4.1 二项分布
1.掌握n重伯努利试验的概念，掌握二项分布及其数字特征.
2.理解n重伯努利试验的模型，能用二项分布解决简单的实际问题.
1.n重伯努利试验
定义 一般地，在相同条件下重复做______伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验
特征 ①同一个伯努利试验重复做______. ②各次试验的结果_____________
2.二项分布的概念
一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为____________________________________________.
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为________________.
3.二项分布的均值和方差
(1)一般地，若随机变量X～B(n，p)，则EX＝______，DX＝____________.
(2)特殊地，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝p，DX＝____________.
微点助解
1.二项分布的特点
(1)对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生.
(2)重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变.
若用X表示n重伯努利试验中成功的次数，则X的分布列可表示为
X 0 1 … k … n
P Cp0· (1－p)n Cp1· (1－p)n－1 … Cpk· (1－p)n－k … Cpn· (1－p)0
2.二项分布中各个参数的意义
n表示试验的总次数；k表示在n重伯努利试验中成功的次数；p表示试验成功的概率；1－p表示试验不成功的概率.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)在n重伯努利试验中，各次试验结果之间没有影响.( )
(2)在n重伯努利试验中，各次试验成功的概率可以不同.( )
(3)在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次与事件A恰好在第k次发生不一样.( )
(4)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6).( )
(5)若X～B(5,0.4)，则EX＝2，DX＝3.( )
2.若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于( )
A.C×0.88×0.22 B.C×0.82×0.28
C.0.88×0.22 D.0.82×0.28
3.已知随机变量X服从二项分布B，则EX＝( )
A.4 B.
C.2 D.1
题型(一) n重伯努利试验发生的概率
[例1] 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，比赛采取5局3胜制，假设每局比赛相互独立且没有平局，若每局比赛甲胜的概率为，则比赛在第4局结束的概率为( )
A. B.
C. D.
听课记录：
n重伯努利试验概率求解的关注点
(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率.
[针对训练]
1.若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为( )
A. B.
C. D.
2.如图电子元件设备，当甲能正常工作，且乙和丙至少有一个正常工作时，设备正常工作，其中甲、乙、丙能正常工作的概率都为p(0＜p＜1)，且互不影响，则电子元件设备能正常工作的概率是( )
A.2p2－p3 B.p3
C.1－p2 D.p2－p3
题型(二) 二项分布的均值与方差
[例2] [多选]若袋子中有4个白球，2个黑球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则( )
A.X～B B.P(X＝3)＝
C.EX＝ D.DX＝
听课记录：
解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解.若X服从两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p).
[针对训练]
3.已知随机变量X～B(6，p)，且EX＋DX＝，则p＝( )
A. B.
C. D.
4.甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的数学期望是( )
A.1.2 B.1.6
C.1.5 D.2
题型(三) 二项分布的实际应用
[例3] 某工厂为了保质保量，厂部决定开展有奖生产竞赛，竞赛规则如下：2人一组，每组做①号产品和②号产品两种，同组的两人，每人只能做1种产品且两人做不同产品，若做出的产品是“优质品”，则可获得奖金，每件①号产品的“优质品”的奖金为50元，每件②号产品的“优质品”的奖金为40元.现有甲、乙两人同组，甲做①号产品每天可做3件，做②号产品每天可做4件，做的每件①号产品或②号产品是“优质品”的概率均为；乙做①号产品每天可做4件，做②号产品每天可做3件，做的每件①号产品或②号产品是“优质品”的概率均为.做产品时，每件产品是否为“优质品”相互独立，甲、乙两人做产品也相互独立.
(1)若甲做①号产品，记X1为甲每天所得奖金数，Y1为乙每天所得奖金数，求X1，Y1的分布列；
(2)若要甲、乙两人每天所得奖金之和的数学期望最大，则甲应做①号产品还是②号产品？请说明理由.
听课记录：
二项分布的实际应用问题的求解步骤
(1)根据题意设出随机变量.
(2)判断随机变量是否服从二项分布.
(3)求出参数n和p的值.
(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解.
[针对训练]
5.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一个金蛋，再将三个箱子关闭.主持人知道金蛋在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到200元奖金；若金蛋不在此箱子里，抽奖人得到50元参与奖.无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置金蛋，关闭三个箱子，等待下一个抽奖人.
(1)求前3位抽奖人抽中金蛋人数X的分布列和方差；
(2)为了增加节目效果，改变游戏规则.当抽奖人选定编号后，主持人在剩下的两个箱子中打开一个空箱子.与此同时，主持人也给抽奖人一个改变选择的机会.如果抽奖人改变选择后，抽到金蛋，奖金翻倍；否则，取消参与奖.若仅从最终所获得的奖金考虑，抽奖人该如何抉择呢？
4.1 二项分布
?课前环节
1.n次 n次 相互独立
2.P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)
X～B(n，p)
3.(1)np np(1－p) (2)p(1－p)
[基点训练]
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2.选A ∵X～B(10,0.8)，
∴P(X＝8)＝C×0.88×0.22，故选A.
3.选C 由随机变量X服从二项分布B，可得EX＝np＝4×＝2.
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 选C 打完第4局比赛结束，包含以下两种情况：
第4局甲赢，前三局甲赢两局，概率为
C×2××＝；
第4局乙赢，前三局乙赢两局，概率为
C×2××＝，
∴打完第4局比赛结束的概率为
＋＝，故选C.
[针对训练]
1.选B 他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为C22＝.
2.选A 电子元件设备能正常工作的情况为甲能正常工作的同时，乙、丙至少有一个能正常工作，故电子元件设备能正常工作的概率为p[Cp(1－p)＋Cp2]＝2p2－p3.
[题型(二)]
[例2] 选BC 由题意可知，每次摸到白球的概率为＝，则X～B，A错误；P(X＝3)＝C·3·＝，B正确；EX＝4×＝，C正确；DX＝4××＝，D错误.
[针对训练]
3.选C 因为随机变量X～B(6，p)，所以EX＝6p，DX＝6p(1－p)，因为EX＋DX＝，所以6p＋6p(1－p)＝，解得p＝或p＝(舍去).
4.选A 由题意，设甲回家途中遇红灯次数为X，则随机变量X～B，所以甲回家途中遇红灯次数的数学期望为EX＝3×＝＝1.2.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)X1可能的取值为0,50,100,150，
则P(X1＝0)＝3＝，
P(X1＝50)＝C××2＝，
P(X1＝100)＝C×2×＝，
P(X1＝150)＝3＝，
所以X1的分布列为
X1 0 50 100 150
P
Y1可能的取值为0,40,80,120，
P(Y1＝0)＝3＝，
P(Y1＝40)＝C××2＝，
P(Y1＝80)＝C×2×＝，
P(Y1＝120)＝3＝，
所以Y1的分布列为
Y1 0 40 80 120
P
(2)由题可知甲、乙二人每天做出的优质品数服从二项分布，
甲做①号产品，乙做②号产品每天获得的奖金期望 3××50＋3××40＝(元)，
甲做②号产品，乙做①号产品每天获得的奖金期望 4××40＋4××50＝(元)，>，
所以甲应做②号产品.
[针对训练]
5.解：(1)由题意知，抽中金蛋人数X服从二项分布，即X～B，
即X所有可能的取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝3＝；
P(X＝1)＝C××2＝＝；
P(X＝2)＝C××2＝＝；
P(X＝3)＝3＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴中奖人数的方差DX＝3××＝.
(2)若改变选择，记获得奖金数为Y，则Y可能的取值为0,400，
则P(Y＝400)＝×1＝，
P(Y＝0)＝1－P(Y＝400)＝，
∴改变选择时，获得奖金数的数学期望
EY＝0×＋400×＝；
若不改变选择，记获得奖金数为Z，则Z可能的取值为50,200，
则P(Z＝50)＝，P(Z＝200)＝，
∴不改变选择时，获得奖金数的数学期望
EZ＝50×＋200×＝100.
∵EY>EZ，∴抽奖人应改变选择.(共65张PPT)
4．1
二项分布
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.掌握n重伯努利试验的概念，掌握二项分布及其数字特征．
2．理解n重伯努利试验的模型，能用二项分布解决简单的实际问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1．n重伯努利试验
定义 一般地，在相同条件下重复做______伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验
特征 ①同一个伯努利试验重复做______．
②各次试验的结果_________
n次
n次
相互独立
微点助解
1．二项分布的特点
(1)对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生．
(2)重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变．
若用X表示n重伯努利试验中成功的次数，则X的分布列可表示为
基点训练
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)在n重伯努利试验中，各次试验结果之间没有影响． ( )
(2)在n重伯努利试验中，各次试验成功的概率可以不同． ( )
(3)在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次与事件A恰好在第k次发生不一样． ( )
(4)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)． ( )
(5)若X～B(5,0.4)，则EX＝2，DX＝3. ( )
√
×
√
√
×
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√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) n重伯努利试验发生的概率
√
解析：打完第4局比赛结束，包含以下两种情况：
n重伯努利试验概率求解的关注点
(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．
(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．
方法技巧
针对训练
√
√
题型(二) 二项分布的均值与方差
√
√
解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．
方法技巧
针对训练
√
√
题型(三) 二项分布的实际应用
解：(1)X1可能的取值为0,50,100,150，
所以X1的分布列为
(2)由题可知甲、乙二人每天做出的优质品数服从二项分布，
二项分布的实际应用问题的求解步骤
(1)根据题意设出随机变量．
(2)判断随机变量是否服从二项分布．
(3)求出参数n和p的值．
(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解．
方法技巧
5．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一个金蛋，再将三个箱子关闭．主持人知道金蛋在哪个箱子里．游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到200元奖金；若金蛋不在此箱子里，抽奖人得到50元参与奖．无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置金蛋，关闭三个箱子，等待下一个抽奖人．
针对训练
(1)求前3位抽奖人抽中金蛋人数X的分布列和方差；
(2)为了增加节目效果，改变游戏规则．当抽奖人选定编号后，主持人在剩下的两个箱子中打开一个空箱子．与此同时，主持人也给抽奖人一个改变选择的机会．如果抽奖人改变选择后，抽到金蛋，奖金翻倍；否则，取消参与奖．若仅从最终所获得的奖金考虑，抽奖人该如何抉择呢？
∴X的分布列为
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1．在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则( )
A．X～B(100,0.05) B．X～B(10,0.05)
C．X～B(100,0.95) D．X～B(10,0.95)
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6．如果随机变量ξ～B(n，p)，且Eξ＝10，Dξ＝8，则p等于________．
解析：由题意得，Eξ＝np＝10，Dξ＝np(1－p)＝8，解得p＝0.2.
0.2
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9．某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的均值；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．
解：(1)投篮1次，命中次数X的分布列为
X 0 1
P 0.4 0.6
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解：(1)易知ξ所有可能的取值为0,1,2,3,4，
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(2)记“需要补种棕榈树”为事件A，由(1)得，
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13．设一次试验成功的概率为p，进行100重伯努利试验，当p＝________时，成功次数的方差的值最大，其最大值为________．
解析：由题意一次试验成功的概率为p，设失败概率为q，则p＋q＝1，
由n重伯努利试验的方差公式可以得到Dξ＝100pq，
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14．假定人们对某种特别的花粉过敏的概率为0.25，现在检验20名大学生志愿者是否对这种花粉过敏．
(1)求样本中恰好有两人过敏的概率及至少有2人过敏的概率；
(2)要使样本中至少检测到1人过敏的概率大于99.9%，则抽取的样本容量至少要多大？
(3)若检验后发现20名大学生中过敏的不到2人，这说明了什么？试分析原因．
附：0.7518＝0.005 6，0.7519＝0.004 2，0.7520＝0.003，lg 0.75＝－0.124 9.
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解：(1)设样本中对花粉过敏的人数为X，则X～B(20，0.25)，
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(2)设样本容量为n，该样本中检测到对花粉过敏的人数为Y，则Y～B(n,0.25)，
故P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－0.75n>99.9%，
得0.75n<0.001，取对数得nlg 0.75<－3，
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(3)由(1)可知检验的20人中不到2人过敏的概率为1－0.976＝0.024，
此概率非常小，在正常情况下，一次实验中几乎不会发生，出现此种情况的原因有可能为
①原假设不成立，即每个人对这种花粉过敏的概率不到0.25；
②检验的样本只针对大学生，没有随机性；
③检验的环节出现了问题．课时跟踪检测(五十五) 二项分布
A级——综合提能
1.在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则( )
A.X～B(100,0.05) B.X～B(10,0.05)
C.X～B(100,0.95) D.X～B(10,0.95)
2.已知随机变量X～B(2，p)，P(X＝1)＝，则E＝( )
A. B.
C. D.2
3.设某实验成功率是失败率的3倍，用随机变量ξ描述3次实验成功的次数，则P(ξ＝2)＝( )
A. B.
C. D.
4.一袋子中有除颜色外完全相同的3个白球和4个黑球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，取球7次，设取得的白球数为X，则DX＝( )
A.3 B.
C. D.
5.[多选]设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则( )
A.p＝ B.Eξ＝
C.Dη＝1 D.P(η≥2)＝
6.如果随机变量ξ～B(n，p)，且Eξ＝10，Dξ＝8，则p等于________.
7.小李上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上至少遇到2次绿灯的概率为________.
8.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N＋)个黑球，现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若DX＝1，则EX＝________.
9.某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的均值；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值.
10.某公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，且成活率均为，设ξ为成活棕榈树的棵数.
(1)求ξ的分布列；
(2)若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.
B级——应用创新
11.A，B两组各有3人独立的破译某密码，A组每个人成功破译出该密码的概率为p1，B组每个人成功破译出该密码的概率为p2，记A，B两组中成功破译出该密码的人数分别为X，Y，若0
A.EX>EY，DXEY，DX>DY
C.EXDY
12.[多选]右图是一块高尔顿板示意图，在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为2,3，…，7，用X表示小球落入格子的号码，则( )
A.P(X＝7)＝ B.EX＝
C.当P最大时，X＝4或5 D.DX＝
13.设一次试验成功的概率为p，进行100重伯努利试验，当p＝________时，成功次数的方差的值最大，其最大值为________.
14.假定人们对某种特别的花粉过敏的概率为0.25，现在检验20名大学生志愿者是否对这种花粉过敏.
(1)求样本中恰好有两人过敏的概率及至少有2人过敏的概率；
(2)要使样本中至少检测到1人过敏的概率大于99.9%，则抽取的样本容量至少要多大？
(3)若检验后发现20名大学生中过敏的不到2人，这说明了什么？试分析原因.
附：0.7518＝0.005 6，0.7519＝0.004 2，0.7520＝0.003，lg 0.75＝－0.124 9.
课时跟踪检测(五十五)
1．选B 有放回抽取，每次取到次品的概率都是＝0.05，相当于10重伯努利试验，所以X服从二项分布B(10,0.05)．
2．选A 依题意，P(X＝1)＝C·p·(1－p)＝2·p·(1－p)＝，解得p＝，所以EX＝2×＝1，所以E＝EX＝×1＝.
3．选A 由于成功率是失败率的3倍，所以成功率是，失败率是，所以P(ξ＝2)＝C×2×＝.
4．选C 每次取到白球的概率为，由题意知X～B，则DX＝7××＝.
5．选ABD 由P(ξ＝0)＋P(ξ≥1)＝1，则P(ξ＝0)＝Cp0(1－p)2＝，可得p＝，所以Eξ＝2×＝，Dη＝3××＝，P(η≥2)＝Cp2(1－p)1＋Cp3(1－p)0＝＋＝.
6．解析：由题意得，Eξ＝np＝10，Dξ＝np(1－p)＝8，解得p＝0.2.
答案：0.2
7．解析：4次均不是绿灯的概率为C×4×0＝，3次不是绿灯的概率为C×3×＝，∴至少遇到2次绿灯的概率为1－－＝.
答案：
8．解析：有放回地摸取4次，每次随机摸取一球是白球的概率相等，设为p，而摸取1次即为一次试验，只有两个不同结果，因此，X～B(4，p)，则DX＝4(1－p)p＝1，解得p＝，所以EX＝4p＝2.
答案：2
9．解：(1)投篮1次，命中次数X的分布列为
X 0 1
P 0.4 0.6
则EX＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，
则EY＝np＝5×0.6＝3.
10．解：(1)易知ξ所有可能的取值为0,1,2,3,4，
且P(ξ＝0)＝C04＝，
P(ξ＝1)＝C13＝，
P(ξ＝2)＝C22＝，
P(ξ＝3)＝C31＝，
P(ξ＝4)＝C40＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
(2)记“需要补种棕榈树”为事件A，由(1)得，
P(A)＝P(ξ≤2)＝＋＋＝，
所以需要补种棕榈树的概率为.
11．选C 由题意可知，X服从二项分布B(3，p1)，所以EX＝3p1，DX＝3p1(1－p1)．同理，Y服从二项分布B(3，p2)，所以EY＝3p2，DY＝3p2(1－p2)．因为012．选CD 记事件A＝“向右落下”，则事件＝“向左落下”，则P(A)＝P()＝，设Y表示事件A发生的次数，因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数Y加上2，则Y＝X－2，而小球在下落过程中共碰撞小木钉5次，则Y～B，P(X＝7)＝P(Y＝5)＝5＝，故A错误；EX＝EY＋2＝5×＋2＝，故B错误；P(X＝2)＝P(Y＝0)＝5＝，P(X＝3)＝P(Y＝1)＝C××4＝，P(X＝4)＝P(Y＝2)＝C×2×3＝，P(X＝5)＝P(Y＝3)＝C×3×2＝，P(X＝6)＝P(Y＝4)＝C×4×＝，P(X＝7)＝P(Y＝5)＝C×5＝，故当X＝4或X＝5时，概率P最大，故C正确；DX＝DY＝5××＝，故D正确．
13．解析：由题意一次试验成功的概率为p，设失败概率为q，则p＋q＝1，由n重伯努利试验的方差公式可以得到Dξ＝100pq，
由于p，q∈[0,1]，故pq≤2＝，当且仅当p＝q＝时等号成立，故方差的最大值为100×＝25.
答案： 25
14．解：(1)设样本中对花粉过敏的人数为X，则X～B(20，0.25)，
故P(X＝2)＝C×0.252×0.7518＝0.066 5，
P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－0.7520－C×0.25×0.7519＝1－0.003－0.021＝0.976.所以样本中恰好有两人过敏的概率为0.066 5，至少有2人过敏的概率为0.976.
(2)设样本容量为n，该样本中检测到对花粉过敏的人数为Y，则Y～B(n,0.25)，
故P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－0.75n>99.9%，得0.75n<0.001，取对数得nlg 0.75<－3，所以n>≈24.02，
所以抽取的样本的容量至少为25.
(3)由(1)可知检验的20人中不到2人过敏的概率为1－0.976＝0.024，
此概率非常小，在正常情况下，一次实验中几乎不会发生，出现此种情况的原因有可能为
①原假设不成立，即每个人对这种花粉过敏的概率不到0.25；
②检验的样本只针对大学生，没有随机性；
③检验的环节出现了问题．