人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数4.2.1指数函数的概念 课件(共35张PPT)

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人教A版2019必修第一册
第 4章 指数函数与对数函数
4.2.1 指数函数的概念
学习目标
1.了解指数函数的概念.
2.会画出指数函数图象(重点).
3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域(重点、难点).
对于幂ax(a>0)，我们已经把指数x的范围拓展到了实数．
上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，
进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其
他类型的基本初等函数．
问题探究
情境导入
拿一张报纸，将这张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y间、折叠次数x与对折后的面积S(设原面积为1)之间的对应关系见下表：
【想一想】对应的层数y与折叠次数x间存在怎样的函数关系？对折后的面积S与折叠的次数x间呢？你得到的两个函数解析式有什么共同特征？
时间/年 A地景区 B地景区
人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次
2001 600 278
2002 609 9 309 31
2003 620 11 344 35
2004 631 11 383 39
2005 641 10 427 44
2006 650 9 475 48
2007 661 11 528 53
2008 671 10 588 60
2009 681 10 655 67
2010 691 10 729 74
2011 702 11 811 82
2012 711 9 903 92
2013 721 10 1005 102
2014 732 11 1118 113
2015 743 11 1244 126
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
问题1 A，B两地景区自2001年起实行不同的门票改革措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．左表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．
为了有利于观察规律，根据表，分别画出A，B两地景区采取不同
措施后的15年游客人次的图象
观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的。
能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？例如用“增长率”？
从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，
可以得到
结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数．
做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．
增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．
因此，B地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从2001年
开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
……
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍．
如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么
y=1.11x(x∈[0,+∞)) ①
这是一个函数，其中指数x是自变量．
问题2　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定
的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来
的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生
物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
探究：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1
1.指数函数的定义：
一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R.
是幂函数
判断下列函数是不是指数函数：
（1） …………（ ）
（2） …………（ ）
（3） …………（ ）
（4） …………（ ）
（5） …………（ ）
（6） …………（ ）
×
×
√
×
×
√
【1】ax的系数为1;
【2】ax的指数为自变量;
【3】ax的底数是大于零且不等于1的常数.
只有同时满足这三个条件的函数，才是指数函数.
1.若y＝(a2-3a+3)ax是指数函数，则有(　　)
A.a＝1或2　　　　　　 B.a＝1
C.a＝2 D.a＞0且a≠1
C
解析：因为 y＝(a2-3a+3)ax 是指数函数
所以 a2-3a+3=1
所以 a=1或2
因为 a≠1
所以 a=2
练一练
2.求指数函数的解析式
解：(1)由题意 a2=4，所以a=2.
(2)因为 f(x)=2x
所以方程 f(2x)-3f(x)-4=0可化为
所以22x-3·2x-4=0，即(2x)2-3·2x-4=0
所以2x=4，即x=2
练一练
例2、(1)在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．
解：(1)设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，
则f(x)=1150×(10x+600)，g(x)=1000×278×1.11x．
利用计算工具可得，
当x=0时，f(0)－g(0)=412000．
当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)．
结合右图可知：
当x＜10.22时，f(x)>g(x)，
当x＞10.22时，f(x)当x＝14时，f(14)－g(14)≈347303．
3.指数函数的应用
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然f(x)>g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f(x)=g(x)，
这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)给B地带来的收入超过了A地；由于g(x)增长得越来越快，在2015
年，B地的收入已经比A地多347303万元了．
（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
所以，生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%
1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（　　）
【解析】由指数函数的增长速度及定义，可知C正确．
课本练习
答案：2.
题型一：指数函数的概念
题型分类讲解
题型二：指数函数的解析式及应用
题型三：指数函数的实际应用
例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题：
（2）计算10年、20年、30年后两城市的人口总数（精确到0.1万人）；
解(2)：
10年后 20年后 30年后
甲 112.7 126.9 143.0
乙 113 126 139
解(3)：甲乙两城市人口都逐年增长，其中甲城市人口增长的速度快些，呈指数增长型；乙城市人口增长缓慢，呈线性增长.从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.
例3.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解决下面的问题：
（3）试对两城市人口增长情况做出分析。
随堂检测
课堂小结：