4.1 二项式定理的推导
课时目标
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及其展开式的通项.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
(a＋b)n＝__________________________.可以简写成(a＋b)n＝Can－kbk.
(1)这个公式称为二项式定理.
(2)二项展开式：等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式，二项展开式中共有______项.
(3)二项式系数：各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)称为二项式系数.
(4)二项式通项：(a＋b)n的二项展开式的第__________项称为二项式通项，记作Tk＋1＝______________.
微点助解
(1)每一项中a与b的指数和为n；
(2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止；
(3)若a与b的位置交换，则展开式形式变化；
(4)Can－kbk表示的是第(k＋1)项；
(5)二项式定理中只有a，b两项.若有多项，可合并化为两项后再解决问题.
[基点训练]
1.若N＝16＋32(x－1)＋24(x－1)2＋8(x－1)3＋(x－1)4，则N＝( )
A.(x－1)4 B.(x＋1)4
C.(x－3)4 D.(x＋3)4
2.二项式12的展开式中，含x2项的系数是( )
A.－462 B.462
C.792 D.－792
3.用二项式定理展开(x＋2)4＝________________.
题型(一) 二项式定理的正用和逆用
[例1] 设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( )
A.(x－1)3 B.(x－2)3
C.x3 D.(x＋1)3
听课记录：
[例2] 用二项式定理展开(2x＋)4＝________.
听课记录：
[方法技巧] 二项式定理的正、逆用
正用 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式会出现正负项间隔的情况.对于较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开
逆用 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数
[针对训练]
1.(1)求4的展开式.
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
题型(二) 二项展开式项的系数
[例3] (1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求9的展开式中x3的系数.
听课记录：
二项式通项的应用的常见题型
(1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；
(2)求含xk的项(或xpyq的项)；
(3)求项的系数或二项式系数.
[针对训练]
2.已知二项式10.
(1)求展开式的第4项的二项式系数；
(2)求展开式的第4项的系数；
(3)求展开式的第4项.
题型(三) 与展开式中特定项有关的问题
[例4] 在二项式7的展开式中，x的指数为整数的项的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
听课记录：
[例5] 若6的展开式的常数项为60，则实数a的值为( )
A.4 B.2
C.8 D.6
听课记录：
求展开式中特定项的方法
求展开式中特定项的关键是抓住其通项，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解.判断有理项的方法是要保证字母的指数一定为整数.
[针对训练]
3.在7的展开式中，系数为有理数的项是( )
A.第3项 B.第4项
C.第5项 D.第6项
4.二项式10的展开式的中间项为________.
4.1 二项式定理的推导
?课前环节
Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (2)(n＋1) (4)(k＋1) Can－kbk
[基点训练]
1.选B N＝16＋32(x－1)＋24(x－1)2＋8(x－1)3＋(x－1)4＝(x－1)4＋C(x－1)3·2＋C(x－1)2·22＋C(x－1)·23＋24＝(x－1＋2)4＝(x＋1)4.
2.选D 12展开式的通项为
Cx12－k(－1)kx－k＝(－1)kCx12－2k，k∈{0,1,2，…，12}，令12－2k＝2，解得k＝5，所以x2项的系数是(－1)5C＝－792.
3.解析：(x＋2)4＝Cx420＋Cx321＋Cx222＋Cx123＋Cx024＝x4＋8x3＋24x2＋32x＋16.
答案：x4＋8x3＋24x2＋32x＋16
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 选C S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1＝C(x－1)3×10＋C(x－1)2×1＋C(x－1)×12＋C×13＝[(x－1)＋1]3＝x3.
[例2] 解析：(2x＋)4＝C(2x)4()0＋C(2x)3·()1＋C(2x)2()2＋C(2x)1·()3＋C(2x)0·()4＝16x4＋32x＋24x3＋8x＋x2.
答案：16x4＋32x＋24x3＋8x＋x2
[针对训练]
1.解：(1)法一 4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)·3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二 4＝4＝(1＋3x)4＝[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k·(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
[题型(二)]
[例3] 解：(1)由已知得二项式通项为
Tk＋1＝C(2)6－k·k＝26－kC·(－1)k·x3－，∴T6＝26－5C·(－1)5·x3－×5＝－12x－.∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为－12.
(2)设展开式中的第(k＋1)项为含x3的项，
则Tk＋1＝Cx9－k·k
＝(－1)k·C·x9－2k，
令9－2k＝3，得k＝3，即展开式中第4项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.
[针对训练]
2.解：10的展开式的通项是
Tk＋1＝C(3)10－kk＝C310－k·k·x(k＝0,1,2，…，10).
(1)展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为
C＝120.
(2)展开式的第4项的系数为
C373＝－77 760.
(3)展开式的第4项为
T4＝T3＋1＝－77 760.
[题型(三)]
[例4] 选D 展开式的通项为
Tr＋1＝Cxr＝Crx，
r＝0,1,2,3,4,5,6,7.
当r＝1,3,5,7时，x的指数为整数，共有4项.
[例5] 选A 6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－rr＝(－1)raCx6－3r.令6－3r＝0，解得r＝2，则常数项为(－1)2aC＝60，解得a＝4.
[针对训练]
3.选C 在7的展开式中，根据通项Tk＋1＝C(x2)7－kk可知，k＝4时系数为有理数，即第5项的系数为有理数.
4.解析：设10的展开式的通项为Tr＋1＝C10－r(－1)rr，总共11项，中间项为第6项，此时r＝5，
所以T6＝C5(－1)55＝－252.
答案：－252(共48张PPT)
4.1
二项式定理的推导
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.能用计数原理证明二项式定理．
2.掌握二项式定理及其展开式的通项．
3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
(n＋1)
(k＋1)
基点训练
1．若N＝16＋32(x－1)＋24(x－1)2＋8(x－1)3＋(x－1)4，则N＝( )
A．(x－1)4 B．(x＋1)4
C．(x－3)4 D．(x＋3)4
√
√
3．用二项式定理展开(x＋2)4＝_________________________.
x4＋8x3＋24x2＋32x＋16
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( )
A．(x－1)3 B．(x－2)3
C．x3 D．(x＋1)3
题型(一) 二项式定理的正用和逆用
√
二项式定理的正、逆用
方法技巧
正用 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式会出现正负项间隔的情况．对于较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开
逆用 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
针对训练
题型(二) 二项展开式项的系数
方法技巧
针对训练
题型(三) 与展开式中特定项有关的问题
√
√
求展开式中特定项的方法
求展开式中特定项的关键是抓住其通项，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解．判断有理项的方法是要保证字母的指数一定为整数．
方法技巧
针对训练
√
－252
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
√
A级——综合提能
1．已知S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S可化简为( )
A．x4 B．x4＋1
C．(x－2)4 D．x4＋4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
√
2．(1－2x)8展开式中第4项的二项式系数为( )
A．－448 B．1 120
C．56 D．70
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
12．已知等式x4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，则b1，b2，b3，b4的值分别为( )
A．0,0,0,0 B．－4,6，－3,0
C．4，－6,4，－1 D．－4,6，－4,1
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
30
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2课时跟踪检测(四十五) 二项式定理的推导
A级——综合提能
1.已知S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S可化简为( )
A.x4 B.x4＋1
C.(x－2)4 D.x4＋4
2.(1－2x)8展开式中第4项的二项式系数为( )
A.－448 B.1 120
C.56 D.70
3.4的展开式中常数项为( )
A.－24 B.－4
C.4 D.24
4.10的展开式中，x的系数等于( )
A.－45 B.－10
C.10 D.45
5.8的展开式中所有有理项的系数和为( )
A.85 B.29
C.－27 D.－84
6.展开5＝________.
7.已知6的展开式中的常数项为－160，则a＝______.
8.二项式5的展开式中x2y3的系数是________.
9.(1)求4的展开式；
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
10.已知二项式n的展开式中共有10项.
(1)求展开式的第5项的二项式系数；
(2)求展开式中的常数项.
B级——应用创新
11.(x－y)7的展开式中x3y4的系数为－105，则实数m＝( )
A.2 B.1
C.－1 D.－2
12.已知等式x4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，则b1，b2，b3，b4的值分别为( )
A.0,0,0,0 B.－4,6，－3,0
C.4，－6,4，－1 D.－4,6，－4,1
13.设常数a>0，4展开式中x3的系数为，则a＝______.
14.已知(1＋x)m＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋aixi(m，n∈N＋，i＝max{m，n})对任意实数x都成立，若a1＝12，则a2的最小值为________.
15.已知f(x)＝n的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为5∶2.
(1)求f(x)展开式中的常数项；
(2)若(1＋ax)f(x)的展开式中含x3项的系数为20，求a的值.
课时跟踪检测(四十五)
1．选A S＝C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C＝[(x－1)＋1]4＝x4，故选A.
2．选C (1－2x)8展开式中第4项的二项式系数为C＝56.
3．选D 4展开式的通项Tr＋1＝Cx4－r(－2)rx－r＝C(－2)rx4－2r，令4－2r＝0，解得r＝2，故T3＝C(－2)2＝24，故常数项为24.
4．选B 10的展开式的通项为Tr＋1＝C(x－1)10－rr＝C(－1)rxr－10，令r－10＝，解得r＝9，故T10＝C(－1)9x＝－10x，所以x的系数等于－10.
5．选C 展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－r·r＝(－1)rCx8－，其中r＝0,1,2,3,4,5,6,7,8，当r＝0,3,6时为有理项，故有理项系数和为(－1)0C＋(－1)3C＋(－1)6C＝1＋(－56)＋28＝－27，故选C.
6．解析：5＝C(2x)5－C(2x)4·1＋C(2x)32－C(2x)2·3＋C(2x)4－C5＝32x5－80x2＋－＋－.
答案：32x5－80x2＋－＋－
7．解析：6的常数项为C(2x)3·3＝C23(－a)3，因此C23(－a)3＝－160，解得a＝1.
答案：1
8．解析：展开式的通项为Tk＋1＝C(3x)5－k·k＝35－kkCx5－kyk，令k＝3，则T4＝323Cx2y3＝－x2y3.
答案：－
9．解：(1)由二项式定理可得，
4＝C()4－C()3·＋C()2·2－C()1·3＋C4＝x2－2x＋－＋.
(2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
10．解：(1)由题意可得n＝9，所以展开式的第5项的二项式系数为C＝126.
(2)展开式的通项为Tr＋1＝C9－r·r＝(－1)r9－rCx，
其中r＝0,1,2，…，9，
令＝0，得r＝3，所以展开式中的常数项为(－1)3·6·C＝－.
11．选D (x－y)7的展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCx7－ryr，所以Tr＋1＝(－1)rCx6－ryr＋1.令解得r＝3，mTr＋1＝m·(－1)rCx7－ryr.
令解得r＝4.
由题意，可知(－1)3C＋m·(－1)4C＝－C＋mC＝(m－1)C＝－105，
所以m＝－2.
12．选D 依题意，得x4＝[(x＋1)－1]4＝C·(x＋1)4·(－1)0＋C·(x＋1)3·(－1)＋C·(x＋1)2·(－1)2＋C·(x＋1)1·(－1)3＋C·(x＋1)0·(－1)4＝(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1，又x4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，所以b1＝－4，b2＝6，b3＝－4，b4＝1.
13．解析：设4展开式的通项为Tr＋1＝C(ax2)4－rr＝C·a4－r·(－1)r·x8－r，由题意可得，当r＝2时，
C·a2·(－1)2＝，解得a＝.
答案：
14．解析：由题意得，a1＝C＋C＝m＋n＝12.
a2＝C＋C＝＋＝＝＝－6＝－6＝－6＝66－mn.
因为m＋n＝12≥2，所以mn≤36，当且仅当m＝n＝6时等号成立，
所以a2＝66－mn≥30，即a2的最小值为30.
答案：30
15．解：(1)因为＝＝＝，即n2－5n－24＝0，
解得n＝8或n＝－3(舍去)，所以f(x)展开式中的常数项为C()44＝1 120.
(2)(1＋ax)f(x)＝(1＋ax)8的展开式中含x3项的系数为C(－2)＋aC(－2)2＝20，解得a＝.
