28.5 弧长和扇形面积的计算 教学设计（表格式）冀教版数学九年级上册

28.5 弧长和扇形面积的计算
课题 弧长和扇形面积的计算 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P167-169
教学目标 1.了解扇形、圆锥等有关概念. 2.经历探索弧长、扇形面积公式的过程. 3.会计算弧长及扇形的面积. 4.知道圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系,会计算圆锥的侧面积.
教学重难点 重点：1.弧长、扇形面积公式的推导及应用. 2.圆锥侧面积与扇形面积之间的关系. 难点：探索弧长、扇形面积、圆锥侧面积的计算公式的过程.
教学准备 多媒体课件、圆形纸片、直尺、圆规、量角器
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 【复习回顾】 1.圆的周长如何计算 2.圆的面积如何计算 3.圆周长所对的圆心角是多少度 通过复习和本节课有关的旧知识,为本节课探究弧长和扇形面积公式做好铺垫.
2.实践探究，学习新知 【探究】认识概念 扇形:一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 如图所示,在☉O中,由半径OA,OB和所组成的图形为一个扇形.由半径OA,OB和所组成的图形也是扇形. 思考：　 一个扇形对应几个圆心角 一个圆心角对应几个扇形 (在同一个圆中,一个扇形对应一个圆心角,反过来,一个圆心角对应一个扇形) 1.弧长和扇形面积公式 思考并回答下列问题： 圆的周长可以看成是多少度的圆心角所对的弧 预设答案：360° 在圆中每一个1°的圆心角所对的弧长之间有什么关系 预设答案：相等 （3）1°的圆心角所对的弧长是多少 预设答案：周长的 （4）2°的圆心角所对的弧长又是多少呢 预设答案： （5）你能算出n°的圆心角所对的弧长是多少吗 预设答案： （6）已知一段弧所在圆的半径为r,圆心角度数为n°,如何计算这段弧的长度 预设答案： 结论： 在半径为r的圆中,n°的圆心角所对的弧长为：l=. 思考：　 你能用探究弧长公式的方法探究扇形的面积吗 结论: 在半径为r的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积为：S=. 比较扇形面积公式S=和弧长公式l=,你能用弧长公式表示扇形的面积吗 教师活动：引导观察两个公式的分子和分母,分子中的nπr2可以写成nπr·r,分母中的360可以写成180×2. 扇形的面积公式： S=lr(其中n为圆心角的度数,r为圆的半径,l为扇形的弧长). 【例题】 例1 如图所示,☉O的半径为10 cm. (1)如果∠AOB=100°,求的长及扇形AOB的面积.(结果保留一位小数) (2)已知=25 cm,求∠BOC的度数.(结果精确到1°) 解:(1)r=10 cm,∠AOB=100°,由弧长和扇形面积公式,得: ≈≈17.4(cm)， S扇形AOB=≈≈87.2(cm2). 所以的长约为17.4 cm,扇形AOB的面积约为87.2 cm2. (2)r=10 cm,=25 cm,由弧长公式，得: n=≈≈143. 所以∠BOC约为143°. 追加提问: 1.弧长的大小由哪些量决定 扇形的面积由哪些量决定 2.已知半径和圆心角,能不能求弧长、扇形面积 已知弧长和半径(或扇形面积和半径),能不能求弧所对的圆心角的度数 已知弧长和所对的圆心角(或扇形面积和圆心角),能不能求所在圆的半径 教师活动:在弧长公式中,已知l,n,r其中的两个量,就可以求出第三个量的值;在扇形面积公式中,已知S,n,r其中的两个量,就可以求出第三个量的值. 2.圆锥的概念及其侧面积的计算 思考： 1.什么是圆锥的母线、圆锥的高 2.圆锥的母线有几条 圆锥的母线、高、半径围成什么图形 3.将圆锥的侧面展开,得到的平面图形是什么 4.圆锥的侧面展开图的弧长、半径与圆锥的底面、母线长有什么关系 5.若圆锥的底面半径为r,母线长为l,你能求出圆锥的侧面展开图的面积吗 预设答案： 1.圆锥的母线:圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线. 2.圆锥的高:圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高. 如图所示，PA为圆锥的一条母线，PO为圆锥的高. 将圆锥的侧面沿母线PA展开成平面图形,该图形为一个扇形,扇形的半径长等于圆锥的母线长.反过来,扇形也可以围成一个圆锥. 做一做 已知扇形的圆心角为120°,弧长为20π cm.如果用这个扇形围成一个圆锥,那么这个圆锥的侧面积是多少 解:设圆锥的母线长为l cm,由弧长公式可得: 20π=,解得l=30, ∴圆锥的侧面积S=×20π×30=300π(cm2). 拓展： 1.圆心角为1°的弧长等于圆周长的,所以圆心角是n°的弧长l=n·,其中n表示1°的圆心角的倍数，不带单位. 2.在弧长公式l=中有三个量l，n，r，已知其中任意两个量,可以求出第三个量. 3.圆锥看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形,圆锥的母线长a,高h,底面半径r恰好构成一个直角三角形,满足r2+h2=a2,利用这一关系可以在已知任意两个量的情况下求出第三个量. 引导学生由圆的周长和圆心角之间的关系,经历由特殊到一般、由整体到部分的探究过程,体验弧长公式是如何推导的,类比弧长公式的探究方法,让学生由独立思考、合作交流共同探究出扇形面积公式,同时观察讨论扇形面积和弧长公式之间的关系,得出用弧长表示扇形的面积公式,让学生体会事物之间是相互联系的.教师的追问,让学生加深对公式的理解和灵活运用. 通过解决和弧长、扇形面积有关的计算,加深学生对弧长、扇形面积公式的理解和认识,培养学生解决问题的能力. 通过解决和弧长、扇形面积有关的计算,加深学生对弧长、扇形面积公式的理解和认识,培养学生解决问题的能力. 学生在小学已经初步认识圆锥,通过自主学习和小组合作交流,对圆锥的有关概念加深理解.在教师问题的引导下,学生观察、分析、比较展开扇形和圆锥之间的关系,让学生经历探索圆锥侧面积公式的过程,提高分析问题能力. 通过做一做,让学生加深对圆锥的侧面积的理解和掌握,在应用公式解决问题时,培养学生灵活运用公式计算的能力.
3.学以致用，应用新知 考点1 弧长公式 练习1 如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，连接AC，BC，若半圆O的半径为5，∠B=58°，则的长为（　　） A. B. C. D. 解析：如图，连接OC， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠B=58°， ∴∠BOC=180°-58°×2=64°， ∴的长为 答案：D 变式训练1 如图，扇形古钱币的圆心角∠AOB=120°，OA=3 cm，则该扇形古钱币的弧长为__________cm（结果保留）． 答案：2 考点2 扇形面积公式 练习2 已知某扇形弧长为3，圆心角为60°，则扇形面积为（ ） A. B. C. D. 答案：D 变式训练2 一个扇形的面积是24 cm2，圆心角是60°，则此扇形的半径是______cm. 答案：12 考点3 圆锥的侧面展开图、母线与高 练习3 如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为120°，半径为6 cm的扇形，求该圆锥的高. 解：圆锥的侧面积展开图的弧长为：， ∴圆锥的底面半径为4÷2=2， ∴该圆锥的高为：. 变式训练3 如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12 cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为________． 答案：24 cm 巩固用计算器求三角函数值的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．
4.随堂训练，巩固新知 1.已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（　　） A．9 B．3 C． D． 答案：C 2.如图：已知扇形的半径之间的关系是，则的长是长的（　　） A．倍 B．2倍 C．倍 D．4倍 答案：C 3.如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径，扇形的圆心角等于，则围成的圆锥的母线长R的值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．10 答案：C 4.如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为（ ） A． B． C． D． 答案：B 5.如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（　　） A.9 B.12 C.18 D.6 答案：A 6.如图，从一块半径是2的圆形贴片上剪出一个圆心角为的扇形，那么这个扇形的面积为 . 答案：2 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
5.课堂小结，自我完善 本节课所学知识： 1.扇形定义:一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 2.弧长和扇形面积公式:l=,S=lr. 3.弧长和扇形面积的应用:已知公式中的两个量,可以求另外一个量. 4.圆锥母线、高的定义:圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线.圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高. 5.圆锥的侧面积:圆锥的侧面积等于圆锥侧面展开图的扇形的面积,扇形的弧长为圆锥底面周长,扇形的半径为圆锥的母线. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
6.布置作业 课本P169习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 28.5　弧长和扇形面积的计算 1.扇形定义： 2.扇形面积公式： 练习 3.弧长的公式： 练习 4.圆锥的定义及相关概念： 练习 提纲掣领，重点突出.
教后反思 教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活割补法、转换法等. 反思，更进一步提升.