3.2 组合数公式的应用
课时目标
进一步加深对组合概念的理解.掌握几种有限制条件的排列，能应用组合数公式解决简单的实际问题.
题型(一) 组合数在实际问题中的应用
[例1] 在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？
(1)有3名内科医生和2名外科医生；
(2)既有内科医生，又有外科医生.
听课记录：
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路：一是直接分类法，注意分类不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
[针对训练]
1.某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种.
(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？
(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？
(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？
题型(二) 有限制条件的排列组合问题
[例2] 从6名男生，5名女生中选举3人分别担任班长、学习委员和体育委员.
(1)若担任班长、学习委员和体育委员的3人中有女生，则不同的情况有多少种？
(2)若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情况有多少种？
听课记录：
有限制条件的排列组合问题的解题策略
(1)元素分析法：首先满足特殊的元素，然后安排其他元素.
(2)位置分析法：首先满足特殊的位置，即把元素安排在特殊的位置，然后安排其他元素.
[针对训练]
2.从10个人中选5个人分别担任5种不同的工作.
(1)甲、乙、丙三人必须当选有多少种选法？
(2)甲、乙、丙三人不能当选有多少种选法？
题型(三) 分组、分配问题
题点1 不同元素的分组、分配问题
[例3] 有6本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法.
(1)甲得1本，乙得2本，丙得3本；
(2)甲、乙、丙各得2本；
(3)一人得4本，另两人各得1本.
听课记录：
“分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，无重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
题点2 相同元素的分组、分配问题
[例4] 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列放法的种数.
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子.
听课记录：
相同元素分配问题的处理策略
如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法，可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板.
[针对训练]
3.第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目.若将3男、3女6名志愿者分成3组，每组1男1女，分别分配到3个自选项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有( )
A.540种 B.36种
C.108种 D.90种
4.近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名，每位同学只能选一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报南京大学，则不同的报名方法共有( )
A.16种 B.20种
C.24种 D.28种
5.把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有多少种？
组合数公式的应用
[题型(一)]
[例1] 解：(1)先选内科医生有C种选法，再选外科医生有C种选法，故有CC＝120(种)选派方法.
(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)选派方法.
若从反面考虑，则有C－C＝246(种)选派方法.
[针对训练]
1.解：(1)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种，有CC＝2 100(种).
所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种.
(2)选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方法CC＋C＝2 555(种).
所以至少有2种假货在内的不同取法有2 555种.
(3)选取3种商品的种数为C，选取3种假货的种数为C，因此有选取方法C－C＝6 090(种).所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)由题意知担任班长、学习委员和体育委员的3人中有女生，
可从11人中选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务，
故不同的情况有(C－C)A＝870种.
(2)若担任班长和学习委员的学生性别不同，
则不同的情况有CCAC＝540种.
[针对训练]
2.解：(1)依题意，先从剩下的7人中选出2人，有C种选法，再将5人安排到5种不同的工作，则有CA＝2 520种选法.
(2)依题意，直接从除甲、乙、丙三人外的7人种选出5人安排到5种不同的工作，则有A＝2 520种选法.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)分三步完成：甲选1本、乙选2本、丙选剩下的3本，共有CCC＝60种.
(2)分两步完成：先均匀分组，再分给甲、乙、丙三名同学，有A种，
故共有·A＝90种.
(3)部分均匀分组问题，先部分均匀分组，再分给甲、乙、丙三名同学，有A种，故共有·A＝90种.
[例4] 解：(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有C＝10(种)放法.
(2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有C种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有C·C＝40(种)放法.
[针对训练]
3.选B 由题意，将3男、3女6人分成3组，每组1男1女，分组方法有＝6种，将这3组分别分配到3个自选项目比赛场馆的分配方法有A种，故不同的分配方案共有6A＝36(种).
4.选C 由甲不报考南京大学，可分为2类：第1类：甲单独报名一所学校，则不同的报名方法有CCA＝12种；第2类，甲和其中一名同学报名一所学校，则不同的报名方法有CCA＝12种，由分类加法计数原理，可得共有12＋12＝24种不同的报名方法.
5.解：根据题意，可分为两步进行：
①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张，则有2个人各一张，2个人各2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5,6这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，其中在5个空隙中插入3个板子，共有C＝10种情况，其中出现三连号有：123,4,5,6、1,234,5,6、1,2,345,6、1,2,3,456，共4种情况，不满足题意，所以有10－4＝6种情况符合题意.
②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有A＝24种情况，由分步乘法计数原理可得，共有6×24＝144种不同的分法.(共56张PPT)
组合数公式的应用
(深化课—题型研究式教学)
3.2
课时目标
进一步加深对组合概念的理解．掌握几种有限制条件的排列，能应用组合数公式解决简单的实际问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 组合数在实际问题中的应用
题型(二) 有限制条件的排列组合问题
题型(三) 分组、分配问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 组合数在实际
问题中的应用
01
方法技巧
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，常有两种解决思路：一是直接分类法，注意分类不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
1．某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．
(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？
(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？
(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？
针对训练
题型(二) 有限制条件的
排列组合问题
02
[例2] 从6名男生，5名女生中选举3人分别担任班长、学习委员和体育委员．
(1)若担任班长、学习委员和体育委员的3人中有女生，则不同的情况有多少种？
(2)若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的情况有多少种？
解：(1)由题意知担任班长、学习委员和体育委员的3人中有女生，
可从11人中选3人，减去全是选男生的情况，再分配担任不同的职务，
有限制条件的排列组合问题的解题策略
(1)元素分析法：首先满足特殊的元素，然后安排其他元素．
(2)位置分析法：首先满足特殊的位置，即把元素安排在特殊的位置，然后安排其他元素．
方法技巧
2．从10个人中选5个人分别担任5种不同的工作．
(1)甲、乙、丙三人必须当选有多少种选法？
(2)甲、乙、丙三人不能当选有多少种选法？
针对训练
题型(三) 分组、分配问题
03
题点1 不同元素的分组、分配问题
[例3] 有6本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法．
(1)甲得1本，乙得2本，丙得3本；
(2)甲、乙、丙各得2本；
(3)一人得4本，另两人各得1本．
“分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，无重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
方法技巧
题点2 相同元素的分组、分配问题
[例4] 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列放法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子．
方法技巧
3．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目．若将3男、3女6名志愿者分成3组，每组1男1女，分别分配到3个自选项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有( )
A．540种 B．36种
C．108种 D．90种
针对训练
√
4．近期浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名，每位同学只能选一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报南京大学，则不同的报名方法共有( )
A．16种 B．20种
C．24种 D．28种
√
5．把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有多少种？
解：根据题意，可分为两步进行：
①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张，
则有2个人各一张，2个人各2张，且分得的票必须是连号，
相当于将1,2,3,4,5,6这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1．某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为( )
A．12 B．18
C．21 D．24
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2．体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
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5．某冰淇淋店至少需要准备m(m∈N＋)种不同口味的冰淇淋，才能满足其广告所称“任选两种不同口味的冰淇淋的组合数超过100”．若来店里的顾客从这m种冰淇淋中任选一种或两种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法有( )
A．110种 B．115种
C．120种 D．125种
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6．在4月举行的高中学校篮球联赛中，8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的分法有_____种．
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7．饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好．现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子5个，这两种饺子的外形完全相同．从中任意舀取4个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为________．
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8．某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有____种．
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9．用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相邻．问：有多少个这样的六位数？
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10．从4名女生，3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛．
(1)选出3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种？
(2)选出3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种？
(3)选出3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种？
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B级——应用创新
11．从1,3,5中取两个数，从2,4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为( )
A．12 B．18
C．24 D．36
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12．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午(前4节)，体育课排在下午(后2节)，不同排法种数是( )
A．720 B．192
C．180 D．144
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13．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( )
A．144种 B．108种
C．72种 D．36种
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14．某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛．某进入决赛的球队共有5名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单．
(1)一共有多少种不同的出场阵容？
(2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
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2课时跟踪检测(四十四) 组合数公式的应用
A级——综合提能
1.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为( )
A.12 B.18
C.21 D.24
2.体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为( )
A.60 B.70
C.80 D.90
3.从3名女同学和2名男同学中各选出1人进行跳舞、唱歌表演，则不同的选法种数为( )
A.6 B.12
C.8 D.5
4.已知书架上有4本不同的数学书，3本不同的化学书，从中任取3本书.若数学书、化学书每种都取出至少一本，则不同的取法种数为( )
A.60 B.180
C.30 D.90
5.某冰淇淋店至少需要准备m(m∈N＋)种不同口味的冰淇淋，才能满足其广告所称“任选两种不同口味的冰淇淋的组合数超过100”.若来店里的顾客从这m种冰淇淋中任选一种或两种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法有( )
A.110种 B.115种
C.120种 D.125种
6.在4月举行的高中学校篮球联赛中，8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的分法有________种.
7.饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子5个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取4个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为________.
8.某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有______种.
9.用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相邻.问：有多少个这样的六位数？
10.从4名女生，3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛.
(1)选出3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种？
(2)选出3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种？
(3)选出3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种？
B级——应用创新
11.从1,3,5中取两个数，从2,4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为( )
A.12 B.18
C.24 D.36
12.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午(前4节)，体育课排在下午(后2节)，不同排法种数是( )
A.720 B.192
C.180 D.144
13.现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有( )
A.144种 B.108种
C.72种 D.36种
14.某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛.某进入决赛的球队共有5名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单.
(1)一共有多少种不同的出场阵容？
(2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
课时跟踪检测(四十四)
1．选B 可分两种情况：第一种情况，只有一位女生入选，不同的选法有CC＝12种，第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C＝6种，根据分类加法计数原理知，至少1位女生入选的不同的选法的种数为12＋6＝18.
2．选B 从8人中任选4人放在第一排，有C＝70种选法，且仅有一种排法，其余4人放在第二排只有一种排法，所以不同排法的种数为70.
3．选B 男女各选一人出来跳舞和唱歌，有区别，产生顺序，先选人，后排序．先分步，后排列，所有可能为C·C·A＝3×2×2＝12种，故选B.
4．选C 由题意知，可分为两类：若取1本数学书，2本化学书，有CC＝4×3＝12种；若取2本数学书，1本化学书，有CC＝6×3＝18种，所以不同的取法种数为12＋18＝30.
5．选C 从n(n∈N＋)种不同口味的冰淇淋中任选两种不同口味的冰淇淋的组合数为C＝，令>100，得n≥15，因此m＝15.若来店里的顾客从这15种冰淇淋中任选一种或两种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法共有C＋C＝15＋105＝120(种)．
6．解析：两个强队被分在一个组内，则该组的另两个球队是从除强队外的6个队中任取两个，余下4个队为一组，所以不同的分法有C＝15种．
答案：15
7．解析：由题意，每种口味的饺子都至少舀取到1个的情况有CC＋CC＋CC＝20＋60＋40＝120种，9个饺子任意舀取4个饺子的情况有C＝126种，所以每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为＝.
答案：
8．解析：若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有AA＝12种情况；
若前2个节目中恰有1个是语言类节目，有1个是歌唱类节目，则有CCA＝12种情况，
剩余的3个节目进行全排列，则有A＝6种情况，则共有12×6＝72种情况．
综上，有12＋72＝84种不同的排法．
答案：84
9．解：先排3,5，有A种方法，再将4,6插空排列，有2A种方法，最后将1,2捆绑放到3,4,5,6形成的5个空中，且保持所有相邻两个数字的奇偶性都不同，共有C种方法，综上，一共有A2AC＝40个这样的六位数．
10．解：(1)从3名男生中选出1名的选法有C＝3种，从4名女生中选出2名的选法有C＝6种，所以选出的3名学生中，恰有1名男生的选法有3×6＝18种．
(2)选出的3名学生中，有1名女生2名男生的选法有CC＝12种，
有2名女生1名男生的选法有CC＝18种，
所以选出的3名学生中，既有女生又有男生的选法有12＋18＝30种．
(3)选出的3名学生中，女生中的甲在内且男生中的乙不在内的选法有C＝10种；
女生中的甲不在内且男生中的乙在内的选法有C＝10种；
女生中的甲在内且男生中的乙也在内的选法有C＝5种，
所以选出的3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有10＋10＋5＝25种．
11．选C 从1,3,5中取两个数有C种方法，从2,4中取一个数有C种方法，而奇数只能从1,3,5取出的两个数之一作为个位数，另外两个数全排列即可，故奇数的个数为CCCA＝3×2×2×2×1＝24.
12．选B 由题意可得，要求数学课排在上午(前4节)，体育课排在下午(后2节)，有C·C＝8种，再排其余4节，有A＝24种，再根据分步乘法计数原理，共有8×24＝192种方法．
13．选C 根据题意，分3步进行分析：①从4种不同品牌的小车中任取2个品牌的小车，有C种取法，②将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有A种情况，③剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有CA×1＝72种，故选C.
14．解：(1)出场阵容可以分2步确定：
第1步，从5名运动员中选择2人，分别参加前两场男单比赛，共有A种；第2步，从剩下的3名运动员中选出2人参加男双比赛，共有C种，根据分步乘法计数原理，得不同的出场阵容种数为N＝A×C＝60.
(2)队员A不能参加男子双打比赛，有2类方案：
第1类方案是队员A不参加任何比赛，即除了队员A之外的4人参加本次比赛，只需从4人中选出2人，分别去参加前两场单打比赛，共有A种，剩余人员参加双打比赛；
第2类方案是队员A参加单打比赛，可以分3个步骤完成：
第1步，确定队员A参加的是哪一场单打比赛，共2种；
第2步，从剩下4名队员中选择1人参加另一场单打比赛，共4种；
第3步，从剩下的3名队员中，选出2人参加男双比赛，共有C种，
根据分步乘法计数原理，得队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有2×4×C种．
根据分类加法计数原理，得队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为N＝A＋2×4×C＝36.
