28.3.1 圆心角 教学设计（表格式）冀教版数学九年级上册

28.3.1 圆心角
课题 圆心角 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P153--155
教学目标 1.理解圆心角的概念,掌握圆心角、弧、弦之间的相等关系及推论. 2.学会运用圆心角、弧、弦之间的关系进行简单的计算和证明，
教学重难点 重点：理解并掌握圆心角、弧、弦之间关系并利用其解决相关问题. 难点：圆心角、弧、弦之间关系中的“在同圆或等圆”条件的理解及关系的证明.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 复习提问: 1.圆是不是中心对称图形 对称中心是什么 答：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.将课前准备的两个圆形纸片重合在一起，绕圆心转动其中一个圆，你发现什么现象 答：把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形与原图形重合，即圆有旋转不变性。 【师生活动】学生动手操作， 思考回答，教师点评。 情境： 欣赏动画：折扇的收拢和展开. 老师提问：观察在这个过程中哪些弧重合 哪些弦重合 哪些角重合 在折扇的收拢和展开的过程中，这些弧、弦所对的角是圆心角，它与这些弧、弦之间有什么数量关系呢 这就是我们这节课要探索的内容. 通过旋转课前准备的纸片，轻松获得圆的旋转不变性,为本节课的定理的证明做好铺垫。 运用多媒体形象直观地展现了折扇中蕴涵的圆心角、弧、弦之间的关系，引入课题顺理成章,动画演示激发了学生的学习兴趣，并让学生体会到数学来源于生活。
2.实践探究，学习新知 一、圆心角的定义 【师生互动】 老师提问：什么是圆心角呢？我们一起来归纳概念. 归纳概念: 问：观察导入里折扇收拢过程中，这些重合的角有什么特征 【师生活动】教师引导圆心、半径与角之间的关系，学生归纳出特征以后给出圆心角的概念. 【定义展示】 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 【思考】 1.如图所示，哪些角是圆心角 哪些角不是圆心角 【师生互动】 老师：圆心角的定义是怎样的？ 学生：顶点在圆心的角叫做圆心角. 老师追问：那么圆心角有什么特征呢？ 学生：顶点一定是在圆心上。 老师：请回答题目中的问题。 学生：(1)和(4)所示的∠AOB为⊙O的圆心角，(2)和(3)所示的∠APB不是⊙O的圆心角. 【针对训练】 1.如图所示，图中有几个圆心角 分别是什么 答：有三个圆心角，分别是∠AOB,∠AOC,∠BOC. 追问：图中的圆心角所对的弧、弦分别是什么 学生：…… 二、圆心角、弦、弧之间的关系 通过观察我们看到，圆的每个圆心角都对应一条弦和一条弧.相等的两个圆心角所对应的两条弦之间以及两条弧之间具有怎样的关系呢 【一起探究】 如图所示，在⊙O中，∠A0B=∠COD. （1）猜想弦AB, CD以及弧AB，弧CD之间各具有有怎样的关系？ （2）请用图形的旋转说明你的猜想. 【解题思路】 动手操作： 在课前准备的圆形纸片上画出∠AOB旋转到∠COD的图. 回答下列问题： 1.将∠A0B旋转到∠COD的位置，它能否与∠A0B完全重合 2.如果能重合，你会发现哪些等量关系 3.你能证明这些结论吗 4.在两个等圆中，如果圆心角∠A0B=∠A' O'B'，如图所示，你能否得到相同的结论 5.你能用语言叙述上面的命题吗 【解答过程】 设∠AOC=α，将∠AOB顺时针旋转α，则AO与CO重合， BO与DO重合. ∴AB与CD重合，弧AB与弧CD重合. ∴AB=CD，弧AB=弧CD. 【定理】 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等. 【大家谈谈】 问题展示： 1.在圆心角性质定理中，为什么要说“在同圆或等圆中” 能不能去掉 2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，能得到什么结论 3.在同圆或等圆中,如果两条弦相等，能得到什么结论 4.在同圆或等圆中，两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，那么其他两组量是否相等 【结论展示】 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 即：在同圆或等圆中，两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等. 【针对训练】 如图所示，AB，CD是⊙O的两条弦. （1）如果AB=CD，那么 ， . （2）如果弧AB=弧CD，那么 ， . （3）如果∠A0B= ∠COD，那么 ， . 【例题讲解】 例1 已知：如图28-3-3，AB为⊙O的直径，点M，N分别在AO，BO上，CM⊥AB， DN⊥AB，分别交⊙O于点C，D，且弧AD=弧BC. 求证: CM=DN. 证明：如图28-3-4，连接OC，OD. ∵弧AD=弧BC，即弧AC+弧CD=弧CD+弧BD， ∴弧AC=弧BD. ∴∠AOC=∠BOD. 在Rt△CMO和Rt△DNO中， ∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠CMO=∠DNO= 90°. 又∵OC=OD，∠MOC=∠NOD， ∴Rt△CMO≌Rt△DNO. ∴CM=DN. 【知识拓展】 [知识拓展] 1.圆心角、弦、弧之间的关系的结论必须是在同圆或等圆中才能成立. 2.利用同圆(或等圆)中圆心角、弦、弧之间的关系可以证明角、弦或弧相等. 3.圆心角的度数与所对弧的度数相等. 通过动手操作、观察思考、合作交流、归纳结论，体会数形结合思想在数学中的应用，培养学生的数学思维能力和归纳总结能力，同时掌握把实际问题抽象转化为数学问题的重要思路。 让学生通过动手操作、观察、猜想、证明、归纳得出圆心角、弦、弧之间的关系的定理,让学生亲自经历定理的形成过程,培养学生分析问题、解决问题的能力及归纳总结能力. 学生通过小组合作学习,用类比的方法得到圆心角定理的推论,培养学生分析问题能力及合作精神.通过填空,及时运用所学知识解决问题，培养学生数学应用意识和解决问题的能力,同时让学生体会把数学语言向几何语言的转化. 通过例题分析,让学生掌握并能灵活运用所学知识点解决问题，培养学生正确应用所学知识的能力,增强应用意识，同时规范学生书写格式,培养学生严谨的学习态度,达到巩固知识的目的.
3.学以致用，应用新知 考点1 圆心角定理的应用 练习1 已知：如图，在⊙O中，弧AB=弧CD.求证：AC=BD. 证明：∵弧AB=弧CD， ∴弧AB+弧BC=弧CD+弧BC， 即弧AC=弧BD， ∴AC=BD. 练习2 已知：如图，在⊙O中，AD=BC.求证：AB=CD. 证明：∵AD=BC，∴弧AD=弧BC， ∴弧AD+弧AC=弧BC+弧AC， 即弧CD=弧AB， ∴CD=AB. 巩固圆心角定理及其推论，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．
4.随堂训练，巩固新知 1．下列说法中，正确的是（　　） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．相等的圆心角所对的弦也相等 D．相等的弦所对的圆心角也相等 答案：B 2．如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．60° 答案：B 3．如图，AB是⊙O的直径，，∠BOC＝30°，则∠COD的度数是（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 答案：D 解析：∵，∠BOC＝30°， ∴∠AOD＝∠BOC＝30°， ∴∠COD＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 4．如图，在⊙O中，，∠AOB＝35°，则∠COD的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 答案：D 5．如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是（　　） A．OA＝OB＝AB B．∠AOB＝∠COD C． D．O到AB、CD的距离相等 答案：A 6．如图，在⊙O中，＝＝，则∠BOC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．150° 答案：C 7．如图，在⊙O中，若弧AB＝2弧CD，则AB与CD的大小关系为（　　） A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．无法确定 答案： B 解析：如图，取的中点E，连接AE、BE，则＝， ∴AE＝BE. ∵＝2，∴＝，∴AE＝CD，∴AE+BE＝2CD， ∵AE+BE＞AB，∴AB＜2CD. 8．如图，在⊙O中，＝，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正确的是 　 　（填序号）． 答案：①②③④ 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
5.课堂小结，自我完善 1.圆心角概念:顶点在圆心的角. 2.圆心角、弧、弦之间的关系:在同圆或等圆中,两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中,只要有一组量相等,其他两组量就分别相等. 3.利用同圆或等圆中圆心角、弦、弧之间的关系可以证明角、弦或弧相等. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结.
6.布置作业 课本P155习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 28.3　圆心角 1.顶点在圆心的角是圆心角. 2.在同圆或等圆中,两个圆心角及所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中,只要有一组量相等,其他两组量就分别相等. 提纲掣领，重点突出.
教后反思 本节课的弧、弦、圆心角之间的关系是论证同圆或等圆中弧、角、线段相等的主要依据,因而在教学设计时要注重数形结合,图形、文字、几何三种语言的相互转化.在教学设计中,重视学生经历知识的形成过程,设计动手操作、思考、合作交流、归纳总结等数学活动, 给学生充足的时间和空间,让课堂成为展示他们才华的舞台,增强学生学习的信心，让学生的能力得到更大的发展. 反思，更进一步提升.