第一章 常用逻辑用语
§ 1.1命题及其关系
1.1.1 命 题
【课时目标】 1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“若p，则q”的形式．
1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断________的__________叫做命题．其中判断为______的语句叫做真命题，判断为______的语句叫做假命题．
2．在数学中，“若p，则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．
一、选择题
1．下列语句中是命题的是( )
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin 45°＝1
C．x2＋2x－1>0
D．梯形是不是平面图形呢？
2．下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤这座山真险啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
3．下列命题中，是真命题的是( )
A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集
B．若x2＝1，则x＝1
C．空集是任何集合的真子集
D．x2－5x＝0的根是自然数
4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列命题：
①M的元素都不是P的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有P的元素；
④M中元素不都是P的元素．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( )
A．这个数能被2整除
B．这个数能被3整除
C．这个数既能被2整除，也能被3整除
D．这个数是6的倍数
6．在空间中，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．
8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p是____________________，结论q是_ _______________________________________________________________________．
9．下列语句是命题的是________．
①求证是无理数；
②x2＋4x＋4≥0；
③你是高一的学生吗？
④一个正数不是素数就是合数；
⑤若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
三、解答题
10．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)对任意的x∈N，都有x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)偶数能被2整除．
(2)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根．
12．设有两个命题：p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
【能力提升】
13．设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：
①若m＝1，则S＝{1}；②若m＝－，则≤l≤1；
③若l＝，则－≤m≤0.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
14．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l?α，则l∥β；
④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
1．判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题．
2．真命题是可以经过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可．
3．在判断命题的条件和结论时，可以先将命题改写成“若p则q”的形式，改法不一定唯一．
课时作业答案解析
第一章 常用逻辑用语
§1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
知识梳理
1．真假 陈述句 真 假
2．条件 结论
作业设计
1．B [A、D是疑问句，不是命题，C中语句不能判断真假．]
2．A [④中语句不能判断真假，⑤中语句为感叹句，不能作为命题．]
3．D [A中方程在实数范围内无解，故是假命题；B中若x2＝1，则x＝±1，故B是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C是假命题；所以选D.]
4．B [命题②④为真命题．]
5．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]
6．D
7．①④
解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形．
8．若一个函数是奇函数 这个函数的图象关于原点对称
9．②④⑤
解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0恒成立．
10．解 (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．
(3)真命题．∵m>1?Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．
(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆．
11．解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题．
(2)若m>，则mx2－x＋1＝0无实数根，真命题．
12．解 若命题p为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
所以命题p和q中有且只有一个是真命题时，有p真q假或p假q真，
即或
故m的取值范围是1
13．D [①m＝1时，l≥m＝1且x2≥1，
∴l＝1，故①正确．
②m＝－时，m2＝，故l≥.又l≤1，∴②正确．
③l＝时，m2≤且m≤0，则－≤m≤0，∴③正确．]
14．B [①由面面垂直知，不正确；
②由线面平行判定定理知，缺少m、n相交于一点这一条件，故不正确；
③由线面平行判定定理知，正确；
④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确．
综上所述知，③，④正确．]
1.1.2 四种命题
【课时目标】 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．
1．四种命题的概念：
(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的____________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
2．四种命题的命题结构：
用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：
原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．
逆命题：________________________.即“若q，则p”．
否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．
逆否命题：__________________.即“若綈q，则綈p”．
一、选择题
1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．命题“若A∩B＝A，则A?B”的逆否命题是( )
A．若A∪B≠A，则A?B
B．若A∩B≠A，则AB
C．若AB，则A∩B≠A
D．若A?B，则A∩B≠A
3．对于命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”，下列说法正确的是( )
A．它的逆命题是真命题
B．它的否命题是真命题
C．它的逆否命题是假命题
D．它的否命题是假命题
4．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中的真命题是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．0
6．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．
8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是____________________________；逆命题是_______；否命题是________________________．
9．有下列四个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A?B”的逆命题．
其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
三、解答题
10．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
11．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)正数的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；
(3)对顶角相等．
12．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
【能力提升】
13．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
14．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．
2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．
1.1.2 四种命题
知识梳理
1．(1)结论和条件 (2)条件的否定和结论的否定 (3)结论的否定和条件的否定
2．若q成立，则p成立 若綈p成立，则綈q成立 若綈q成立，则綈p成立
作业设计
1．B [由a>－3?a>－6，但由a>－6a>－3，
故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]
2．C [先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]
3．D 4.C
5．C [原命题和它的逆否命题为真命题．]
6．A [由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]
7．若x≤y，则x3≤y3－1
8．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数
能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数
各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除
9．②③
10．解 逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题
否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题
逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．
11．解 (1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．
逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．
否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．
逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．
(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．
逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．
否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．
逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．
(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．
逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．
否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．
12．解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．
(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．
13．B [命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]
14．解 逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
1.1.3 四种命题间的相互关系
【课时目标】 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性解决问题．
1．四种命题的相互关系
2．四种命题的真假性
(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
(2)四种命题的真假性之间的关系
①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．
一、选择题
1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是( )
A．若q不正确，则p不正确
B．若q不正确，则p正确
C．若p正确，则q不正确
D．若p正确，则q正确
2．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是( )
A．能被2整除的整数，一定能被6整除
B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除
C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除
D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除
4．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．若a≠b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0，且b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0，或b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0
5．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
6．设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l?α，m?β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β.那么( )
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．“已知a∈U(U为全集)，若a??UA，则a∈A”的逆命题是________________________________________，它是______命题．(填“真”“假”)
8．“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”、“假”)
9．下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；②“若>，则a三、解答题
10．已知命题：若m>2，则方程x2＋2x＋3m＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．
11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.
12．若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．
【能力提升】
13．给出下列三个命题：
①若a≥b>－1，则≥；
②若正整数m和n满足m≤n，则≤；
③设P(x1，y1)是圆O1：x2＋y2＝9上的任意一点，圆O2以Q(a，b)为圆心，且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切．
其中假命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
14．a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．
2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．
1.1.3 四种命题间的相互关系
知识梳理
1．若q，则p 若綈p，则綈q 若綈q，则綈p
2．(2)①相同 ②没有关系
作业设计
1．D [原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．]
2．D 3.D
4．D [a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]
5．D [原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]
6．D
7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a??UA 真
解析 “已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a??UA”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a??UA”．它为真命题．
8．假 9.①②
10．解 逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．
11．证明 假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.
即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．
∴a＋b≥0.
12．证明 若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．
得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，
即原命题的逆否命题为真，故原命题也为真命题．
所以a，b，c不可能都是奇数．
13．B [①用“分部分式”判断，具体：
≥?1－≥1－?≤，又a≥b>－1?a＋1≥b＋1>0知本命题为真命题．
②用基本不等式：2xy≤x2＋y2 (x>0，y>0)，取x＝，y＝，知本命题为真．
③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB＝1，所以P、O2可能都在圆O1上，当O2在圆O1上时，圆O1与圆O2相交．故本命题为假命题．]
14．解 能确定．理由如下：
显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．
①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.
②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.
从而可知，b>a>c.
所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．
§1.2 充分条件与必要条件
【课时目标】 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．
1．如果已知“若p，则q”为真，即p?q，那么我们说p是q的__________，q是p的__________．
2．如果既有p?q，又有q?p，就记作________．这时p是q的____________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果pq且qp，则p是q的________________条件．
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设集合M＝{x|0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．用符号“?”或“”填空.
(1)a>b________ac2>bc2；
(2)ab≠0________a≠0.
8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－29．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．
三、解答题
10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
11.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
12．已知P＝{x|a－4【能力提升】
13．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max·min，
则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n＋1)2＋c，探究{an}是等差数列的充要条件．
1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A?B证明了必要性；B?A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A?B证明了充分性；B?A证明了必要性．
§1.2 充分条件与必要条件
知识梳理
1．充分条件 必要条件
2．p?q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要
作业设计
1．A [对于“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立．
因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]
2．A [∵q?p，∴綈p?綈q，反之不一定成立，因此綈p是綈q的充分不必要条件．]
3．B [因为NM.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．]
4．A [把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分而不必要条件．]
5．A [l⊥α?l⊥m且l⊥n，而m，n是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.]
6．B [当a<0时，由韦达定理知x1x2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－，所以a不一定小于0.由上述推理可知，“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]
7．(1) (2)?
8．a>2
解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2－a，即a>2.
9．b≥－2a
解析 由二次函数的图象可知当－≤1，即b≥－2a时，函数y＝ax2＋bx＋c在[1，＋∞)上单调递增．
10．解 (1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y?|x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
11．证明 ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，
则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
当xy>0时，即x>0，y>0，或x<0，y<0，
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
12．解 由题意知，Q＝{x|1∴，解得－1≤a≤5.
∴实数a的取值范围是[－1,5]．
13．A [当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，
即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]
14．解 当{an}是等差数列时，∵Sn＝(n＋1)2＋c，
∴当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
∴an＋1－an＝2为常数．
又a1＝S1＝4＋c，
∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，
∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2.
∴c＝－1，反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，
可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，
∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.
§1.3 简单的逻辑联结词
【课时目标】 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．
1．用逻辑联结词构成新命题
(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．
(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．
(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作________，读作__________或__________．
2．含有逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
一、选择题
1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是( )
A．“p∨q”为真，“綈q”为假
B．“p∧q”为假，“綈p”为真
C．“p∧q”为假，“綈p”为假
D．“p∨q”为真，“綈p”为真
2．已知p：?{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p∧q”，“p∨q”中，真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列命题：
①2010年2月14日既是春节，又是情人节；
②10的倍数一定是5的倍数；
③梯形不是矩形．
其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．设p、q是两个命题，则新命题“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是( )
A．p、q中至少有一个为真
B．p、q中至少有一个为假
C．p、q中有且只有一个为假
D．p为真，q为假
5．命题p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件；命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则( )
A．p假q真 B．p真q假
C．p∨q为假 D．p∧q为真
6．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是( )
A．10或15是5的倍数
B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1
C．方程x2＋1＝0没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________命题．(填“真”，“假”)
8．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．
9．已知a、b∈R，设p：|a|＋|b|>|a＋b|，q：函数y＝x2－x＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p∨q、p∧q、綈p中的真命题是________．
三、解答题
10．分别指出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的复合命题的真假．
(1)p：4＋3＝7，q：5<4；
(2)p：9是质数，q：8是12的约数；
(3)p：1∈{1,2}；q：?{1,2}；
(4)p：?＝{0}，q：???.
11.写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．
(1)p：1是质数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；
(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p：0∈?；q：{x|x2－3x－5<0}?R；
(4)p：5≤5；q：27不是质数．
12．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
【能力提升】
13．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y＝ 的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则( )
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真
C．p真q假 D．p假q真
14．设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．
1．从集合的角度理解“且”“或”“非”．
设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p∧q?x∈A且x∈B?x∈A∩B；p∨q?x∈A或x∈B?x∈A∪B；綈p?x?A?x∈?UA.
2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断
当p、q都为真，p∧q才为真；当p、q有一个为真，p∨q即为真；綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．
3．含有逻辑联结词的命题否定
“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”，它类似于集合中的“?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)”．
§1.3 简单的逻辑联结词
知识梳理
1．(1)p∧q “p且q” (2)p∨q “p或q” (3)綈p “非p” “p的否定”
作业设计
1．C [p假q真，根据真值表判断“p∧q”为假，“綈p”为真．]
2．B [∵p真，q假，∴綈q真，p∨q真．]
3．C [①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．]
4．C [因为命题“綈(p∨q)”为假命题，所以p∨q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．又因为p∧q为假，所以p、q一真一假或都是假命题，所以p、q中有且只有一个为假．]
5．C [命题p、q均为假命题，∴p∨q为假．]
6．D [A中的命题是p∨q型命题，B中的命题是假命题，C中的命题是綈p的形式，D中的命题为p∧q型，且为真命题．]
7．或 真
8．[1,2)
解析 x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，
即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，
所以1≤x<2，即x∈[1,2)．
9．綈p
解析 对于p，当a>0，b>0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，故p假，綈p为真；对于q，抛物线y＝x2－x＋1的对称轴为x＝，故q假，所以p∨q假，p∧q假．这里綈p应理解成|a|＋|b|>|a＋b|不恒成立，而不是|a|＋|b|≤|a＋b|.
10．解 (1)因为p真q假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为假．
(2)因为p假q假，所以“p∨q”为假，“p∧q”为假，“綈p”为真．
(3)因为p真q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为真，“綈p”为假．
(4)因为p假q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真．
11．解 (1)p为假命题，q为真命题．
p或q：1是质数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．
p且q：1既是质数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．
綈p：1不是质数．真命题．
(2)p为假命题，q为假命题．
p或q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．
p且q：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题．
綈p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．
(3)∵0??，∴p为假命题，
又∵x2－3x－5<0，∴∴{x|x2－3x－5<0}＝?R成立．
∴q为真命题．
∴p或q：0∈?或{x|x2－3x－5<0}?R，真命题，
p且q：0∈?且{x|x2－3x－5<0}?R，假命题，
綈p：0??，真命题．
(4)显然p：5≤5为真命题，q：27不是质数为真命题，
∴p或q：5≤5或27不是质数，真命题，
p且q：5≤5且27不是质数，真命题，
綈p：5>5，假命题．
12．解 若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，
则解得m>2，即p：m>2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，
解得1因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．
又p且q为假，所以p、q至少有一个为假．
因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假，或p为假，q为真．所以或解得m≥3或113．D [当a＝－2，b＝2时，从|a|＋|b|>1不能推出|a＋b|>1，所以p假，q显然为真．]
14．解 对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.
解不等式得：－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，
则有a＋1>1，所以a>0.
又p∧q为假命题，p∨q为真命题，
所以p、q必是一真一假．
当p真q假时有－3综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．
§1.4 全称量词与存在量词
【课时目标】 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.4.知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
1．全称量词和全称命题
(1)短语“__________”“__________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)含有____________的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．
2．存在量词和特称命题
(1)短语“__________”“____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．
(2)含有____________的命题，叫做特称命题．
(3)特称命题：“存在M中的元素x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为________________________．
3．含有一个量词的命题的否定
(1)全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：________________；
(2)特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：________________.
4．命题的否定与否命题
命题的否定只否定______，否命题既否定________，又否定________．
一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
2．下列命题是特称命题的是( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
3．下列是全称命题且是真命题的是( )
A．?x∈R，x2>0 B．?x∈Q，x2∈Q
C．?x0∈Z，x>1 D．?x，y∈R，x2＋y2>0
4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x0，使x>0
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x0，使>2
5．已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则( )
A．綈p：?x0∈R，sin x0≥1
B．綈p：?x∈R，sin x≥1
C．綈p：?x0∈R，sin x0>1
D．綈p：?x∈R，sin x>1
6．“存在整数m0，n0，使得m＝n＋2 011”的否定是( )
A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011
B．存在整数m0，n0，使得m≠n＋2 011
C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011
D．以上都不对
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或“?”可表述为________________．
8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：________________________________________________________________________.
9．下列四个命题：
①?x∈R，x2＋2x＋3>0；
②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；
③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．
其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)
三、解答题
10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0.
(2)对任意实数x1，x2，若x1(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.
(4)?x0∈R，使x＋1<0.
11．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有些质数是奇数；
(2)所有二次函数的图象都开口向上；
(3)?x0∈Q，x＝5；
(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．
12．给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
【能力提升】
13．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
14．已知綈p：?x∈R，sin x＋cos x≤m为真命题，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0为真命题，求实数m的取值范围．
1．判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．
2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
3．全称命题和特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．具有性质p变为具有性质綈p.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
§1.4 全称量词与存在量词
知识梳理
1．(1)所有的 任意一个 ? (2)全称量词 (3)?x∈M，p(x)
2．(1)存在一个 至少有一个 ? (2)存在量词 (3)?x0∈M，p(x0)
3．(1)?x0∈M，綈p(x0) (2)?x∈M，綈p(x)
4．结论 结论 条件
作业设计
1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]
2．D [“存在”是存在量词．]
3．B [A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．]
4．B
5．C [全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．]
6．C [特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．]
7．?x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>0
8．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根
9．①②③
10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵ax>0 (a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．
(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x0∈R，x＋1>0，∴命题(4)是假命题．
11．解 (1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．
(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．
(3)“?x0∈Q，x＝5”是特称命题，其否定为“?x∈Q，x2≠5”，真命题．
(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．
12．解 甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
即a>或a<－1.
乙命题为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－.
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
∴a的取值范围是{a|a<－或a>}．
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a的取值范围为
{a|13．存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
解析 全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定．
14．解 由綈p为真，即p：?x∈R，sin x＋cos x>m为假命题，由sin x＋cos x＝sin ∈[－，]，
又sin x＋cos x>m不恒成立，∴m≥－.
又对?x∈R，q为真，即不等式x2＋mx＋1>0恒成立，
∴Δ＝m2－4<0，即－2故m的取值范围是－≤m<2.
课件28张PPT。第一章 §1.1 命题及其关系1.1.1 命题1.理解命题的概念.
2.会判断命题的真假.
3.了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 命题的概念
思考1 在初中，我们已经学习了命题的定义，它的内容是什么？
答案 对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题.答案问题导学 思考2 依据上面命题的定义，判断下面说法中，哪些是命题，哪些不是命题.
①三角形外角和为360°；
②连接A、B两点；
③计算3－2的值；
④过点A作直线l的垂线；
⑤三角形中，大边一定对的角也大吗？答案答案 根据命题的定义，只有①为命题，其它语句都不是命题.梳理 (1)命题的概念：在数学中，用语言、符号或式子表达的，可以____
____________叫做命题.
(2)命题定义中的两个要点：“ ”和“ ”.我们学习过的定理、推论都是命题.答案真假的陈述句 判断能判断真假陈述句知识点二 真命题、假命题
思考 如何判断一个命题的真假？试举例说明.答案分析 命题①是真命题，证明：对于奇函数y＝f(x)，若点(m，n)是函数图象上的点，则一定有f(m)＝n，因为y＝f(x)为奇函数，所以f(－m)＝－f(m)＝－n，所以(－m，－n)一定在函数图象上，点(m，n)与点(－m，－n)关于原点对称，即任取一点其关于原点对称的点都在函数图象上，所以奇函数的图象关于原点对称.答案 数学中判定一个命题是真命题，要经过严格的证明，而要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.梳理 (1)对一个命题来说，判断为 的语句叫做真命题，判断为 的语句叫做假命题.
(2)数学中判断一个命题是真命题，要经过严格的证明，要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.
(3)我们学习过的定理、推论都是真命题.答案假真知识点三 命题的结构
思考1 在初中学习命题的定义的基础上，你还知道与命题有关的哪些知识？答案答案 命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常可以写为“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接题设，而“那么”后面接结论.思考2 完成下列题目：
①命题“等角的补角相等”：题设是___________，结论是_____.
②命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果_____________，那么__________________”.答案等角的补角相等一个数是实数它的平方是非负数梳理 (1)在数学中，命题常写成“若p，则q”这种形式，通常，我们把这种形式命题中的p叫做命题的 ，q叫做命题的 .
(2)从构成来看，命题都具有条件和结论两部分.答案返回条件结论解析答案反思与感悟类型一 命题概念的理解
例1 给出下列语句，其中不是命题的是______.
① 是无限循环小数；
②x2－3x＋2＝0；
③当x＝4时，2x>0；
④垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
⑤一个数不是奇数就是偶数.题型探究 解析 判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“能判断真假”和“陈述句”这两个要点.②虽然是陈述句，但无法判断它的真假，所以不是命题.④不是陈述句，所以不是命题.故填②④.②④判断语句是否为命题，关键在于判断是否为能判断真假的陈述句.跟踪训练1 下列语句中，是命题的为______.
①红豆生南国；
②作射线AB；
③中国领土不可侵犯！
④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.解析答案解析 ②和③都不是陈述句，根据命题的定义可知①④是命题.①④类型二 命题真假的判断解析答案反思与感悟反思与感悟对于命题②，若两组数据的平均数相等，则它们的方差不一定相等，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相等，但方差不等，命题为假；答案 C 若由命题的条件p通过推理一定可以得出命题的结论q，则命题为真命题；若由命题的条件p通过推理不一定能得出命题的结论q，则命题为假命题.跟踪训练2 下列命题中假命题的个数为( )
①多边形的外角和与边数有关；
②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；
④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0.
A.1 B.2 C.3 D.4 解析答案解析 因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例.C类型三 命题结构形式解读解析答案反思与感悟例3 将下列命题写成“若p，则q”的形式.
(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；
解 若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除.
(2)方程x2－x＋1＝0有两个实数根.
解 若一个方程是x2－x＋1＝0，则它有两个实数根. 把命题改写成“若p，则q”的形式，关键是找到命题的条件“p”和结论“q”，在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式，这要求我们能够分清命题的条件和结论分别是什么.解析答案返回跟踪训练3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.
(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；
解 若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等.是真命题.
(2)负数的立方是负数；
解 若一个数是负数，则这个数的立方是负数.是真命题.
(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.
解 已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2.是假命题. 1.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )
A.两个平面
B.一条直线
C.垂直
D.两个平面垂直于同一条直线解析答案D当堂训练 解析 所给的命题可以改为“如果两个平面垂直于同一条直线，那么它们互相平行”，故选D.123452.下列语句：
①1是有理数吗？
②一个数不是正数就是负数；
③若x＋y为有理数，则x，y都是有理数；
④作△ABC∽△A1B1C1；
⑤等边三角形是特殊的等腰三角形.
其中为命题的个数是( )
A.2 B.3
C.4 D.512345解析答案解析 ①是疑问句，不是命题.
②是命题，且是假命题，因为0既不是正数也不是负数.12345④是祈使句，不是命题.
⑤是命题，且是真命题.
命题是②③⑤，真命题是⑤，故命题的个数为3，故选B.
答案 B 12345解析答案解析 判断是假命题，只需举反例，用排除法，得到正确选项.由a2＝4得a＝±2，排除A；
取a＝b＝－1，排除B；
－2<1，但(－2)2>12，排除D.故选C. C4.命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为_______________________.12345解析答案解析 由题意可知，满足条件时，
需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，
即(－m)2－4×4≥0，
解得m≤－4或m≥4.(－∞，－4]∪[4，＋∞)12345解析答案5.把“奇函数的图象关于原点对称”改写成“若p，则q”的形式为__________________________________________________.若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称解析 改写成“若p，则q”的形式为：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称.返回1.判断一个语句是否为命题的依据：一是陈述句；二是能判断真假.
2.把命题改写成“若p，则q”(或“如果p，那么q”)的形式，其中p为命题的条件，q为命题的结论，要注意条件及结论的完整性，将条件写在前面，结论写在后面.“若p，则q”是原来命题的另一种叙述形式，它的真假性等同于原来命题.课件35张PPT。第一章 §1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.
2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.
3.会利用命题的等价性解决问题.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 四种命题的概念
思考1 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？答案问题导学 答案 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题.思考2 除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？答案答案 有.梳理 答案结论和条件逆命题否定否定否命题结论的否定和条件的否定逆否命题知识点二 四种命题的相互关系
思考1 命题与其逆命题之间是什么关系？答案答案 互逆.思考2 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？答案 原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系.梳理 (1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系答案由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 .真真假真真假假假相同没有关系知识点三 逆否证法
思考 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明方法叫做逆否证法.
譬如，求证：“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”为真命题.解析答案返回证明 把要证的命题视为原命题，则它的逆否命题为：
“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0.”所以命题“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”为真.
所以“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”为真命题. 返回解析答案类型一 四种命题的写法
例1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)正数的平方根不等于0；题型探究 解 原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.
逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数.
否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.
逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数. 解析答案(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；解 原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.
逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.
否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.
逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2. 解析答案反思与感悟(3)对顶角相等.解 原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.
逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.
否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.
逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角. 由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论.跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.
(1)实数的平方是非负数；解析答案解 逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.真命题.
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.真命题.
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.真命题. (2)等底等高的两个三角形是全等三角形.解析答案解 逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.真命题.
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.真命题.
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.假命题. 类型二 等价命题的应用解析答案反思与感悟例2 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明 方法一 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题.
∴原命题为真命题. 解析答案反思与感悟方法二 假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾.
因此假设不成立，故a＋b≥0. 因原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的.正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别.跟踪训练2 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.解析答案证明 “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为
“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”.∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证.类型三 反证法的应用解析答案反思与感悟反思与感悟证明 (反证法)假设a、b、c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
因此a、b、c中至少有一个大于0.(1)求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明.用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
(2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：解析答案返回解析答案∴在△ABD中，AD>BD，从而∠B>∠BAD；
同理∠C>∠CAD. 返回∴∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD，
即∠B＋∠C>∠BAC.
∵∠B＋∠C＝180°－∠BAC，
∴180°－∠BAC>∠BAC，则∠BAC<90°，
与题设矛盾. 1.命题若“a?A，则b∈B”的否命题是( )
A.若a?A，则b?B
B.若a∈A，则b?B
C.若b∈B，则a?A
D.若b?B，则a?A解析答案B当堂训练 解析 命题“若p，则q”的否命题是“若? p，则? q”，“∈”与“?”互为否定形式.123452.下列命题为真命题的是( )
A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x＝1，则x2>1”的否命题
C.命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D.命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题12345解析答案解析 对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题.A12345答案若x>0，则x>1若x≤0，则x≤13.命题“若x>1，则x>0”的逆命题是_____________，逆否命题是________________.4.在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为____.12345解析答案解析 逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；
否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；
逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，
全为真命题.412345解析答案5.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”.
(1)写出命题p的否命题；解 命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”.12345解析答案(2)判断命题p的否命题的真假.解 命题p的否命题是真命题.
判断如下：
因为ac<0，
所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c>0有解，
所以该命题是真命题.1.由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题.
2.如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变.
3.反证法与逆否证法的区别
(1)反证法与逆否证法的目的不同，反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出否定条件.返回(2)反证法与逆否证法的本质不同，逆否证法本质是证明一个新命题(逆否命题)成立，而反证法把否定的结论作为条件，连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论. 课件40张PPT。第一章 常用逻辑用语 §1.2 充分条件与必要条件1.理解充分条件、必要条件与充要条件的概念.
2.掌握判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的方法.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 充分条件与必要条件
思考 用恰当的语言表述下列语句的意义
①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；答案问题导学 答案 ①如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件.②只有同心协力，才能把事情办好.答案 ②同心协力是办好事情的必要条件.梳理 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的 条件，q是p的 条件.
(2)若p?q，但q p，称p是q的 条件，若q?p，但p q，称p是q的 条件.答案充分而不必要充分必要必要而不充分知识点二 充要条件
思考 在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？答案答案 因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因A＋B＋C＝π，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件.梳理 (1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的 条件，简称充要条件.
(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件.答案充分必要知识点三 充分条件、必要条件和充要条件的联系与区别
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.
(1)从逻辑关系上看.
①若p?q，但q p，则p是q的充分不必要条件；
②若q?p，但p q，则p是q的必要不充分条件；
③若p?q，且q?p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件；
④若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.(2)从集合与集合之间的关系上看.
如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断.
①若A?B，则p是q的充分条件；
②若A?B，则p是q的必要条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若A B，且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件.(3)从传递性角度看.
由于逻辑联结符号“?”“?”“?”具有传递性，因此可根据几个条件之间的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的关系.
(4)从等价命题角度看.
当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立.返回解析答案类型一 充分条件、必要条件和充要条件的判断
例1 下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；题型探究 解 ∵a＋b＝0 a2＋b2＝0；
a2＋b2＝0?a＋b＝0，
∴p是q的必要不充分条件.解析答案(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；解 ∵四边形的对角线相等 四边形是矩形；
四边形是矩形?四边形的对角线相等，
∴p是q的必要不充分条件.解析答案∴p是q的充要条件.解析答案(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根；解 若方程x2－x－m＝0无实根，
则Δ＝1＋4m<0，∴p是q的充分不必要条件.解析答案反思与感悟(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交.解 由ab≠0，即a≠0且b≠0，
此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；
又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，
即ab≠0，故p是q的充要条件.对于两个命题：p与q.
(1)若有“p?q，但q p”，则称p是q成立的充分不必要条件.
(2)若有“q?p，但p q”，则称p是q成立的必要不充分条件.
(3)若有“p?q，且q?p”，则称p是q成立的充要条件.
(4)若有“p q，且q p”，则称p是q成立的既不充分也不必要条件.跟踪训练1 设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析答案解析 可采用特殊值法进行判断，令a＝1，b＝－1，
满足a>b，但不满足a2>b2，
即条件“a>b”不能推出结论“a2>b2”；
再令a＝－1，b＝0，
满足a2>b2，但不满足a>b，
即结论“a2>b2”不能推出条件“a>b”.故选D.D类型二 递推法判断命题间的关系
例2 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？解析答案反思与感悟解 方法一 (1)∵q是s的充分条件，∴q?s.
∵q是r的必要条件，∴r?q.
∵s是r的充分条件，∴s?r，∴s?r?q.
即s是q的充要条件.
(2)由r?q，q?s?r，知r是q的充要条件.
(3)∵p是r的必要条件，∴r?p，∴q?r?p.
∴p是q的必要不充分条件.
方法二 如图所示.
(1)由图可知q?s，s?r?q，所以s是q的充要条件.反思与感悟解析答案(2)因为r?q，q?s?r，所以r是q的充要条件.
(3)因为q?s?r?p，而p q，
所以p是q的必要不充分条件.反思与感悟解决传递性问题的关键是画出结构图，也可以考虑命题之间的关系.跟踪训练2 如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析答案解析 如图所示，∵甲是乙的必要条件，
∴乙?甲.
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
∴丙?乙，但乙 丙.
综上，有丙?乙?甲，甲 丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
答案 A类型三 充要条件的证明
例3 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.解析答案反思与感悟反思与感悟证明 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根.
因此一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性是证明“条件”?“结论”，必要性是证明“结论”?“条件”.解析答案跟踪训练3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.解析答案证明 必要性：
∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2＋b2－ab)
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
充分性：
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，
又∵ab≠0，
∴a≠0且b≠0， ∴a＋b－1＝0.
∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.解析答案类型四 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
例4 已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围.解 设p对应的集合为A，q对应的集合为B.
解不等式x2－8x－20>0，得A＝{x|x>10或x<－2}.
解不等式x2－2x＋1－a2>0，得B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}.依题意知p?q，q p，说明A?B.(说明：“1＋a≤10”与“1－a≥－2”中等号不能同时取到)解得0(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.解析答案返回返回q：x2－2x＋1－m2≤0?[x－(1－m)]·[x－(1＋m)]≤0.(*)
∵p是q的充分不必要条件， ∵m>0，∴不等式(*)的解集为{x|1－m≤x≤1＋m}，
且1－m＝－2与1＋m＝10不同时成立. ∴实数m的取值范围是[9，＋∞).1.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的( )
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析答案A当堂训练 解析 无功不受禄可写为命题：若无功，则不受禄.逆否命题为：若受禄，则有功.显然受禄是有功的充分不必要条件，因为有功不一定受禄.1234512345解析答案解析 命题p：1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析答案解析 根据方程得x2－4x－5＝0，
解得x＝－1或x＝5，
故“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的必要不充分条件，故选B. B4.记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为___________.12345解析答案解析 由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3B＝{x|y＝lg(x－a)}＝{x|x>a}，
而“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
则有A?B，则有a≤－3.(－∞，－3]12345解析答案12345解 若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根，充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：
(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p?q”及“q?p”的真假，根据定义下结论.
(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题.
(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.返回课件29张PPT。第一章 §1.3 简单的逻辑联结词 1.3.1 且(and)
1.3.2 或(or)1.了解联结词“且”“或”的含义.
2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 “且”
思考 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义.答案问题导学 答案 命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”，“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替.梳理 (1)一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“ ”.当p，q都是真命题时，p∧q是 命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是 命题.
(2)“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联想起集合中“交集”的概念，A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要同时满足.
(3)我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题p∧q的真与假.
(4)“且”这个逻辑联结词，它与日常语言中的“并且”
“及”“和”的含义相当.答案p且q真假知识点二 “或”
思考 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？从集合的角度谈谈对“或”的含义的理解.答案答案 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.
“或”：从集合的角度看，可设A＝{x│x满足命题p}，B＝{x│x满足命题q}，则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B＝{x│x∈A或x∈B}.“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思，如“学习或休息”，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思.“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q, 即两者中至少要有一个.梳理 (1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题“ ”，用符号表示为“ ”.
(2)判断用“或”联结的命题的真假：在两个命题p和q之中，只要有一个命题是 命题时，新命题“p或q”就是真命题；当两个命题p和q都是假命题时，新命题“p或q”就是假命题.
(3)对“或”的理解：我们可联想集合中“并集”的概念A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”，它是指“x∈A”“x∈B”中至少有一个是成立的，即可以是x∈A且x?B，也可以是x?A且x∈B，也可以是x∈A且x∈B.答案p或qp∨q真(4)我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题p∨q的真与假.返回解析答案类型一 用逻辑联结词构造新命题
例1 分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题.
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；题型探究 解 p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等.(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.解 p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.反思与感悟用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并.解析答案跟踪训练1 指出下列命题的构成形式及构成它的命题p，q.
(1)2≤2；解 此命题为“p∨q”形式的命题，其中
p：2<2；q：2＝2. 解析答案(2)30是5的倍数，也是6的倍数.解 此命题为“p∧q”形式的命题，其中
p：30是5的倍数；
q：30是6的倍数. 解析答案类型二 “p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断例2 分别指出“p∨q”“p∧q”的真假.
(1)p：函数y＝sin x是奇函数；q：函数y＝sin x在R上单调递增.解 ∵p真，q假，
∴“p∨q”为真.“p∧q”为假. 解析答案解 ∵p真，q真，
∴“p∨q”为真.“p∧q”为真.解析答案反思与感悟(3)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R；q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.解 ∵p假，q假，
∴“p∨q”为假.“p∧q”为假.形如p∨q，p∧q，命题的真假根据真值表判定.如：跟踪训练2 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假.
(1)p：??{0}，q：0∈?；解析答案解 ∵p真q假，
∴“p或q”为真，“p且q”为假.解 ∵p真q假，
∴“p或q”为真，“p且q”为假.(3)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；解析答案解 ∵p真q真，
∴“p或q”为真，“p且q”为真.解 ∵p假q假，
∴“p或q”为假，“p且q”为假.(4)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根.类型三 已知复合命题的真假求参数范围
例3 已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p∨q” 是假命题，求实数a的取值范围.解析答案反思与感悟解 由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0.反思与感悟∴|a|≥1.
若命题q为真，即只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点.
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∵命题“p∨q”为假命题，∴q，p同时为假命题.
∴a的取值范围是{a|－1复合命题的真假已知时，可由真值表转化为简单命题的真假，再利用简单命题的真假求参数范围，必要时运用正难则反的解题策略.即p真不易求时，可先求p假时参数的范围，再求其在全集中的补集，从而得到p真时参数的范围.解析答案返回解 由命题p为真知，0则p、q中必有一真一假， 当p假q真时，c的取值范围是c≥1.返回1.已知命题p、q，若p为真命题，则( )
A.p∧q必为真 B.p∧q必为假
C.p∨q必为真 D.p∨q必为假解析答案C当堂训练解析 p∨q，见真则真，故必有p∨q为真.1234512345解析答案解析 p真，q假，
∴p∨q为真.故选B.B2.若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列判断正确的是( )
A.“p∨q”为假 B.“p∨q”为真
C.“p∧q”为真 D.以上都不对 123453.命题“xy≠0”是指( )
A.x≠0且y≠0 B.x≠0或y≠0
C.x、y至少有一个不为0 D.不都是0解析答案解析 满足xy≠0，
即x，y两个都不为0，故选A.A4.已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________.12345解析答案命题q：由函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，由p∧q为真得p、q都为真，12345解析答案5.已知命题p：函数f(x)＝(x＋m)(x＋4)为偶函数；命题q：方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的一个根大于2，一个根小于2，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围.12345解 若命题p为真，则由f(x)＝x2＋(m＋4)x＋4m，
得m＋4＝0，解得m＝－4.
设g(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，其图象开口向上，
若命题q为真，则g(2)<0，即22＋(2m－1)×2＋4－2m<0，解得m<－3.
由p∧q为假，p∨q为真，得p假q真或p真q假.
若p假q真，则m<－3且m≠－4；
若p真q假，则m无解.
所以m的取值范围为(－∞，－4)∪(－4，－3).1.判断不含有逻辑联结词的命题构成形式关键是：弄清构成它的命题条件、结论；
2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假.(1)“p∧q”形式的命题简记为：同真则真，一假则假；(2)“p∨q”形式的命题简记为：同假则假，一真则真.返回课件23张PPT。1.3.3 非(not)第一章 §1.3 简单的逻辑联结词 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“? p”命题.
2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 逻辑联结词“非”
思考 观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？逻辑联结词“非”的含义是什么？
(1)p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根.
(2)p：y＝tan x是偶函数；q：y＝tan x不是偶函数.
答案问题导学 答案 两组命题中，命题q都是命题p的否定.
“非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等；也可以从集合的角度理解“非”：若命题p对应集合A，则? p对应集合A在全集U中的补集?UA.梳理 (1)命题的否定：一般地，对一个命题p ，就得到一个新命题，记作? p，读作“非p”或 .
(2)命题? p的真假：若p是真命题，则? p必是 命题；若p是假命题，则? p必是 命题.答案全盘否定p的否定 假真知识点二 “p∧q”与“p∨q”的否定
1.对复合命题“p∧q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“且”变为“ ”.对复合命题“p∨q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“或”变为“ ”.
复合命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：
(1)确定复合命题的构成形式；
(2)判断其中各简单命题的真假；
(3)利用真值表判断复合命题的真假.答案或且2.语句“a∈A或a∈B”的否定形式是“ ”，语句“a∈A且a∈B”的否定形式是“ ”.对有些不含“且”“或”的命题进行否定，要注意准确把握该命题的含义，然后进行否定，如答案a?A且a?Ba?A或a?B知识点三 命题的否定与否命题
思考 已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定，并结合本题说明一个命题的否命题与其否定有何区别？答案答案 命题p的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；
命题p的否定：平行四边形的对角线不相等.
命题的否命题与命题的否定有着本质的区别，命题的否定只否定命题的结论，不能否定命题的条件，而否命题是对原命题的条件和结论都否定.梳理 (1)命题的否定：“非”命题是对原命题结论的否定，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个新命题“非p”，称为 .
①“非p”是否定命题p的结论，不否定命题p的条件，这也是“非p”与否命题的区别；
②p与“非p”的真假必须相反；
③“非p”必须包含p的所有对立面；
④“非p”必须对p中的关键词进行否定.答案(2)否命题：一个命题的条件和结论是另一个命题的 和______
_______，这样的两个命题为 ，求一个命题的否命题时，要对原命题的条件和结论同时否定.返回命题的否定条件的否定结论的否定 互否命题解析答案类型一 命题否定形式的构造
例1 写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)5≥3；
解 命题的否定：5<3.为假命题.
(2)10是5的倍数且10是2的倍数；
解 命题的否定：10不是5的倍数或10不是2的倍数.为假命题.
(3)长方体是棱柱.
解 命题的否定：长方体不是棱柱.为假命题.题型探究 反思与感悟命题p的否定，就是命题“非p”，记作? p.若命题p为“若A，则B”的形式，则? p为“若A，则? B”的形式.跟踪训练1 写出下列命题的否定形式，并判断真假.
(1)面积相等的三角形都是全等三角形；
解 面积相等的三角形不都是全等三角形.真命题.
(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；
解 若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.假命题.
(3)实数a、b、c，满足abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.
解 实数a、b、c，满足abc＝0，则a、b、c三个数全不为0.
假命题.解析答案类型二 命题否定的真假的应用
例2 已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p或q”与“? q”同时为真命题，求实数a的取值范围.解析答案反思与感悟解 设方程x2＋2ax＋1＝0的两个实数根分别为x1，x2，
则命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，反思与感悟命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，因为“p或q”与“? q”同时为真命题，即p真且q假，故实数a的取值范围是(－∞，－1].解决此类问题的关键在于准确求出复合命题中各简单命题为真时参数的取值范围，再根据真值表和已知确定各简单命题的真命题情况即可求出结果.解析答案返回解析 对于任意的非零向量a，b，
都有a·b≤|a·b|＝|a|×|b||cos〈a，b〉|≤|a|×|b|，
即命题p为真命题，故? p为假命题；返回故? q为真命题.从而p∨q、p∧(? q)、(? p)∨(? q)为真命题，p∧q、(? p)∨q、(? p)∧(? q)为假命题，故选B.
答案 B 解析答案D当堂训练 1234512345解析答案解析 p为真命题，q为假命题，
则? p为假命题，? q为真命题，
所以p∧q为假命题，(? p)∨q为假命题，(? p)∧(? q)为假命题，
p∧(? q)为真命题，故选D.D2.设命题p：函数f(x)＝ex－1在R上为增函数；命题q：函数f(x)＝cos 2x为奇函数.则下列命题中真命题是( )
A.p∧q B.(? p)∨q
C.(? p)∧(? q) D.p∧(? q) 123453.已知命题p：对于?x∈R，恒有2x＋2－x≥2成立，命题q：奇函数f(x)的图象必过原点.则下列结论正确的是( )
A.p∧q为真 B.(? p)∨q为真
C.p∧(? q)为真 D.? p为真解析答案解析 由基本不等式可得，2x＋2－x≥2，
当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，取等号，
即对于x∈R恒有2x＋2－x≥2成立，
故命题p为真命题.
奇函数f(x)只有当x＝0有意义时，才有图象必过原点.故命题q为假命题，? q为真命题.
由复合命题的真假，可知，p∧q为假，(? p)∨q为假，
故选项A、B、D都错误，只有C选项正确.故选C.
答案 C 123454.某网络机构公布某单位关于上网者使用网络浏览器A，B的信息：
①316人使用A；
②478人使用B；
③104人同时使用A和B；
④567人只使用A，B中的一种网络浏览器.
则这条信息为____(填“真”或“假”).12345解析答案解析 由①②③可知只使用一种网络浏览器的人数是212＋374＝586，这与④矛盾.假12345解析答案5.写出“若x＝2或x＝3，则x2－5x＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，并判断其真假.解 逆命题：若x2－5x＋6＝0，则x＝2或x＝3，是真命题；
否命题：若x≠2且x≠3，则x2－5x＋6≠0，是真命题；
逆否命题：若x2－5x＋6≠0，则x≠2且x≠3，是真命题；
命题的否定：若x＝2或x＝3，则x2－5x＋6≠0，是假命题.1.若原命题为“若A，则B”，则其否定为“若A，则? B”，条件不变，否定结论；其否命题为“若? A，则? B”，既要否定条件，又要否定结论.
2.带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”.
3.“否命题”与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题)既否定条件又否定结论.否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假.返回课件35张PPT。1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词第一章 §1.4 全称量词与存在量词1.理解全称量词与存在量词的含义.
2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.
3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 全称量词、全称命题
思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m≤5；
Q：对所有的m∈R，m≤5.
(1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
答案 语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.答案问题导学 (2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个).
答案 常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等. 答案梳理 (1)概念
短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.含有全称量词的命题，叫做 .
(2)表示
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： ，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.答案所有的任意一个?全称命题?x∈M，p(x)(3)全称命题的真假判定
要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，
证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可. 知识点二 存在量词、特称命题
思考 观察下面的两个语句，思考下列问题：
P：m>5；
Q：存在一个m0∈Z，m0>5.
(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？
答案 语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.答案(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)答案答案 常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.梳理 (1)存在量词：通常指的是短语“ ”“ ”，并用符号“ ”表示.
(2)特称命题：①定义：含有 的命题.②记法：特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为： .
(3)特称命题真假判定：要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.答案返回存在一个至少有一个存在量词?x0∈M，p(x0)?解析答案类型一 全称命题与特称命题的识别
例1 判断下列命题是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
解 可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题.
(2)有的向量方向不定；
解 含有存在量词“有的”，故是特称命题.
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解 含有全称量词“任意”，故是全称命题.题型探究 反思与感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题.
(1)自然数的平方大于或等于零；
解 是全称命题，表示为?x∈N，x2≥0.
(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；解析答案(3)有的函数既是奇函数又是增函数；
解 是特称命题，?f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数.解析答案类型二 全称命题与特称命题的真假的判断
例2 判断下列命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数；解析答案(2)?x∈R，x2＋1≥1；解 2是素数，但2不是奇数.
所以全称命题“所有的素数都是奇数”是假命题. 解 任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.
所以全称命题“?x∈R，x2＋1≥1”是真命题.(3)对每一个无理数x，x2也是无理数；解析答案(4)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0；所以全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题.解 由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，
因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，
所以特称命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.(5)存在两个相交平面垂直于同一条直线.解析答案反思与感悟解 由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，
因此不存在两个相交平面垂直同一条直线，
所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题.判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言：
(1)要判定一个特称命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则命题为假.
(2)要判定一个全称命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x0，使p(x0)不成立即可.解析答案解 ①当x＝－1时，|x|＝1，而x＝－1，等式不成立，故为假命题.③方程x2＋2x＋2＝0无实数解，故为假命题.
④令x＝1.5，则x<2，但x>1，故为假命题.解析答案解 ①该命题中含有“有一些”，是特称命题.如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题.
②该命题是特称命题.③该命题是全称命题.类型三 依据含量词命题的真假求参数取值范围
例3 (1)已知命题p：?x∈R，ax2＋2x＋3≥0是真命题，求实数a的取值范围； 解析答案解 命题p为真命题，即ax2＋2x＋3≥0在R上恒成立.
①当a＝0时，不等式为2x＋3≥0，显然不能恒成立； (2)已知命题q：?x∈[0，π]，使得sin x＋cos x＝m有解为真命题，求实数m的取值范围.解析答案反思与感悟解 命题q为真，即方程sin x＋cos x＝m在x∈[0，π]上有解，
设f(x)＝sin x＋cos x，
∴m的取值范围就是f(x)＝sin x＋cos x在[0，π]上的值域.反思与感悟已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.跟踪训练3 设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，求x0的取值范围.解析答案返回解 方法一 当x0＝0时，M(0,1)，
由圆的几何性质得在圆上存在点N(－1,0)或N(1,0)，使∠OMN＝45°.
当x0≠0时，过M作圆的两条切线，切点为A、B.
若在圆上存在点N，使得∠OMN＝45°，
应有∠OMB≥∠OMN＝45°，
∴∠AMB≥90°，∴－1≤x0<0或0综上，－1≤x0≤1.解析答案方法二 过O作OP⊥MN，P为垂足，OP＝OM·sin 45°≤1， 返回∴－1≤x0≤1.解析答案D当堂训练 123451.下列命题中，不是全称命题的是( )
A.任何一个实数乘以0都等于0
B.自然数都是正整数
C.每一个向量都有大小
D.一定存在没有最大值的二次函数解析 D选项是特称命题.12345解析答案解析 ∵x3∴x<0或0故命题p为假命题，易知命题q为真命题，选A.A2.命题p：?x∈N，x3A.p假q真 B.p真q假
C.p假q假 D.p真q真123453.已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定正确的是( )
A.a≥0 B.a<0 C.b≤0 D.b>1解析 函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示：
由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，
∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)为真命题，
则必有a<0，故选B.B解析答案4.特称命题“?x0∈R，|x0|＋2≤0”是___ (填“真”或“假”)命题.12345解析答案解析 不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题.假12345解析答案解析 由已知得“?x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，
则Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，
解得2≤m≤6，
即实数m的取值范围是2≤m≤6.2≤m≤61.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词.
2判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假.
3.判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.返回课件25张PPT。1.4.3 含有一个量词的命题的否定第一章 §1.4 全称量词与存在量词1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.
2.会对含有一个量词的命题进行否定.
3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 全称命题的否定
思考 尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法.
(1)所有矩形都是平行四边形；
答案 将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：答案问题导学 (2)每一个素数都是奇数；答案答案 存在一个素数不是奇数；(3)?x∈R，x2－2x＋1≥0.梳理 写全称命题的否定的方法：①更换量词，将全称量词换为存在量词；②将结论否定.
对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定? p： .全称命题的否定是______命题.答案?x0∈M，? p(x0)特称知识点二 特称命题的否定
思考 尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法.答案(1)有些实数的绝对值是正数；答案 先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定： (2)某些平行四边形是菱形；答案答案 所有平行四边形都不是菱形； 答案 ?x∈R，x2＋1≥0. 梳理 写特称命题的否定的方法：①将存在量词改写为全称量词，②将结论否定.
(1)特称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定? p： .
(2)对含有一个量词的命题进行否定，先对量词进行否定，全称量词变为
量词，存在量词变为 量词，然后再否定结论即可.答案返回?x∈M，? p(x)存在全称解析答案类型一 全称命题与特称命题的否定题型探究 例1 写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；解 非p：存在一个实数m，使得方程x2＋mx－1＝0没有实数根，
因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故非p为假命题. (2)p：存在x∈N，x2－2x＋1≤0.解 非p：对任意x∈N，x2－2x＋1>0，
显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，
故非p是假命题.反思与感悟(1)全称命题的否定
将全称量词变为存在量词，再否定它的结论，全称命题的否定是特称命题.
(2)特称命题的否定
将存在量词变为全称量词，再否定它的结论，特称命题的否定是全称命题.
(3)对全称命题与特称命题的否定要注意以下两点：
①对省略全称量词的全称命题要补回全称量词再否定.解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定形式.对特称命题的否定，在否定判断词时，也要否定存在量词.②要注意命题的否定形式不唯一.跟踪训练1 写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)p：矩形是平行四边形；解析答案(2)q：?x≥0，x2>0；解 ? p：存在一个矩形不是平行四边形，假命题. 解 ? q：?x≥0，x2≤0，真命题.(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；解 ? r：所有三角形的内角和都小于等于180°，真命题.(4)t：某些梯形的对角线互相平分.解 ? t：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题.类型二 利用全称命题与特称命题求参数取值范围
例2 已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”.若命题“非p”与“q”均为真命题，求实数m的取值范围.解析答案反思与感悟解 由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，
所以非p：“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，
故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.
又命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，
即不等式x2<9－m2在实数集上有解，故9－m2>0，
所以－3因为命题“非p”与“q”均为真命题，
所以m的取值范围为(－3，－2]∪[2,3).反思与感悟利用全称命题、特称命题求参数的范围或求值是一类综合性较强、有一定难度的问题，主要考查这两种命题及其否定的定义.
全称命题为真，意味着对限定的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真.因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”.解析答案跟踪训练2 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①?x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.则m的取值范围是________.返回解析 由题意知m≠0，
∴f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)为二次函数，
(1)若?x∈R，f(x)<0或g(x)<0，
必须抛物线开口向下，即m<0.
f(x)＝0的两根x1＝2m，x2＝－m－3，
则x1－x2＝3m＋3.解析答案②当x1－4.
③当x1＝x2，即m＝－1时，x1＝x2＝－2<1也满足条件.
∴满足条件①的m的取值范围为－4则满足f(x)＝0的小根小于是－4.
①当m>－1时，小根x2＝－m－3<－4且m<0，无解.
②当m<－1时，小根x1＝2m<－4且m<0，解得m<－2.
③当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，
∴不满足②.
∴满足①②的m的取值范围是－4答案 －40且a≠1，命题“?x>1，logax>0”的否定是( )
A.?x≤1，logax>0 B.?x>1，logax≤0
C.?x≤1，logax>0 D.?x>1，logax≤0解析 a>0且a≠1，命题“?x>1，logax>0”的否定是“?x>1，logax≤0”.12345解析答案解析 由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得.D123453.下列说法不正确的是( )
A.若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题
B.命题“?x∈R，x2－x－1<0”的否定是“?x∈R，x2－x－1≥0”
C.“φ＝ ”是“y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件
D.当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减解析答案12345解析 A：若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题，正确；
B：命题“?x∈R，x2－x－1<0”的否定是“?x∈R，x2－x－1≥0”，正确；D：α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，正确.故选C.
答案 C 4.命题“?x0∈R, ”的否定是( )
A.?x∈R,3x≤0 B.?x0∈R,
C.?x0∈R, D.?x∈R,3x>012345解析答案解析 命题“?x0∈R, ”的否定使“?x∈R,3x>0.”D12345解析答案解析 由题意得命题“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，
所以Δ＝4－4m<0，即m>1，
故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.15.由命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝___.1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如本例，将“≥”否定为“<”.
2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断.3.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式： 返回课件32张PPT。第一章 常用逻辑用语章末复习课1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.
2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.
3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.
4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一 命题及其关系
思考1 命题的定义是什么？
答案 能判断真假的陈述句叫命题.答案问题导学 思考2 四种命题之间的关系是怎样的？答案答案 四种命题之间的关系如下图所示.梳理 (1)判断一个语句是否为命题，关键是：(一)为 ；(二)能__________.
(2)互为逆否的两个命题的真假性 .答案判断真假陈述句相同知识点二 充分条件、必要条件和充要条件
思考 命题的关系从充分条件和必要条件的角度分类，可以分为哪几类？答案答案 (1)若p?q，且q p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
(2)若p?q，且q?p，则p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p?q；
(3)若p q，且q?p，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；
(4)若p q，且q p，则p是q的既不充分又不必要条件.梳理 (1)定义
一般地，如果p?q，那么称p是q的 条件，同时称q是p的 条件.
如果p?q，且q?p，那么称p是q的 条件，简称p是q的 条件，记作p?q.
(2)特征
充分条件与必要条件具有以下两个特征：
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的 条件；
②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的 条件.即若p?q，q?r，则p?r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定.答案充分必要充分必要充要必要充分知识点三 简单的逻辑联结词和量词
思考1 结合日常生活实际和集合中的“并集”“交集”“补集”运算，谈谈你对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解.答案答案 (1)对“或”的理解，“或”与日常用语中“或”的意义不同，日常用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有.对于逻辑用语“或”的理解，我们可以借助于集合中并集的概念：在A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个成立，可以是“x∈A且x?B”，也可以是“x?A且x∈B”，也可以是“x∈A且x∈B”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的.
(2)对“且”的理解，可以联想到集合中交集的概念：在A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”“x∈B”都要满足，即既要属于集合A，又要属于集合B.(3)对“非”的理解，可以联想到集合中补集的概念：“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非p”，当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真.若将命题p对应集合P，则命题非p就对应集合P在全集U中的补集?UP；对“非”的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思，如“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得到的新命题. 思考2 全称量词与存在量词理解时应注意什么？答案答案 对于量词，不要追求它们形式的定义，重在理解它们的含义，要注意根据命题叙述对象的特点，发现隐含的量词.如“矩形的对角线相等”表明任意一个矩形的对角线都相等，它隐含了全称量词“任意”.梳理 (1)常见的逻辑联结词有“ ”、“ ”、“ ”.
(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符合“?x”表示“ ”.
(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“?x”表示“ ”.
(4)由全称量词组成的命题叫 命题，由存在量词组成的命题叫_____命题.答案返回且或对任意x存在x全称特称非解析答案反思与感悟类型一 等价转化思想的应用
例1 已知c>0，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围.题型探究 解 函数y＝cx在R上单调递减?0不等式x＋|x－2c|>1的解集为R?函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1. 反思与感悟∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化.跟踪训练1 已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x<1＋m(m>0).
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；解析答案解 由命题p：(x＋1)(x－5)≤0，解得－1≤x≤5.
命题q：1－m≤x<1＋m(m>0).
∵p是q的充分条件，
∴[－1,5]?[1－m,1＋m)， 则实数m的取值范围为(4，＋∞).(2)若m＝5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围.解析答案解 ∵m＝5，∴命题q：－4≤x<6.
∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
∴命题p，q为一真一假.解得－4≤x<－1或5因此x的取值范围是[－4，－1)∪(5,6).类型二 分类讨论思想的应用
例2 已知关于x的一元二次方程(m∈Z)：
mx2－4x＋4＝0，①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②
求方程①和②的根都是整数的充要条件.解析答案反思与感悟当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，无整数根；
当m＝1时，方程①为x2－4x＋4＝0，
方程②为x2－4x－5＝0.
此时①和②均有整数根.
综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1.反思与感悟解 当m＝0时，方程①的根为x＝1，
方程②化为x2－5＝0，无整数根，∴m≠0.
当m≠0时，方程①有实数根的充要条件是Δ＝16－4×4m≥0?m≤1；分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点.这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题和高等数学相联系.解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想.解析答案返回又∵q：x2－ax≤x－a，∴x2－(a＋1)x＋a≤0.
①当a<1时，a≤x≤1；
②当a＝1时，x＝1；
③当a>1时，1≤x≤a.
设q对应的集合为A，p对应的集合为B，
∵? p是? q的充分条件.∴?RB??RA，即A?B.
当a<1时， A B，不合题意；
当a＝1时，A?B.符合题意；
当a>1时，1≤x≤a，要使A?B，则1综上，符合条件的a∈[1,3).返回1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析答案B当堂训练 解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数.123452.设点P(x，y)，则“x＝1且y＝－2”是“点P在直线l：x－y－3＝0上”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12345解析答案解析 由“x＝1且y＝－2”可以推出“点P在直线l：x－y－3＝0上”，反之不一定成立，所以应是充分而不必要条件.A12345解析答案3.下列有关命题的叙述，①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：?x∈R，使得x2＋x－1<0，则? p：?x∈R，使得x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”.其中错误的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.412345解析 若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，所以p∧q不一定为真，所以①错误.
x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，②正确.
根据特称命题的否定是全称命题知③正确.
“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”所以④错误，所以错误命题的个数为2个.
答案 B4.下列命题中的假命题是( )
A.?x0∈R，lg x0＝1 B.?x0∈R，sin x0＝0
C.?x∈R，x2>0 D.?x∈R,2x>012345解析答案解析 因为?x∈R,2x>0，x2≥0，所以D项正确，C项错误，
由lg 10＝1，sin 0＝0知A、B选项正确.C12345解析答案12345得2p为真命题时，由x2＋2x－3>0，解得x>1或x<－3，解得x<－3或1所以x的取值范围是x<－3或1答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.
2.判断命题真假的步骤3.命题p∧q，p∨q，? p的真假判断，如下表：4.含有一个量词的命题的否定返回注意：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论.第一章 常用逻辑用语(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列语句中是命题的是( )
A．梯形是四边形 B．作直线AB
C．x是整数 D．今天会下雪吗？
2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
4．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．若p：a∈R，|a|<1，q：x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：|x|<1是xA．“p或q”为真命题
B．“p且q”为假命题
C．“綈p且q”为真命题
D．“綈p或綈q”为真命题
10．“a和b都不是偶数”的否定形式是( )
A．a和b至少有一个是偶数
B．a和b至多有一个是偶数
C．a是偶数，b不是偶数
D．a和b都是偶数
11．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，那么a的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－2,2]
C．(－∞，2] D．(－∞，－2)
12．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的__________条件．
14．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
15．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为________________．
16．下列四个命题中
①“k＝1”是“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；
②“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”的充要条件；
③函数y＝的最小值为2.
其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)正方形是矩形又是菱形；
(2)同弧所对的圆周角不相等；
(3)方程x2－x＋1＝0有两个实根．
18．(12分)判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
19.(12分)已知p：≤2；q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，若綈p是綈q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
20．(12分)已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
21.(12分)p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
22．(12分)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．
单元检测卷答案解析
第一章 常用逻辑用语(A)
1．A
2．A [因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a，b 都小于1，则a＋b<2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.]
3．C
4．A [“x∈M，或x∈P”不能推出“x∈M∩P”，反之可以．]
5．C [①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④中有“或”．]
6．B [当A＝170°时，sin 170°＝sin 10°<，所以“过不去”；但是在△ABC中，sin A>?30°30°，即“回得来”．]
7．A [a∈R，|a|<1?a－2<0，充分成立，反之不成立．]
8．A [綈p：|x＋1|≤2，－3≤x≤1，綈q：5x－6≤x2，
即x2－5x＋6≥0，解得x≥3，或x≤2.
∴綈p?綈q，但綈q綈p，故綈p是綈q的充分不必要条件．]
9．A [命题p：当a>1时，Δ＝4－4a<0，即x2＋2x＋a>0恒成立，故函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，即命题p是真命题；命题q：当a>1时，由|x|<1，得－110．A [对“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”，等价于“a和b中至少有一个是偶数”．]
11．B [注意二次项系数为零也可以．]
12．D [∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．]
13．必要不充分
解析 q?p，pq.
14．[－3,0]
解析 ax2－2ax－3≤0恒成立，
当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，得－3≤a<0；
∴－3≤a≤0.
15．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形
解析 本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．
第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．
16．①②③
解析 ①“k＝1”可以推出“函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π”，但是函数y＝cos2kx－sin2kx的最小正周期为π，即y＝cos 2kx，T＝＝π，k＝±1.
②“a＝3”不能推出“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”，反之垂直推出a＝；
③函数y＝＝＝＋，令＝t，t≥，ymin＝＋＝.
17．解 (1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．
(2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题．
(3)如果一个方程为x2－x＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题．
18．解 方法一 (直接法)
逆否命题：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2图象的开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
∵a<1，∴4a－7<0.
即二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．
方法二 (先判断原命题的真假)
∵a、x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥，
∵a≥>1，∴原命题为真．
又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．
方法三 (利用集合的包含关系求解)
命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集．
命题q：a≥1.
∴p：A＝{a|关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝，
q：B＝{a|a≥1}．
∵A?B，∴“若p，则q”为真，
∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真．
即原命题的逆否命题为真．
19．解 綈p：>2，解得x<－2，或x>10，
A＝{x|x<－2，或x>10}．
綈q：x2－2x＋1－m2>0，解得x<1－m，或x>1＋m，
B＝{x|x<1－m，或x>1＋m}．
∵綈p是綈q的必要非充分条件，∴BA，
即且等号不能同时成立?m≥9，
∴m≥9.
20．解 令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程有两个大于1的实数根?，
即k<－2.
所以其充要条件为k<－2.
21．解 对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立?a＝0或?0≤a<4；
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根?1－4a≥0
?a≤；如果p真，且q假，有0≤a<4，且a>，
∴且a≤，∴a<0.
综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
22．解 假设三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，
x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0都没有实数根，则，
即得－∴所求实数a的范围是a≤－或a≥－1.
第一章 常用逻辑用语(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是( )
A．ab＝0 B．a＋b＝0
C．a＝b D．a2＋b2＝0
2．若“a≥b?c>d”和“aA．必要非充分条件
B．充分非必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件
3．在下列结论中，正确的是( )
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4．“a≠1或b≠2”是“a＋b≠3”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
5．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则( )
A．p真q真 B．p假q真
C．p真q假 D．p假q假
6．条件p：x>1，y>1，条件q：x＋y>2，xy>1，则条件p是条件q的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．2x2－5x－3<0的一个必要不充分条件是( )
A．－C．－38．“x＝2kπ＋ (k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R，lg x＝0 B．?x∈R，tan x＝1
C．?x∈R，x3>0 D．?x∈R,2x>0
10．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
11．下列命题中为全称命题的是( )
A．圆内接三角形中有等腰三角形
B．存在一个实数与它的相反数的和不为0
C．矩形都有外接圆
D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行
12．以下判断正确的是( )
A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B．命题“?x∈N，x3>x”的否定是“?x∈N，x3>x”
C．“a＝1”是“函数f(x)＝sin 2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．下列命题中________为真命题．(填序号)
①“A∩B＝A”成立的必要条件是“AB”；
②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；
③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；
④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
14．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是________________________，这是________(填“真”或“假”)命题．
15．若“?x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．
16．给出下列四个命题：
①?x∈R，x2＋2>0；
②?x∈N，x4≥1；
③?x∈Z，x3<1；
④?x∈Q，x2＝3.
其中正确命题的序号为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．
(1)矩形的对角线相等且互相平分；
(2)正偶数不是质数．
18．(12分)写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并指出所构成的这些命题的真假．
(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；
(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．
19.(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
20．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于?x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立，试求实数a的取值范围．
21.(12分)下列三个不等式：
①>1；
②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；
③a>x2＋.
若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．
22．(12分)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．
第一章 常用逻辑用语(B)
1．D [若a2＋b2＝0，即a＝b＝0时，f(－x)＝(－x)·|－x＋0|＋0＝－x|x|＝－f(x)，∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的充分条件．又若f(x)为奇函数即f(－x)＝－x|(－x)＋a|＋b＝－(x|x＋a|＋b)，则必有a＝b＝0，即a2＋b2＝0，∴a2＋b2＝0是f(x)为奇函数的必要条件．]
2．B [由a≥b?c>d可得c≤d?a3．B
4．B [∵a＝1且b＝2?a＋b＝3，
∴a＋b≠3?a≠1或b≠2.]
5．B [由“非p”为真可得p为假，若同时“p或q”为真，则可得q必须为真．]
6．A [由我们学习过的不等式的理论可得p?q，但x＝100，y＝0.1满足q：x＋y>2，xy>1，但不满足q，故选项为A.]
7．D
8．A [tan＝tan ＝1，所以充分；
但反之不成立，如tan ＝1.]
9．C
10．A [举例：a＝1.2，b＝0.3，
则a＋b＝1.5<2，∴逆命题为假．]
11．C
12．D [∵“负数的平方是正数”即为?x<0，则x2>0，是全称命题，∴A不正确；
又∵对全称命题“?x∈N，x3>x”的否定为“?x∈N，x3≤x”，∴B不正确；
又∵f(x)＝sin 2ax，当最小正周期T＝π时，有＝π，∴|a|＝1 a＝1.
故“a＝1”是“函数f(x)＝sin 2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．]
13．②④
解析 ①A∩B＝A?A?B但不能得出AB，
∴①不正确；
②否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题；
④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．
14．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数 假
15．(－∞，－1)
解析 由Δ＝(－2)2－4×(－m)<0，得m<－1.
16．①③
17．解 (1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．
(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)．
否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．
逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．
18．解 (1)p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．
p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．
非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．
∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数，而另一个是3的倍数，
∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假．
(2)p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形．
p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形．
非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．
∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真．
19．证明 充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)，
∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
又ab≠0，即a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2＝2＋b2>0.
∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.
必要性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
综上可知，当ab≠0时，
a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
20．解 |f(x)|≤1?－1≤f(x)≤1?－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]．①
当x＝0时，a≠0，①式显然成立；
当x∈(0,1]时，①式化为－－≤a≤－在x∈(0,1]上恒成立．
设t＝，则t∈[1，＋∞)，
则有－t2－t≤a≤t2－t，所以只需
?－2≤a≤0，
又a≠0，故－2≤a<0.
综上，所求实数a的取值范围是[－2,0)．
21．解 对于①，>1，即－x2＋ax－>0，故x2－ax＋<0，Δ＝a2－25，所以不等式的解集为空集，实数a的取值范围是－5≤a≤5.
对于②，当a＝3时，不等式的解集为{x|x>1}，不是空集；当a≠3时，要使不等式(a－3)x2＋(a－2)x－1>0的解集为空集．
则解得－2≤a≤2.
对于③，因为x2＋≥2＝2，
当且仅当x2＝1，即x＝±1时取等号．
所以，不等式a>x2＋的解集为空集时，a≤2.
因此，当三个不等式的解集都为空集时，－2≤a≤2.
所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是{a|a<－2或a>2}．
22．解 ∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
则x1＋x2＝m且x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝＝，
当m∈[－1,1]时，|x1－x2|max＝3，
由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立可得：a2－5a－3≥3，
∴a≥6或a≤－1.
所以命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，
当a>0时，显然有解；
当a＝0时，2x－1>0有解；
当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，
∴Δ＝4＋4a>0，∴－1从而命题q：
不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.
又命题q为假命题，∴a≤－1.
综上得，若p为真命题且q为假命题则a≤－1.
章末总结
知识点一 四种命题间的关系
命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．
【例1】 判断下列命题的真假．
(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；
(2)若0(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．
知识点二 充要条件及其应用
充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：
(1)定义法
(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．
(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．
(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．
【例2】 若p：－2【例3】 设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.
且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
知识点三 逻辑联结词的应用
对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．
利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．
【例4】 判断下列命题的真假．
(1)对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；
(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.
【例5】 设命题p：函数f(x)＝lg的定义域为R；命题q：不等式<1＋ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．
知识点四 全称命题与特称命题
全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．
全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．
全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．
特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．
【例6】 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)3＝2；
(2)5>4；
(3)对任意实数x，x>0；
(4)有些质数是奇数．
【例7】 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围．
章末总结
重点解读
例1 解 (1)若x∈A∪B，则x∈B是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x∈B，则x∈A∪B，为真命题．
(2)∵0∴0≤|x－2|<3.
原命题为真，故其逆否命题为真．
否命题：若x≤0或x≥5，则|x－2|≥3.
例如当x＝－，＝<3.
故否命题为假．
(3)原命题：a，b为非零向量，a⊥b?a·b＝0为真命题．
逆命题：若a，b为非零向量，a·b＝0?a⊥b为真命题．
否命题：设a，b为非零向量，a不垂直b?a·b≠0也为真．
例2 解 若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1、x2，且0则x1＋x2＝－a，x1x2＝b.
于是0<－a<2,0即－2所以，p是q的必要不充分条件．
例3 解 设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}＝{x|3aB＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}
＝{x|x<－4或x≥－2}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
∴AB，∴或，
解得－≤a<0或a≤－4.
故实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.
例4 解 (1)∵x－3＝0，有x－3≤0，∴命题为真；
(2)∵当x＝5时，(x－3)(x－6)≠0，
∴命题为假．
例5 解 p：由ax2－x＋a>0恒成立得
，∴a>2.
q：由<1＋ax对一切正实数均成立，
令t＝>1，则x＝，
∴t<1＋a·，
∴2(t－1)1均成立．
∴2，∴a≥1.
∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．
若p真q假，a>2且a<1不存在．
若p假q真，则a≤2且a≥1，∴1≤a≤2.
故a的取值范围为1≤a≤2.
例6 解 (1)3≠2，真命题；
(2)5≤4，假命题；
(3)存在一个实数x，x≤0，真命题；
(4)所有质数都不是奇数，假命题．
例7 解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，
只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
