3.2 离散型随机变量的方差(课件 学案 练习)高中数学北师大版(2019)选择性必修 第一册 第六章

文档属性

名称 3.2 离散型随机变量的方差(课件 学案 练习)高中数学北师大版(2019)选择性必修 第一册 第六章
格式 zip
文件大小 1.6MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-19 20:43:09

文档简介

3.2 离散型随机变量的方差
课时目标
1.通过具体实例,理解离散型随机变量方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.
1.离散型随机变量的方差
若离散型随机变量X的分布列如表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值EX的____________,而DX=E(X-EX)2=________________为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的________,其算术平方根为随机变量X的__________,记作________.
微点助解
方差(标准差)越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小;反之,方差(标准差)越大,则随机变量的取值越分散.
2.离散型随机变量方差的性质
(1)设a,b为常数,则D(aX+b)=__________.
(2)Dc=(其中c为常数).
[基点训练]
1.若随机变量X的分布列如表,则X的方差DX是(  )
X -1 0 1
P
A.0 B.1
C. D.
2.若随机变量X满足DX=0.8,则D(2X-3)=(  )
A.0.8 B.1.6
C.3.2 D.0.2
3.有两台自动包装机甲与乙,包装质量分别为随机变量ξ1,ξ2,已知Eξ1=Eξ2,Dξ1>Dξ2,则自动包装机____的包装质量较好.
题型(一) 求离散型随机变量的方差
[例1] 设随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则DX等于(  )
A. B.
C. D.
听课记录:
[例2] 某运动员投篮命中率p=0.8,则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________.
听课记录:
求离散型随机变量X的方差的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;
(2)求X取各个值的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,由均值的定义求出EX;
(4)根据公式计算方差.
[针对训练]
1.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机抽取3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则DX等于(  )
A.3.36 B.
C.7.8 D.3.6
2.袋中有大小相同的三个球,编号分别为1,2,3,从袋中每次取出一个球,若取到球的编号为奇数,则取球停止,用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差为________.
题型(二) 离散型随机变量方差的性质
[例3] 已知X的分布列如下:
X -1 0 1
P a
(1)求X2的分布列;
(2)计算X的方差;
(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
听课记录:
  求随机变量Y=aX+b方差的方法
求随机变量Y=aX+b的方差,一种方法是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一种方法是应用公式D(aX+b)=a2DX求解. 
[针对训练]
3.[多选]已知随机变量X满足E(2X+1)=5,D(3X-1)=9,则下列说法正确的是(  )
A.EX=2 B.EX=
C.DX=1 D.DX=3
4.若随机变量X的分布列如表,且EX=2,则D(2X-3)的值为(  )
X 0 2 a
P p
A.9.2 B.5
C.4 D.1
题型(三) 离散型随机变量方差的实际应用
[例4] 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)比较甲、乙的射击技术.
听课记录:
均值仅体现了随机变量取值的平均水平,如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的方差,方差大说明随机变量取值较分散,方差小说明取值比较集中.因此,在利用均值和方差的意义去分析解决问题时,两者都要分析. 
[针对训练]
5.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如表所示.
甲公司职位 A B C D
月薪/千元 5 6 7 8
获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1
乙公司,
职位,A,B,C,D
月薪/千元,4,6,8,10
获得相应职位概率,0.4,0.3,0.2,0.1(1)若一人去应聘甲公司的C职位,另一人去应聘乙公司的C职位,记这两人被录用的人数和为η,求η的分布列.
(2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用,求小方月薪高于小芳月薪的概率.
(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息,如果你是求职者,你会选择哪一家公司?请说明理由.
3.2 离散型随机变量的方差
?课前环节
1.偏离程度  (xi-EX)2pi 方差 标准差 σX 2.(1)a2DX (2)0
[基点训练]
1.选D EX=-1×+0×+1×=0,则DX=×(-1-0)2+×(0-0)2+×(1-0)2=.
2.选C 因为DX=0.8,所以D(2X-3)=22×DX=4×0.8=3.2.
3.解析:均值仅体现了随机变量取值的平均水平,如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值的周围变化,方差大说明随机变量取值较分散,方差小说明取值较集中,由题意,可得乙的包装质量较好.
答案:乙
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 选C 由题意知,EX=1×+2×+3×+4×=,故DX=2×+2×+2×+2×=.
[例2] 解析:依题意知,X服从两点分布,X的分布列为
X 1 0
P 0.8 0.2
故EX=0.8,DX=(1-0.8)2×0.8+(0-0.8)2×0.2=0.16.
答案:0.16
[针对训练]
1.选A 由题知X=6,9,12.P(X=6)==,P(X=9)==,P(X=12)==.∴X的分布列为
X 6 9 12
P
∴EX=6×+9×+12×=7.8,
DX=(6-7.8)2×+(9-7.8)2×+(12-7.8)2×=3.36.
2.解析:X的分布列为
X 1 3 5
P
则EX=1×+3×+5×=,
DX=.
答案:
[题型(二)]
[例3] 解:(1)由分布列的性质知++a=1,故a=.从而X2的分布列为
X2 0 1
P
(2)法一 由(1)知a=,
所以EX=(-1)×+0×+1×=-.
故DX=2×+2×+2×=.
法二 由(1)知a=,
所以EX=(-1)×+0×+1×=-.
EX2=0×+1×=,
所以DX=EX2-(EX)2=.
(3)因为随机变量Y=4X+3,
所以EY=4EX+3=2,DY=42DX=11.
[针对训练]
3.选AC E(2X+1)=2EX+1=5,则EX=2,故A正确,B错误;D(3X-1)=9DX=9,则DX=1,故C正确,D错误.
4.选C 由题意可得+p+=1,解得p=.因为EX=2,所以0×+2×+a×=2,解得a=3.所以DX=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1.
所以D(2X-3)=4DX=4.
[题型(三)]
[例4] 解:(1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ的分布列为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η的分布列为
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7.所以Dξ=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
Dη=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于Eξ>Eη,Dξ[针对训练]
5.解:(1)根据题意可知,随机变量η的可能取值有0,1,2,
则P(η=0)=0.8×0.8=0.64,P(η=1)=2×0.2×0.8=0.32,P(η=2)=0.2×0.2=0.04,
所以随机变量η的分布列为
η 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
(2)小方月薪高于小芳月薪的概率P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49.
(3)入职甲公司,月薪的均值为EX=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6,
方差DX=0.4×(5-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(7-6)2+0.1×(8-6)2=1.
入职乙公司,月薪的均值为EY=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6,
方差DY=0.4×(4-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(8-6)2+0.1×(10-6)2=4,
乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4,
即EX=EY,DX3.2
离散型随机变量的方差
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.通过具体实例,理解离散型随机变量方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.

CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.离散型随机变量的方差
若离散型随机变量X的分布列如表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
偏离程度
方差
标准差
σX
微点助解
方差(标准差)越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小;反之,方差(标准差)越大,则随机变量的取值越分散.
2.离散型随机变量方差的性质
(1)设a,b为常数,则D(aX+b)=_______.
(2)Dc=____ (其中c为常数).
a2DX
0
基点训练
1.若随机变量X的分布列如表,则X的方差DX是(  )

2.若随机变量X满足DX=0.8,则D(2X-3)=(  )
A.0.8 B.1.6
C.3.2 D.0.2
解析:因为DX=0.8,所以D(2X-3)=22×DX=4×0.8=3.2.

3.有两台自动包装机甲与乙,包装质量分别为随机变量ξ1,ξ2,已知Eξ1=Eξ2,Dξ1>Dξ2,则自动包装机____的包装质量较好.
解析:均值仅体现了随机变量取值的平均水平,如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值的周围变化,方差大说明随机变量取值较分散,方差小说明取值较集中,由题意,可得乙的包装质量较好.

课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 设随机变量X的分布列为
题型(一) 求离散型随机变量的方差

[例2] 某运动员投篮命中率p=0.8,则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为______.
解析:依题意知,X服从两点分布,X的分布列为
X 1 0
P 0.8 0.2
0.16
求离散型随机变量X的方差的步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;
(2)求X取各个值的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,由均值的定义求出EX;
(4)根据公式计算方差.  
方法技巧
针对训练

解析:由题知X=6,9,12.
2.袋中有大小相同的三个球,编号分别为1,2,3,从袋中每次取出一个球,若取到球的编号为奇数,则取球停止,用X表示所有被取到的球的编号之和,则X的方差为________.
解析:X的分布列为
[例3] 已知X的分布列如下:
题型(二) 离散型随机变量方差的性质
求随机变量Y=aX+b方差的方法
求随机变量Y=aX+b的方差,一种方法是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一种方法是应用公式D(aX+b)=a2DX求解.  
方法技巧
针对训练


解析: E(2X+1)=2EX+1=5,则EX=2,故A正确,B错误;
D(3X-1)=9DX=9,则DX=1,故C正确,D错误.
4.若随机变量X的分布列如表,且EX=2,则D(2X-3)的值为(  )

[例4] 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
题型(三) 离散型随机变量方差的实际应用
解:(1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ的分布列为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
(2)由(1)得Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7.所以Dξ=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
Dη=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于Eξ>Eη,Dξ均值仅体现了随机变量取值的平均水平,如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的方差,方差大说明随机变量取值较分散,方差小说明取值比较集中.因此,在利用均值和方差的意义去分析解决问题时,两者都要分析.  
方法技巧
5.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如表所示.
针对训练
(1)若一人去应聘甲公司的C职位,另一人去应聘乙公司的C职位,记这两人被录用的人数和为η,求η的分布列.
(2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用,求小方月薪高于小芳月薪的概率.
(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息,如果你是求职者,你会选择哪一家公司?请说明理由.
解:(1)根据题意可知,随机变量η的可能取值有0,1,2,
则P(η=0)=0.8×0.8=0.64,P(η=1)=2×0.2×0.8=0.32,P(η=2)=0.2×0.2=0.04,
所以随机变量η的分布列为
η 0 1 2
P 0.64 0.32 0.04
(2)小方月薪高于小芳月薪的概率P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49.
(3)入职甲公司,月薪的均值为EX=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6,
方差DX=0.4×(5-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(7-6)2+0.1×(8-6)2=1.
入职乙公司,月薪的均值为EY=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6,
方差DY=0.4×(4-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(8-6)2+0.1×(10-6)2=4,
乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4,
即EX=EY,DX即两家公司月薪的均值相同,但甲公司月薪的波动性小,乙公司的月薪波动性更大,且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大,故选甲公司.
课时跟踪检测
A级——综合提能
1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值EX甲=EX乙,方差分别为DX甲=11,DX乙=3.4.由此可以估计(  )
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
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3.已知随机变量X的分布列如下:

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4.已知随机变量ξ的分布列如下:

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5.[多选]随机变量X的分布列如下:
X -1 0 1 2
P 0.1 0.1 a 0.5

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解析:由题意得0.1+0.1+a+0.5=1,得a=0.3,所以A错误.
P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=0.3+0.1=0.4,所以B正确.
EX=-1×0.1+0×0.1+1×0.3+2×0.5=1.2,所以C正确.
DX=0.1×(-1-1.2)2+0.1×(0-1.2)2+0.3×(1-1.2)2+0.5×(2-1.2)2=0.96,所以D错误.故选BC.
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6.随机变量X的分布列如下,则D(2X-1)=_____.
X 0 1 2
P 0.3 p 0.3
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故ξ的分布列为
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8.若X的分布列为
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9.在一个袋中装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球,设随机变量X为取得红球的个数.
(1)求X的分布列;
(2)求X的数学期望EX和方差DX.
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则X的分布列为
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10.甲、乙两种品牌手表,它们的日走时误差分别为X和Y(单位:s),其分布列为
甲品牌的日走时误差分布列
X -1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
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乙品牌的日走时误差分布列
Y -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
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解:(1)由已知可得,EX=-1×0.1+0×0.8+1×0.1=0,EY=-2×0.1-1×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0.
(2)由(1)知,EX=0,所以DX=(-1-0)2×0.1+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.1=0.2.
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又EY=0,所以DY=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-0)2×0.1=1.2.
所以EX=EY,DX所以两品牌手表的误差平均水平相当,但是甲品牌的手表走时更稳定.
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12.[多选]甲、乙两名射击运动员在同样条件下进行射击比赛,甲、乙命中的环数分别是X,Y,X,Y的分布列如下表,则下列结论正确的是(  )
X(环) 8 9 10
P 0.2 0.6 0.2

Y(环) 8 9 10
P 0.3 0.4 0.3
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A.两人的平均成绩一样
B.甲的平均成绩比乙高
C.甲发挥比乙稳定
D.乙发挥比甲稳定


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解析:依题意,得EX=0.2×8+0.6×9+0.2×10=9,EY=0.3×8+0.4×9+0.3×10=9,DX=0.2×(8-9)2+0.6×(9-9)2+0.2×(10-9)2=0.4,DY=0.3×(8-9)2+0.4×(9-9)2+0.3×(10-9)2=0.6,显然EX=EY,A正确,B不正确;
DX1
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13.随机变量ξ的分布列如下表所示,则方差Dξ的取值范围是________.
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15.为弘扬中华优秀传统文化,营造良好的文化氛围,增强文化自觉和文化自信,某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动,该活动有单人赛和PK赛,每人只能参加其中的一项.据统计,中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万,其中获奖学生情况统计如下:
奖项 组别 单人赛 PK
赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖 中学组 40 40 120 100
小学组 32 58 210 100
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(1)从获奖学生中随机抽取1人,若已知抽到的学生获得一等奖,求抽到的学生来自中学组的概率;
(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人,以X表示这2人中PK赛获奖的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)从获奖学生中随机抽取3人,设这3人中来自中学组的人数为ξ,来自小学组的人数为η,试判断Dξ与Dη的大小关系.(结论不要求证明)
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2课时跟踪检测(五十四) 离散型随机变量的方差
A级——综合提能
1.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值EX甲=EX乙,方差分别为DX甲=11,DX乙=3.4.由此可以估计(  )
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
2.已知随机变量X的方差为DX=3,则D=(  )
A.9 B.3
C. D.
3.已知随机变量X的分布列如下:
X -1 0 1
P a
则DX的值是(  )
A. B.
C. D.
4.已知随机变量ξ的分布列如下:
ξ m n
P a
若Eξ=2,则Dξ的最小值等于(  )
A.0 B.2
C.1 D.
5.[多选]随机变量X的分布列如下:
X -1 0 1 2
P 0.1 0.1 a 0.5
则下列说法正确的是(  )
A.a=0.2 B.P(|X|=1)=0.4
C.EX=1.2 D.DX=2.4
6.随机变量X的分布列如下,则D(2X-1)=________.
X 0 1 2
P 0.3 p 0.3
7.甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为,.在前3次投篮中,乙投篮的次数为ξ,则ξ的方差为________.
8.若X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则D等于________.
9.在一个袋中装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球,设随机变量X为取得红球的个数.
(1)求X的分布列;
(2)求X的数学期望EX和方差DX.
10.甲、乙两种品牌手表,它们的日走时误差分别为X和Y(单位:s),其分布列为
甲品牌的日走时误差分布列
X -1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的日走时误差分布列
Y -2 -1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
(1)求EX和EY;
(2)求DX和DY,并比较两种品牌手表的性能.
B级——应用创新
11.[多选]设0ξ 0 1 2
P 0.5 0.5-x x
则当x在内增大时(  )
A.Eξ减小 B.Eξ增大
C.Dξ减小 D.Dξ增大
12.[多选]甲、乙两名射击运动员在同样条件下进行射击比赛,甲、乙命中的环数分别是X,Y,X,Y的分布列如下表,则下列结论正确的是(  )
X(环) 8 9 10
P 0.2 0.6 0.2
Y(环) 8 9 10
P 0.3 0.4 0.3
A.两人的平均成绩一样
B.甲的平均成绩比乙高
C.甲发挥比乙稳定
D.乙发挥比甲稳定
13.随机变量ξ的分布列如下表所示,则方差Dξ的取值范围是________.
ξ 0 1 2
P a b
14.某公司计划在2025年年初将100万元用于投资,现有两个项目供选择.
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,,.
针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
15.为弘扬中华优秀传统文化,营造良好的文化氛围,增强文化自觉和文化自信,某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动,该活动有单人赛和PK赛,每人只能参加其中的一项.据统计,中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万,其中获奖学生情况统计如下:
奖项组别 单人赛 PK赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
中学组 40 40 120 100
小学组 32 58 210 100
(1)从获奖学生中随机抽取1人,若已知抽到的学生获得一等奖,求抽到的学生来自中学组的概率;
(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人,以X表示这2人中PK赛获奖的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)从获奖学生中随机抽取3人,设这3人中来自中学组的人数为ξ,来自小学组的人数为η,试判断Dξ与Dη的大小关系.(结论不要求证明)
课时跟踪检测(五十四)
1.选B 由EX甲=EX乙,DX甲>DX乙知B正确.
2.选C D=DX=.
3.选C 由a++=1,解得a=,所以EX=-1×+0×+1×=,DX=2×+2×+2×=.
4.选A 由题意得a=1-=,所以Eξ=m+n=2,即m+2n=6.又Dξ=(m-2)2+(n-2)2=(6-2n-2)2+(n-2)2=2(n-2)2,所以当n=2时,Dξ取最小值0.
5.选BC 由题意得0.1+0.1+a+0.5=1,得a=0.3,所以A错误.P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=0.3+0.1=0.4,所以B正确.EX=-1×0.1+0×0.1+1×0.3+2×0.5=1.2,所以C正确.DX=0.1×(-1-1.2)2+0.1×(0-1.2)2+0.3×(1-1.2)2+0.5×(2-1.2)2=0.96,所以D错误.故选BC.
6.解析:依题意,得p=1-0.3-0.3=0.4,于是EX=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,DX=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6,所以D(2X-1)=4DX=2.4.
答案:2.4
7.解析:由题意可知,乙投篮的次数ξ的取值为0,1,2.则P(ξ=0)=×=,P(ξ=1)=×+×=,P(ξ=2)=×=.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
则Eξ=0×+1×+2×=,
所以Dξ=2×+2×+2×=.
答案:
8.解析:由已知得EX=1×+2×+3×+4×=,DX=2×+2×+2×+2×=,
所以D=DX=.
答案:
9.解:(1)X的可能取值为0,1,2.
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
则X的分布列为
X 0 1 2
P
(2)由(1)中分布列可得
EX=0×+1×+2×=,
DX=2×+2×+2×=.
10.解:(1)由已知可得,EX=-1×0.1+0×0.8+1×0.1=0,
EY=-2×0.1-1×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0.
(2)由(1)知,EX=0,所以DX=(-1-0)2×0.1+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.1=0.2.
又EY=0,所以DY=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-0)2×0.1=1.2.
所以EX=EY,DX所以两品牌手表的误差平均水平相当,但是甲品牌的手表走时更稳定.
11.选BD 012.选AC 依题意,得EX=0.2×8+0.6×9+0.2×10=9,EY=0.3×8+0.4×9+0.3×10=9,DX=0.2×(8-9)2+0.6×(9-9)2+0.2×(10-9)2=0.4,DY=0.3×(8-9)2+0.4×(9-9)2+0.3×(10-9)2=0.6,显然EX=EY,A正确,B不正确;DX13.解析:由题意可知,a+b=1-=,
则0≤a≤,0≤b≤,
故Eξ=×0+a+2b=a+2b=+b,
从而Dξ= (ξi-Eξ)2,
Pi=-2+.因为0≤b≤,
所以由二次函数性质可知,≤Dξ≤,故方差Dξ的取值范围是.
答案:
14.解:设投资项目一、二获利分别为X,Y万元,
则X的可能取值有30,-15,且
P(X=30)=,P(X=-15)=,
Y的可能取值有50,-30,0,且
P(Y=50)=,P(Y=-30)=,
P(Y=0)=,
所以EX=30×+(-15)×=20,
EY=50×+(-30)×+0×=20,
所以EX=EY,DX=(30-20)2×+(-15-20)2×=350,
DY=(50-20)2×+(-30-20)2×+(0-20)2×=1 400,则DX这说明虽然项目一、项目二获得利润的均值相等,但项目一更稳妥,因此,选择项目一比较好.
15.解:(1)设事件A表示“抽到的学生获得一等奖”,事件B表示“抽到的学生来自中学组”,
则抽到的1个学生获得一等奖,学生来自中学组的概率为P(B|A)=,
由题表知,P(AB)=,P(A)=,
则P(B|A)=.
(2)由题意知,X可能取值为0,1,2,
则P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以EX=0×+1×+2×=.
(3)由题设知ξ+η=3,
所以Dξ=D(3-η)=(-1)2·Dη=Dη.
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