3.1 组合与组合数
课时目标
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.
2.会用组合知识解决简单的组合问题.
逐点清(一) 组合及组合问题
[多维度理解]
1.组合
一般地，从n个______元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个________为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.组合问题
有关求___________的问题叫作组合问题.
微点助解
(1)组合的特点是只取不排
组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.
(2)组合的特性
元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求.
(3)相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合.
[细微点练明]
1.以下四个问题，属于组合问题的是( )
A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
2.已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________________.
3.若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集个数为________.
4.写出从A，B，C，D，E5个元素中，依次取3个元素的所有组合.
逐点清(二) 组合数及组合数公式
[多维度理解]
1.组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的______________的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的组合数，记作______.
2.组合数公式
(1)C＝＝
＝____________.
(2)C＝ ，C＝ ，C＝ .
3.组合数性质
(1)性质1：＝C；
(2)性质2：C＝.
微点助解
(1)m≤n，m，n∈N＋；
(2)C＝＝常用于计算；
(3)C＝常用于证明.
[细微点练明]
1.C＋C＝( )
A.25 B.30
C.35 D.40
2.5C－8C为( )
A.C B.C
C.0 D.C
3.计算：C＋C－C.
4.求等式＝中的n值.
逐点清(三) 组合数公式的应用
[典例] (1)求值：C＋C＋C＋…＋C；
(2)解不等式：2C<3C.
听课记录：
关于组合数公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用C＝·＝＝C进行计算.
(2)涉及字母的可以用阶乘式C＝计算.
(3)计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算.
[针对训练]
1.已知C＝C＋C(n∈N＋)，则n＝( )
A.14 B.15
C.13 D.12
2.若C>C，则n的取值集合是( )
A.{6,7,8,9} B.{6,7,8}
C.{n|n≥6，n∈N＋} D.{7,8,9}
3.证明下列各等式.
(1)C＝C；
(2)C＋C＋C＋…＋C＝C.
组合与组合数
[逐点清(一)]
[多维度理解] 1.不同 元素 2.组合的个数
[细微点练明]
1.选C 只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.
2.ab，ac，ad，bc，bd，cd
3.解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有＝6(个).
答案：6
4.解：含A的三个元素有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，不含A含B的三个元素有BCD，BCE，BDE，不含A，B的三个元素有CDE，所以取3个元素的所有组合是ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
[逐点清(二)]
[多维度理解] 1.所有组合 C
2.(1) (2)1 n 1
3.(1)C (2)C＋C
[细微点练明]
1.选B C＋C＝＋＝10＋20＝30.
2.选B 5C－8C＝5×－8×＝－
＝＝＝C.
3.解：原式＝C＋C－1
＝＋－1
＝56＋4 950－1＝5 005.
4.解：原方程可变形为
＋1＝，C＝C，
即
＝×，
化简整理，得n2－3n－54＝0.
解得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，
所以n＝9.
[逐点清(三)]
[典例] 解：(1)C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C＝C＝
＝5 985.
(2)因为2C<3C，所以2C<3C，
即<.
又因为所以x≥2.所以<.
所以2≤x<，且x∈N＋，所以x＝2,3,4,5.
所以不等式的解集为{2,3,4,5}.
[针对训练]
1.选A 由组合数性质知，C＋C＝C，所以C＝C，所以7＋8＝n＋1，得n＝14.
2.选A ∵C>C，
∴
即解得6≤n<10.
∵n∈N＋，
∴n＝6,7,8,9.∴n的取值集合为{6,7,8,9}.
3.证明：(1)∵右边
＝·
＝·
＝＝C＝左边，∴原式成立.
(2)∵左边＝(C＋C)＋C＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋…＋C
＝(C3n＋4＋C)＋…＋C
＝…＝C＋C
＝C＝右边，∴原式成立.(共52张PPT)
组合与组合数
(概念课—逐点理清式教学)
3.1
课时目标
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．
2．会用组合知识解决简单的组合问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 组合及组合问题
逐点清(二) 组合数及组合数公式
逐点清(三) 组合数公式的应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 组合及组合问题
01
多维度理解
1．组合
一般地，从n个______元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个_______为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合问题
有关求_____________的问题叫作组合问题．
不同
元素
组合的个数
微点助解
(1)组合的特点是只取不排
组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．
(2)组合的特性
元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．
(3)相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．
细微点练明
√
1．以下四个问题，属于组合问题的是( )
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
解析：只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．
2．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为_________________________．
ab，ac，ad，bc，bd，cd
3．若已知集合P＝{1,2,3,4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集个数为_____．
6
4．写出从A，B，C，D，E5个元素中，依次取3个元素的所有组合．
解：含A的三个元素有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，
不含A含B的三个元素有BCD，BCE，BDE，
不含A，B的三个元素有CDE，
所以取3个元素的所有组合是ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
逐点清(二) 组合数及
组合数公式
02
多维度理解
所有组合
细微点练明
√
√
化简整理，得n2－3n－54＝0.
解得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，
所以n＝9.
逐点清(三) 组合数公式的应用
03
方法技巧
针对训练
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1．下列四个问题属于组合问题的是( )
A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B．从1,2,3,4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长
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解析：对于A，从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，将2人选出后，还要安排导游和翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于B，从1,2,3,4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；
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对于C，从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；
对于D，从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长，将2人选出后，还要安排班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题．
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3．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是( )
A．10 B．5
C．4 D．1
解析：组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．
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10．6人参加一项活动，要求是“必须有人去，去几个人，谁去，自己定”，则不同的去法种数为____．
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11．将12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，则不同的放法种数为______．
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12．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有______种．
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13．袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球．
(1)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？
(2)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？
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15．从5名男生和5名女生中选出4人去社区做志愿者．
(1)如果4人中男生、女生各选2人，有多少种选法？
(2)如果男生甲与女生乙至少有一人参加，有多少种选法？
(3)如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？
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2课时跟踪检测(四十三) 组合与组合数
1.下列四个问题属于组合问题的是( )
A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B.从1,2,3,4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数
C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式
D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长
2.C＋C＝( )
A.9 B.18
C.28 D.36
3.从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是( )
A.10 B.5
C.4 D.1
4.若A＝8C，则n等于( )
A.4 B.6
C.5或6 D.8
5.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
A.A种 B.C种
C.CA种 D.30种
6.[多选]下列各式一定成立的有( )
A.C＝C B.A－A＝n2A
C.A＝nA D.nC＝C＋kC
7.若C＝C，则C＋C＋C＋…＋C的值为( )
A.45 B.55
C.120 D.165
8.设[x]表示不超过x的最大整数.对于给定的n∈N＋，定义C＝，x∈[1，＋∞)，则当x∈时，函数C的值域是( )
A.[4,25] B.(3,4]
C.∪[15,30) D.(3,4]∪(5,15]
9.计算CA＝________.
10.6人参加一项活动，要求是“必须有人去，去几个人，谁去，自己定”，则不同的去法种数为________.
11.将12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，则不同的放法种数为________.
12.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有________种.
13.袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球.
(1)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？
(2)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？
14.(1)求值：C＋C；
(2)已知－＝，求C.
15.从5名男生和5名女生中选出4人去社区做志愿者.
(1)如果4人中男生、女生各选2人，有多少种选法？
(2)如果男生甲与女生乙至少有一人参加，有多少种选法？
(3)如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？
课时跟踪检测(四十三)
1．选C 对于A，从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，将2人选出后，还要安排导游和翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B，从1,2,3,4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C，从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D，从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长，将2人选出后，还要安排班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题．
2．选B C＋C＝＋＝3＋15＝18.
3．选B 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．
4．选B 由题意，根据排列数、组合数的公式，可得A＝n(n－1)(n－2)，8C＝8×＝4n(n－1)，则n(n－1)(n－2)＝4n(n－1)，且n∈N＋，n≥3，解得n＝6.
5．选B 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C种．
6．选BC C＝·＝·＝C≠C(n≠2m)，故A错误. A－A＝－＝－＝＝n2A，故B正确．nA＝＝＝A，故C正确．C＋kC＝＋kC＝＋kC＝C＋kC≠nC(k≠0)，故D错误．故选BC.
7．选D 因为C＝C，所以m＋m＋2＝22，解得m＝10，故C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝165.
8．选D 当x∈时，C6＝＝4，当x无限接近2时，[x]＝1，所以C趋近于＝3，当x∈[2,3)时，C＝＝15，当x无限接近3时，[x]＝2，所以C趋近于＝5，故函数C的值域是(3,4]∪(5,15]．
9．解析：根据题意，CA＝×3×2＝210.
答案：210
10．解析：按照参加的人数分类，分别为1,2,3,4,5,6，所以不同的去法有C＋C＋C＋C＋C＋C＝63种．
答案：63
11．解析：先给每个盒子放入个数与其编号数相同的小球，则还剩2个小球，这2个小球可以放在1个或2个盒子中，所以不同的放法共有C＋C＝10(种)．
答案：10
12．解析：把4名学生分成3组有C种方法，再把3组学生分配到3所学校有A种方法，故共有CA＝36(种)保送方案．
答案：36
13．解：(1)从4个白球中取2个，有C＝6(种)方法，从5个黑球中取1个，有C＝5(种)方法，故取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有6×5＝30(种)．
(2)取出的3球中至少有2个白球，包括有2个白球1个黑球及3个白球两种情况，故有CC＋C＝6×5＋4＝34(种)不同的结果．
14．解：(1)由题意得，
解得4≤n≤5，∵n∈N＋，∴n＝4或n＝5.
当n＝4时，原式＝C＋C＝5；
当n＝5时，原式＝C＋C＝16.
(2)由题意可知m的取值范围为
{m|0≤m≤5，m∈N}，
由已知得，－
＝，
即10m＝(7－m)(6－m)，
整理得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2，∴C＝C＝28.
15．解：(1)第一步从5名男生中选2人，共有C＝10(种)选法；第二步从5名女生中选2人，共有C＝10(种)选法，根据分步乘法计数原理，共有C·C＝100(种)选法．
(2)甲、乙两人都不参加共有C＝70(种)选法，所有选法有C种，故男生甲与女生乙至少一人参加有C－C＝140(种)选法．
(3)4人全为男生，共有C＝5(种)选法；4人全为女生，共有C＝5(种)选法，所以总共有C－10＝200(种)选法．
