；λa的长度是a的长度的________倍．
(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．
分配律：______________；结合律：______________.
2．共线向量
(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________．
(3)
方向向量：如图l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使____________，其中向量a叫做直线l的方向向量．
3．共面向量
(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．
(2)如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使__________．空间内一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使______________．
对空间任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使________________．
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A. ＋＝ B. －＝
C.＝ D.||＝||
3.如图，空间四边形OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，则=x＋y＋z，则( )
A．x＝，y＝，z＝
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
4．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是( )
A. ＝2－－
B. ＝＋＋
C. ＋＋＝0
D. ＋＋＋＝0
5.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
6．下列命题中是真命题的是( )
A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量,，满足||>||，且与同向，则>
D.若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
二、填空题
7.在空间四边形ABCD中，连结AC、BD,若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________．
8.在正四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用a，b，c表示)．
9.已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有＝2＝2＋＋λ，则λ＝________.
三、解答题
10．已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体．
(1)化简＋＋；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BC C′ B′对角线B C′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
11．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．
能力提升
12.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1 中，M为AC与BD的交点，若＝a， ＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b＋c D．－a－b＋c
13.如图所示，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1 对交线的交点，点P是空间任意一点.试探求＋＋＋＋＋＋＋与的关系．
1．向量共线的充要条件及其应用
(1)利用向量共线判定a，b所在的直线平行．
(2)利用向量共线可以证明三点共线．
2．利用共面向量的充要条件可以证明空间四点共面．
3．1.2 空间向量的数乘运算
知识梳理
1．(1)λa 相同 相反 |λ| (2)λ(a＋b)＝λa＋λb λ(μa)＝(λμ)a
2．(1)平行 重合 (2)存在实数λ，使a＝λb
(3) ＝＋ta
3．(1)同一个平面
(2)p＝xa＋yb ＝x＋y
＝＋x＋y
作业设计
1．C [A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ.]
2．C [由＝知与共线，又因有一共同的点B，故A、B、C三点共线．]
3．D [∵＝＋＝＋，①
＝＋＋，②
＝＋＋，③
又＝－，＝－2，
∴①＋②＋③，得3＝＋＋，
即x＝，y＝，z＝.]
4．C [∵＋＋＝0，∴＝－－.
∴M与A、B、C必共面．只有选项C符合．]
5．C [
如图所示，因为－＝，而＝，
∴－＝，
即＝＋，
而与不共线，所以，，三向量共面．]
6．D [A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．
B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．
C错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有>这种写法．
D对．∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥正确．]
7．0
解析
如图，取BC的中点F，连结DF，则＝，
∴＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.
8.a＋b＋c
解析
如图，＝(＋)
＝＋×(＋)
＝a＋b＋c.
9．－2
解析 P与不共线三点A，B，C共面，
且＝x＋y＋z (x，y，z∈R)，
则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．
10．解 (1)方法一 取AA′的中点为E，
则＝.
又＝，＝，取F为D′C′的一个三等分点
(D′F＝D′C′)，
则＝.
∴＋＋
＝＋＋＝.
方法二 取AB的三等分点P使得＝，
取CC′的中点Q，则＋＋
＝＋＋＝＋＋
＝＋＋＝.
(2)连结BD，则M为BD的中点，
＝＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝(－＋)＋(＋)
＝＋＋.
∴α＝，β＝，γ＝.
11．证明 ∵＝，＝，
∴＝2，＝2.
又∵＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝(＋)＋＋(＋)
＝(＋)，①
又A，B，C及A1，B1，C1分别共线，
∴＝λ＝2λ，＝ω＝2ω.
代入①式，得＝(2λ＋2ω)
＝λ＋ω.
∴，，共面．∴M，N，P，Q四点共面．
12．A [＝＋＝＋
＝c＋(＋)＝－＋＋c
＝－a＋b＋c.]
13．解
设E、E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，
于是有＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝2＋2＝4，
同理可证：＋＋＋＝4，
又因为平行六面体对角线的交点O是EE1的中点，所以＋＝2，
所以＋＋＋＋＋＋＋＝4＋4＝4(＋)＝8.
3.1.3 空间向量的数量积运算
课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．
1．空间向量的夹角
定义
已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角
记法
范围
,想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数
量积的结合律
(λa)·b＝________
交换律
a·b＝______
分配律
a·(b＋c)＝____________
(3)数量积的性质
两个向
量数量
积的
性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b?__________.
②若a与b同向，则a·b＝________；
若反向，则a·b＝________.
特别地：a·a＝|a|2或|a|＝.
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝______
④|a·b|≤|a|·|b|.
一、选择题
1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的有( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( )
A. B. C. D．4
4.在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，则·等于( )
A．0 B. C．－ D．－
5.
如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6 B．6
C．12 D．144
6．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb (λ，μ∈R且λ、μ≠0)，则( )
A．m∥n
B．m⊥n
C．m不平行于n，m也不垂直于n
D．以上三种情况都有可能
二、填空题
7．已知a，b是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝，则a与b的夹角为________．
8．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.
9．在△ABC中，有下列命题：
①－＝；
②＋＋＝0；
③(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的是________．(填写正确的序号)
三、解答题
10.
如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.
11．在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.
能力提升
12.平面式O,A.B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于( )
A.
B.
C.
D.
13.
如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．
1．空间向量数量积直接根据定义计算．
2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：
(1)利用a⊥b?a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cos θ＝，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．
3．1.3 空间向量的数量积运算
知识梳理
1．〈a，b〉 [0，π]
2．(2)λ(a·b) b·a a·b＋a·c
(3)①a·b＝0 ②|a|·|b| －|a|·|b|
③
作业设计
1．D [①错；②正确，可以利用三角形法则作出a－b，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b·a＝c·b＝0时，(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．]
2．A [a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|?cos〈a，b〉＝1?〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．]
3．C [|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝.]
4．D [·＝(＋)·
＝·＋·－·－||2
＝cos 60°＋cos 60°－cos 60°－＝－.]
5．C [∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝108＋2×6×6×＝144，∴||＝12.]
6．B [由题意m⊥a，m⊥b，则有m·a＝0，m·b＝0，
m·n＝m(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，
∴m⊥n.]
7．60°
解析 由|a－b|＝，得(a－b)2＝7，
即|a|2－2a·b＋|b|2＝7，∴2a·b＝6，
∴|a||b|cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝，〈a，b〉＝60°.即a与b的夹角为60°.
8.
解析 |a＋b|＝
＝＝.
9．②③
解析 ①错，－＝；②正确；③正确，||＝||；④错，△ABC不一定是锐角三角形．
10．证明 ∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB.
∵·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC.
11．解
如图所示，||＝||＝||＝a，把题中所用到的量都用向量、、表示，于是＝＋＋
＝＋(－)＋(－)＝－＋＋.
又·＝·＝·
＝||2cos 60°＝||2＝a2，
∴·＝·
＝2－·－·＋·＋2＋2＝a2－a2＋a2＋a2＝a2.
故||＝＝a，即|MN|＝a.
12.
C [如图所示，
S△OAB＝|a||b|·sin〈a，b〉
＝|a||b|
＝|a||b|
＝|a||b|
＝.]
13.
解 由AC⊥α，可知AC⊥AB，
过点D作DD1⊥α，D1为垂足，
连结BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，
∴∠BDD1＝60°，
∵AC⊥α，DD1⊥α，∴AC∥DD1，
∴〈，〉＝60°，∴〈，〉＝120°.
又＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴·＝0，·＝0.
故||2＝||2＋||2＋||2＋2·
＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625，
∴||＝25.
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
课时目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．
1．空间向量基本定理
(1)设i、j、k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，那么，对于空间任一向量p，存在一个______________，使得____________，我们称______，______，______为向量p在i、j、k上的分向量．
(2)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c________，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得________________．
(3)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是___________．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做__________．空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底．
2．空间向量的坐标表示
若e1、e2、e3是有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为____________________，以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么，对于空间任意一个向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作____________．
一、选择题
1．在以下3个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a、b不能构成空间基底的是( )
A. B． C. D.或
3．以下四个命题中，正确的是( )
A.若＝＋，则P、A、B三点共线
B．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|
D. △ABC是直角三角形的充要条件·＝0
4.设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3G,G1若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A．(，，) B．(，，)
C．(，，) D．(，，)
5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
6.已知空间四边形OABC中＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于( )
A.a－b＋c B．－a＋b＋c
C.a＋b－c D.a＋b－c
二、填空题
7．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是____________．
8.已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则＝____________.
9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝______.
三、解答题
10.四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E、F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示、、、.
11.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD,求、的坐标．
能力提升
12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F1，F2，F3，若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1＝i＋2j＋3k，F2＝－2i＋3j－k，F3＝3i－4j＋5k，则这三名工人的合力F＝xi＋yj＋zk，求x、y、z.
13.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.
1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．
2. ＝x＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．
3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：
(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．
(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
知识梳理
1．(1)有序实数组{x，y，z} p＝xi＋yj＋zk xi yj zk (2)不共面 p＝xa＋yb＋zc (3){p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R} 基底 基向量 不共面
2．单位正交基底 p＝(x，y，z)
作业设计
1．C [命题①，②是真命题，命题③是假命题．]
2．C [∵＝(a－b)，与a、b共面，
∴a，b，不能构成空间基底．]
3．B [A中若＝＋，则P、A、B三点共线，故A错；
B中，假设存在实数k1，k2，使c＋a＝k1(a＋b)＋k2(b＋c)＝k1a＋(k1＋k2)b＋k2c，
则有方程组无解，
即向量a＋b，b＋c，c＋a不共面，故B正确．
C中，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C错．
D中，由·＝0?△ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能角B等于90°，则有·＝0.故D错．]
4．A [因为＝＝(＋)
＝＋×[(＋)]
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋，
而＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝.]
5．A [设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，
则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i
＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．]
6．B [＝－＝(＋)－
＝－a＋b＋c.]
7．(3,2，－1)，(－2,4,2)
8．3a＋3b－5c
解析 ∵＝＋＋，
又＝＋＋，
∴两式相加得
2＝(＋)＋＋＋(＋)．
∵E为AC中点，故＋＝0，同理＋＝0，
∴2＝＋＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝6a＋6b－10c，∴＝3a＋3b－5c.
9.
解析 ＝＝(＋＋)．
故x＝y＝z＝，∴x＋y＋z＝.
10．解 ＝＝(＋)
＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)
＝－a－b＋c.
＝＋
＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)
＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
11．解
∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴可设＝e1，＝e2，＝e3.
以e1、e2、e3为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．
∵＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)
＝－e1＋e3，
∴＝，＝＝e2＝(0,1,0)．
12．解 由题意，得F＝F1＋F2＋F3＝(i＋2j＋3k)＋(－2i＋3j－k)＋(3i－4j＋5k)＝2i＋j＋7k.
又因为F＝xi＋yj＋zk，所以x＝2，y＝1，z＝7.
13．证明 设＝a，＝c，＝b，
则＝＋
＝(＋)
＝(＋)
＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，
＝＋＝＋＝a＋b.
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2－a·b＋a·b＋c·a＋c·b)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥，即EF⊥AB1.
同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
课时目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．
1．空间向量的直角坐标运算律
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a＋b＝______________；
(2)a－b＝________________；
(3)λa＝____________(λ∈R)；
(4)a·b＝________________；
(5)a∥b?________________；
(6)a⊥b?________________.
2．几个重要公式
(1)若A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则＝________________________.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．
(2)模长公式：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝______________，|b|＝＝________________.
(3)夹角公式：cos〈a，b〉＝________________
＝________________________ (a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．
(4)两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．则＝=_________.
一、选择题
1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则( )
A.＝(－1,2,1) B.＝(1,3,4)
C..＝(2,1,3) D.＝(－2，－1，－3)
2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
3．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B. C. D.
5．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为( )
A. B. C．4 D．8
6．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)则|b－a|的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题
7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝______.
8．若(a＋3b)⊥(7a－5b)，且(a－4b)⊥(7a－5b)，则a与b的夹角的余弦值为________．
9.已知A（1，－1,2），B(5,-6,2)C(1,3-1)则在上的投影为______．
三、解答题
10．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2, 并取A1B1、A1A的中点分别为P、Q.
（1）求向量的长；
（2）cos〈，〉，cos〈，〉，并比较〈，〉与〈，〉的大小；
(3)求证：AB1⊥C1P.
能力提升
12．在长方体OABC—O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：
(1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
13．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1?
1．空间向量在几何中的应用
有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直，利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用．
2．关于空间直角坐标系的建立
建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标．
3．1.5 空间向量运算的坐标表示
知识梳理
1．(1)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (2)(a1－b1，a2－b2，a3－b3) (3)(λa1，λa2，λa3) (4)a1b1＋a2b2＋a3b3 (5)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) (6)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
2．(1)(x2－x1，y2－y1，z2－z1) 终点 起点
(2)
(3)
(4)
作业设计
1．C
2．B [∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，∴3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，∴x＝，y＝－4.]
3．A [设＝＝＝k，易知a∥b，即条件具有充分性．又若b＝0时，b＝(0,0,0)，
虽有a∥b，但条件＝＝显然不成立，所以条件不具有必要性，故选A.]
4．D [∵ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，
∴3(k－1)＋2k－4＝0.∴k＝.]
5．A [设向量a、b的夹角为θ，
于是cos θ＝＝，由此可得sin θ＝.
所以以a、b为邻边的平行四边形的面积为
S＝2××3×3×＝.]
6．C [∵|b－a|＝＝
＝≥ ＝，
∴|b－a|的最小值是.]
7．11
解析 ∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，
使＝k1＋k2，
即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，
∴ 解得
∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.
8．1
解析 由题意知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－5a·b＋21a·b－15|b|2＝7|a|2＋16a·b－15b2＝0，①
且(a－4b)·(7a－5b)＝7|a|2－33a·b＋20|b|2＝0，②
①－②得49a·b＝35|b|2.
∴|a|2＝|b|2，∴＝.
∴cos〈a，b〉＝＝＝·＝1.
9．－4
解析 ∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．
＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，
∴cos〈，〉＝
＝－，
在上的投影为||cos〈，〉
＝×＝－4.
10．解 ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(7，－4，－16)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，
则＝＝，
解得k＝－.
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.
11．解
以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，
C1(0,0,2)，
P，Q(1,0,1)，
B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．
∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，
＝(1，－1,2)，＝(－1,1,2)，
＝.
(1)| |＝＝＝.
(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又·＝0－1＋4＝3，
||＝＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又0<<<1，
∴〈，〉，〈，〉∈.
又y＝cos x在内单调递减，
∴〈，〉>〈，〉．
(3)证明 ∵·＝(－1,1,2)·＝0，
∴⊥.
12．解
建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)由题意得A(2,0,0)，O1(0，0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)．
∴＝(－2,0,2)，
＝(－1,0，－2)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴AO1与B1E所成角的余弦值为.
(2)由题意得⊥，∥，
∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，
∴＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)，
∴ 解得
∴D，
∴O1D＝||＝ ＝.
即点O1到点D的距离为.
13．解
如图所示，分别以，，为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，
E，F，设M(1,1，m)，∴＝，
＝，＝(1,1，m－1)．
若D1M⊥平面EFB1，
则D1M⊥EF且D1M⊥B1E.
即·＝0，·＝0，
∴，∴m＝，
即存在点M且为B1B的中点，使D1M⊥平面EFB1.
§3.2 立体几何中的向量方法(三)——空间向量与空间角
课时目标 1.利用向量方法解决线线、线面、面面所成角的计算问题.2.会用向量方法求两点间的距离，点到平面的距离.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．
1．空间中的角
角的分类
向量求法
范围
异面直线
所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cos θ＝________＝__________
直线与平
面所成
的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝______
二面角
设二面角α—l—β的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝
__________＝__________
[0，π]
2.空间的距离
距离的分类
向量求法
两点间
的距离
若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝
＝
|n|)
点到平面的距离
设n是平面α的法向量，A是平面α外一点，Bα则点A到平面的距离d=
一、选择题
1．若直线l1的方向向量与直线l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．以上均错
2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．30° B．60°
C．150° D．以上均错
3．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是( )
A．等于90° B．小于90°
C．大于90° D．不确定
4．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM与CN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A. B．2
C. D.
6．在直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为( )
A．2 B.
C. D．3
二、填空题
7．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．
8．如图，
已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
9．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为______．
三、解答题
10.
如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．
11．已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
能力提升
12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
13．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，且AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
1．空间两条异面直线所成的角，可转化为求两条直线的方向向量的夹角或夹角的补角．
2．直线与平面所成的角，二面角主要利用平面的法向量解决；要注意向量的方向和所求角的范围．
3．空间两点间的距离可直接利用距离公式，点到平面的距离转化为向量的投影问题．
§3.2 立体几何中的向量方法(三)
——空间向量与角、距离
知识梳理
1.
角的分类
向量求法
范围
异面直线
所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝
直线与平
面所成
的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝
二面角
设二面角α—l—β的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝
[0，π]
作业设计
1．A 2.B
3．A [∵A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥MN，
∵·＝(＋)·
＝·＋·＝0，
∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.]
4．D
[如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，
M，C(0,1,0)，
N.
∴＝，＝.
∴·＝，||＝＝||.
∴cos〈，〉＝＝.]
5．D [由题意＝(＋)＝(2，，3)，
＝－＝(－2，－，－3)，
PC=||＝ ＝.]
6．A [作AE⊥x轴交x轴于点E，BF⊥x轴交x轴于点F，则
＝＋＋，
2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝2＋2＋2＋2·
＝9＋25＋4＋2×3×2×＝44，
∴||＝2.]
7．60°
解析 ∵cos〈n，ν〉＝＝－，
∴〈n，ν〉＝120°.故两平面所成的锐二面角为60°.
8．90°
解析 建立如图所示的坐标系，设正三棱柱的棱长为1，则B，
M，
B1，
因此＝，
＝，
设异面直线AB1与BM所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝0，∴θ＝90°.
9.
解析 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
∴可取n＝，又＝(－7，－7,7)．
∴点D到平面ABC的距离d＝＝.
10.
解 由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)．
设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)．
∴＝(0,0,1)，＝(－1，－1,1)．
显然是底面的法向量，它与已知向量的夹角β＝90°－θ，
故有sin θ＝|cos β|＝＝＝，
于是cos θ＝＝.
11．解
如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Cxyz.
由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，
G(0,0,2)．
＝(0,2,0)，＝(4,2，－2)，＝(－2,2,0)．
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则有即
令x＝1，则y＝1，z＝3，∴n＝(1,1,3)．
点B到平面EFG的距离为
12．B [
建系如图，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，
A1(1,0,1)，E，
∴＝(1,0,1)，
＝.
设平面A1ED的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，
即
令x＝1，得y＝－，z＝－1，
∴n＝.
又平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,1)，
∴cos〈n，〉＝＝－.
∴平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.]
13.
(1)证明 设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示，
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，
N(，0,0)，S(1，，0)．
所以＝(1，－1，)，＝(－，－，0)．
因为 ＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN.
（2）解 ＝(－，1,0)，
设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，则
即令x＝2，得a＝(2,1，－2)．
因为|cos〈a，〉|＝，
所以SN与平面CMN所成的角为45°.
§3.2 立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系
课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．
1．空间垂直关系的向量表示
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?______
设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?________
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?________
2.空间中垂直关系的证明方法
线线垂直
线面垂直
面面垂直
①证明两直线的方向向量的数量积为______．
①证明直线的方向向量与平面的法向量是______．
①证明两个平面的法向量____________．
②证明两直线所成角为______.
②证明直线与平面内的相交直线________.
②证明二面角的平面角为________.________.
一、选择题
1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
5．设直线l1的方向向量为a＝(1，－2,2)，l2的方向向量为b＝(2,3,2)，则l1与l2的关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
6.
如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是上底面中心，则AC1与CE的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．相交且垂直 D．以上都不是
二、填空题
7．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝______.
8．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对．
9．下列命题中：
①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?u·v＝0；
②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号)
三、解答题
10．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
11．已知ABC—A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1.
能力提升
12．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.
13．如图，四棱锥P－ABCD中，底
面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.
垂直关系的常用证法
(1)要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．
(2)要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．
(3)要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
§3.2 立体几何中的向量方法(二)
——空间向量与垂直关系
知识梳理
1．a⊥b a∥u u⊥v
2.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
①证明两直线的方向向量的数量积为0.
②证明两直线所成角为直角.
①证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量．
②证明直线与平面内的相交直线互相垂直.
①证明两个平面的法向量垂直．
②证明二面角的平面角为直角.
作业设计
1．B [∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝0，∴m＝2.]
2．C [∵＝(－3，－2，－5)，＝(－1,4，－1)，＝(2,6,4)，∴·＝0，∴AB⊥AC，且||≠||≠||，∴△ABC为直角三角形．]
3．B [∵n＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.]
4．C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．]
5．B [∵a·b＝2×1－2×3＋2×2＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.]
6．C [可以建立空间直角坐标系，通过与的关系判断．]
7．－9
解析 ∵l⊥α，∴u⊥v，
∴(1，－3，z)·(3，－2,1)＝0，
即3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
8．0
解析 ∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，
a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，
b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.
∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直．
9．①②③
10．证明
如图，以平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，、所在直线为y轴、z轴，则A(0,0,0)，B1，
M，N.
∴＝，＝.
∴·＝－＋＋＝0，
∴⊥，即AB1⊥MN.
11．证明
如图，取AB1的中点M，
则＝＋＋.
又＝＋＋，
两式相加得2＝＋
＝＋.
由于2·＝(＋)·＝0，
2·＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝0.
∴DM⊥AA1，DM⊥AB，AA1∩AB＝A，
∴DM⊥平面ABB1A1，而DM?平面AB1D.
∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.
12．证明
取O为坐标原点，以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)．
设A(1,0,0)，C(0,0,1)，
B.
∵P为AC中点，∴P.
∵＝，
又由已知，可得＝＝，
又＝＋＝，
∴＝－＝.
∴·＝·(1,0,0)＝0，
故⊥，即PQ⊥OA.
13.
证明 如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz.
设D(0，a,0)，
则B(，0,0)，C(，a,0)，
P(0,0，)，E(，0，)．
于是＝(，0，)， ＝(0，a,0)，
＝(，a，－)，
则·＝0，·＝0.
所以AE⊥BC，AE⊥PC.
又因为BC∩PC＝C，所以AE⊥平面PBC.
课件26张PPT。第三章 §3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 空间向量的概念
思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.答案问题导学 答案方向大小长度模长度答案(2)几类特殊的空间向量零向量模为1相等相反相同相等同向等长知识点二 空间向量的加减运算及运算律
思考1 下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.答案思考2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？答案答案 先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则.梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.(2)空间向量加法交换律
a＋b＝______
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)返回b＋a答案解析答案反思与感悟类型一 有关空间向量的概念的理解题型探究 解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；
若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确； ④显然正确；
空间中任意两个单位向量的模必相等，但这两个向量不一定相等，故⑤错误.故选C.
答案 C 反思与感悟在空间，平面向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.解析答案答案 B 解析答案解 ①假命题，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来.
②假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可.
③假命题，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. 类型二 空间向量的加减运算解析答案例2 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.反思与感悟根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可以按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好.跟踪训练2 如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式.解析答案返回返回1.下列命题中，假命题是( )
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等解析答案D当堂训练 解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.1234512345解析答案C12345解析答案解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确.D3.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A.a＝b B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|＝312345解析答案12345答案 4 12345解析答案0返回(4)空间向量减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点.课件30张PPT。第三章 §3.1 空间向量及其运算3.1.2 空间向量的数乘运算1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.
2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.
3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 空间向量的数乘运算
思考 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？答案问题导学 答案 λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍.
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，
②结合律：λ(μa)＝(λμ)a. 答案梳理 (1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝____.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝______；
②λ(a＋b)＝________；
③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).相反|λ||a|(λμ)aλa＋λbλ1a＋λ2a知识点二 共线向量与共面向量
思考1 回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.答案答案 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.思考2 空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案答案 正确.根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量.梳理 (1)平行(共线)向量平行或重合a＝λb方向向量答案(2)共面向量返回答案惟一p＝xa＋yb解析答案类型一 空间向量的数乘运算题型探究 反思与感悟反思与感悟证明 连接BG，延长后交CD于点E，由G为△BCD的重心，由题意知E为CD的中点，应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量运算的前提，表示向量时要注意选定向量，明确转化的目标.解析答案解析答案类型二 向量共线问题反思与感悟反思与感悟判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.解析答案跟踪训练2 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，解 设AC中点为G，连接EG，FG，类型三 向量共面问题解析答案反思与感悟反思与感悟利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系.解析答案解析答案解析答案返回1.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A.共面向量 B.共线向量
C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量解析答案A当堂训练 解析 ∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，
∴2a－b与a，b共面.1234512345解析答案1234512345解析答案解析 根据空间向量的基本概念知四个命题都不对.A3.在下列命题中：
①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；
②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；
③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；
④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.312345解析答案4.以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；
②共线的两个向量互相平行；
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.
其中正确命题的序号是_______.解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确.②④12345解析答案－8返回课件27张PPT。第三章 §3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的数量积运算1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 空间向量数量积的概念答案问题导学 求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.答案梳理 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律a·b＋a·cλ(a·b)b·a答案(3)空间向量的夹角∠AOB[0，π]知识点二 空间向量的数量积的性质答案a·b＝0|a|·|b|－|a|·|b||a|2返回解析答案类型一 空间向量的数量积运算题型探究 反思与感悟反思与感悟两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.解析答案解析答案解析答案类型二 利用数量积求夹角
例2 BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.反思与感悟因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，解析答案反思与感悟反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法：解析答案跟踪训练2 已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l?α，且l⊥OA.
求证：l⊥PA.因为l⊥OA， 所以l⊥PA.类型三 利用数量积求距离解析答案例3 如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.反思与感悟反思与感悟因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，跟踪训练3 如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离.解析答案返回1.设a、b、c是任意的非零向量，且它们互不共线，有下列命题：
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的有( )
A.①② B.②③
C.③④ D.②④解析答案D当堂训练 解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确.1234512345解析答案D12345解析答案C12345解析答案4.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.解析 由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.612345解析答案5.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝______.返回①空间向量数量积的性质可以看成定义的引申和拓展，空间向量数量积与向量的模和夹角有关，更多的是以它为工具，解决立体几何中与夹角和距离相关的问题，求空间两点间的距离或线段的长度的问题可以转化为求相应向量的模的问题；②求空间两条直线所成的角的问题可以转化为求两条直线对应向量的夹角的问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围；③和垂直相关的问题可以转化为向量的数量积为零的情况.课件26张PPT。第三章 §3.1 空间向量及其运算3.1.4 空间向量的正交分解
及其坐标表示1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；
2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；
3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 空间向量基本定理
思考 平面向量基本定量的内容是什么？答案问题导学 答案 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.答案梳理 (1)如果三个向量a，b，c共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量.
(3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两 ，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的 .垂直起点答案知识点二 空间向量的坐标表示
思考 平面向量的坐标是如何表示的？答案 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.梳理 (1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量 ＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝_____________，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的 恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标 .答案返回xe1＋ye2＋ze3坐标(x，y，z)解析答案类型一 空间向量的基底题型探究 例1 若{a，b，c}是空间的一个基底.试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？反思与感悟反思与感悟解 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底，
∴a，b，c不共面.∴a＋b，b＋c，c＋a不共面.
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底. 空间向量有无数个基底.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.解析答案跟踪训练1 以下四个命题中正确的是_____.
①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；
②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；
③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；
④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.解析 因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；
由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；
空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确. ②③类型二 用基底表示向量解析答案反思与感悟反思与感悟解 连接AC，AD′.求解空间向量在某基底下的坐标的关键：一是运用空间向量的基本定理，二是理解空间向量的坐标表示的意义.解析答案解 ∵H为△OBC的重心，D为BC的中点，类型三 应用空间向量坐标表示解题解析答案解析答案反思与感悟(1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，a＝λe1＋μe2＋ke3，则a的坐标为(λ，μ，k).解析 ∵OM＝2MA，点M在OA上，解析答案返回为_____________.1.在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3解析答案C当堂训练 解析 ①正确.基底的量必须不共面；②正确；
③不对，a，b不共线.当c＝λa＋μb时，a、b、c共面，故只有①②正确.1234512345解析答案12345答案 A 12345解析答案所以O、A、B、C四点共面.D12345解析答案4.设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为____(填写代号).解析 ①∵a－b与a，b共面，
∴a－b与a，b不能构成空间的一个基底.
②∵a＋b－c与a，b不共面，
∴a＋b－c与a，b构成空间的一个基底.②12345解析答案5.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是__________.解析 设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，
则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，
故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10). (12,14,10)返回(1)基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量.
(2)空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.
(3)用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.课件30张PPT。3.1.5 空间向量运算的坐标表示第三章 §3.1 空间向量及其运算1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.
2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.
3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 空间向量的坐标运算答案问题导学 思考 设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？答案 m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2.梳理 (1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角答案设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a1b1＋a2b2＋a3b3＝0返回解析答案类型一 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示题型探究 反思与感悟反思与感悟解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上.
∵|P1P2|＝2，而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上，
∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0).
在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，
∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0). 建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜.
向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标.求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.解析答案C类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示解析答案解析答案反思与感悟(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.向量平行与垂直问题的三种题型
题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断.题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 题型3：利用向量坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解.解析答案跟踪训练2 在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点.
证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD.证明 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则A(0,0,0)，B(1,0,0 )，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)， 解析答案类型三 空间向量的夹角与长度的计算解析答案反思与感悟解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，解析答案反思与感悟通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.解析答案跟踪训练3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积；解 ∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，在Rt△POB中，∠PBO＝60°，解析答案(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.返回解 如图，以O为原点，OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，返回∵异面直线所成的角为锐角或直角，解析答案当堂训练 1234561.已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于( )
A.(16,0,4) B.(8，－16,4)
C.(8,16,4) D.(8,0,4)解析 4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)
＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4). D解析答案2.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为( )
A.4 B.15 C.3 D.7C123456解析 ∵b＋c＝(2,2,5)，
∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.解析答案1234563.已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是( )
A.(1,1,1) B.(－4,6，－2)
C.(2，－3,5) D.(－2，－3,5)解析 若b＝(－4,6，－2)，
则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，
所以a∥b.B解析答案解析 依题意(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，D123456解析答案123456解析答案1234566.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x＝___.解析 ∵(a＋b)·c＝(－2,1,3＋x)·(1，－x,2)＝x＋4＝0，
∴x＝－4.－4返回(3)空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.课件38张PPT。第三章 空间向量与立体几何§3.2 立体几何中的向量方法（一）1.掌握空间点、线、面的向量表示.
2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.
3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 直线的方向向量与平面的法向量
思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案问题导学 梳理 (1)直线的方向向量和平面的法向量答案非零方向向量n (2)空间中平行关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则答案a∥ba·μμ＝kv (k∈R)a·b＝0a＝kμ(k∈R)μ·v＝0知识点二 利用空间向量处理平行问题
思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.答案答案 由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2?v1∥v2?v1＝λv2(λ∈R). (2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？答案答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.返回解析答案类型一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系题型探究 例1 (1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：
①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)；
②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；解 ①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，
∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2. 解析答案∴μ·v＝－3＋2＋1＝0，
∴μ⊥v，∴α⊥β.
②∵μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)，解析答案反思与感悟(3)设μ是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断平面α与l的位置关系：
①μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)；
②μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0).解 ①∵μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，
∴μ·a＝－12＋16－4＝0，
∴μ⊥a，∴l?α或l∥α.
②∵μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0). 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性.跟踪训练1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；解析答案解 ∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；解析答案解 ∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，
∴a，b既不共线也不垂直，
即l1与l2相交或异面，但不垂直.(3)平面α与β的法向量分别是μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；解析答案解 ∵μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴μ·v≠0且μ≠kv(k∈R)，
∴μ与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直. (4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3).解析答案解 ∵a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)， 类型二 求平面的法向量解析答案反思与感悟解析答案设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，反思与感悟设直线l的方向向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量υ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?μ∥υ?μ＝kν?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，其中k∈R，
平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n＝(x，y，z)，
②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：
a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.解析答案证明 设正方体的棱长为1，同理DB1⊥AD1，
又AC∩AD1＝A，
所以DB1⊥平面ACD1， 类型三 利用空间向量证明平行关系解析答案例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；证明 建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，解析答案反思与感悟(2)平面ADE∥平面B1C1F.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.解析答案返回跟踪训练3 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝
AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由.返回解 分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)解析答案A当堂训练 123452.已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若两直线l1∥l2，则x，y的值分别是( )
A.6和－10 B.－6和10
C.－6和－10 D.6和1012345解析答案解析 由两直线l1∥l2，得两向量a，b平行，A12345解析答案解析 能作为平面α的法向量的向量与μ＝(2，－3,1)共线，(－2,3，－1)＝－μ.D3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A.(0，－3,1) B.(2,0,1)
C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)12345解析答案C12345解析答案5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________.解析 不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，
则各点坐标为：A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，
设平面ACD1的一个法向量a＝(x，y，z)，12345答案 (1,1,1)(答案不唯一)(1)空间中一条直线的方向向量有无数个.
(2)方向向量在判断线线、线面位置关系时起到重要的作用.(4)利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.(5)证明线面平行的方法
①设n是平面α的一个法向量，v是直线l的方向向量，则v⊥n且l上至少有一点A?α，则l∥α.
②根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.
③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.返回(6)证明面面平行的方法
①面面平行的证明可转化为线面平行的证明，即如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面，那么这两个平面平行.
②利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a⊥平面α，b⊥平面β，且a∥b，那么α∥β.课件40张PPT。第三章 空间向量与立体几何§3.2 立体几何中的向量方法（三）1.理解直线与平面所成角的概念.
2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.
3.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点 利用空间向量求空间角
思考1 空间角包括哪些角？答案问题导学 答案 线线角、线面角、二面角.思考2 求解空间角常用的方法有哪些？答案 传统方法和向量法.梳理 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.
(1)线线角：设两条直线的方向向量分别为a，b，且a与b的夹角为φ，两条
直线所成角为θ，则cos θ＝____________.答案(3)二面角的求法：
①转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向).②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.如图所示，已知二面角α－l－β，在α内取一点P，过P作PO⊥β，PA⊥l，垂足分别为O，A，连接AO，则AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角.③先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小.返回解析答案类型一 求两条异面直线所成的角题型探究 反思与感悟解 建立如图所示的空间直角坐标系，反思与感悟在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别.跟踪训练1 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.解析答案解 不妨设正方体棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)，类型二 求直线和平面所成的角解析答案反思与感悟解析答案解 建立如图所示的空间直角坐标系，又AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面ABB1A1.
∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角. 解析答案解析答案反思与感悟用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.解析答案跟踪训练2 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.解 由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示). 解析答案反思与感悟类型三 求二面角
例3 在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.解析答案解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，解析答案反思与感悟(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.解析答案返回解析答案解 如图所示建立空间直角坐标系，返回解析答案当堂训练 12345D12345解析答案12345解析答案解析 取AC的中点为E，连接BE，
则BE⊥AC，建立如图所示的空间直角坐标系，∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，
BE⊥AC，BE?平面ABC，
∴BE⊥平面AA1C1C，1234512345解析答案12345解析答案设AA1＝2AB＝2，
则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)， 12345令z＝1，则y＝－2，x＝2，
所以n＝(2，－2,1).
设直线CD与平面BDC1所成的角为θ， 答案 A 12345解析答案4.正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为_______.解析 取BC的中点O，连接AO，DO，
建立如图所示的空间直角坐标系， 12345解析答案1234512345解析答案解析 建立如图所示的空间直角坐标系，12345所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°. 答案 30°(2)利用法向量求二面角的余弦值的步骤：第一步，求两平面的法向量；第二步，求两法向量的夹角的余弦值；第三步，由图判断所求的二面角是锐角、直角，还是钝角，从而下结论.在用法向量求二面角的大小时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.返回课件34张PPT。第三章 空间向量与立体几何§3.2 立体几何中的向量方法（二）1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 向量法判断线线垂直
思考 若直线l1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案问题导学 答案 l1与l2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l1与l2垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.梳理 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?____＝0?__________________答案a·ba1b1＋a2b2＋a3b3＝0知识点二 向量法判断线面垂直答案判断直线与平面的位置关系的方法：
(1)直线的方向向量与平面的法向量共线?l⊥α.
(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直?直线与平面平行或直线在平面内.
(3)直线的方向向量与平面内的两相交直线的方向向量垂直?l⊥α 梳理 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ?____________.答案a＝kμ(k∈R)知识点三 向量法判断面面垂直
思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案答案 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0?__________________.返回a1a2＋b1b2＋c1c2＝0答案解析答案类型一 证明线线垂直题型探究 反思与感悟证明 设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系. ∵M为BC中点，反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系―→ 写出点的坐标―→求直线的方向向量―→ 证明向量垂直―→ 得到两直线垂直.跟踪训练1 已知如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.解析答案证明 ∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC、BC、C1C两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，类型二 证明线面垂直解析答案例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.反思与感悟证明 方法一 如图以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为2，则O(1,1，0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，解析答案反思与感悟设平面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，令x＝1，得z＝2，y＝－1，
∴平面GBD的一个法向量为(1，－1,2)， 反思与感悟本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算.解析答案跟踪训练2 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面PAC.类型三 证明面面垂直解析答案例3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.证明 以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，解析答案反思与感悟设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.解析答案返回跟踪训练3 在正三棱锥(底面是正三角形且侧棱相等)PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.证明 以三棱锥的顶点P为原点，
以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
令PA＝PB＝PC＝3，
则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1，0)，P(0,0,0)，解析答案返回令y＝1，得z＝－1，x＝0，
即n＝(0,1，－1).1.下列命题中，正确命题的个数为( )
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ? n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.
A.1 B.2 C.3 D.4解析答案当堂训练 12345解析 ①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确.C2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为( )
A.a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)
B.a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)
C.a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)
D.a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)12345解析答案B解析 因为a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，
所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，
所以a⊥b，故选B.12345解析答案解析 ∵a∥μ，∴l⊥α.B3.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则( )
A.l∥α B.l⊥α
C.l?α D.l与α斜交12345解析答案4.平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.不能确定解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直. C12345解析答案5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t的值为___.解析 ∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，
∴μ·ν＝0，
即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5. 5(1)立体几何要解决的主要问题是空间图形的形状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重要问题，空间向量的运算，特别是数量积涉及向量的模以及向量之间的夹角，我们可以把点、直线、平面用向量表示，然后利用向量的运算(特别是数量积)解决点、直线、平面之间的夹角与长度等问题.
(2)类似用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，我们可以得出用空间向量解决几何问题的“三步曲”：返回①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.课件39张PPT。第三章 空间向量与立体几何章末复习课1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.
2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.
3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.
4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.
5.会用向量法解决立体几何问题.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则答案问题导学 a⊥μa·μ＝0μ＝kv，k∈Ra⊥ba·b＝0μ·v＝0答案知识点二 用坐标法解决立体几何问题的步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论.
关键点如下：
(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.
(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键. 返回解析答案反思与感悟类型一 空间向量及其运算
例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：题型探究 反思与感悟答案 ③④向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则运算律及其几何意义.解析答案由已知ABCD是平行四边形，类型二 利用空间向量证明空间中的位置关系
例2 如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
求证：(1)BC1⊥AB1；
(2)BC1∥平面CA1D.解析答案反思与感悟证明 如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系.设AC＝BC＝BB1＝2，
则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1，1,2). 解析答案反思与感悟又ED和BC1不共线，
所以ED∥BC1，
又DE?平面CA1D，BC1?平面CA1D，
故BC1∥平面CA1D.(1)证明线与面的平行与垂直：如果直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，且直线不在该平面内，那么这条直线就与该平面平行.如果直线的方向向量与平面的一个法向量共线，则直线与平面垂直.
(2)证明面与面的平行与垂直：如果两个不重合平面的法向量互相平行，那么这两个平面互相平行，法向量互相垂直，则这两个平面互相垂直.解析答案跟踪训练2 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.解析答案证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1. 解析答案类型三 利用空间向量求角
例3 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；解 交线围成的正方形EHGF如图： 解析答案(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.反思与感悟解 作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，解析答案反思与感悟用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝|cos〈n，a〉|，求θ.(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.解析答案跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(1)求证：GF∥平面ADE；解析答案方法一 证明 如图，取AE的中点H，
连接HG，HD，
又G是BE的中点，又F是CD的中点，由四边形ABCD是矩形得，
AB∥CD，AB＝CD， 所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
所以GF∥平面ADE. 解析答案方法二 证明 如图，取AB中点M，连接MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.
又AE?平面ADE，GM?平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.
又AD?平面ADE，MF?平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE. 解析答案返回(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.解析答案证明 如图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).因为AB⊥平面BEC，设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量.返回1.下列各组向量中不平行的是( )
A.a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)
B.c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)
C.e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)
D.g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)解析答案D当堂训练 解析 A：b＝－2a?a∥b；
B：d＝－3c?d∥c；
C：而零向量与任何向量都平行.123452.若A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A.不等边锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形12345解析答案A12345解析答案3.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为( )12345解析 以点A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA1＝AB＝AC＝2，答案 D 4.已知a，b，c是空间的一组基底，设p＝a＋b，q＝a－b，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一组基底的是( )
A.a B.b
C.c D.以上都不对12345解析答案解析 ∵a，b，c不共面，
∴a＋b，a－b，c不共面，
∴p，q，c可构成空间的一个基底.C12345解析答案5.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是____________.x＋y＋z＝0(1)理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、数量积的坐标表示以及两点间的距离公式、夹角公式，利用空间向量的坐标运算可将立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如(1)判断线线平行或三点共线，可以转化为证a∥b(b≠0)?a＝λb；(2)证明线线垂直，转化为证a⊥b?a·b＝0，若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则转化为证x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；(3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为a·a＝|a|2，或利用空间两点间的距离公式；(4)在求异面直线所成的角或线面角及二面角时，转化为计算向量的夹角，(2)利用空间向量解决立体几何中的平行问题
①证明两条直线平行，可转化为证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线.
②证明线面平行的方法
a.证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内.
b.证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线，也要说明直线不在平面内.
c.利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.同时要注意强调直线不在平面内.返回(3)向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.
(4)空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解.第三章 空间向量与立体几何(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底； ⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2 B．3 C．4 D．5
2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
4．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为( )
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)
C．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
D．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
5．已知A(－1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin〈，〉等于( )
A．－ B. C. D．－
6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
A．60° B．90° C．105° D．75°
7．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )
A．cos θ＝ B．cos θ＝
C．sin θ＝ D．sin θ＝
8．若三点A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．不等边的锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
9．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确
10．若两点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当||取最小值时，x的值等于( )
A．19 B．－ C. D.
11.
如图所示，在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为( )
A. B.
C. D.
12.
如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为( )
A. B.
C. D．2
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝________.
14．如图所示，
已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．
15．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
16.
如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为______．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求证：AB1＝CA1.
18．(12分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)．
求证：四边形ABCD是一个梯形．
19.(12分)
如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线？
20．(12分)
如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
求证：C1C⊥BD.
21.(12分)
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
22．(12分)
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
(2)证明AF⊥平面A1ED；
(3)求二面角A1—ED—F的正弦值．
第三章 空间向量与立体几何(A)
1．C [只有命题④正确．]
2.
D [如图，＝－＝－－＝－－＝b－a－c.]
3．D [∵a∥b，∴存在实数λ，
使，∴.]
4．C [设a＝(x，y，z)，∵＝(－2，－1,3)，
＝(1，－3,2)，
又|a|＝，a⊥，a⊥，
∴∴或
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．]
5．C [∵＝(1,0,0)，＝(－2，－2,1)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴sin〈，〉＝.]
6．B [
建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，B1，C1(0，，0)，
B.
∴＝，＝，
∴·＝－－1＝0，
即AB1与C1B所成角的大小为90°.]
7．D [若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cos β＝，∴sin θ＝|cos β|＝.]
8．A [＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)，·>0，得∠A为锐角；·>0，得∠C为锐角；·>0，得∠B为锐角，所以△ABC是锐角三角形且||＝，||＝，||＝.]
9．A [∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.]
10．C [＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，
则||＝
＝＝.
故当x＝时，||取最小值．]
11．C [如图所示，
作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，
可以求得BD＝，
ED＝.∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·.
∴·＝－，∴cos〈，〉＝－，
即二面角B—AP—C的余弦值为.]
12．B [
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2)．
＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)，设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，
则 即
令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．
故点D到平面ACE的距离
d＝＝＝.]
13.
解析 ∵a－2b＝(8，－5,13)，
∴|a－2b|＝＝.
14.
解析 因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，
则·＝(＋)·(＋)
＝0＋·＋·＋0
＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，
BF＝DE＝＝，
所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：
cos θ＝＝.
15.或
解析 设n1＝(1,0，－1)，n2＝(0，－1,1)，
则cos〈n1，n2〉＝＝－，
∴〈n1，n2〉＝.因平面α与平面β所成的角与〈n1，n2〉相等或互补，所以α与β所成的角为或.
16.
解析 因为＝＋＋，
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.
所以||＝，
即AD的长为.
17．证明 以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系．
设B(a，b,0)，C(c,0,0)，A1(0,0，d)，
则B1(a，b，d)，C1(c,0，d)，＝(a，b，d)，
＝(c－a，－b，d)，＝(－c,0，d)，
由已知·＝ca－a2－b2＋d2＝0，
·＝－c(c－a)＋d2＝0，可得c2＝a2＋b2.
再由两点间距离公式可得：
|AB1|2＝a2＋b2＋d2，|CA1|2＝c2＋d2＝a2＋b2＋d2，
∴AB1＝CA1.
18．证明 因为＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为＝＝，
所以和共线，即AB∥CD.
又因为＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因为≠≠，所以与不平行，所以四边形ABCD为梯形．
19．解 ∵M、N分别是AC、BF的中点，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋
＝－＋－－，
∴＋＋
＝－＋－－，
∴＝＋2＋
＝2(＋＋)＝2.
∴∥，即与共线．
20．证明 设＝a，＝b，＝c，
依题意，|a|＝|b|，
又设，，中两两所成夹角为θ，
于是＝－＝a－b，
·＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0，
所以C1C⊥BD.
21．解 因为＝－，
所以·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝
＝＝.
即OA与BC所成角的余弦值为.
22．(1)解
如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，
A1(0,0,4)，E.
易得＝，
＝(0,2，－4)，
于是cos〈，〉＝＝－.
所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.
(2)证明 易知＝(1,2,1)，
＝，＝，
于是·＝0，·＝0.
因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.
又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.
(3)设平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，
则即
不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，
由(2)可知，为平面A1ED的一个法向量，
于是cos〈u，〉＝＝，
从而sin〈u，〉＝.
所以二面角A1—ED—F的正弦值为.
第三章 空间向量与立体几何(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．空间四个点O、A、B、C，，，为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( )
A．O、A、B、C四点不共线
B．O、A、B、C四点共面，但不共线
C．O、A、B、C四点中任意三点不共线
D．O、A、B、C四点不共面
2．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉等于( )
A．30° B．60° C．90° D．45°
3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
5．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是( )
A．0 B．2 C．4 D．6
6．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)且a·b＝2，则x的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
8．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
9．正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．若向量a＝(2,3，λ)，b＝的夹角为60°，则λ等于( )
A. B.
C. D．－
11．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
14．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝__________.
15．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________．
16.
在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)
如图，已知ABCD—A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α、β、γ的值．
18.
(12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为2a的菱形，且SA＝SC＝2a，SB＝SD＝a，点E是SC上的点，且SE＝λa (0<λ≤2)．
(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD⊥AE；
(2)若SC⊥平面BED，求直线SA与平面BED所成角的大小．
19.(12分)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
20．(12分)
如图所示，在三棱锥S—ABC中，SO⊥平面ABC，侧面SAB与SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点，求二面角A—SC—B的余弦值．
21.
(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．
(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；
(2)求点B到平面PCD的距离．
22．(12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
(1)求证：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；
(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
第三章 空间向量与立体几何(B)
1．B
2．B [由已知，
∴
由①－②可得a·b＝b2，
代入①可得a2＝b2，∴cos〈a·b〉＝＝.
∴〈a，b〉＝60°.]
3．C [＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°.]
4．C [＝＋＝＋(＋)＝＋＋，
由空间向量的基本定理知，x＝y＝.]
5．C
6．C [∵·＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正确；
∵·＝－4＋4＝0，∴AP⊥AD，②正确；由①②知是平面ABCD的法向量，∴③正确，④错误．]
7．C
8．B [△BCD中，·＝(－)·(－)＝2>0.∴∠B为锐角，同理，∠C，∠D均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．]
9．C
[建系如图，设AB＝1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)．
∴＝(－1,0,1)，
＝(0,1,1)
∴cos〈，〉
＝＝＝.
∴〈，〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.]
10．C [∵a＝(2,3，λ)，b＝，
∴a·b＝λ＋1，|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
∴λ＝.]
11．C [∵Q在OP上，∴可设Q(x，x,2x)，则＝(1－x，2－x,3－2x)，＝(2－x,1－x,2－2x)．
∴·＝6x2－16x＋10，∴x＝时，·最小，这时Q.]
12．C [
以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则＝(－1,1，－1)，＝(－1,1,1)．
可以证明A1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD.
又cos〈，〉＝，结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为.]
13．2
解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，
∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．
∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.
14．2∶3∶(－4)
解析 ＝，
＝，
由a·＝0，a·＝0，得，
x∶y∶z＝y∶y∶
＝2∶3∶(－4)．
15．60°或120°
解析 ∵cos〈m，n〉＝＝＝－，
∴〈m，n〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.
16.
解析
建立如图所示坐标系，则＝(－1,1，－2)，
＝(0,2，－2)，
∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝.
即异面直线AD和BC1所成角的大小为.
17．解 ∵＝＋＝＋
＝(－)＋(－)
＝(－)＋(＋)
＝－＋＋
＝＋＋，
∴α＝，β＝，γ＝.
18．(1)证明 连结BD，AC，设BD与AC交于O.
由底面是菱形，得BD⊥AC.
∵SB＝SD，O为BD中点，
∴BD⊥SO.
又AC∩SO＝O，
∴BD⊥面SAC.
又AE?面SAC，∴BD⊥AE.
(2)解 由(1)知BD⊥SO，
同理可证AC⊥SO，∴SO⊥平面ABCD.
取AC和BD的交点O为原点建立如图所示的坐标系，设SO＝x，
则OA＝，OB＝.
∵OA⊥OB，AB＝2a，
∴(4a2－x2)＋(2a2－x2)＝4a2，解得x＝a.
∴OA＝a，则A(a,0,0)，C(－a,0,0)，S(0,0，a)．
∵SC⊥平面EBD，∴是平面EBD的法向量．
∴＝(－a,0，－a)，＝(a,0，－a)．
设SA与平面BED所成角为α，
则sin α＝＝＝，
即SA与平面BED所成的角为.
19．解 a＝＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，
b＝＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．
(1)cos θ＝＝＝－，
∴a与b的夹角θ的余弦值为－ .
(2)ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)
＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2.
20．解
以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设B(1,0,0)，则C(－1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)，SC的中点M.
故＝，＝，
＝(－1,0，－1)，所以·＝0，·＝0.
即MO⊥SC，MA⊥SC.
故〈，〉为二面角A—SC—B的平面角．
cos〈，〉＝＝.
即二面角A—SC—B的余弦值为.
21.
(1)证明 如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，
C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)．
∴＝(4,0，－2)，＝(0，－2,0)，＝(0,0，－2)．
设平面PDC的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则??
所以平面PCD的一个法向量为.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.
∴平面PAD的法向量为＝(0,2,0)．
∵n·＝0，∴n⊥.
∴平面PDC⊥平面PAD.
(2)解 由(1)知平面PCD的一个单位法向量为＝.
∴ ＝＝，
∴点B到平面PCD的距离为.
22．(1)证明 连结BD，设AC交BD于点O，由题意知SO⊥平面ABCD，以O点为坐标原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示．
设底面边长为a，则高SO＝a.
于是S(0,0，a)，D，C，
B，
＝，
＝，
∴·＝0.
∴OC⊥SD，即AC⊥SD.
(2)解 由题意知，平面PAC的一个法向量＝，平面DAC的一个法向量
＝，
设所求二面角为θ，则cos θ＝＝，
故所求二面角P—AC—D的大小为30°.
(3)解 在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.
由(2)知是平面PAC的一个法向量，
且＝，＝，
＝,
设＝t，
则 ＝＋＝＋t
＝.
由 ·＝0，得t＝，
即当SE∶EC＝2∶1时， ⊥
而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.
章末总结
知识点一 空间向量的计算
空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．
【例1】沿着正四面体O－ABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．
知识点二 证明平行、垂直关系
空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．
例2
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．
(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；
(2)用向量法证明MN⊥面A1BD.
例3
如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.
试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°.
例4 正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
知识点三 空间向量与空间角
求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量法极大的优越性．
例5
如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.
(1)cos〈，〉；
(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；
(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值．
知识点四 空间向量与空间距离
近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解．
例6
如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求二面角P—CD—B的大小；
(2)求证：平面MND⊥平面PCD；
(3)求点P到平面MND的距离．
章末总结
重点解读
例1 解
如图所示，用a，b，c分别代表棱、、上的三个单位向量，
则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，
则f＝f1＋f2＋f3
＝a＋2b＋3c，
∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c)
＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4a·b＋6a·c＋12b·c
＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12 cos 60°
＝14＋2＋3＋6＝25，
∴|f|＝5，即所求合力的大小为5.
且cos〈f，a〉＝＝
＝＝，
同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.
例2 证明 (1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
＝－，＝－，
又∵＝，＝，
∴＝.∴BD∥B1D1.
同理可证A1B∥D1C，
又BD∩A1B＝B，B1D1∩D1C＝D1，
所以平面A1BD∥平面B1CD1.
(2) ＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋(－＋)
＝＋＋.
设＝a，＝b，＝c，
则＝(a＋b＋c)．
又＝－＝b－a，
∴·＝(a＋b＋c)(b－a)
＝(b2－a2＋c·b－c·a)．
又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，
∴c·b＝0，c·a＝0.
又|b|＝|a|，∴b2＝a2，∴b2－a2＝0.
∴·＝0，∴MN⊥BD.
同理可证，MN⊥A1B，又A1B∩BD＝B，
∴MN⊥平面A1BD.
例3 解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，
D(0,0,0)，
B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．
则＝(－1，－1,0)，
＝(0,0,1)，
＝(－1,1，m)，
＝(－1,1,0)．
又由·＝0，·＝0知，为平面BB1D1D的一个法向量．
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，〉|＝
＝.
依题意得＝sin 60°＝，
解得m＝.
故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.
例4 证明
如图，建立空间直角坐标系Dxyz.
设正方体棱长为1，
则E、D1(0,0,1)、
F、A(1,0,0)．
∴＝(1,0,0)＝，＝，
＝.
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量．
?.
令y1＝1，得m＝(0,1，－2)．
又由?，
令z2＝1，得n＝(0,2,1)．
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
例5 解 (1)建立空间直角坐标系(如图)．则A(0,0,0)，A1(0,0,4)，D(0,8,0)，M(5,2,4)．
∴＝(5,2,4)，
＝(0,8，－4)．
∴·＝0＋16－16＝0，
∴⊥.
∴cos〈，〉＝0.
(2)∵A1D⊥AM，A1D⊥AN，且AM∩AN＝A，
∴⊥平面ANM，
∴＝(0,8，－4)是平面ANM的一个法向量．
又＝(0,8,0)，||＝4，||＝8，
·＝64，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴AD与平面ANM所成角的余弦值为.
(3)∵平面ANM的法向量是＝(0,8，－4)，
平面ABCD的法向量是a＝(0,0,1)，
∴cos〈，a〉＝＝－.
∴平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值为.
例6 (1)解 ∵PA⊥平面ABCD，
由ABCD是正方形知AD⊥CD.
∴CD⊥面PAD，∴PD⊥CD.
∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角．
∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
即二面角P—CD—B的大小为45°.
(2)
如图，建立空间直角坐标系，
则P(0,0,2)，D(0,2,0)，
C(2,2,0)，M(1,0,0)，
∵N是PC的中点，
∴N(1,1,1)，
∴＝(0,1,1)，＝(－1,1，－1)，
＝(0,2，－2)．
设平面MND的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面PCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)．
∴m·＝0，m·＝0，
即有
令z1＝1，得x1＝－2，y1＝－1.
∴m＝(－2，－1,1)．
同理，由n·＝0，n·＝0，
即有
令z2＝1，得x2＝0，y2＝1，∴n＝(0,1,1)．
∵m·n＝－2×0＋(－1)×1＋1×1＝0，
∴m⊥n.∴平面MND⊥平面PCD.
(3)设P到平面MND的距离为d.
由(2)知平面MND的法向量m＝(－2，－1,1)，
∵·m＝(0,2，－2)·(－2，－1,1)＝－4，
∴|·m|＝4，
又|m|＝＝，
∴d＝＝＝.
即点P到平面MND的距离为.
