2.2 离散型随机变量的分布列
课时目标
1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.
2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.
4.理解两点分布.
1.离散型随机变量的概念
取值能够______________出来的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为__________________________，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…). ①
①式也可以列成表，如表：
xi x1 x2 … xn …
P(X＝xi) p1 p2 … pn …
表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列.
3.离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi0(i＝1,2，…，n，…)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝.
4.伯努利试验
若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为________，则称这样的试验为伯努利试验.如果随机变量X的分布列如表：
X 1 0
P p q
其中0
[基点训练]
1.[多选]下列随机变量是离散型随机变量的是( )
A.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数
B.某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
C.某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
D.某高中每年参加高考的人数
2.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是( )
X 3 4 5 9
P ＋a
A. B.
C. D.
3.在射击试验中，令X＝如果射中的概率是0.9，则随机变量X的分布列为________.
题型(一) 离散型随机变量的判断
[例1] 下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由.
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(4)一瓶果汁的容量为500±2 mL.
听课记录：
判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果.
(2)将随机试验的结果数量化.
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
[针对训练]
1.指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：
(1)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；
(2)在西安至成都的高铁线上，每隔500 m有一电线铁塔，将电线铁塔进行编号，则某一电线铁塔的编号X；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位X.
题型(二) 离散型随机变量的分布列
[例2] 每年9月第三个公休日是全国科普日.某校为迎接2024年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答(每道题被选中的概率相等)，设随机变量X表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数.
(1)求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；
(2)求随机变量X的分布列.
听课记录：
求离散型随机变量的分布列关键有三点
(1)随机变量的取值.
(2)每一个取值所对应的概率.
(3)用所有概率之和是否为1来检验(此种情况计算概率时不可用对立事件的概率).
[针对训练]
2.一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球.
(1)求取出的3个球恰有一个红球的概率；
(2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列.
题型(三) 分布列的性质及其应用
[例3] 设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5).
(1)求常数a的值；
(2)求P.
听课记录：
[变式拓展]
本例条件不变，求P.
分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
[针对训练]
3.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(2)求随机变量ξ＝X2的分布列.
2.2 离散型随机变量的分布列
?课前环节
1.一一列举 2.pi(i＝1,2，…，n，…)
3.(1)> (2)1 4.1－p 1－p
[基点训练]
1.选AD 对于A，从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；对于B，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列出；对于C，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出；对于D，每年参加高考的人数可一一列出，符合离散型随机变量的定义.
2.选C 由题意可得＋＋a＋＋＝1，解得a＝.
3.解析：由题意知X服从两点分布，故随机变量X的分布列为
X 0 1
P 0.1 0.9
答案：
X 0 1
P 0.1 0.9
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解：(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.
(4)由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量.
[针对训练]
1.解：(1)不是离散型随机变量.因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出.
(2)是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始，可以一一列出.
(3)不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)设“该选手恰好选中一道‘智慧生活题’”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)由题意可知X＝0,1,2，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为
X 0 1 2
P
[针对训练]
2.解：(1)设“取出的3个球恰有一个红球”为事件A，则P(A)＝＝＝.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
故X的分布列为
X 0 1 2
P
[题型(三)]
[例3] 解：由题意知，所给分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝.
(2)法一 P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
法二 P＝1－P
＝1－＝.
[变式拓展]
解：∵∴P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
[针对训练]
3.解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3，
列表为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
即随机变量η的可能取值为0,1,2,3，
可得P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
故η＝|X－1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(2)列表得
X 0 1 2 3 4
X2 0 1 4 9 16
即随机变量ξ＝X2的可能取值为0,1,4,9,16.
从而ξ＝X2的分布列为
ξ 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3(共68张PPT)
2.2
离散型随机变量的分布列
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念．
2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
3．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．
4.理解两点分布．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1．离散型随机变量的概念
取值能够___________出来的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为______________________，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n，…)． ①
一一列举
pi(i＝1,2，…，n，…)
①式也可以列成表，如表：
xi x1 x2 … xn …
P(X＝xi) p1 p2 … pn …
表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列．
3．离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi____0(i＝1,2，…，n，…)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝____.
>
1
4．伯努利试验
若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为_______，则称这样的试验为伯努利试验．如果随机变量X的分布列如表：
1－p
X 1 0
P p q
其中01－p
基点训练
1．[多选]下列随机变量是离散型随机变量的是( )
A．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数
B．某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
C．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
D．某高中每年参加高考的人数
√
√
解析：对于A，从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；
对于B，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列出；
对于C，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出；
对于D，每年参加高考的人数可一一列出，符合离散型随机变量的定义．
2．下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是( )
X 3 4 5 9
P ＋a
√
X 0 1
P 0.1 0.9
答案：
X 0 1
P 0.1 0.9
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(4)一瓶果汁的容量为500±2 mL.
题型(一) 离散型随机变量的判断
解：(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量．
(4)由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量．
判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果．
(2)将随机试验的结果数量化．
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
方法技巧
1．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由：
(1)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；
(2)在西安至成都的高铁线上，每隔500 m有一电线铁塔，将电线铁塔进行编号，则某一电线铁塔的编号X；
(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位X.
针对训练
解：(1)不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出．
(2)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始，可以一一列出．
(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
[例2] 每年9月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接2024年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答(每道题被选中的概率相等)，设随机变量X表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数．
(1)求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；
(2)求随机变量X的分布列．
题型(二) 离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量的分布列关键有三点
(1)随机变量的取值．
(2)每一个取值所对应的概率．
(3)用所有概率之和是否为1来检验(此种情况计算概率时不可用对立事件的概率)．
方法技巧
2．一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球．
(1)求取出的3个球恰有一个红球的概率；
(2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列．
针对训练
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2，
题型(三) 分布列的性质及其应用
解：由题意知，所给分布列为
变式拓展
分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
方法技巧
3．设离散型随机变量X的分布列为
针对训练
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(2)求随机变量ξ＝X2的分布列．
解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3，
列表为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
即随机变量η的可能取值为0,1,2,3，
可得P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
故η＝|X－1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
(2)列表得
X 0 1 2 3 4
X2 0 1 4 9 16
即随机变量ξ＝X2的可能取值为0,1,4,9,16.
从而ξ＝X2的分布列为
ξ 0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1．下列叙述中，是离散型随机变量的为( )
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
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解析：掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为5，是常量，A错误；
等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；
连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；
事件发生的可能性不是随机变量，D错误．故选C.
2．[多选]如果ξ是一个离散型随机变量，则真命题是( )
A．ξ取每一个可能值的概率都是非负实数
B．ξ取所有可能值的概率之和为1
C．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
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解析：随机变量ξ取每一个可能值的概率都是非负实数，所以A正确；
根据分布列的性质，随机变量ξ取所有可能值的概率之和为1，所以B正确；
根据分布列的性质，可得随机变量ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和，所以C正确；
根据分布列的性质，随机变量ξ在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，所以D不正确．
3．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝( )
A．0.2 B．0.8
C．1 D．0
解析：由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，所以P(Y＝－2)＝0.8.
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4．某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则P(ξ≥9)＝( )
ξ 8 9 10
P 0.36 a 0.33
A．0.69 B．0.67
C．0.66 D．0.64
解析： P(ξ≥9)＝1－P(ξ＝8)＝1－0.36＝0.64，故选D.
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5．一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
A.
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解析：随机变量ξ的可能取值为1,2,3.
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6．若随机变量X服从两点分布，P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝3a，则a＝_____.
解析：因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝3a，
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7．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2
P 0.36 1－2q q
则常数q的值为________．
解析：由已知得0.36＋1－2q＋q＝1，解得q＝0.36.
0.36
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8．随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
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9．已知离散型随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
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解：(1)由题意，知3X＋2＝－4，－1,2,5,8，
则3X＋2的分布列为
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(2)由题意，知|X－1|＝0,1,2,3，
则|X－1|的分布列为
|X－1| 0 1 2 3
P 0.3 0.4 0.1 0.2
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(3)由题意，知X2＝0,1,4，
则X2的分布列为
X2 0 1 4
P 0.1 0.4 0.5
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10．从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记－1分，取出黄球记零分．
(1)以X表示所得分数，求X的分布列；
(2)求得分X>0时的概率．
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解：(1)依题意，当取到2个白球时，随机变量X＝－2；
当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X＝－1；
当取到2个黄球时，随机变量X＝0；
当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X＝1；
当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X＝2；
当取到2个黑球时，随机变量X＝4，
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所以随机变量X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4，
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所以X的分布列为
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√
√
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3
4
2课时跟踪检测(五十二) 离散型随机变量的分布列
A级——综合提能
1.下列叙述中，是离散型随机变量的为( )
A.将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B.某人早晨在车站等出租车的时间
C.连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D.袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
2.[多选]如果ξ是一个离散型随机变量，则真命题是( )
A.ξ取每一个可能值的概率都是非负实数
B.ξ取所有可能值的概率之和为1
C.ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和
D.ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
3.若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝( )
A.0.2 B.0.8
C.1 D.0
4.某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则P(ξ≥9)＝( )
ξ 8 9 10
P 0.36 a 0.33
A.0.69 B.0.67
C.0.66 D.0.64
5.一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
A.
ξ 1 2 3
P
B.
ξ 1 2 3 4
P
C.
ξ 1 2 3
P
D.
ξ 1 2 3
P
6.若随机变量X服从两点分布，P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝3a，则a＝________.
7.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2
P 0.36 1－2q q
则常数q的值为________.
8.随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c满足a＋c＝2b，则P(|X|＝1)＝________.
9.已知离散型随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(1)求3X＋2的分布列；
(2)求|X－1|的分布列；
(3)求X2的分布列.
10.从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记－1分，取出黄球记零分.
(1)以X表示所得分数，求X的分布列；
(2)求得分X>0时的概率.
B级——应用创新
11.一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色则停止抽取，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则P(X≤2)＝( )
A. B. C. D.
12.[多选]已知ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.则下列结论正确的是( )
A.共有24对相交棱 B.P(ξ＝0)＝
C.P(ξ＝)＝ D.P(ξ＝1)＝
13.[多选]一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量ξ，则下列说法正确的是( )
A.P(ξ＝0)＝ B.P(ξ＝1)＝
C.P(ξ＝1)＝ D.P(ξ＝2)＝
14.已知离散型随机变量X的分布列如表所示，当＋取最小值时，x＝________.
X 1 2 3
P x y
15.第33届夏季奥林匹克运动会于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和－p，其中(1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？
(2)如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；
(3)在(2)的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列.
课时跟踪检测(五十二)
1．选C 掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为5，是常量，A错误；等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；事件发生的可能性不是随机变量，D错误．故选C.
2．选ABC 随机变量ξ取每一个可能值的概率都是非负实数，所以A正确；根据分布列的性质，随机变量ξ取所有可能值的概率之和为1，所以B正确；根据分布列的性质，可得随机变量ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和，所以C正确；根据分布列的性质，随机变量ξ在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，所以D不正确．
3．选B 由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，所以P(Y＝－2)＝0.8.
4．选D P(ξ≥9)＝1－P(ξ＝8)＝1－0.36＝0.64，故选D.
5．选C 随机变量ξ的可能取值为1,2,3.
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，故选C.
6．解析：因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝3a，所以2a＋3a＝1，解得a＝.
答案：
7．解析：由已知得0.36＋1－2q＋q＝1，解得q＝0.36.
答案：0.36
8．解析：因为a＋c＝2b，所以a＋b＋c＝3b＝1，b＝，a＋c＝，所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝.
答案：
9．解：(1)由题意，知3X＋2＝－4，－1,2,5,8，
则3X＋2的分布列为
3X＋2 －4 －1 2 5 8
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)由题意，知|X－1|＝0,1,2,3，
则|X－1|的分布列为
|X－1| 0 1 2 3
P 0.3 0.4 0.1 0.2
(3)由题意，知X2＝0,1,4，
则X2的分布列为
X2 0 1 4
P 0.1 0.4 0.5
10．解：(1)依题意，当取到2个白球时，随机变量X＝－2；
当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X＝－1；
当取到2个黄球时，随机变量X＝0；
当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X＝1；
当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X＝2；
当取到2个黑球时，随机变量X＝4，
所以随机变量X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4，
则P(X＝－2)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 4
P
(2)由(1)得P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＋＝，
所以得分X>0时的概率为.
11．选A 令X＝k表示前k个球为白球，则第(k＋1)个球为红球，此时P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝×＝，P(X＝2)＝××＝，则P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝.
12．选AC 若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有CC＝24对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝，故A正确，B错误；若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，故C正确，D错误．故选AC.
13．选CD ξ＝0，分为第一次即取到黑球，或第一次摸到红球，第二次摸到黑球，或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球，故P(ξ＝0)＝＋×＋××＝，A错误；ξ＝1，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球，或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球，或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球，故P(ξ＝1)＝×＋2×××＋3××××＝，B错误，C正确；ξ的所有可能取值有0,1,2，故P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝，D正确．
14．解析：由题意得，x＋y＝(x>0，y>0)，所以＋＝2(x＋y)＝2≥2×(5＋4)＝18，当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时取等号，此时＋取得最小值18.
答案：
15．解：(1)甲进入决赛的概率为×＝，乙进入决赛的概率为×＝，
丙进入决赛的概率为p·＝－2＋，因为所以－2＋<，
显然，乙进入决赛的概率最大．所以乙进入决赛的可能性更大．
(2)因为甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，
所以××＋××p·＋××p·＝，
整理得12p2－16p＋5＝0，
解得p＝或p＝，
因为(3)由(2)知，丙进入决赛的概率为
·＝，
所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为，，.
根据题意，得到随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝3)＝××＝，
则P(ξ＝1)＝1－－－＝，
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P