4.2.1 二项式系数的性质
课时目标
1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数.
2.理解二项式系数的性质并灵活运用，掌握“赋值法”并会灵活应用.
1.二项式系数表(杨辉三角)
上图中的表叫作二项式系数表，历史上也称为杨辉三角.它有如下的规律：
表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和.事实上，设表中任意一个不为“1”的数为C，那么它“肩上”的两个数分别为C和C，由组合数的性质2得到：______________＝C＋C.
2.二项式系数的性质
(1)对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即__________＝C.
(2)增减性与最大值
当k<时，C随k的增加而__________；当k>时，C随k的增加而减小.当n是偶数时，中间的一项______取得最大值；当n是奇数时，中间的两项________与________相等，且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，即_________________.(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….
[基点训练]
1.已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于( )
A.5 B.6
C.7 D.8
2.(1＋x)2n(n∈N＋)的展开式中，系数最大的项是( )
A.第＋1项 B.第n项
C.第n＋1项 D.第n项与第n＋1项
3.10展开式的各项系数的和为( )
A.－1 B.0
C.1 D.210
题型(一) 杨辉三角
[例1] 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n∈N＋，n≥2)，每个数是它下一行左、右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，……，则第10行第4个数字(从左往右数)为________.
听课记录：
解决与杨辉三角有关问题的一般思路
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察.
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律.
(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解.
[针对训练]
1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b＝( )
A.20 B.21
C.22 D.23
2.在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第______行会出现三个相邻的数的比为3∶4∶5.
题型(二) 二项式系数的增减性与最值
[例2] 在8的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
听课记录：
[变式拓展]
在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项.
二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
[针对训练]
3.在(3x－2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项.
题型(三) 二项展开式的系数和
[例3] 设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：
(1)a0；
(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(3)(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.
听课记录：
求展开式的各项系数之和常用赋值法
“赋值法”是求展开式系数常用的方法，根据题目要求，灵活给字母赋不同的值.
(1)一般地，要使二项展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和.
(2)有两个变量x，y的，可以令x＝y＝1，得所有项系数之和.
[针对训练]
4.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值.
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a0＋a2＋a4＋a6；
(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
二项式系数的性质
?课前环节
1.C 2.(1)C (2)增大 Cn 3.C＋C＋C＋…＋C＝2n
[基点训练]
1.A 2.C 3.B
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解析：将杨辉三角中的每一个数C都换成分数即可得到“莱布尼茨调和三角形”，杨辉三角中，第10行第4个数字为C＝84，所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行第4个数字为＝.
答案：
[针对训练]
1.选C 观察题图可知，从第三行开始，每一行除开始和末尾的两个数外，中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和，当a＝7时，b的“两肩”上的第一个数为6，第二个数为16，所以b＝6＋16＝22.
2.解析：根据题意，设所求的行数为n(n∈N＋)，则存在自然数k，使得＝且＝，化简得＝且＝，解得k＝26，n＝63.故第63行会出现三个相邻的数的比为3∶4∶5.
答案：63
[题型(二)]
[例2] 解：由二项式通项，得
Tr＋1＝C·()8－r·r
＝(－1)r·C·2r·x4－.
(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，
故T5＝C·24·x4－＝1 120x－6.
(2)设第(r＋1)项系数的绝对值最大，
则即
整理得所以r＝5或r＝6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
[变式拓展]
解：由本例(2)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正.故系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1 792x－11，系数最小的项为T6＝(－1)5C·25x－＝－1 792x－.
[针对训练]
3.解：(1)二项式系数最大的项是第11项，即T11＝C×310×(－2)10x10y10＝C×610x10y10.
(2)设系数绝对值最大的项是第
(r＋1)(0≤r≤20，r∈N)项，
于是
化简，得
解得≤r≤(r∈N)，所以r＝8.即T9＝C×312×28x12y8是系数绝对值最大的项.
(3)由于系数为正的项为y的偶次方项，因此可设第2k－1(1≤k≤11，k∈N)项系数最大，
于是
所以
解得k＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T9＝C×312×28x12y8.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)在(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100中，令x＝0，得a0＝2100.
(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a99＋a100＝(2＋)100，
两式相减，得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝.
(3)由(2)得(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a99)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…－a99＋a100)＝(2－)100·(2＋)100
＝[(2－)(2＋)]100＝1.
[针对训练]
4.解：(1)当x＝1时，(1－2x)7＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1；
当x＝0时，a0＝1，故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1－1＝－2.
(2)当x＝－1时，(1－2x)7＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.
由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1，
所以a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(3)由展开式可知a1，a3，a5，a7均为负值，a0，a2，a4，a6均为正值，结合(1)(2)可知
a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094，
故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.(共58张PPT)
二项式系数的性质
(强基课—梯度进阶式教学)
4.2.1
课时目标
1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数．
2．理解二项式系数的性质并灵活运用，掌握“赋值法”并会灵活应用．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1．二项式系数表(杨辉三角)
增大
基点训练
1．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
√
√
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 杨辉三角
解决与杨辉三角有关问题的一般思路
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察．
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律．
(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．
方法技巧
1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b＝( )
针对训练
√
A.20 B．21
C．22 D．23
解析：观察题图可知，从第三行开始，每一行除开始和末尾的两个数外，中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和，当a＝7时，b的“两肩”上的第一个数为6，第二个数为16，所以b＝6＋16＝22.
2．在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第______行会出现三个相邻的数的比为3∶4∶5.
63
解析：根据题意，设所求的行数为n(n∈N＋)，
题型(二) 二项式系数的增减性与最值
在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项．
变式拓展
二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
方法技巧
3．在(3x－2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项．
针对训练
题型(三) 二项展开式的系数和
求展开式的各项系数之和常用赋值法
“赋值法”是求展开式系数常用的方法，根据题目要求，灵活给字母赋不同的值．
(1)一般地，要使二项展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．
(2)有两个变量x，y的，可以令x＝y＝1，得所有项系数之和．
方法技巧
4．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值．
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a0＋a2＋a4＋a6；
(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
针对训练
(2)当x＝－1时，(1－2x)7＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.
由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1，
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2．在(1＋x)12展开式中，系数最大的项是( )
A．第5,6项 B．第6,7项
C．第6项 D．第7项
3．若(1＋x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则a1＋a2＋a3＋…＋a9＝( )
A．1 B．513 C．512 D．511
解析：令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29＝512，所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝512－a0＝512－1＝511，故选D.
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4．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是( )
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解析：由题图知，除1以外，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，解得a＝6.
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5．[多选]关于(5－x)6的展开式，下列判断正确的是( )
A．展开式共有6项
B．展开式的各二项式系数的和为64
C．展开式的第6项的系数为30
D．展开式中二项式系数最大的项是第4项
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解析：展开式共有7项，故A错误；
展开式的各二项式系数的和为26＝64，故B正确；
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7．设(1－x)5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.
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10．已知(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a10；
(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.
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B级——应用创新
11．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
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解析：由二项式系数的性质知，
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12．[多选]对于任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则下列结论成立的是( )
A．a1＝18
B．a2＝－144
C．a1＋a2＋…＋a9＝2
D．a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝39
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13．[多选]我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是( )
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2课时跟踪检测(四十六) 二项式系数的性质
A级——综合提能
1.n展开式中的各二项式系数之和为1 024，则n的值为( )
A.10 B.9
C.8 D.7
2.在(1＋x)12展开式中，系数最大的项是( )
A.第5,6项 B.第6,7项
C.第6项 D.第7项
3.若(1＋x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则a1＋a2＋a3＋…＋a9＝( )
A.1 B.513
C.512 D.511
4.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是( )
A.8 B.6
C.4 D.2
5.[多选]关于(5－x)6的展开式，下列判断正确的是( )
A.展开式共有6项
B.展开式的各二项式系数的和为64
C.展开式的第6项的系数为30
D.展开式中二项式系数最大的项是第4项
6.n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则第4项为__________.
7.设(1－x)5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.
8.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列前n项和为S(n)，则S(31)＝________.
9.已知n的展开式二项式系数和为64.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
10.已知(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a10；
(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.
B级——应用创新
11.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于( )
A.5 B.6
C.7 D.8
12.[多选]对于任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9，则下列结论成立的是( )
A.a1＝18
B.a2＝－144
C.a1＋a2＋…＋a9＝2
D.a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝39
13.[多选]我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是( )
A.1＋C＋C＋C＝C
B.第2 022行的第1 011个数最大
C.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3
14.已知n(n∈N＋)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是.
(1)求二项展开式中各项二项式系数和；
(2)求二项展开式中系数最大的项.
课时跟踪检测(四十六)
1．选A n展开式中的各二项式系数之和为2n＝1 024，解得n＝10.
2．选D 因为(1＋x)12的展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，k＝0,1,2，…，12，所以(1＋x)12展开式中各项的系数即为其二项式系数，根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大．
3．选D 令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29＝512，所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝512－a0＝512－1＝511，故选D.
4．选B 由题图知，除1以外，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，解得a＝6.
5．选BD 展开式共有7项，故A错误；展开式的各二项式系数的和为26＝64，故B正确；展开式的第6项是C51(－x)5＝－30x5，其系数为－30，故C错误；展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确．
6．解析：因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，即＋1＝6，所以n＝10，所以T4＝C()73＝120x.
答案：120x
7．解析：令x＝0得，1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，令x＝－1得，25＝32＝a0，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
答案：－31
8．解析：由“杨辉三角”性质，得
S(31)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＋C
＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)
＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C)－1＝C＋C－1＝951.
答案：951
9．解：(1)由题意得2n＝64，解得n＝6.
(2)二项式通项Tk＋1＝C(2x)6－kk
＝C26－kx6－，令6－＝0，可得k＝4.
∴展开式中的常数项为T5＝C26－4x6－＝60.
(3)∵n是偶数，展开式共有7项，则第4项最大，
∴展开式中二项式系数最大的项为
T4＝C26－3x6－＝160x.
10．解：(1)∵(x2－3x＋2)5
＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10
＝(12－3＋2)5＝0.
(2)由(1)及平方差公式得
(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8－a9＋a10)＝0.
11．选B 由二项式系数的性质知，
二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C＝a，
二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C＝C＝b.
因此13C＝7C，
即13·＝7·，
所以m＝6.
12．选ABC (2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9＝[－1＋2(x－1)]9，则[－1＋2(x－1)]9的展开式的通项为Tr＋1＝C(－1)9－r2r(x－1)r(0≤r≤9，r∈N)，当r＝1时，a1＝C(－1)821＝18，故A正确；当r＝2时，a2＝C(－1)9－222＝－144，故B正确；当x＝1时，(2－3)9＝a0＝－1，当x＝2时，(4－3)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＝2，故C正确；当x＝0时，(－3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，故D错误．
13．选ACD 1＋C＋C＋C＝1＋6＋＋＝84，C＝＝84，故A正确；由题图可知，第n行有n个数字，如果n是奇数，则第(最中间的)个数字最大；如果n是偶数，则第和第＋1个数字最大，并且这两个数字一样大，故B错误；第6行、第7行、第8行的第7个数字分别为1,7,28，其和为36，第9行第8个数字就是36，故C正确；依题意得，第34行第14个数字是C＝，第34行第15个数字是C＝，所以＝＝，故D正确．故选ACD.
14．解：(1)由题意得C∶C＝1∶3，即＝，解得n＝7或n＝0(舍去)．
故二项展开式中各项二项式系数和为27＝128.
(2)7展开式的通项为
Tr＋1＝C·37－r·2r·x7－，
设展开式中系数最大的项为Tr＋1，
则
解得≤r≤，又r∈N＋，∴r＝3，
∴展开式中系数最大的项为T4＝22 680x.
