1.1 条件概率
课时目标
结合古典概型，了解条件概率的定义.掌握条件概率的计算方法.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
1.条件概率
设A，B是两个事件，且P(A)>0，则称__________________为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.P(B|A)读作__________________________.
微点助解
P(B|A)，P(A|B)与P(AB)的区别与联系
(1)P(B|A)与P(A|B)都表示条件概率，但意义不同.前者表示A发生的条件下B发生的概率，后者表示B发生的条件下A发生的概率，其值未必相同.而P(AB)表示A，B同时发生的概率.
(2)由条件概率公式易得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A|B)P(B).
2.条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(B|A)∈________.
(2)如果B与C是两个互斥事件，则P[(B∪C)|A]＝______________________.
(3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝__________.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)P(B|A)＜P(AB).( )
(2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生.( )
(3)P(A|A)＝0.( )
(4)P(B|A)＝P(A|B).( )
2.已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)为( )
A. B.
C. D.
3.将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，设事件A为“第一次出现正面”，事件B为“第二次出现正面”，求P(A|B)与P(B|A).
题型(一) 条件概率的概念
[例1] 下列命题是条件概率的为( )
A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率
B.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
C.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率
听课记录：
判断是不是条件概率，主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的.
[针对训练]
1.[多选]下列命题是条件概率的为( )
A.某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一不同的项目，已知一名女生获得冠军，则高一的女生获得冠军的概率
B.掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率
C.在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，求抽到的是梅花5的概率
D.商场进行抽奖活动，某位顾客中奖的概率
2.已知事件A，B，若P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)＝( )
A. B.
C. D.
题型(二) 计算条件概率
方法1 缩小样本空间法
[例2] 甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件A：甲和乙选择的活动各不同，事件B：甲和乙恰好一人选择①，则P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
听课记录：
利用缩小样本空间法求条件概率的步骤
(1)缩：将原来的样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB.
(2)数：数出A中事件AB所包含的样本点数.
(3)算：利用P(B|A)＝求得结果.
方法2 定义法
[例3] 现有4名男生，2名女生，从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的条件下，女生乙也被选中的概率为________.
听课记录：
利用定义法计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率P(AB)和P(A).
(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示事件A，B同时发生.
[针对训练]
3.太行山脉有很多优美的旅游景点.现有甲、乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从C，D，E，F4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“甲和乙至少一人选择C”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
4.抛掷一枚质地均匀的骰子，样本空间Ω＝{1,2,3，4,5,6}，事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A|B).
题型(三) 互斥事件的条件概率
[例4] 在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
听课记录：
当所求事件的概率较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率.
[针对训练]
5.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机抽取两瓶，若取得的两瓶墨水中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率.
1.1 条件概率
课前环节
1.P(B|A)＝ A发生的条件下B发生的概率 2.(1)[0,1]
(2)P(B|A)＋P(C|A) (3)1－P(B|A)
[基点训练]
1.(1)× (2)√ (3)× (4)× 2.B
3.解：由题意可知，事件A包含的样本点为(正，正)，(正，反)，事件B包含的样本点为(正，正)，(反，正)，事件AB所包含的样本点为(正，正)，所以P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝.
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 选C 由条件概率的定义：某一事件已发生的条件下，另一事件发生的概率.选项A，甲、乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率；选项B，抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；选项C，甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；选项D，一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率.
[针对训练]
1.AC
2.选A 因为P(B)＝，P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝.
[题型(二)]
[例2] 选B 由题意知，n(A)＝A＝20，n(AB)＝CA＝8，
所以P(B|A)＝＝＝.
[例3] 解析：设事件A表示“男生甲被选中”，事件B表示“女生乙被选中”，则由题意可得P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.故在男生甲被选中的条件下，女生乙也被选中的概率为.
答案：
[针对训练]
3.选D 由题意知两位游客从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩，共有4×4＝16种，其中事件A的情况有4×4－3×3＝7种，事件A和事件B共同发生的情况有2×3＝6种，所以P(A)＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
4.解：由题意可得AB＝{2,5}，
由古典概型可知P(A)＝＝，
P(B)＝，P(AB)＝＝.
法一：定义法 由条件概率公式得
P(A|B)＝＝＝.
法二：缩小样本空间法
因为B＝{1,2,4,5,6}，AB＝{2,5}，
则n(B)＝5，n(AB)＝2，
所以P(A|B)＝＝.
[题型(三)]
[例4] 解：设“摸出的第一个球为红球”为事件A，“摸出的第二个球为黄球”为事件B，“摸出的第二个球为黑球”为事件C.
法一 ∵P(A)＝，P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝，
P(C|A)＝＝＝.
∵事件B与C互斥，
∴P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.故所求的概率为.
法二 ∵n(A)＝C＝9，
n[(B∪C)∩A]＝C＋C＝5，
∴P[(B∪C)|A]＝.故所求的概率为.
[针对训练]
5.解：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C，且B与C互斥，
易求得P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P[(B∪C)|A]
＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.(共67张PPT)
第六章
概 率
1．1
条件概率
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
结合古典概型，了解条件概率的定义．掌握条件概率的计算方法．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
A发生的条件下B发生的概率
[0,1]
P(B|A)＋P(C|A)
1－P(B|A)
基点训练
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)P(B|A)＜P(AB)． ( )
(2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生． ( )
(3)P(A|A)＝0. ( )
(4)P(B|A)＝P(A|B)． ( )
×
√
×
×
√
3．将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，设事件A为“第一次出现正面”，事件B为“第二次出现正面”，求P(A|B)与P(B|A)．
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 条件概率的概念
[例1] 下列命题是条件概率的为( )
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率
B．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
√
解析：由条件概率的定义：某一事件已发生的条件下，另一事件发生的概率．选项A，
甲、乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率；
选项B，抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；
选项C，甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；
选项D，一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率．
判断是不是条件概率，主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的．
方法技巧
1．[多选]下列命题是条件概率的为( )
A．某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一不同的项目，已知一名女生获得冠军，则高一的女生获得冠军的概率
B．掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率
C．在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，求抽到的是梅花5的概率
D．商场进行抽奖活动，某位顾客中奖的概率
针对训练
√
√
√
题型(二) 计算条件概率
√
方法技巧
方法2 定义法
[例3] 现有4名男生，2名女生，从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的条件下，女生乙也被选中的概率为_____．
方法技巧
针对训练
√
4．抛掷一枚质地均匀的骰子，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A|B)．
[例4] 在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
解：设“摸出的第一个球为红球”为事件A，“摸出的第二个球为黄球”为事件B，“摸出的第二个球为黑球”为事件C.
题型(三) 互斥事件的条件概率
当所求事件的概率较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．
方法技巧
5．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机抽取两瓶，若取得的两瓶墨水中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率．
解：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，
事件B为“另一瓶是红色”，
事件C为“另一瓶是黑色”，
针对训练
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7．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．
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8．投掷两枚质地均匀的骰子，已知点数不同，设两枚骰子点数之和为X，则X≤6的概率为________．
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9．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．
(1)求选到的是第一组学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．
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解：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．
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10．袋子中装有标号为1,2,3,4,5,6,7的7个大小、颜色完全相同的小球，从中不放回地摸两次球，每次一个，求第一次摸出奇数号球，第二次摸出偶数号球的概率是多少？
解：设“第一次摸出奇数号球”为事件B，“第二次摸出偶数号球”为事件A，“第一次摸出奇数号球同时第二次摸出偶数号球”为事件AB，
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解析：设“在200米比赛中站上领奖台”为事件A，“在100米比赛中站上领奖台”为事件B，
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14．某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在[20,70]内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：
年龄段类型 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
单次购物金额满188元 8 15 23 15 9
单次购物 金额不满 188元 2 3 5 9 11
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(1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动．若活动当日该超市预计有5 000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？
(2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率．
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(2)记事件A为“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元”，记事件B为“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元”，
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15．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.5 0.3 0.2
球队胜率 0.6 0.8 0.7
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(1)当球员甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当球员甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．
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解：(1)设A1表示“球员甲担当边锋”，A2表示“球员甲担当前卫”，A3表示“球员甲担当中场”，B表示“球队赢了某场比赛”，
则P(B)＝0.5×0.6＋0.3×0.8＋0.2×0.7＝0.30＋0.24＋0.14＝0.68，故该球队某场比赛输球的概率为1－0.68＝0.32.
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2课时跟踪检测(四十八) 条件概率
A级——综合提能
1.设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于( )
A. B.
C. D.
2.一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率是( )
A. B.
C. D.
3.有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为( )
A. B.
C. D.
4.[多选]某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设A为“下雨”，B为“刮四级以上的风”，则( )
A.P(B|A)＝ B.P(B|A)＝
C.P(A|B)＝ D.P(A|B)＝
5.已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且P[(A∪B)|C]＝，P(BC)＝，P(C)＝，则P(A|C)的值等于( )
A. B.
C. D.
6.设A，B为两个事件，若事件A和事件B同时发生的概率为，在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为，则事件B发生的概率为________.
7.某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________.
8.投掷两枚质地均匀的骰子，已知点数不同，设两枚骰子点数之和为X，则X≤6的概率为________.
9.某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人.全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人.从该班任选一人作学生代表.
(1)求选到的是第一组学生的概率；
(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率.
10.袋子中装有标号为1,2,3,4,5,6,7的7个大小、颜色完全相同的小球，从中不放回地摸两次球，每次一个，求第一次摸出奇数号球，第二次摸出偶数号球的概率是多少？
B级——应用创新
11.某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为( )
A. B.
C. D.
12.[多选]从装有a个红球和b个蓝球的袋中(a，b均不小于2)，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为A1，“第一次摸球时摸到蓝球”为A2，“第二次摸球时摸到红球”为B1，“第二次摸球时摸到蓝球”为B2，则下列说法正确的是( )
A.P(B1)＝
B.P(B2|A1)＋P(B1|A2)＝1
C.P(B1)＋P(B2)＝1
D.P(B1|A1)＋P(B2|A1)＝1
13.第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米、200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为，200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是________.
14.某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在[20,70]内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：
年龄段类型 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
单次购物金额满188元 8 15 23 15 9
单次购物金额不满188元 2 3 5 9 11
(1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5 000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？
(2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.
15.某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.5 0.3 0.2
球队胜率 0.6 0.8 0.7
(1)当球员甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当球员甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由.
课时跟踪检测(四十八)
1．选A P(B|A)＝＝＝.
2．选A 设一等品为a，b，c，二等品为A，B，事件“第二次取得一等品”所含样本点有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共12个，其中第一次取得二等品的样本点共有6个，所以所求概率为P＝＝.
3．选B 设“第一次取得次品”为事件A，“第二次取得正品”为事件B，则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝×＝.故选B.
4．选BC 由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝＝，P(A|B)＝＝＝.
5．选A 由题意，P(B|C)＝＝，由A，B是互斥事件知，
P[(A∪B)|C]＝P(A|C)＋P(B|C)，
所以P(A|C)＝P[(A∪B)|C]－P(B|C)
＝－＝，故选A.
6．解析：因为P(A|B)＝，
而P(AB)＝，P(A|B)＝，
所以P(B)＝＝＝.
答案：
7．解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，故P(B|A)＝＝.
答案：
8．解析：设事件A是“投掷两枚骰子，其点数不同”，事件B是“X≤6”，则P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.
答案：
9．解：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．
(1)由题意，得P(A)＝＝.
(2)法一 要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝.
法二 P(B)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(A|B)＝＝.
10．解：设“第一次摸出奇数号球”为事件B，“第二次摸出偶数号球”为事件A，“第一次摸出奇数号球同时第二次摸出偶数号球”为事件AB，从7个球中不放回地摸两次球，样本点总数为A＝7×6＝42，
事件B含有的样本点数为AA＝4×6＝24，于是P(B)＝＝，
事件AB含有的样本点数为AA＝4×3＝12，于是P(AB)＝＝，由条件概率公式，得P(A|B)＝＝＝，
所以第一次摸出奇数号球，第二次摸出偶数号球的概率为.
11．选B 用A表示事件“代表队中既有男生又有女生”，B表示事件“女生甲被选中”，则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为P(B|A)．
∵n(A)＝C－C－C＝30，
n(AB)＝CC＋C＝8＋6＝14，
∴P(B|A)＝＝＝.
12．选ACD 由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，P(B1)＝P(A1B1)＋P(A2B1)＝·＋·＝，P(B2)＝P(A1B2)＋P(A2B2)＝·＋·＝，从而P(B1)＋P(B2)＝1，故A、C正确；又因为P(B1|A1)＝＝＝，P(B2|A1)＝＝＝，故P(B1|A1)＋P(B2|A1)＝1，故D正确；P(B1|A2)＝＝＝，故P(B2|A1)＋P(B1|A2)＝＋＝≠1，故B错误．
13．解析：设“在200米比赛中站上领奖台”为事件A，“在100米比赛中站上领奖台”为事件B，
则P()＝，P()＝，P(∩)＝，
P(B)＝1－P()＝，
所以P(∪)＝P()＋P()－P(∩)
＝＋－＝，
则P(AB)＝1－P(∪)＝，
故P(B)＝＝＝.
答案：
14．解：(1)由题表可知，单次购物金额满188元的有8＋15＋23＋15＋9＝70人，
所以单次购物金额满188元的频率为＝，所以 5 000人中，单次购物金额满188元的大约有5 000×＝3 500人，故需准备3 500个环保购物袋．
(2)记事件A为“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元”，记事件B为“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元”，
所以P(A)＝＝，
P(AB)＝×＝，
所以P(B|A)＝＝＝，
故第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率为.
15．解：(1)设A1表示“球员甲担当边锋”，A2表示“球员甲担当前卫”，A3表示“球员甲担当中场”，B表示“球队赢了某场比赛”，则P(B)＝0.5×0.6＋0.3×0.8＋0.2×0.7＝0.30＋0.24＋0.14＝0.68，故该球队某场比赛输球的概率为1－0.68＝0.32.
(2)由(1)知P(B)＝0.68，
所以P(A2|B)＝＝＝，所以球员甲担当前卫的概率为.
(3)同(2)P(A1|B)＝＝＝，
P(A3|B)＝＝＝，
由于P(A1|B)>P(A2|B)>P(A3|B)，
所以应多安排球员甲担任边锋，来增大赢球的几率．
