27.2反比例函数的图像和性质（第2课时 反比例函数的性质）教学设计（表格式）冀教版数学九年级上册

27.2 反比例函数的图像和性质
课题 第2课时 反比例函数的性质 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P134-137
教学目标 1.通过反比例函数的表达式及图像的确立,经历探索反比例函数性质的过程,理解并掌握反比例函数的性质. 2.通过探索反比例函数性质的过程,培养观察、分析、归纳和概括的能力,提高从图像中获取信息的能力.
教学重难点 重点：归纳、概括出图像位置及y随x的变化规律与比例系数k的关系. 难点：对反比例函数性质全面、深入地理解以及应用性质解决实际问题.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 正比例函数与反比例函数的对比 函 数正比例函数反比例函数图 像 及名称 直线 双曲线解析式y=kx(k≠0)y=k/x(k≠0)图像的 位置k>0时,在一、三象限k<0时,在二、四象限性 质k>0时,y随x增大而增大k<0时,y随x增大而减小
反比例函数的图像在哪些象限，其增减性是怎样的？ 本节就让我们一起来学习吧！ 通过对正比例函数图像及其性质的复习，为引入反比例函数的图像及性质作铺垫，做到自然过渡，完成由正比例函数到反比例函数的知识迁移，从而引出课题.
2.实践探究，学习新知 【探究】 结合昨天课堂画出的y=-与y=图像及课本作业中的y=-与y=的图像,一起探究. 1.根据反比例函数y=和y=-的表达式及图像,探究下列问题: 表达式图像的位置y随x的变化情况y=图像在第　　、　　象限内 在每个象限内,y的值随x的值增大而　 y=-图像在第　　、　　象限内 在每个象限内,y的值随x的值增大而　
解:一　三　减小　二　四　增大 2.对于函数y=和y=-,指出它们的图像所在象限,并说明y的值随x的值的变化而变化的情况. 解: 表达式图像的性质y随x的变化情况图像在第　一　、　三　象限内在每个象限内，y的值随x的值增大而　减小　图像在第　二　、　四　象限内在每个象限内，y的值随x的值增大而　增大　
即： y=图像的两个分支分别位于第一、三象限内;在每个象限内y随x的增大而减小;y=-图像的两个分支分别位于第二、四象限内;在每个象限内y随x的增大而增大. 教师活动：提出以下问题. （1）反比例函数图像的形状是什么 （2）反比例函数图像无限延伸后与x轴、y轴有公共点吗 反比例函数图像关于原点O对称吗 （3）函数图像在哪个象限内 函数表达式中谁决定函数图像的位置 （4）观察函数图像,在每个象限内随着x的增大, y如何变化 函数表达式中谁决定函数图像的增减性 学生活动：独立思考后，小组进行交流. （1）双曲线. （2）反比例函数图像无限延伸后与x轴、 y轴没有交点,关于原点O 对称. （3）当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、三象限; 当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、四象限. 函数表达式中k的取值决定函数图像的位置 （4）当k>0时,在每个象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每个象限内,y随x的增大而增大.函数表达式中k的取值决定函数图像的增减性. 【归纳总结】 对于反比例函数y=，图像是双曲线,它具有以下性质: 1.当k>0时,它的图像位于第一、三象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而减小; 当k<0时,它的图像位于第二、四象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而增大. 3.双曲线的两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点; 4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称. 【例题】 例1 反比例函数的图像如图所示. （1）判断k为正数还是负数. （2）如果A（-3,y1）和B（-1,y2）为这个函数图像上的两点,那么y1与y2的大小关系是怎样的 解:（1）∵反比例函数的图像在第一、三象限， ∴ k>0. 由k>0可知,在每个象限内, y的值随x的值增大而减小. ∵ -3<-1,∴ y1>y2. 观察是得出结论的有效途径,通过观察图像,小组合作探究、互相交流,让学生自由发言,充分发挥学生的积极主动性,不仅锻炼了学生分析问题的能力,同时更尊重了个体的展示,提供互助互补的平台,使学生既得到了自主发展,又培养了合作精神、创新意识,使课堂气氛进入高潮. 通过例题的训练，让学生巩固用计算器计算任意锐角的三角函数值的按键步骤及方法.，并增强学生对所学知识的应用意识. 根据上面的函数图像归纳总结出反比例函数图像的性质. 本例题主要针对本节课的内容,重点考查学生对于k的正负性与图像所在象限以及y的值随x的值变化而变化的关系的认识,增强学生数形结合的思想意识.
3.学以致用，应用新知 考点1 反比例函数值的变化情况与k的关系 练习1 若函数y=nx|n|-2是反比例函数，且x>0时，y随x的增大而减小，则n的值是（ ） A.±1 B.1 C.-1 D.不能确定 答案：B 解析：∵y=nx|n|-2是反比例函数， ∴|n|-2=-1， 解得n=±1. ∵当x>0时，y随着x的增大而减小， ∴反比例函数的图像一支位于第一象限， 则n>0， ∴n=1. 变式训练1 已知反比例函数y=，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A.0 B.3 C.6 D.9 答案：A 考点2 比例系数k的几何意义 练习2 如图所示,点A在反比例函数（x >0）的图像上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C,你能求出矩形OBAC的面积吗 解:设点A的坐标为（x，y），则xy=3. 所以 S矩形OBAC= xy=3. 【归纳总结】 在反比例函数（k＞0）的图像上任取一点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为S，则S＝. 结论 反比例函数（k≠0）中比例系数k的几何意义： . 变式训练2 如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图像的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的表达式是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　 D. 解析：过点P作PD⊥OB（图略），由矩形的性质可知S△OPD＝S矩形AOBC＝，由反比例函数的几何意义可知S△OPD＝＝，解得k＝±1.又因为反比例函数图象在第一象限，所以k＞0，所以k＝1，所以.故选C. 答案：C 比例系数k的几何意义解题步骤： 运用k的几何意义解决问题，一般要通过双曲线上的点向x轴或y轴作垂线，构造矩形，矩形面积等于，或连接双曲线上的点和原点，再通过双曲线上的点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，三角形面积等于，利用面积最终得到函数表达式. 巩固学生对反比例函数的图象和性质的认识和理解，并整理、总结对应的解题方法.
4.随堂训练，巩固新知 1.已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A.图像经过点（1，1） B.图像在第一、三象限 C.当x＜0时，y＜0 　D.当x＜0时，y随着x的增大而增大 答案：D 如图，A是反比例函数的图像上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是（ ） A.3 　　 B.-3 　　C.6 　　　 D.-6 答案：C 3.函数y1＝x（x≥0），（x＞0）的图像如图11所示，下列结论：（1）两函数图像的交点坐标为A（2，2）；（2）当x＞2时，y2＞y1；（3）直线x＝1分别与两函数图像交于B，C两点，则线段BC的长为3；（4）当x逐渐增大时，y1的值随着x的增大而增大，y2的值随着x的增大而减小.则其中正确的是（ ） A.只有（1）（2） 　　　　　　　　　B.只有（1）（3） C.只有（2）（4） 　　　　　　　　　D.只有（1）（3） 答案：D 4.已知反比例函数的图像经过点A（2，6）. （1）求此反比例函数的表达式. （2）这个函数的图像位于第几象限？y随x的增大如何变化？ （3）点B（3，4），C，D（2，5）是否在这个函数的图像上？ 解：（1）设. 因为点A（2，6）在函数图象上，所以， 解得k＝12，因此. （2）因为k＞0，所以函数图像位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小. （3）将B，C，D三点的坐标分别代入，得B，C两点的坐标满足表达式，D点坐标不满足表达式，所以B，C两点在函数图像上，D点不在函数图像上. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
5.课堂小结，自我完善 1.反比例函数的性质 一般地,反比例函数（k≠0）的图像是双曲线,它具有以下性质: 1.当k>0时,它的图像位于第一、三象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而减小; 2.当k＜0时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大； 3.双曲线的两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点; 4.双曲线的两支关于坐标原点成中心对称. 2.反比例函数（k≠0）中比例系数k的几何意义： . 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结.
6.布置作业 课本P113习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 27.2 反比例函数的图像和性质 第2课时　反比例函数的性质 反比例函数的性质 当k>0时,它的图像位于第一、三象限,在每个象限内,y的值随x的值增大而减小; 当k＜0时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大. 反比例函数（k≠0）中比例系数k的几何意义： . 提纲掣领，重点突出.
教后反思 本节是学习用计算器求三角函数值并加以实际应用的内容,通过本节的学习,可以使学生充分认识到三角函数知识在现实世界中有着广泛的应用. 反思，更进一步提升.