3.1 离散型随机变量的均值(课件 学案 练习)高中数学北师大版(2019)选择性必修 第一册 第六章

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名称 3.1 离散型随机变量的均值(课件 学案 练习)高中数学北师大版(2019)选择性必修 第一册 第六章
格式 zip
文件大小 1.4MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-19 20:41:49

文档简介

3.1 离散型随机变量的均值
课时目标
1.理解离散型随机变量的均值的概念和意义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值.
2.掌握离散型随机变量的均值的性质和两点分布的均值.
3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题.
1.离散型随机变量的均值(或数学期望)
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称EX=____________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).它反映了离散型随机变量X取值的____________.
微点助解
理解均值要注意三点
(1)离散型随机变量的均值是算术平均数概念的推广,是概率意义下的平均,由于离散型随机变量的所有取值的概率满足i=1,所以均值是以概率pi为权数的加权平均数.
(2)EX是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量,可以取不同的值,但EX是X的一个特征数,它是不变的,它描述X取值的平均水平.
(3)EX与随机变量X本身具有相同的单位.
2.两点分布的均值
一般地,若随机变量X服从参数为p的两点分布,则EX=  .
3.均值的性质
若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量,则
(1)Y也是随机变量.
(2)EY=__________.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”)
(1)随机变量X的数学期望EX是个变量,其随X的变化而变化.(  )
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平.(  )
(3)若随机变量X的数学期望EX=2,则E(2X)=4.(  )
(4)随机变量X的均值EX=.(  )
2.已知离散型随机变量Y的分布列如下:
Y 0 1 2
P
则数学期望EY=(  )
A. B.
C.1 D.2
3.已知X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 a
则E(2X+0.2)=(  )
A.4.8 B.5
C.6 D.8.4
4.某射手射击所得环数ξ的分布列如下表:
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知ξ的数学期望Eξ=8.9,则y的值为(  )
A.0.2 B.0.5
C.0.4 D.0.3
题型(一) 离散型随机变量的均值
[例1] 某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值.
听课记录:
[方法技巧] 求离散型随机变量X的均值的步骤
[针对训练]
1.端午节吃粽子是我国的传统习俗,一盘中有8个粽子,其中豆沙粽2个,蜜枣粽6个,这两种粽子的外观完全相同,从中随机取出3个.
(1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率;
(2)设X表示取到豆沙粽的个数,求随机变量X的分布列与数学期望.
题型(二) 离散型随机变量均值的性质
[例2] 已知随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2
P m
若Y=-2X,则EY=________.
听课记录:
[变式拓展]
1.本例条件不变,若Y=2X-3,求EY.
2.本例条件不变,若Y=aX+3,且EY=-,求a的值.
  求随机变量Y=aX+b的均值的方法
(1)定义法:先列出Y的分布列,再求均值.
(2)性质法:直接套用公式EY=E(aX+b)=aEX+b求解即可. 
[针对训练]
2.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,则以下正确的是(  )
A.EX= B.E(2X+3)=
C.E(2X+2)= D.E(2X+1)=
3.[多选]已知随机变量X的分布列为
X 4 a 9 10
P 0.3 0.1 b 0.2
若EX=7.5,则以下结论正确的是(  )
A.a无法确定 B.b=0.4
C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9
题型(三) 离散型随机变量的均值在决策中的应用
[例3] 某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元,在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元,现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到其频数分布直方图(如图所示).若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?并说明理由.
听课记录:
  解答概率模型的三个步骤
(1)建模:把实际问题概率模型化.
(2)解模:确定分布列,计算随机变量的均值.
(3)回归:利用所得数据,对实际问题作出判断.  [针对训练]
4.某企业计划加大技术革新力度,需更换一台设备.现有两种品牌的设备可供选择,A品牌设备需投入60万元,B品牌设备需投入90万元,企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查:
A品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.4 0.3 0.2 0.1
B品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.1 0.3 0.4 0.2
更换设备技术革新后,每年估计可增加效益100万元,请从年均收益的角度分析,为该企业提出建议.
3.1 离散型随机变量的均值
?课前环节
1.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
平均水平 2.p 3.(2)aEX+b
[基点训练]
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.选B 由题意可得
EY=0×+1×+2×=.
3.B
4.选C 由分布列的性质可知,
解得
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解:X的取值分别为1,2,3,4,
X=1,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,故P(X=1)=0.6.
X=2,表明李明在第一次考试未通过,第二次通过了,故P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28.
X=3,表明李明在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096.
X=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过,
故P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024.
所以李明一年内参加考试次数X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以X的均值EX=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
[针对训练]
1.解:(1)依题意,既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为=.
(2)X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以EX=0×+1×+2×=.
[题型(二)]
[例2] 解析:由离散型随机变量分布列的性质,得+++m+=1,解得m=,
∴EX=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.由Y=-2X,得EY=-2EX=-2×=.
答案:
[变式拓展]
1.解:由公式E(aX+b)=aEX+b及EX=-,得EY=E(2X-3)=2EX-3=2×-3=-.
2.解:因为EY=E(aX+3)=aEX+3=-a+3=-,所以a=15.
[针对训练]
2.选D 因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,则P(X=1)=,故EX=0×+1×=,故A错误;E(2X+3)=2EX+3=,故B错误;E(2X+2)=2EX+2=,故C错误;E(2X+1)=2EX+1=,故D正确.
3.选BCD 由分布列的性质,可知0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,故B正确;∵EX=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=6.8+0.1a=7.5,∴a=7,故A不正确;由均值的性质,可知E(aX)=aEX=7×7.5=52.5,故C正确;E(X+b)=EX+b=7.5+0.4=7.9,故D正确.故选BCD.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)由频数分布直方图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,
X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,
从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04,
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16,
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24,
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24,
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2,
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08,
P(X=22)=0.2×0.2=0.04,
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),
当n=19时,EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040,
当n=20时,EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.
因为4 040<4 080,可知当n=19时所需费用的均值小于n=20时所需费用的均值,故应选n=19.
[针对训练]
4.解:设更换为A品牌设备使用的平均年限为X,则EX=2×0.4+3×0.3+4×0.2+5×0.1=3(年),更换为A品牌设备年均收益为3×100-60=240(万元);
设更换为B品牌设备使用的平均年限为Y,则EY=2×0.1+3×0.3+4×0.4+5×0.2=3.7(年),
更换为B品牌设备年均收益为3.7×100-90=280(万元).所以建议更换为B品牌设备.(共70张PPT)
3.1
离散型随机变量的均值
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.理解离散型随机变量的均值的概念和意义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值.
2.掌握离散型随机变量的均值的性质和两点分布的均值.
3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.离散型随机变量的均值(或数学期望)
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称EX=_______________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).它反映了离散型随机变量X取值的________.
x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
平均水平
(2)EX是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量,可以取不同的值,但EX是X的一个特征数,它是不变的,它描述X取值的平均水平.
(3)EX与随机变量X本身具有相同的单位.
2.两点分布的均值
一般地,若随机变量X服从参数为p的两点分布,则EX=____.
3.均值的性质
若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量,则
(1)Y也是随机变量.
(2)EY=_________.
p
aEX+b
基点训练
× 
× 
√ 
×
2.已知离散型随机变量Y的分布列如下:

3.已知X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 a

4.某射手射击所得环数ξ的分布列如下表:
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y

解析:由分布列的性质可知,
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值.
题型(一) 离散型随机变量的均值
解:X的取值分别为1,2,3,4,
X=1,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,故P(X=1)=0.6.
X=2,表明李明在第一次考试未通过,第二次通过了,故P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28.
X=3,表明李明在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096.
X=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过,
故P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024.
所以李明一年内参加考试次数X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
求离散型随机变量X的均值的步骤
方法技巧
1.端午节吃粽子是我国的传统习俗,一盘中有8个粽子,其中豆沙粽2个,蜜枣粽6个,这两种粽子的外观完全相同,从中随机取出3个.
(1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率;
(2)设X表示取到豆沙粽的个数,求随机变量X的分布列与数学期望.
针对训练
(2)X的可能取值为0,1,2,
[例2] 已知随机变量X的分布列为
题型(二) 离散型随机变量均值的性质
1.本例条件不变,若Y=2X-3,求EY.
变式拓展
求随机变量Y=aX+b的均值的方法
(1)定义法:先列出Y的分布列,再求均值.
(2)性质法:直接套用公式EY=E(aX+b)=aEX+b求解即可.  
方法技巧
针对训练

3.[多选]已知随机变量X的分布列为
X 4 a 9 10
P 0.3 0.1 b 0.2



解析:由分布列的性质,可知0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,故B正确;∵EX=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=6.8+0.1a=7.5,∴a=7,故A不正确;
由均值的性质,可知E(aX)=aEX=7×7.5=52.5,故C正确;
E(X+b)=EX+b=7.5+0.4=7.9,故D正确.故选BCD.
[例3] 某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰,机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元,在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元,现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得到其频数分布直方图(如图所示).若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
题型(三) 离散型随机变量的均值在决策中的应用
解:(1)由频数分布直方图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,
X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,
从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04,
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16,
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24,
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24,
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2,
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08,
P(X=22)=0.2×0.2=0.04,
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
因为4 040<4 080,
可知当n=19时所需费用的均值小于n=20时所需费用的均值,故应选n=19.
解答概率模型的三个步骤
(1)建模:把实际问题概率模型化.
(2)解模:确定分布列,计算随机变量的均值.
(3)回归:利用所得数据,对实际问题作出判断.  
方法技巧
4.某企业计划加大技术革新力度,需更换一台设备.现有两种品牌的设备可供选择,A品牌设备需投入60万元,B品牌设备需投入90万元,企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查:
针对训练
A品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.4 0.3 0.2 0.1

B品牌的使用年限 2 3 4 5
概率 0.1 0.3 0.4 0.2
更换设备技术革新后,每年估计可增加效益100万元,请从年均收益的角度分析,为该企业提出建议.
解:设更换为A品牌设备使用的平均年限为X,
则EX=2×0.4+3×0.3+4×0.2+5×0.1=3(年),
更换为A品牌设备年均收益为3×100-60=240(万元);
设更换为B品牌设备使用的平均年限为Y,
则EY=2×0.1+3×0.3+4×0.4+5×0.2=3.7(年),
更换为B品牌设备年均收益为3.7×100-90=280(万元).所以建议更换为B品牌设备.
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.已知离散型随机变量X的分布列为
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2.已知随机变量X服从两点分布,EX=0.6,则其成功概率为(  )
A.0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.6
解析:∵随机变量X服从两点分布,设成功的概率为p,
∴EX=0×(1-p)+1×p=p=0.6.
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3.设随机变量X的分布列如下表,且EX=1.6,则a-b 等于(  )
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1

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解析:由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8.又由EX=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,得a+2b=1.3,解得a=0.3,b=0.5,则a-b=-0.2.
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4.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,
经一段时间考查后,X,Y的分布列分别是
X 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1

Y 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
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据此判定(  )
A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量相同 D.无法判定
解析:由分布列可得EX=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,EY=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7,∵EY>EX,∴甲比乙质量好.

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5.[多选]设p为非负实数,随机变量X的分布列为


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6.学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选中,若X表示选中高二(1)班的候选人的人数,则EX的值为________.
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7.设ξ的分布列为
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8.一个盒子里装有5张卡片,其中有红色卡片3张,白色卡片2张,从盒子中任取2张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(1)求取出的2张卡片中,至少有1张红色卡片的概率;
(2)在取出的2张卡片中,白色卡片数设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
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B级——应用创新
10.已知随机变量ξ的分布列如表所示,则Eξ的最大值是(  )

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11.某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜错得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X的均值为(  )
A.0.9 B.0.8
C.1.2 D.1.1

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X 0 1 2
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12.身高体重指数(BMI)这个概念,是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出,它的计算公式如下:身高体重指数(BMI)=体重(kg)÷身高(m)的平方.成人的BMI数值低于18.5,则体重过轻,在[18.5,24)则正常;在[24,28)为过重,在[28,32)为肥胖,不低于32为非常肥胖,且专家指出最理想的身高体重指数是22.某科研小组设计了一套方案,并在两类人群中进行对比实验,
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其中科学饮食组采用科学饮食方案,对照组采用随意饮食方案.半年后,分别在两组中各随机选取100人,BMI都分布在[16,36]内,按BMI分成5组进行统计:[16,20),[20,24),[24,28),[28,32),[32,36].统计后分别制成如下的频率分布直方图.
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(1)求a,b,并估计科学饮食组的80%分位数(结果精确到小数点后两位);
(2)现采用分层随机抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人,再从这25人中随机抽取2人,记其中“肥胖”(不含非常肥胖)的人数为X,求X的分布列与均值.
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解:(1)由频率分布直方图可知(0.02+0.06+0.075+a+0.025)×4=1,解得a=0.07,
(0.01+b+0.09+0.08+0.03)×4=1,解得b=0.04,
由题图计算可得科学饮食组前三个区间所占频率为(0.02+0.06+0.075)×4=0.62,
前四个区间所占频率为(0.02+0.06+0.075+0.07)×4=0.9,
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所以80%分位数在区间[28,32)内,不妨设为x,
所以(x-28)×0.07+0.62=0.8,解得x≈30.57.
故科学饮食组的80%分位数为30.57.
(2)根据对照组的频率分布直方图可知在区间[28,32)内的人数有25×0.08×4=8,
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13.根据天气预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失10 000元.为保护设备,有以下3种方案:
方案1 运走设备,搬运费为3 800元;
方案2 建保护围墙,建设费为2 000元,但围墙只能防小洪水;
方案3 不采取措施.
工地的领导该如何决策呢?
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解:根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示.
天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水
概率 0.01 0.25 0.74
总损失/元 方案1 3 800 3 800 3 800
方案2 62 000 2 000 2 000
方案3 60 000 10 000 0
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方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用均值损失最小的方案.
设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.
采用方案1,无论有无洪水,都损失3 800元.因此,P(X1=3 800)=1.
采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2 000+60 000=62 000元;没有大洪水时,总损失为2 000元.因此,
P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2 000)=0.99.
采用方案3,
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P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10 000)=0.25,
P(X3=0)=0.74.
于是,EX1=3 800,
EX2=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600,
EX3=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100.
因此,从均值损失最小的角度决策,应采取方案2.课时跟踪检测(五十三) 离散型随机变量的均值
A级——综合提能
1.已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的均值EX等于(  )
A. B.2
C. D.3
2.已知随机变量X服从两点分布,EX=0.6,则其成功概率为(  )
A.0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.6
3.设随机变量X的分布列如下表,且EX=1.6,则a-b 等于(  )
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A.0.2 B.0.1
C.-0.2 D.-0.4
4.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经一段时间考查后,X,Y的分布列分别是
X 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
Y 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
据此判定(  )
A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好
C.甲与乙质量相同 D.无法判定
5.[多选]设p为非负实数,随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P -p p
则下列说法正确的是(  )
A.p∈ B.EX最大值为
C.p∈ D.EX最大值为
6.学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选中,若X表示选中高二(1)班的候选人的人数,则EX的值为________.
7.设ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P a
又η=2ξ+a,则Eη=________.
8.一个盒子里装有5张卡片,其中有红色卡片3张,白色卡片2张,从盒子中任取2张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(1)求取出的2张卡片中,至少有1张红色卡片的概率;
(2)在取出的2张卡片中,白色卡片数设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
9.某闯关游戏共设置4道题,参加比赛的选手从第1题开始答题,一旦答错则停止答题,否则继续,直到答完所有题目.设选手甲答对第1题的概率为,甲答对题序为i的题目的概率pi=,i∈{1,2,3,4},各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)若甲已经答对了前3题,求甲答对第4题的概率;
(2)求甲停止答题时答对题目数量X的分布列与数学期望.
B级——应用创新
10.已知随机变量ξ的分布列如表所示,则Eξ的最大值是(  )
ξ -1 0 a
P +a -b
A.- B.-
C.- D.-
11.某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜错得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X的均值为(  )
A.0.9 B.0.8
C.1.2 D.1.1
12.身高体重指数(BMI)这个概念,是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出,它的计算公式如下:身高体重指数(BMI)=体重(kg)÷身高(m)的平方.成人的BMI数值低于18.5,则体重过轻,在[18.5,24)则正常;在[24,28)为过重,在[28,32)为肥胖,不低于32为非常肥胖,且专家指出最理想的身高体重指数是22.某科研小组设计了一套方案,并在两类人群中进行对比实验,其中科学饮食组采用科学饮食方案,对照组采用随意饮食方案.半年后,分别在两组中各随机选取100人,BMI都分布在[16,36]内,按BMI分成5组进行统计:[16,20),[20,24),[24,28),[28,32),[32,36].统计后分别制成如下的频率分布直方图.
(1)求a,b,并估计科学饮食组的80%分位数(结果精确到小数点后两位);
(2)现采用分层随机抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人,再从这25人中随机抽取2人,记其中“肥胖”(不含非常肥胖)的人数为X,求X的分布列与均值.
13.根据天气预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失10 000元.为保护设备,有以下3种方案:
方案1 运走设备,搬运费为3 800元;
方案2 建保护围墙,建设费为2 000元,但围墙只能防小洪水;
方案3 不采取措施.
工地的领导该如何决策呢?
课时跟踪检测(五十三)
1.选A EX=1×+2×+3×=.
2.选D ∵随机变量X服从两点分布,设成功的概率为p,∴EX=0×(1-p)+1×p=p=0.6.
3.选C 由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8.又由EX=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,得a+2b=1.3,解得a=0.3,b=0.5,则a-b=-0.2.
4.选A 由分布列可得EX=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,EY=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7,∵EY>EX,∴甲比乙质量好.
5.选AB 由题表可得从而得p∈,均值EX=0×+1·p+2×=p+1,当且仅当p=时,(EX)最大值=.
6.解析:X的可能取值为0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,则EX=0×+1×+2×=.
答案:
7.解析:由分布列的性质可知+++a=1,解得a=,所以Eξ=1×+2×+3×+4×=,所以Eη=E
=2Eξ+=2×+=6.
答案:6
8.解:(1)设“取出的2张卡片中,至少有1张红色卡片”为事件A,则P(A)=1-=.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
则P(X=0)==,
P(X=1)==,P(X=2)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
EX=0×+1×+2×=.
9.解:(1)因为选手甲答对第1题的概率为,所以k=,即pi=,所以若甲已经答对了前3题,则甲答对第4题的概率为.
(2)由题意得p1=,p2=,p3=,p4=.
随机变量X可取0,1,2,3,4,
则P(X=0)=,P(X=1)=×=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=×××=,
P(X=4)=×××=.
所以随机变量X分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以EX=0×+1×+2×+3×+4×=.
10.选B 根据分布列的性质得,所有的概率和为1,且每个概率都介于0和1之间,得到a-b=0,所以Eξ=-1×+a=-+b=-b2+b-,-≤b≤,根据二次函数的性质,知Eξ的最大值在b=时取得,代入得到Eξ=-,经检验符合题意.
11.选A 依题意得,X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.5)=0.3,P(X=1)=0.4×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2.可得X的分布列为
X 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
∴EX=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.
12.解:(1)由频率分布直方图可知(0.02+0.06+0.075+a+0.025)×4=1,解得a=0.07,
(0.01+b+0.09+0.08+0.03)×4=1,解得b=0.04,由题图计算可得科学饮食组前三个区间所占频率为(0.02+0.06+0.075)×4=0.62,
前四个区间所占频率为(0.02+0.06+0.075+0.07)×4=0.9,所以80%分位数在区间[28,32)内,不妨设为x,所以(x-28)×0.07+0.62=0.8,解得x≈30.57.
故科学饮食组的80%分位数为30.57.
(2)根据对照组的频率分布直方图可知在区间[28,32)内的人数有25×0.08×4=8,
X可取0,1,2,所以P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
分布列为
X 0 1 2
P
所以EX=0×+1×+2×=.
13.解:根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示.
天气状况
大洪水 小洪水 没有洪水
概率 0.01 0.25 0.74
总损失/元 方案1 3 800 3 800 3 800
方案2 62 000 2 000 2 000
方案3 60 000 10 000 0
方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用均值损失最小的方案.
设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.
采用方案1,无论有无洪水,都损失3 800元.因此,P(X1=3 800)=1.
采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2 000+60 000=62 000元;没有大洪水时,总损失为2 000元.因此,P(X2=62 000)=0.01,
P(X2=2 000)=0.99.
采用方案3,
P(X3=60 000)=0.01,
P(X3=10 000)=0.25,P(X3=0)=0.74.
于是,EX1=3 800,
EX2=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600,
EX3=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100.
因此,从均值损失最小的角度决策,应采取方案2.
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