4.2.2 二项式定理的综合应用
课时目标
进一步理解二项式定理及其性质，能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.能利用二项式定理解决整除(余数)问题.
题型(一) 两个多项式乘积的特定项
[例1] 在(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为( )
A.10 B.－10
C.2 D.－2
听课记录：
[例2] 已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于( )
A.－4 B.－3
C.－2 D.－1
听课记录：
求多项式乘积的特定项的方法——“双通法”
所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到，(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为Tk＋1·Tr＋1＝Can－k(bx)k·Csm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值.
[针对训练]
1.(1＋2x2)(1＋x)4展开式中x3的系数为( )
A.12 B.16
C.20 D.24
2.(x－y)(x＋y)8展开式中x2y7的系数为________.(用数字作答)
题型(二) 三项展开式问题
[例3] (x－y＋2)5的展开式中，x3y的系数为( )
A.80 B.40
C.－80 D.－40
听课记录：
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可.
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
[针对训练]
3.(x2＋2x－y)5的展开式中，x5y2项的系数为( )
A.10 B.－30
C.60 D.－60
4.(x2－x－2)6＝a12x12＋a11x11＋a10x10＋…＋a1x＋a0，则a12＋a10＋a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝( )
A.－32 B.0
C.32 D.64
题型(三) 整除和余数问题
[例4] (1)试求2 01910除以8的余数；
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除.
听课记录：
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.
[针对训练]
5.求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N＋)能被25整除.
二项式定理的综合应用
[题型(一)]
[例1] 选C (1＋2x)3(1－x)4展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为C·(2x)0·C·(－x)1＋C·(2x)1·C·(－x)0，其系数为C×C×(－1)＋C×2×C＝－4＋6＝2.
[例2] 选D 由二项式定理得(1＋x)5展开式的通项为Tk＋1＝C·xk，所以(1＋ax)(1＋x)5
展开式中含x2的项的系数为C＋C·a＝5，所以a＝－1.
[针对训练]
1.选A 法一 (1＋2x2)(1＋x)4展开式中x3的系数为1×C＋2×C＝12.
法二 ∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，
∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.
2.解析：由二项式通项可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8展开式中x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.
答案：－20
[题型(二)]
[例3] 选D (x－y＋2)5＝[x－(y－2)]5的展开式中含x3的项为Cx3(y－2)2，(y－2)2的展开式中含y的项为Cy(－2)，所以(x－y＋2)5的展开式中，x3y的系数为C×C×(－2)＝－40.
[针对训练]
3.选C 因为(x2＋2x－y)5＝[x2＋(2x－y)]5的展开式通项为Ar＋1＝C·(x2)5－r·(2x－y)r(r＝0,1,2,3,4,5)，(2x－y)r的展开式通项为Bk＋1＝C·(2x)r－k·(－y)k＝C·(－1)k·2r－k·xr－kyk(k＝0,1,2，…，r)，
所以(x2＋2x－y)5的展开式通项为Tr＋1，k＋1＝CC·(－1)k·2r－k·x10－r－k·yk.
由可得所以展开式中x5y2项的系数为CC·(－1)2·2＝60.
4.选C 令x＝1，可得a12＋a11＋a10＋…＋a1＋a0＝(12－1－2)6＝64，令x＝－1，可得a12－a11＋a10－a9＋…＋a2－a1＋a0＝0，所以a12＋a10＋a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝＝32.
[题型(三)]
[例4] 解：(1)2 01910＝(8×252＋3)10.
∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同.
又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.
(2)证明：32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋(n＋1)×8＋1－8n－9
＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82.①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
[针对训练]
5.证明：原式＝4·6n＋5n－4＝4(5＋1)n＋5n－4
＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C)＋5n－4
＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋4C·51＋4C＋5n－4
＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋20n＋4＋5n－4
＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋25n.
以上各项均为25的整数倍，
故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除.(共47张PPT)
二项式定理的综合应用
(深化课—题型研究式教学)
4.2.2
课时目标
进一步理解二项式定理及其性质，能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题．能利用二项式定理解决整除(余数)问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 两个多项式乘积的特定项
题型(二) 三项展开式问题
题型(三) 整除和余数问题
4
课时跟踪检测
题型(一) 两个多项式
乘积的特定项
01
[例1] 在(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为( )
A．10 B．－10
C．2 D．－2
√
[例2] 已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
√
方法技巧
1．(1＋2x2)(1＋x)4展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
针对训练
√
2．(x－y)(x＋y)8展开式中x2y7的系数为________．(用数字作答)
－20
题型(二) 三项展开式问题
02
[例3] (x－y＋2)5的展开式中，x3y的系数为( )
A．80 B．40
C．－80 D．－40
√
方法技巧
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解．
针对训练
3．(x2＋2x－y)5的展开式中，x5y2项的系数为( )
A．10 B．－30
C．60 D．－60
√
√
4．(x2－x－2)6＝a12x12＋a11x11＋a10x10＋…＋a1x＋a0，则a12＋a10＋a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝( )
A．－32 B．0
C．32 D．64
题型(三) 整除和余数问题
03
[例4] (1)试求2 01910除以8的余数；
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除．
解：(1)2 01910＝(8×252＋3)10.
∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，
∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同．
又∵310＝95＝(8＋1)5，
其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，
∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.
方法技巧
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．
5．求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N＋)能被25整除．
证明：原式＝4·6n＋5n－4＝4(5＋1)n＋5n－4
针对训练
课时跟踪检测
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3．1.026的近似值为(精确到0.01)( )
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.20
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4．(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84
C．112 D．168
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6．[多选](1＋x2)(2＋x)4的展开式中( )
A．x3的系数为40 B．x3的系数为32
C．常数项为16 D．常数项为8
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7．已知(1＋ax)3＋(1－x)5展开式中x3的系数为－2，则a＝______.
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9．用二项式定理证明1110－1能被100整除．
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又因为1≤k≤4，k∈N，所以k＝4，
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15．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N＋)展开式中含x项的系数为36，则展开式中含x2项的系数的最小值为________．
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16．求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数．
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16课时跟踪检测(四十七) 二项式定理的综合应用
A级——综合提能
1.(x2＋2)5展开式中的常数项是( )
A.－3 B.－2
C.2 D.3
2.(1－x)4(1－)3展开式中x2的系数是( )
A.－6 B.－3
C.0 D.3
3.1.026的近似值为(精确到0.01)( )
A.1.12 B.1.13
C.1.14 D.1.20
4.(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数是( )
A.56 B.84
C.112 D.168
5.设n∈N＋，则C1n80＋C1n－181＋C1n－282＋C1n－383＋…＋C118n－1＋C108n除以9的余数为( )
A.0 B.8
C.7 D.2
6.[多选](1＋x2)(2＋x)4的展开式中( )
A.x3的系数为40 B.x3的系数为32
C.常数项为16 D.常数项为8
7.已知(1＋ax)3＋(1－x)5展开式中x3的系数为－2，则a＝______.
8.若二项式(1－2x)4的展开式中x3项的系数是－70，则实数a的值为________.
9.用二项式定理证明1110－1能被100整除.
10.求(＋3x2)5的展开式中系数最大的项.
B级——应用创新
11.当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是( )
A.0 B.2
C.7 D.8
12.若(x2－a)10展开式中x6的系数为30，则a等于( )
A. B.
C.1 D.2
13.设a∈N，且0≤a＜13，若512 022＋a能被13整除，则a等于( )
A.0 B.1
C.11 D.12
14.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m).若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是( )
A.2 021 B.2 022
C.2 023 D.2 024
15.已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N＋)展开式中含x项的系数为36，则展开式中含x2项的系数的最小值为________.
16.求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数.
课时跟踪检测(四十七)
1．选D 5展开式的通项为Tk＋1＝C5－k(－1)k＝(－1)kC.令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5.故(x2＋2)·5展开式中的常数项是(－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3.
2．选A (1－x)4展开式的通项为Tk＋1＝C(－1)kxk，(1－)3展开式的通项为Tr＋1＝C(－1)rx，当k＝0时，＝2，即r＝4>3，不符合题意；当k＝1时，＝1，即r＝2，此时x2的系数为C(－1)·C(－1)2＝－12；当k＝2时，＝0，即r＝0，此时x2的系数为C·(－1)2·1＝6，所以x2的系数是－12＋6＝－6.
3．选B 1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.
4．选D 在(1＋x)8展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.
5．选A 因为C1n80＋C1n－181＋C1n－282＋C1n－383＋…＋C118n－1＋C108n＝(1＋8)n＝9n，所以除以9的余数为0.
6．选AC (1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是(2＋x)4中x3的系数C·2＝8，另一部分是(2＋x)4中x的系数C·23＝32，所以x3的系数是8＋32＝40；展开式中常数项只有(2＋x)4展开式中的常数项，为24＝16.
7．解析：(1＋ax)3＋(1－x)5展开式中x3的系数为Ca3＋C(－1)3＝a3－10＝－2，则a3＝8，解得a＝2.
答案：2
8．解析：因为(1－2x)4＝2×(1－2x)4－(1－2x)4，(1－2x)4的展开式的通项为Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，k＝0,1,2,3,4，所以2×(1－2x)4展开式中x3项的系数是2×(－2)3C＝－64，(1－2x)4展开式中x3项的系数是×(－2)2C＝，
所以－64－＝－70，解得a＝4.
答案：4
9．证明：因为1110－1＝(10＋1)10－1
＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10＋C－1
＝C1010＋C109＋C108＋…＋102
＝100(108＋C107＋C106＋…＋1)，
显然上式括号内的数是正整数，
所以1110－1能被100整除．
10．解：设展开式中第(k＋1)项的系数最大，
又Tk＋1＝C()5－k(3x2)k＝C3kx，
则
≤k≤.
又因为1≤k≤4，k∈N，所以k＝4，
所以展开式中第5项系数最大，
T5＝C34x＝405x.
11．选C 原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，除最后两项外，其余各项都是9的倍数．因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.
12．选D 10展开式的通项是Tk＋1＝C·x10－k·k＝C·x10－2k，10展开式中x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)的系数分别为C，C.因为(x2－a)·10展开式中的x6由x2与10展开式中的x4的乘积以及－a与10展开式中的x6的乘积两部分构成，因此，由题意得C－aC＝120－45a＝30，解得a＝2.
13．选D 由512 022＋a＝(13×4－1)2 022＋a被13整除余1＋a，结合题意及选项可得当a＝12时，512 022＋a能被13整除．
14．选A 由题意可得a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10，由二项式定理可得a＝C×1010－C×109＋…－C×101＋1，即a除以10的余数为1，因为a≡b(mod 10)，所以b的值除以10的余数也为1，观察选项，只有2 021除以10的余数为1，则b的值可以是2 021.
15．解析：∵(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(2C＋4C)x，
∴2C＋4C＝36，即m＋2n＝18.
又(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2项的系数为t＝C22＋C42＝2m2－2m＋8n2－8n，∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，
∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n
＝16n2－148n＋612＝16，
∴当n＝时，t取最小值，但n∈N＋，
∴当n＝5时，也满足m∈N＋，
此时，x2项的系数最小，最小值为272.
答案：272
16．解：法一 因为(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8，
所以Tr＋1＝C(x＋x2)r,0≤r≤8，r∈N，
则x5的系数由(x＋x2)r来决定，
Tk＋1＝Cxr－kx2k＝Cxr＋k,0≤k≤r，k∈N，
令r＋k＝5，
解得或或
所以展开式中x5的系数为
CC＋CC＋CC＝504.
法二 因为(1＋x＋x2)8＝[(1＋x)＋x2]8＝C(1＋x)8＋C(1＋x)7x2＋C(1＋x)6(x2)2＋C(1＋x)5(x2)3＋…＋C(1＋x)(x2)7＋C(x2)8，所以展开式中x5的系数为CC＋CC＋CC＝504.
法三 (1＋x＋x2)8＝(1＋x＋x2)(1＋x＋x2)·…·(1＋x＋x2)(共8个)，这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三个：
①有2个括号各出1个x2，其余6个括号恰有1个括号出1个x，这种方式共有CC种；
②有1个括号出1个x2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个x，共有CC种；
③没有1个括号出x2，恰有5个括号各给出1个x，共有C种．
所以x5的系数是CC＋CC＋C＝504.
