28.4 垂径定理 教学设计（表格式）冀教版数学九年级上册

28.4 垂径定理
课题 垂径定理 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P163-166
教学目标 1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其推论. 2.会用垂径定理进行简单的证明和计算. 3.了解直径、弦、弧之间的特殊关系
教学重难点 重点：垂径定理及其应用. 难点：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 【复习回顾】 1.什么是轴对称图形 2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴 3.你是用什么方法解决上述问题的？ (教师引导折叠课前准备的圆形纸片) 4.直径是圆的对称轴正确吗 师生活动：学生思考后回答，教师点评，指出“直径是圆的对称轴”这个结论的错误原因。师生共同归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线(或直径所在的直线) 通过生活实际问题导入新课，让学生感受数学来源于生活，又应用于生活.通过复习旧知识和创设动手操作活动，激发学生学习兴趣，探索圆的对称性，引出本节内容，为本节课的学习做好铺垫.
2.实践探究，学习新知 【探究】 我们知道了圆是轴对称图形，利用圆的轴对称性，我们还可以发现圆的一些性质. 1. 垂径定理 教师活动：1.动手操作：将图画在课前准备的圆形纸片上，将☉O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合？哪些弧重合？ 2.由此你能得出什么结论？尝试说出你的猜想. 通过探究，我们发现：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 3.你能证明你得到的结论吗 师生活动：学生在教师的引导下完成画图、折叠、观察、归纳、猜想，学生独立思考证明思路后，小组合作交流，小组代表板书证明过程，教师点评，规范书写格式，师生共同回忆归纳结论. 下面我们对这个结论进行证明. 已知：如图所示，在☉O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E. 证明：如图所示，连接OA，OB。 在△OAB中， ∵OA=OB，OE⊥AB， ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE. ∴. ∵∠AOC=180°-∠AOE，∠BOC=180°-∠BOE， ∴∠AOC=∠BOC. ∴AE=BE，. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 几何语言： ∵如上图所示，在☉O中，CD为直径，CD⊥AB， ∴AE=BE，. 2.垂径定理的推论 如图所示，在☉O中，直径CD与弦AB(非直径)相交于点E. 思考： (1)若AE=BE，能判断CD与AB垂直吗？与(或与)相等吗？说明你的理由. (2)若(或)，能判断CD与AB垂直吗 AE与BE相等吗？说明你的理由. 师生活动:学生独立思考，小组合作交流，独立书写解答过程，小组代表展示，教师对学生的展示点评，规范书写格式. 解：(1)CD⊥AB，=(或=)。 理由是：连接OA，OB，如图所示，则△OAB是等腰三角形， ∵AE=BE，∴CD⊥AB. 由垂径定理可得，. (2)CD⊥AB，AE=BE. 理由是：连接OA，OB，如图所示， ∵=，∴∠AOD=∠BOD， 又∵OA=OB，OE=OE，∴△AEO≌△BEO， ∴∠AEO=∠BEO，AE=BE， ∴CD⊥AB. 追加思考： (1)垂径定理中的条件和结论分别是什么 用语言叙述。 (2)上面思考(1)(2)中的条件和结论分别是什么 (3)如果不要求“弦不是直径”上述结论还成立吗 师生活动：师生共同分析解答，通过追加思考，师生共同归纳结论. 可以知道只要满足两个条件①过圆心，②垂直于弦，就可以得到三个结论①平分弦，②平分弦所对的劣弧，③平分弦所对的优弧，这是定理的本质内容. 在☉O中，设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE=BE，CD⊥AB，中的一项作为条件，则可得到另外两项结论. 【例题】 例1 如图所示，已知CD为☉O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的长. 教师活动：引导思考： 1.如何把圆的半径转化为三角形中的线段 连接半径，构造直角三角形. 2.构造的直角三角形中三边之间有什么特点 根据垂径定理得三角形一边是弦长的一半，另两边的长正好相差ED长. 3.直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系，如何求另两边长 设未知数，用勾股定理列方程求解. 师生活动：教师引导，师生共同完成思考分析，学生小组合作交流解题思路，书写解题过程，小组代表板书，教师点评，规范解答格式. 解：如图所示，连接OA. 设☉O的半径为r. ∵CD为☉O的直径，AB⊥CD， ∴AE=BE. ∵AB=8， ∴AE=BE=4. 在Rt△OAE中， OA2=OE2+AE2，OE=OD-ED， 即 r2=(r-2)2+42. 解得r=5，从而2r=10. 所以直径CD的长为10. 小结： 1.由垂径定理可以得到以下结论： (1)若直径垂直于弦，则直径平分弦及其所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (3)垂直且平分一条弦的弦是直径. (4)连接弦所对的两条弧的中点的线段是直径. 综上所述，可以知道在①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧. 2.利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦，证明垂直，证明一条线段是直径. 3.利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置：在圆中找两条不平行的弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即是圆心. 4.由于垂直于弦的直径平分弦，因此可以在圆中构造直角三角形，利用勾股定理列方程求弦长(或半径). 5.圆心到弦的距离叫做弦心距. 通过探究1和探究2让学生熟悉用计算器求任意锐角的三角函数值的按键步骤及方法. 通过学生动手操作、观察、分析、交流，教师引导归纳出垂直于弦的直径的性质，经历知识的形成过程，培养学生观察能力和归纳概括能力，提高分析问题、解决问题的能力，同时感受圆的对称美. 通过教师提出的问题，学生合作交流，共同分析解答，提高学生合作意识，加深对垂径定理的理解和记忆，通过追加思考，师生共同分析得出垂径定理中五个条件：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧中，以其中两个为条件，可以得到其他三个结论. 以问题的形式，教师引导，师生共同分析解决，降低了例题的难度，体会方程思想在数学中的应用，同时掌握一类题型的解题方法，应用垂径定理计算时，常作辅助线构造直角三角形，体会数形结合思想在解题中的应用，提高学生分析问题的能力.
3.学以致用，应用新知 考点1 垂径定理 练习1 如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB，垂足为点P，则CP的长等于(　　) A．2 B．2.5 C．3 D．4 答案：A 变式训练1 如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D.若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为(　　) A.6 B.5 C．4 D．4 答案：B 考点2 垂径定理的应用 练习2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ (结果保留小数点后一位) 解：如图所示，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA. 根据垂径定理知D为AB的中点，C为的中点，CD就是拱高. 由题设可知，AB=37.4 m，CD=7.2 m， 所以AD=AB=×37.4=18.7(m)， OD=OC-CD=R-7.2(m). 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2， 即 R2=18.72+(R-7.2)2. 解得R≈27.9(m). 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m. 【思考】 1.在圆中解决有关弦的问题，常作什么辅助线 2.在圆中解决有关弦的问题，常用什么方法 总结：在圆中解决有关弦的问题时，常常过圆心作弦的垂线段(弦心距)，通过作辅助线，把垂径定理和勾股定理结合，得到圆的半径r、弦心距d、弦长a的一半之间列成等式. 变式训练2 如图是一个高速公路的隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，如果D是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点C，AB＝24，CD＝18，则此圆的半径OA的长为________． 答案：13 在实际问题中画出符合题意的几何图形，建立数学模型，根据垂径定理和勾股定理列方程求解所在圆的半径，让学生体会数学来源于生活，又应用于生活中，提高学生分析问题、解决问题的能力，同时在整个教学设计中达到首尾呼应，增强学生应用意识.
4.随堂训练，巩固新知 1.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列选项中错误的是(　　) A．∠BOC＝2∠BAD B．BE＝EO C．∠OCE＝50° D．CE＝DE 　　　 答案：B 2.绍兴市是著名的桥乡，如图，石拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC＝5 m，则水面宽AB为________m. 答案：8 3.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC是(　　) A.3 　　 B.4 　 　 C.3　　 D.6 答案：A 4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若OE＝3，CD＝8.求⊙O的半径． 解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE＝CD＝4. 在Rt△COE中， 由勾股定理，得 OC＝＝＝5. ∴⊙O的半径为5. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
5.课堂小结，自我完善 本节课所学知识： 1.垂径定理和推论及它们的应用. 2.垂径定理和勾股定理相结合，将圆的问题转化为直角三角形问题. 3.圆中常作辅助线连半径、过圆心作弦的垂线. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结.
6.布置作业 课本P165习题A组，P166习题B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 28.4　垂径定理 1.垂径定理 例题： 2.垂径定理的推论 例题 提纲掣领，重点突出.
教后反思 教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用垂径定理的探索和证明是选学内容，但垂径定理的应用是重点也是难点. 反思，更进一步提升.