27.3反比例函数的应用 教学设计（表格式）冀教版数学九年级上册

27.3 反比例函数的应用
课题 反比例函数的应用 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P138-141
教学目标 1.能够根据具体实际问题情景确定变量之间的反比例关系,并求出反比例函数的解析式. 2.能灵活运用反比例函数的图像和性质解决相关的实际问题. 3.能综合运用几何、方程、不等式、反比例函数知识解决相关的实际问题.
教学重难点 重点：从实际问题中建立反比例函数模型,运用反比例函数的图像和性质解决生活实际问题和跨学科问题. 难点：根据具体实际问题情景建立反比例函数的模型.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 【复习回顾】 1.我们学习了反比例函数的定义、图像和性质,完成下列填空: (1)反比例函数的定义是　. (2)反比例函数的图像是　　　　　　　　,当k>0时,　　　　　　　　;当k<0时,　　　　　　　　. (3)待定系数法求反比例函数表达式的步骤:　　　　　 　；_____________；　　　　　__　；________________. 2.前面学习了一次函数的应用,类比前面的学习过程,我们将继续探究什么 基本方法有哪些 3.在实际问题中建立函数模型,求解函数表达式的关键是什么 【情景导入】 你吃过拉面吗 知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗 (1)体积为20 cm3的面团做成拉面,面条的长度y与面条的粗细(横截面积S)有怎样的函数关系 (2)某家面馆的师傅手艺精湛,她拉的面条粗1 mm2,如果面团的体积为10 cm3,那么面条总长是多少 通过复习反比例函数的概念、图像和性质及实际问题中找等量关系列函数表达式,为本节课的学习做铺垫,由学生熟悉的行程问题导入新课,让学生体会数学与实际问题之间的关系,很自然地构建出新知识,激发学生的兴趣和求知欲望.
2.实践探究，学习新知 【探究】 反比例函数在实际问题中的应用 问题：在一段长为45 km的高速公路上，规定汽车行驶的速度最低为60 km/h，最高为110 km/h. （1）在这段高速公路上，设汽车行驶的速度为v(km/h)，时间为t(h)，写出v与t之间的函数关系式； （2）某司机开车用了25 min匀速通过了这段高速公路，请你判断这辆汽车是否超速，并说明理由. （3）某天，由于天气原因，汽车通过这段高速公路时，要求行驶速度不得超过75 km/h.此时，汽车通过该路段最少要用多长时间？ 师生活动：教师提出下列问题,学生思考回答,逐步解决. (1)在上述问题中有哪些量 哪些量是常量 哪些量是自变量和因变量 (2)在行程问题中,路程、速度和时间三者之间的等量关系是什么 (3)自变量和因变量的乘积是不是常数 两者之间是不是存在着反比例函数关系 (4)你能否写出v与t之间的函数关系式 (5)你能根据实际问题求出自变量的取值范围吗 (6)已知自变量t的值,怎样求因变量v的值 (7)已知因变量v的值,如何求自变量t的值 (8)在该反比例函数关系中,已知自变量的取值范围,怎样求因变量的取值范围 解:(1)v=. (2)当t=时,v=108,∵v<110,∴没有超速. (3)当v=75时,75=,解得t=0.6, ∵45>0,∴v随着t的增大而减小, ∴当t≥0.6时,v≤75, ∴通过该路段最少要用36 min. 【例题】 例1 气体的密度是指单位体积(m3)内所含气体的质量(kg).现有某种气体7 kg. (1)某储气罐的容积为V(m3),将这7 kg的气体注入该容器后,该气体的密度为ρ(kg/m3),写出用V表示ρ的函数表达式. (2)当把这些气体装入容积为4 m3的储气罐中时,它的密度为多大 (3)要使气体的密度ρ=2 kg/m3,需把这些气体装入容积是多少立方米的容器中 (4)在下图所示的直角坐标系中,画出这个函数的图像,并根据图像回答: ①当这些气体的体积增大时,它的密度将怎样变化 ②把这些气体装入容积不超过2 m3的容器中,气体的密度ρ在什么范围内 分析： (1)在物理学中,物体的密度ρ(kg/m3)、体积V(m3)、质量m(kg)之间的等量关系是什么 (2)你能根据上边的等量关系写出物体的密度ρ(kg/m3)与体积V(m3)之间的函数表达式吗 (3)在函数表达式中已知自变量如何求对应的函数值 已知函数值如何求对应的自变量 (4)根据反比例函数图像,密度ρ(kg/m3)随着体积V(m3)的增大怎样变化 (5)当体积V(m3)取最大值时,对应的函数值ρ(kg/m3)是最小值还是最大值 (6)根据已知,自变量V的取值范围是什么 对应的函数值ρ的取值范围是什么 追问: 你能归纳建立反比例函数模型解决跨学科实际问题的一般思路吗 【归纳】 根据物理学知识公式找到实际问题中的等量关系,建立反比例函数模型,列出函数表达式,已知自变量的值(函数值)代入函数表达式,解方程可得对应的函数值(自变量的值),根据函数表达式描点法画函数图像,利用数形结合思想可解关于函数值的不等式. 做一做 厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时,面条的总长度y(m)是面条横截面面积S(mm2)的反比例函数,其图像经过A(4,32),B(m,80)两点(如图所示). (1)写出y与S的函数关系式. (2)求出m的值,并解释m的实际意义. (3)如果厨师做出的面条最细时的横截面面积能达到3.2 mm2,那么面条总长度不超过多少米 解:(1)y=，S>0. (2)m=1.6,当面条的总长度是80 m时,面条的横截面面积是1.6 mm2. (3)当S=3.2时，y=40. ∵k=128>0， ∴y随S的增大而减小, ∴当S最小为3.2 mm2时,面条的长度不超过40 m. 通过教师引导,给学生提供解决此类问题的思路,让学生在问题解决的过程中体会反比例函数与实际问题的关系.解决实际问题首先建立函数模型,从两个变量的相依关系和变化规律,借助函数的图像,利用函数意义或性质解决问题,体会数学建模思想和数形结合思想的应用,培养学生的应用意识. 通过物理学科中已学过的密度公式,建立公式与反比例函数之间的联系,用反比例函数知识解决跨学科问题,感受数学在现实生活中的应用,激发学生学习数学的兴趣,提高学生应用数学解决问题的能力. 通过学生运用反比例函数独立完成生活实际问题,既与导入二做到首尾呼应,又进一步训练学生建立反比例函数模型的能力,鼓励学生从函数图像、不等式、方程等多角度思考问题,进而把函数、方程、不等式联系起来,培养学生不同角度看问题,体会数学知识之间的联系,提高用不同方法解决问题的能力.
3.学以致用，应用新知 考点1 反比例函数在实际生活中的应用 练习1 如图所示，墙MN长为12 m，要利用这面墙围一个矩形小院，面积为60 m2，现有建材能建围墙总长至多26 m，设AB=x m，BC=y m. (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)要求x和y都取整数，且小院的长宽比尽可能的小，x应取何值？ 解：(1)y=. (2)∵y=，x，y都是整数，且2x＋y≤26，0＜y≤12. ∴＋y≤26，且0＜y≤12. ∴y的值只能取6，10，12，对应的x的值依次是10，6，5. 则符合条件的建设方案只有BC=6 cm，AB=10 cm； BC=10 cm，AB=6 cm；BC=12 cm，DC=5 cm. ∵＜＜，∴x=10. 变式训练1 某厂现有500吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是( ) B. C.y=500x(x≥0) D.y=500x(x>0) 答案：A 变式训练2 甲、乙两地相距100 km，如果一辆汽车从甲地到乙地所用时间为x(h)，汽车行驶的平均速度为y(km/h)，那么y与x之间的函数关系式为 (不要求写出自变量的取值范围). 答案： 巩固用反比例函数解决实际问题的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．
4.随堂训练，巩固新知 1.一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x=2时，y=20，则y与x的函数图象大致是( ) 答案：B 2.某家庭用购电卡购买了2 000度电，若此家庭平均每天的用电量为x(单位：度)，这2 000度电能够使用的天数为y(单位：天)，则y与x的函数解析式为y= . 答案：A 3.在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？ (3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？ 解：(1)设y＝.∵点(24，50)在其图象上，∴k＝24×50＝1200，所求函数表达式为y＝； (2)由图象可知共需开挖水渠24×50＝1200(m)，2台挖掘机需要工作1200÷(2×15)＝40(天)； (3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成40m. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
5.课堂小结，自我完善 1.建立反比例函数模型,解决跨学科问题的一般步骤: (1)审题:弄清题意,分析问题中的等量关系; (2)建模:根据等量关系,将实际问题转化为数学问题,利用反比例函数知识建立数学模型; (3)解模:根据反比例函数的图像和性质解决问题. 2.在解决实际问题中,根据题意写出函数表达式是解决的关键. 3.综合运用函数、方程、不等式及数形结合思想解复杂的实际问题. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结.
6.布置作业 课本P140习题A组，P141习题B组. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 27.3　反比例函数的应用 1.反比例函数解决实际问题： 例题： 2.反比例函数解决跨学科问题： 例题： 解决跨学科问题的一般步骤: 提纲掣领，重点突出.
教后反思 本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系． 学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识作为基础，并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数，学生已经有了一定的知识准备.因此，本节课教师可从身边事物入手，使学生真正体会到数学知识来源于生活，有一种亲切感.在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来进行交流活动，不断引导学生利用数学知识 来解决实际问题. 反思，更进一步提升.