2.1 排列与排列数及排列数公式
课时目标
理解并掌握排列及排列数的概念，能用计数原理推导排列数公式，能用排列数公式解决简单的实际问题.
逐点清(一) 排列的概念
[多维度理解]
排列及排列问题
排列 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照__________排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
排列数 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A
排列 问题 把有关求________________的问题叫作排列问题
微点助解
(1)要求m≤n，按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同.
(2)判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑：
①“取”指检验取出的m个元素是否重复；
②“排”指检验取出的m个元素是否有顺序，其判断标准是，交换两个元素位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
[细微点练明]
1.下列问题是排列问题的是( )
A.从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B.10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D.从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
2.用具体数字表示下列问题.
(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；
(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数.
3.四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列出来，并计算A.
逐点清(二) 排列数公式与阶乘
[多维度理解]
1.排列数公式
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的排列共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]种，所以A＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)].上述这个公式叫作排列数公式.
(2)当m＝n时，A＝______________________，记作______，读作：n的阶乘.
2.阶乘的相关结论
(1)规定：A＝ ,0！＝ .
(2)排列数公式的另一种形式：A＝________(m≤n，且m，n∈N＋).
(3)A＝nA(m≤n，且m，n∈N＋).
(4)A＝mA＋A(m≤n，且m，n∈N＋).
微点助解
(1)排列数公式的特点：
①公式中的m，n应该满足：m，n∈N＋，并且m≤n，当m>n时不成立.
②排列数公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数小1，最后一个因数为n－m＋1(下标－上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘.
(2)“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同的元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数，所以A只表示排列数，而不表示具体的排列.
[细微点练明]
1.(x－2)(x－3)(x－4)·…·(x－15)(x∈N＋，x>15)可表示为( )
A.A B.A
C.A D.A
2.若A＝12，则n＝( )
A.2 B.3
C.4 D.5
3.计算＝________；化简A＋2A＋3A＋…＋nA＝________.
4.计算：(1)A；(2)A；(3)A－A；(4).
逐点清(三) 排列数公式的应用
[典例] (1)解不等式A<6A；
(2)证明：A－A＝mA.
听课记录：
排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质.提取公因式，可以简化计算.
[针对训练]
1.解不等式：3A＋12A≤11A.
2.解方程：A＝140A.
3.证明：＝1·3·5·…·(2n－1).
排列与排列数及排列数公式
[逐点清(一)]
[多维度理解]
一定的顺序 个数 排列的个数
[细微点练明]
1.选B 从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序，因而不是排列问题，故A不符合题意；10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，是排列问题，故B符合题意；平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点即可确定1条直线，这2个点不分顺序.因而不是排列问题，故C不符合题意；从1,2,3,4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，故D不符合题意.
2.解：(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99＝9 900(个).
(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，
故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1＝6(个).
(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，
分别把4名大学生安排到4家单位，
共有5×4×3×2＝120(个)分配方案.
3.解：先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1＝24(种)，A＝4×3×2×1＝24.画出树状图.
由树状图可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
[逐点清(二)]
[多维度理解] 1.(2)n(n－1)(n－2)·…·2·1 n！ 2.(1)1 1 (2)
[细微点练明]
1.选B (x－2)(x－3)(x－4)·…·(x－15)
＝
＝＝＝A.
2.选C 由排列数公式可得A＝n(n－1)＝12，解得n＝4或n＝－3.由于n≥2且n∈N＋，故n＝4.
3.解析：第一空：
＝＝＝＝.
第二空：
因为kA＝(k＋1)A－A＝A－A，
所以A＋2A＋3A＋…＋nA＝1＋(A－A)＋(A－A)＋…＋(A－A)
＝1－A＋A＝A－1.
答案： A－1
4.解：(1)A＝12×11×10×9＝11 880.
(2)A＝6×5×4×3×2×1＝720.
(3)A－A＝9×8×7×6－9×8×7＝9×8×7×5＝2 520.
(4)＝＝＝21.
[逐点清(三)]
[典例] 解：(1)由A<6A，
得<6×，
化简得x2－19x＋84<0，解得7又∴2由①②及x∈N＋得x＝8.
故原不等式的解集为{8}.
(2)证明：∵A－A＝－＝·＝·＝m·＝mA，
∴A－A＝mA.
[针对训练]
1.解：由题意得3(x＋2)(x＋1)＋12x(x－1)≤11(x＋1)x，化简得2x2－7x＋3≤0，
即(2x－1)(x－3)≤0，所以≤x≤3.因为x≥2，且x∈N＋，所以不等式的解集为{2,3}.
2.解：易知所以x≥3，x∈N＋.
由A＝140A，得(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)，
化简得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3，x2＝(舍去).
所以原方程的解为x＝3.
3.证明：因为左边＝
＝
＝
＝＝1·3·5·…·(2n－1)＝右边，所以原等式成立.(共49张PPT)
排列与排列数及排列数公式
(概念课—逐点理清式教学)
2.1
课时目标
理解并掌握排列及排列数的概念，能用计数原理推导排列数公式，能用排列数公式解决简单的实际问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 排列的概念
逐点清(二) 排列数公式与阶乘
逐点清(三) 排列数公式的应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 排列的概念
01
多维度理解
排列及排列问题
排列 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照_____________排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
排列数 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的_______，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A
排列问题 把有关求______________的问题叫作排列问题
一定的顺序
个数
排列的个数
微点助解
(1)要求m≤n，按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同．
(2)判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑：
①“取”指检验取出的m个元素是否重复；
②“排”指检验取出的m个元素是否有顺序，其判断标准是，交换两个元素位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
细微点练明
√
1．下列问题是排列问题的是( )
A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
解析：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序，因而不是排列问题，故A不符合题意；
10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，是排列问题，故B符合题意；
平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点即可确定1条直线，这2个点不分顺序．因而不是排列问题，故C不符合题意；
从1,2,3,4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，故D不符合题意．
2．用具体数字表示下列问题．
(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；
(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．
解：(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99＝9 900(个)．
(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，
所以这个四位数的个位数字一定是“0”，
故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1＝6(个)．
(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，
分别把4名大学生安排到4家单位，
共有5×4×3×2＝120(个)分配方案．
由树状图可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.
逐点清(二) 排列数公式与阶乘
02
多维度理解
n(n－1)(n－2)·…·2·1
n！
1
微点助解
(1)排列数公式的特点：
①公式中的m，n应该满足：m，n∈N＋，并且m≤n，当m>n时不成立．
②排列数公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数小1，最后一个因数为n－m＋1(下标－上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘．
(2)“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同的元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数，所以A只表示排列数，而不表示具体的排列．
细微点练明
√
√
逐点清(三) 排列数公式的应用
03
方法技巧
排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质．提取公因式，可以简化计算．
针对训练
课时跟踪检测
04
1．[多选]下列问题是排列问题的是( )
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动
C．从a，b，c，d中选出3个字母
D．从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数
解析：由排列的定义知A、D是排列问题．
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3．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A．6 B．4
C．8 D．10
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6．由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为( )
A．9 B．12 C．15 D．18
解析：本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示为
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9．从6个不同元素中取出2个元素的排列数为______．(用数字作答)
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11．从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是______．(结果用数字作答)
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12．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，则原有车站______个，现有车站______个．
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13．已知m，n，p均为正整数，则满足m！＋n！＝5p的一组解为(m，n，p)＝________________________________.
解析：因为不小于5的自然数的阶乘的尾数为0,5p尾数为5，
所以m，n≤4，而1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24，
所以可得(m，n，p)＝(1,4,2)或(4,1，2)．
(1,4,2)(或(4,1,2)，写出一个即可)
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解：(1)对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站，
因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列的个数，即21×20＝420.
所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．
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15．计算下列各题：
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2课时跟踪检测(四十一) 排列与排列数及排列数公式
1.[多选]下列问题是排列问题的是( )
A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组
B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动
C.从a，b，c，d中选出3个字母
D.从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数
2.A等于( )
A.9×3 B.93
C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3
3.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )
A.6 B.4
C.8 D.10
4.A－A的值是( )
A.480 B.520
C.600 D.1 320
5.[多选]下列等式成立的是( )
A.A＝(n－2)A B.A＝A
C.nA＝A D.A＝A
6.由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为( )
A.9 B.12
C.15 D.18
7.已知A＝100A(n∈N＋，n≥2)，则n＝( )
A.11 B.12
C.13 D.14
8.某校为庆祝中国共产党成立103周年举办“学党史颂党恩”主题演讲比赛，来自高三年级的两名同学和高一、二年级各1名同学进入决赛，则来自高三年级的两名同学不相邻出场的概率为( )
A. B.
C. D.
9.从6个不同元素中取出2个元素的排列数为________.(用数字作答)
10.计算：＝________.
11.从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是________.(结果用数字作答)
12.一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，则原有车站______个，现有车站______个.
13.已知m，n，p均为正整数，则满足m！＋n！＝5p的一组解为(m，n，p)＝________.
14.京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站.
(1)计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？
(2)计算排列数A.
15.计算下列各题：
(1)；
(2)若3A＝2A＋6A，求n；
(3)解不等式：3A≤2A＋6A.
课时跟踪检测(四十一)
1．选AD 由排列的定义知A、D是排列问题．
2．C
3.选B 列树状图如图所示．故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．
4．选C A＝12×11×10＝1 320，A＝10×9×8＝720，故A－A＝1 320－720＝600.
5．选ACD A＝(n－2)(n－1)n＝(n－2)A，A正确；A＝，A＝，当n>2时，A≠A，B错误；nA＝n·(n－1)！＝n！＝A，C正确；A＝·＝＝A，D正确．
6．选B 本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示为
由此可知共有12个符合题意的四位数．
7．选C 因为A＝100A(n∈N＋，n≥2)，所以2n(2n－1)(2n－2)＝100n(n－1)，整理可得2n－1＝25，解得n＝13，经检验，满足题意．
8．选B 四名同学全排列共有A＝24种方法，来自高三年级的两名同学不相邻共有AA＝12种方法，所以来自高三年级的两名同学不相邻出场的概率P＝＝.
9．解析：根据题意，结合排列数公式得A＝6×5＝30.
答案：30
10．解析：因为A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36.
答案：36
11．解析：从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是A＝42.
答案：42
12．解析：由题意可得，A－A＝58，即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，解得n＝14.故原有车站14个，现有车站16个．
答案：14 16
13．解析：因为不小于5的自然数的阶乘的尾数为0,5p尾数为5，所以m，n≤4，而1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24，所以可得(m，n，p)＝(1,4,2)或(4,1，2)．
答案：(1,4,2)(或(4,1,2)，写出一个即可)
14．解：(1)对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站，因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列的个数，即21×20＝420.
所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．
(2)A＝21×20＝420.
15．解：(1)＝
＝1.
(2)由3A＝2A＋6A，得
3n(n－1)(n－2)＝2(n＋1)n＋6n(n－1)．
所以3n2－17n＋10＝0.
解得n＝5或n＝(舍去)．
因为n≥3且n∈N＋，所以n＝5.
(3)因为A＝x(x－1)(x－2)，A＝(x＋1)x，A＝x(x－1)，所以原不等式可化为3x(x－1)(x－2)≤2x(x＋1)＋6x(x－1)．因为x≥3，解得3≤x≤5.易知x∈N＋，所以原不等式的解集为{3,4,5}．
