阶段质量评价(四)　计数原理（含解析）高中数学北师大版（2019）选择性必修 第一册

阶段质量评价(四)　计数原理
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.现有甲部门的员工2人，乙部门的员工4人，丙部门的员工3人，从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为(　 )
A.9 B.24
C.16 D.36
2.已知A－C＋2！＝5，则m等于(　 )
A.0 B.2或3
C.1或3 D.3
3.在5的展开式中，常数项为(　 )
A.10 B.20
C.40 D.80
4.已知n的展开式中第3项与第4项的系数之比为，则其展开式中二项式系数最大的项为(　 )
A.第3项 B.第4项
C.第5项 D.第6项
5.A，B，C，D，E五名学生按任意次序站成一排，其中A和B不相邻，则不同的排法种数为(　 )
A.72 B.36
C.18 D.64
6.某校组织一次认识大自然的活动，有5名同学参加，其中有3名男生、2名女生，现要从这5名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，抽取的同学中既有男生又有女生的方法共有(　 )
A.10种 B.12种
C.6种 D.9种
7.学校环保节活动期间，某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿者工作.将这四名学生分配到A，B，C三个不同的环保岗位，每个岗位至少分配一名学生，若甲要求不分配到B岗位，则不同的分配方案的种数为(　 )
A.30 B.24
C.20 D.18
8.如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　 )
A.120种 B.180种
C.221种 D.300种
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知二项式n的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是(　 )
A.n＝6
B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为32
C.展开式中的常数项为540
D.展开式中二项式系数最大的项是第4项
10.已知(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则下列说法正确的是(　 )
A.a0＝1
B.a3＝－80
C.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1
D.a0＋a2＋a4＝121
11.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231,354等都是“凸数”，用1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的三位数，则(　 )
A.组成的三位数的个数为30
B.在组成的三位数中，奇数的个数为36
C.在组成的三位数中，“凸数”的个数为24
D.在组成的三位数中，“凸数”的个数为20
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上)
12.C＋C＝________.
13.夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有________种.
14.临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人.春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同.经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联.书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为________.
四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)在二项式n的展开式中，二项式系数最大的项只有一项，且是第4项.
(1)求n的值；
(2)求展开式中所有有理项的系数之和；
(3)把展开式中的项重新排列，求有理项互不相邻的排法种数.
16.(15分)从4名男生和3名女生中各选2人，
(1)共有多少种不同的选法？
(2)如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法？
(3)选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法？(用数字作答)
17.(15分)已知n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为－1.
(1)求n和a的值；
(2)求n的展开式中的常数项.
18.(17分)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目.
(1)共有多少种不同的报名方法？
(2)甲必须报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？
(3)甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法？
(4)每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？
(5)甲不报A项目，且B，C项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法？
19.(17分)在二项式n的展开式中，第3项和第4项的系数比为.
(1)求n的值及展开式中的常数项是第几项；
(2)展开式中系数最大的项是第几项？
阶段质量评价(四)
1．选A　由题意结合分类加法计数原理，可得共有C＋C＋C＝9种不同的选法．
2．选B　由A－C＋2！＝5，得A＝5＋C－2！＝5＋3－2＝6，而m∈N＋，m≤3，有A＝3，A＝6，A＝6，所以m＝2或m＝3.
3．选C　二项式5展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)5－rr＝2rCx10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，所以T3＝22·C＝40，即二项式5展开式的常数项为40.
4．选C　二项式n展开式的系数即为其二项式系数，所以第3项的系数为C，第4项的系数为C，所以＝，即＝，解得n＝8，所以8展开式一共有9项，其第5项的二项式系数最大．
5．选A　先将其余三人全排列，共有A种情况，再将A和B插空，共有A种情况，所以共有AA＝12×6＝72种情况．
6．选D　抽到1男2女的方法有CC＝3种，抽到2男1女的方法有CC＝6种，共9种方法．
7．选B　由题意可得有两种情况：①有一个人与甲在同一个岗位，则有CCA＝12种分配方案；②没有人与甲在同一个岗位，则有CCA＝12种分配方案，所以由分类加法计数原理可知共有12＋12＝24种不同的分配方案，故选B.
8．选B　当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有5种着色方法，Ⅱ有4种着色方法，Ⅲ有3种着色方法，此时共有5×4×3×1＝60种着色方法；当Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有5种着色方法，Ⅳ有4种着色方法，Ⅱ有3种着色方法，Ⅲ有2种着色方法，此时共有5×4×3×2＝120种着色方法，综上，共有60＋120＝180种不同的着色方法．
9．选ABD　令x＝1，得2n＝64，得n＝6，故A正确；展开式中所有奇数项的二项式系数和为25＝32，故B正确；由上得二项式为6，常数项为C(3x)3·3＝－540，故C错误；最大的二项式系数为C，即第4项的二项式系数最大，故D正确．故选ABD.
10．选ABD　取x＝0，则a0＝1，故A正确；根据二项式通项得(1－2x)5的展开式通项为C15－r(－2x)r，即C·(－2)r·xr，其中0≤r≤5，r∈N，所以a3＝C(－2)3＝－80，故B正确；取x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－2，故C错误；取x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243，将其与a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1作和得2(a0＋a2＋a4)＝242，所以a0＋a2＋a4＝121，故D正确．故选ABD.
11．选BD　5个数组成无重复的三位数的个数为A＝60，故A错误；奇数为个位数是1,3,5的三位数，个数为3A＝36，故B正确；“凸数”分为3类，①十位数为5，则有A＝12个；②十位数为4，则有A＝6个；③十位数为3，则有A＝2个，所以共有20个，故C错误，D正确．故选BD.
12．解析：由题意，得解得≤n≤，又n∈N＋，所以n＝6，所以C＋C＝C＋C＝C＋C＝31.
答案：31
13．解析：由题意得，将心电图、血压测量两项全排列，有A＝2种情况，
再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，有A＝6种情况，最后将抽血放在第一位，有1种情况，所以共有2×6×1＝12种情况．
答案：12
14．解析：4副长联内容不同，赠送方法有A＝24种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人，
有A＝7种方法；再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，
方法种数为·A＝CCC＝90.所以所求方法种数为24×7×90＝15 120.
答案：15 120
15．解：(1)由题意知＋1＝4，所以n＝6.
(2)二项式6的展开式的通项为
Tk＋1＝C6－kk＝Cx
.
当k＝0,2,4,6时，x的次数为整数，对应的项为有理项．于是展开式中有理项共有四项，分别为第1项、第3项、第5项、第7项．
所以展开式中所有有理项的系数之和为
C＋C＋C＋C＝1＋15＋15＋1＝32.
(3)展开式共有7项，其中4项为有理项，3项为无理项．将无理项排列，有A种排法，将有理项插空排列，有A种排法，故有理项互不相邻的排法共有AA＝144(种)．
16．解：(1)根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人，男生有C种选法，女生有C种选法，故选法有CC＝18种．
(2)根据题意，分3种情况讨论：
男生甲被选中，女生乙没有被选中，
有CC＝3种．
男生甲没有被选中，女生乙被选中，
有CC＝6种，
男生甲和女生乙被选中，有CC＝6种，
则共有3＋6＋6＝15种选法．
(3)男生甲和女生乙同时被选中的选法有CC＝6种，
4人参加百米接力赛的总安排方法有A＝24种，甲跑第一棒的安排方法有A＝6种，
乙跑最后一棒的安排方法有A＝6种，
甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法有A＝2种，故甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法有6×(24－6－6＋2)＝84种．
17．解：(1)由条件可得
解得
(2)由(1)得n
＝(2x－x－2)(－2x2＋x－1)7.
∵(－2x2＋x－1)7展开式的通项为Tk＋1＝C(－2x2)7－k(x－1)k＝C(－2)7－kx14－3k.
∴当14－3k＝－1，即k＝5时，
2x·C(－2)2x－1＝168；
当14－3k＝2，
即k＝4时，－x－2·C(－2)3x2＝280.
∴常数项为168＋280＝448.
18．解：(1)每个同学都有3种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为34＝81.
(2)甲必须报A项目，乙必须报B项目，则丙、丁各有3种选择，
所以不同的报名方法种数为32＝9.
(3)甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为3.丙不报A项目，则丙有2种选择．而丁有3种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为3×2×3＝18.
(4)将甲、乙、丙、丁四名同学分为三组，每组人数分别为2,1,1，
然后再将这三组同学分配给A，B，C三个智力竞赛项目，所以不同的报名方法种数为CA＝6×6＝36.
(5)分两种情况讨论：
①A项目没人报，且B，C项目的报名人数均为2，此时不同的报名方法种数为C＝6；
②A项目有人报，且甲不报A项目，B，C项目报名的人数相同，则B，C项目报名的人数均为1，则甲报B项目或C项目，则报名A项目的有2人，剩余1个项目只有一人报名，
由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为2×C＝6.
综上所述，不同的报名方法种数为6＋6＝12.
19．解：(1)二项式n展开式的通项为Tr＋1＝Cxn－rr＝Crxn－r.
因为第3项和第4项的系数比为，
所以＝，
化简得6C＝C，解得n＝20.
所以Tr＋1＝Crx20－r.令20－r＝0，得r＝16，所以常数项为第17项．
(2)设展开式中系数最大的项是第(r＋1)项，
则
解得6≤r≤7.
因为r∈N，所以r＝6或r＝7，所以展开式中系数最大的项是第7项和第8项．