1.3 全概率公式
课时目标
结合古典概型和具体实例，理解并掌握全概率公式.会利用全概率公式解决简单的应用问题.
1.全概率公式
(1)设Ω是试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一组事件，若
①BiBj＝____，其中i≠j(i，j＝1,2，…，n)，
②B1∪B2∪…∪Bn＝______，
则称B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分.
条件①表示每次试验B1，B2，…，Bn中________________；
条件②表示每次试验B1，B2，…，Bn________________.
(2)设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0(i＝1,2，…，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝__________________.称上式为全概率公式.
2.贝叶斯公式*
设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，P(Bi)>0(i＝1,2，…，n)，则P(Bi|A)＝.称上式为贝叶斯公式.贝叶斯公式也叫逆概率公式，其思想是执果溯因，即通过现象(结果)去推断事情发生的本质(原因).
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率求解问题，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.( )
(2)所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中，均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.( )
(3)全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率.( )
(4)全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为Ai＝Ω.( )
(5)若P(A)>0，P()>0，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|).( )
2.已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率的信息如下表所示.
品牌 甲 乙
占有率 60% 40%
优质率 95% 90%
从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是( )
A.93% B.94%
C.95% D.96%
3.某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为( )
A.0.068 9 B.0.049
C.0.024 8 D.0.02
题型(一) 全概率公式
[例1] 长假期间，某人从甲地到乙地驾车出行.已知共有3条路可选，第一条路堵车的概率为，第二条路堵车的概率为，第三条路堵车的概率为.求从甲地到乙地堵车的概率.
听课记录：
两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分，如A1，A2(或A与).
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2).
[针对训练]
1.已知A，B为两个随机事件，0
A. B.
C. D.
2.某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%，等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6,0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为( )
A.0.48 B.0.52
C.0.56 D.0.65
题型(二) 全概率公式的实际应用
[例2] 为了考查学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱.其中，甲箱中有2道概念叙述题，2道计算题；乙箱中有2道概念叙述题，3道计算题(所有题目均不相同).现有A，B两个同学来抽题回答，每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答.每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答(不在题目上作答).两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱.
(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，求第二题抽到的是概念叙述题的概率；
(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中.B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率.
听课记录：
当直接求事件A发生的概率不易求出时，可以采用化整为零的方式，即把事件A分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.
[针对训练]
3.设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球(每个球除颜色以外均相同).
(1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；
(2)先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率.
题型(三) 贝叶斯公式*
[例3] 玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0,1,2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件Bi表示“箱中恰好有i(i＝0,1,2)只残次品”，求：
(1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率P(A)；
(2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率P(B0|A).
听课记录：
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，要熟记这个特征.
[针对训练]
4.某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大？
1.3 全概率公式
?课前环节
1.(1) Ω 只能发生一个
必有一个发生 (2)P(Bi)P(A|Bi)
[基点训练]
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)? (5)√
2.选A 买到的是优质品的概率是0.6×0.95＋0.4×0.9＝0.93＝93%.
3.选C 随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为P＝0.5%×(1－2%)＋(1－0.5%)×2%＝0.024 8.
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解：设事件Bi(i＝1,2,3)表示“走第i条路”，事件A表示“堵车”.
则P(B1)＝P(B2)＝P(B3)＝，
P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，
P(A|B3)＝，所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝×＋×＋×＝.
所以从甲地到乙地堵车的概率为.
[针对训练]
1.选D 由题意可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.7P(A)＋0.3P()＝0.7P(A)＋0.3[1－P(A)]，即0.4＝0.4P(A)＋0.3，解得P(A)＝.
2.选B 设“种植一等麦种和二等麦种”的事件分别为A1，A2，“所结麦穗含有50粒以上麦粒”为事件B，依题意，得P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.2，P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.2，由全概率公式得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.8×0.6＋0.2×0.2＝0.52.故选B.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)设Ai表示“第i次从甲箱中抽到概念叙述题”，i＝1,2，则P(A1)＝，
P(A2|A1)＝，P(A2|1)＝，
所以第二题抽到的是概念叙述题的概率
P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(1)P(A2|1)＝×＋×＝.
(2)设事件B1表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题”，事件B2表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是计算题”，事件B3表示“A同学从甲箱中取出1道概念叙述题、1道计算题”，事件C表示“B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题”，
则P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝＝，
P(C|B1)＝＝，
P(C|B2)＝＝，
P(C|B3)＝＝，
所以P(C)＝P(B1)P(C|B1)＋P(B2)P(C|B2)＋P(B3)P(C|B3)＝×＋×＋×＝.
[针对训练]
3.解：(1)依题意知，从甲袋8个球中取4个球有C种取法，其中4个球中恰好有3个红球，
即恰好有3个红球、1个白球，有CC种取法，所以4个球中恰好有3个红球的概率
P＝＝.
(2)记A1为“从乙袋中取出1个红球、1个白球”，A2为“从乙袋中取出2个红球”，B为“从甲袋中取出2个红球”，
则P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝，
所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)由题设可知，P(B0)＝0.8，P(B1)＝0.1，P(B2)＝0.1，且P(A|B0)＝1，P(A|B1)＝＝，P(A|B2)＝＝，
所以P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝0.8×1＋0.1×＋0.1×＝.
即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为.
(2)因为P(B0|A)＝＝＝，所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是.
[针对训练]
4.解：设“抽查的人患有癌症”为事件C，“试验反应为阳性”为事件A，则“抽查的人不患癌症”为事件，已知P(C)＝0.005，P()＝0.995，P(A|C)＝0.95，P(A|)＝0.04，
由贝叶斯公式得
P(C|A)＝
＝≈0.106 6.
所以此人是癌症患者的概率约为0.106 6.(共65张PPT)
1．3
全概率公式
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
结合古典概型和具体实例，理解并掌握全概率公式．会利用全概率公式解决简单的应用问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
只能发生一个
必有一个发生
基点训练
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率求解问题，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题． ( )
(2)所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中，均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． ( )
√
√
√
?
√
2．已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率的信息如下表所示.
品牌 甲 乙
占有率 60% 40%
优质率 95% 90%
从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是( )
A．93% B．94%
C．95% D．96%
解析：买到的是优质品的概率是0.6×0.95＋0.4×0.9＝0.93＝93%.
√
3．某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为( )
A．0.068 9 B．0.049
C．0.024 8 D．0.02
解析：随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为P＝0.5%×(1－2%)＋(1－0.5%)×2%＝0.024 8.
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 全概率公式
方法技巧
针对训练
√
2．某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%，等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6,0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为( )
A．0.48 B．0.52
C．0.56 D．0.65
√
解析：设“种植一等麦种和二等麦种”的事件分别为A1，A2，“所结麦穗含有50粒以上麦粒”为事件B，依题意，得P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.2，P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.2，由全概率公式得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.8×0.6＋0.2×0.2＝0.52.故选B.
[例2] 为了考查学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱中有2道概念叙述题，2道计算题；乙箱中有2道概念叙述题，3道计算题(所有题目均不相同)．现有A，B两个同学来抽题回答，每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答(不在题目上作答)．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．
题型(二) 全概率公式的实际应用
(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，求第二题抽到的是概念叙述题的概率；
(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．
解：(1)设Ai表示“第i次从甲箱中抽到概念叙述题”，i＝1,2，
当直接求事件A发生的概率不易求出时，可以采用化整为零的方式，即把事件A分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率．
方法技巧
3．设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球(每个球除颜色以外均相同)．
(1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；
(2)先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．
针对训练
(2)记A1为“从乙袋中取出1个红球、1个白球”，A2为“从乙袋中取出2个红球”，B为“从甲袋中取出2个红球”，
[例3] 玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只．假设各箱含有0,1,2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买．设事件A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件Bi表示“箱中恰好有i(i＝0,1,2)只残次品”，求：
(1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率P(A)；
(2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率P(B0|A)．
题型(三) 贝叶斯公式*
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，要熟记这个特征．
方法技巧
4．某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大？
针对训练
P(A|C)＝0.95，P(A|)＝0.04，
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
2
√
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
2
3
4
√
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
3．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件数是第二台加工零件数的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为( )
A．0.21 B．0.06
C．0.94 D．0.95
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
4．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为( )
A．0.3 B．0.32
C．0.68 D．0.7
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：设A1表示“乙球员担当前锋”，A2表示“乙球员担当中锋”，A3表示“乙球员担当后卫”，A4表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．
则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.2×0.6＋0.1×0.2＝0.32.
所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为1－0.32＝0.68.
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6．现有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，则所取到的是女生报名表的概率为________．
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8．甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为______．
9
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10．某中学高二年级参加市数学联考，其中甲、乙两个班级优秀率分别为30%和40%，现在先从甲、乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学．选取甲、乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的4个白球、2个黑球，从中摸出1个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班．
(1)分别求出选取甲班、乙班的概率；
(2)求选出的这名同学数学成绩优秀的概率．
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12．[多选]甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以A1，A2和A3表示“由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球”的事件；再从乙盒子中随机取出一球，以B表示“由乙盒子取出的球是红球”的事件，则下列结论正确的是( )
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
√
√
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析：根据题意得，A1∩A2＝ ，A2∩A3＝ ，A1∩A3＝ ，故由互斥事件的定义可得A1，A2，A3两两互斥，故A正确．
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13．甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1个白球和1个黑球(除颜色外，球的大小、形状完全相同)．先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．分别以A1，A2，A3表示“由甲袋取出的球是红球，白球和黑球”的事件，以B表示“由乙袋取出的球是红球”的事件，则P(B|A1)＝______，P(B)＝______.
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9
1
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)设C1＝“第n－1次出现红球”，C2＝“第n－1次出现绿球”，D＝“第n次出现红球”，
9课时跟踪检测(五十) 全概率公式
A级——综合提能
1.在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为( )
A. B.
C. D.
2.已知P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝0，P(B)＝，则P(B|)＝( )
A. B.
C. D.
3.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件数是第二台加工零件数的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为( )
A.0.21 B.0.06
C.0.94 D.0.95
4.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2,0.5,0.2,0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.6,0.2.当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为( )
A.0.3 B.0.32
C.0.68 D.0.7
5.若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈N)、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则x的最大值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
6.现有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，则所取到的是女生报名表的概率为________.
7.已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于______.
8.甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为______.
9.甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛.在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为.
(1)甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲至少有两轮获胜的概率；
(2)在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率.
10.某中学高二年级参加市数学联考，其中甲、乙两个班级优秀率分别为30%和40%，现在先从甲、乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学.选取甲、乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的4个白球、2个黑球，从中摸出1个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班.
(1)分别求出选取甲班、乙班的概率；
(2)求选出的这名同学数学成绩优秀的概率.
B级——应用创新
11.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为( )
A. B.
C. D.
12.[多选]甲盒子中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒子中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同).先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，分别以A1，A2和A3表示“由甲盒子取出的球是红球，白球和黑球”的事件；再从乙盒子中随机取出一球，以B表示“由乙盒子取出的球是红球”的事件，则下列结论正确的是( )
A.A1，A2，A3是两两互斥的事件
B.P(B)＝
C.事件B与事件A1相互独立
D.P(B|A1)＝
13.甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1个白球和1个黑球(除颜色外，球的大小、形状完全相同).先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球.分别以A1，A2，A3表示“由甲袋取出的球是红球，白球和黑球”的事件，以B表示“由乙袋取出的球是红球”的事件，则P(B|A1)＝______，P(B)＝______.
14.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.
15.某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
(1)求P2的值；
(2)若n∈N，n≥2，试用Pn－1表示Pn.
课时跟踪检测(五十)
1．选B 设“甲中奖”为A事件，“乙中奖”为B事件，则P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)·P()＝×＋×＝，故选B.
2．选B 由全概率公式得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×0＋×P(B|)＝，解得P(B|)＝，故选B.
3．选D 令事件B表示“取到的零件为合格品”，事件Ai表示“零件为第i台机床的产品”，i＝1,2.由全概率公式得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.96＋×0.93＝0.95.
4．选C 设A1表示“乙球员担当前锋”，A2表示“乙球员担当中锋”，A3表示“乙球员担当后卫”，A4表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.2×0.6＋0.1×0.2＝0.32.
所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为1－0.32＝0.68.
5．选C 设“从甲盒取出白球，红球，黑球”的事件分别为A1，A2，A3，“从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同”的事件为B，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝·＋·＋·＝≥，解得x≤6，则x的最大值为6.
6．解析：依题意，随机地取一个地区的报名表选到每个地区的概率为，所以取到的是女生报名表的概率为×＋×＋×＝.
答案：
7．解析：因为P(A)＝，所以P()＝.由全概率公式得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|)＝×＋×＝＝.
答案：
8．解析：设事件A表示“从乙袋中取出的是白球”，事件Bi表示“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2.由全概率公式得P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＝·＋·＋·＝.
答案：
9．解：(1)设“甲至少有两轮获胜”为事件A，
则P(A)＝3×2×＋3＝.
(2)设“选中甲与机器人比赛”为事件A1，“选中乙与机器人比赛”为事件A2，“战胜机器人”为事件B，根据题意得P(A1)＝P(A2)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝.
所以战胜机器人的概率为.
10．解：(1)记事件A1＝“选取甲班”，事件A2＝“选取乙班”，则P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，故选取甲、乙两个班级的概率分别为和.
(2)由(1)可知A1＝“这名同学来自甲班”，A2＝“这名同学来自乙班”，B＝“这名同学数学成绩优秀”，则Ω＝A1∪A2，且A1与A2互斥，根据题意得，P(A1)＝，P(A2)＝，
P(B|A1)＝30%＝，P(B|A2)＝40%＝，
由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝.
因此，选出的这名同学数学成绩优秀的概率为.
11．选C 令A1＝“玩手机时间超过1小时的学生”，A2＝“玩手机时间不超过1小时的学生”，B＝“任意调查一名学生，此人近视”，Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.9，P(B|A1)＝0.6，P(B)＝0.2，依题意有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.1×0.6＋0.9×P(B|A2)＝0.2，解得P(B|A2)＝＝，故从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，他近视的概率为.
12．选AD 根据题意得，A1∩A2＝ ，A2∩A3＝ ，A1∩A3＝ ，故由互斥事件的定义可得A1，A2，A3两两互斥，故A正确．P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝，
又P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
P(B|A3)＝，故P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝×＋×＋×＝，故B错误，D正确．P(B)P(A1)＝×＝，P(BA1)＝P(B|A1)P(A1)＝，故P(B)P(A1)≠P(BA1)，所以事件B与事件A1不相互独立，故C错误．故选AD.
13．解析：根据题意，得P(A1)＝＝，
P(A2)＝＝，P(A3)＝，
P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，
P(B|A3)＝，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×＋×＋×＝.
答案：
14．解：(1)事件“从甲箱中任取2个产品”包含的样本点数为C＝＝28，事件“这2个产品都是次品”包含的样本点数为C＝3，
∴这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥，
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，P(A|B1)＝，
P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝×＋×＋×＝.
15．解：(1)设A1＝“第1次出现红球”，A2＝“第1次出现绿球”，B＝“第2次出现红球”，
则P(A1)＝P(A2)＝，P(B|A1)＝，
P(B|A2)＝，由全概率公式得P2＝P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝×＋×＝.
(2)设C1＝“第n－1次出现红球”，C2＝“第n－1次出现绿球”，D＝“第n次出现红球”，
则P(C1)＝Pn－1，P(C2)＝1－Pn－1，
P(D|C1)＝，P(D|C2)＝.
由全概率公式得
Pn＝P(D)＝P(C1)P(D|C1)＋P(C2)P(D|C2)＝Pn－1×＋(1－Pn－1)×＝－·Pn－1＋(n∈N，n≥2)．