5 正态分布
课时目标
1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态曲线的特点及曲线所表示的意义.
2.了解变量在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上取值的概率大小.
3.会用正态分布去解决实际问题.
1.连续型随机变量
人们把________________________的随机变量称为连续型随机变量，最常见的一类连续型随机变量是由误差引起的.
2.正态分布
由误差引起的连续型随机变量对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝e－， x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布.
正态分布是最常见、最重要的连续型随机变量的分布，是刻画误差分布的重要模型，因此也称为误差模型.
3.正态曲线
正态分布对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线.
4.正态分布的特点
(1)如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a，b(a
(2)因为正态分布完全由μ和σ确定，所以正态曲线还具有下列特点：
①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿____________平移.
②当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“________”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“________”，表示总体的分布越集中.
5.正态曲线的性质
如果随机变量X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2.
正态曲线有如下性质：
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
(2)曲线是单峰的，关于直线__________对称.
(3)曲线的最高点位于__________处.
(4)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线.
6.正态总体在三个特殊区间内取值的概率
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ7.3σ原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间______________之间的值，并称之为3σ原则.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)正态分布密度函数中的参数μ，σ的意义分别是样本的均值和方差.( )
(2)正态曲线是单峰的，其与x轴之间图形的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.( )
(3)正态曲线可以关于y轴对称.( )
(4)在正态分布中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.( )
(5)若随机变量X～N(μ，σ2)，则X可以是离散型随机变量.( )
(6)正态曲线的对称轴的位置由μ确定，曲线形状由σ确定.( )
2.设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(X≤0)＝( )
A. B.
C. D.
3.已知随机变量X～N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.8，那么P(2≤X≤4)＝( )
A.0.2 B.0.3
C.0.4 D.0.8
题型(一) 正态曲线及其性质
[例1] [多选]早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态分布密度函数的形式，其解析式为f(x)＝·e，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，下列关于正态分布密度函数及图象的特点的说法中，正确的有( )
A.曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称
B.曲线在x＝μ处达到峰值
C.当σ较小时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布分散；当σ较大时，峰值高，正态曲线“高瘦”，表示随机变量X的分布集中
D.当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴
听课记录：
[例2] [多选]已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，下列关于μ1，μ2，μ3，σ1，σ2，σ3的大小关系正确的是( )
A.μ1＜μ2＝μ3 B.σ1＝σ2＜σ3
C.μ1>μ2＝μ3 D.σ1＝σ2>σ3
听课记录：
利用正态曲线的性质求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求出μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求出σ.
[针对训练]
1.已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则Dη＝( )
A.0 B.1
C.4 D.16
2.设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论正确的是( )
A.μ1>μ2
B.σ1>σ2
C.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
D.P(X≤μ2)≥P(X≤μ1)
题型(二) 利用正态曲线的性质求概率
[例3] [多选]已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(1A.P(3B.P(3C.P(－2D.P(－2P(3听课记录：
利用正态分布求概率的两种方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间的概率相等.如：①P(X②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).
(2)“3σ”法：利用随机变量X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别约为0.682 6,0.954 4,0.997 4求解.
[针对训练]
3.随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝________.
4.设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1(2)P(3参考数据：P(μ－σ题型(三) 正态分布的应用
[例4] 假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500,52)(单位：g)，该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于515 g.
(1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于515 g的概率为多少；
(2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.
听课记录：
随机变量X的取值
解题时，应当注意零件尺寸应落在(μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格.
[针对训练]
5.为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试.若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52).已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于或等于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么此次参加考试的学生成绩特别优秀的概率为________.(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ5 正态分布
?课前环节
1.具有分布密度函数 4.(2)x轴 矮胖
高瘦 5.(2)x＝μ (3)x＝μ 6.0.682 6 0.954 4 0.997 4 7.(μ－3σ，μ＋3σ]
[基点训练]
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√
2.选D 因为随机变量X服从正态分布N(0,1)，所以P(X≤0)＝.
3.选B 因为X～N(2，σ2)，所以P(X≤2)＝0.5，又P(X≤4)＝0.8，所以P(2≤X≤4)＝P(X≤4)－P(X≤2)＝0.8－0.5＝0.3.
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 选ABD 当x<μ时，y＝－单调递增，则f(x)＝e单调递增，当x>μ时，y＝－单调递减，则f(x)＝e单调递减，又f(μ＋x)＝
e，f(μ－x)＝e，所以f(μ＋x)＝f(μ－x)，故曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，故A正确；因为－≤0，有e－≤1，因此e－≤，当且仅当x＝μ时，等号成立，即曲线在x＝μ处达到峰值，故B正确；由选项B可知，当σ越小时，峰值越大，则曲线越“高瘦”，故C错误；因为正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1，且e>0恒成立，所以结合曲线的单调性可知，当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴，故D正确.
[例2] 选AB 正态分布关于x＝μ对称，且μ越大图象的对称轴越靠近右边，故第一个曲线的均值比第二个和第三个的均值小，且二，三两个的均值相等，故μ1<μ2＝μ3，故A正确，C错误.σ越小，曲线越“高瘦”，则第二个图象σ要比第三个的σ要小，故σ1＝σ2<σ3，故B正确，D错误.
[针对训练]
1.选B ∵ξ～N(3,22)，∴Dξ＝22＝4，
∵ξ＝2η＋3，∴η＝＝ξ－.
∴Dη＝D＝Dξ＝1.
2.选D 因为X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，两曲线分别关于x＝μ1，x＝μ2对称，所以由题图可知，μ1<μ2，所以A错误；因为X的分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，所以σ1<σ2，所以B错误；所以P(Y≥μ2)≤P(Y≥μ1)，P(X≤μ2)≥P(X≤μ1)，所以C错误，D正确.故选D.
[题型(二)]
[例3] 选AC 由X～N(3，σ2)，得μ＝3，由＝3，得P(30.23＝P(X≤1)>P(－2[针对训练]
3.解析：由随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，可得正态曲线关于x＝0对称，
因为P(ξ>2)＝0.023，可得P(ξ<－2)＝0.023，所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ<－2)－P(ξ>2)＝1－0.023－0.023＝0.954.
答案：0.954
4.解：(1)因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
所以P(－1(2)因为P(3所以P(3＝[P(μ－2σ[题型(三)]
[例4] 解：(1)设正常情况下，该生产线上生产出来的食盐质量为X g，由题意可知X～N(500,52).由于515＝500＋3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知，P(X>515)＝P(|X－3×5|>500)≈×0.3%＝0.15%.
(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都大于515 g的概率约为0.15%×0.15%＝2.25×10－6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的.
[针对训练]
5.解析：因为数学成绩服从正态分布N(100,17.52)，
则P(100－17.5又因为P(100－2×17.5135)＝≈＝0.022 8.
答案：0.158 7 0.022 8(共73张PPT)
§5
正态分布
(强基课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态曲线的特点及曲线所表示的意义．
2．了解变量在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上取值的概率大小．
3．会用正态分布去解决实际问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1．连续型随机变量
人们把___________________的随机变量称为连续型随机变量，最常见的一类连续型随机变量是由误差引起的．
具有分布密度函数
3．正态曲线
正态分布对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线．
4．正态分布的特点
(1)如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a，b(a(2)因为正态分布完全由μ和σ确定，所以正态曲线还具有下列特点：
①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿_______平移．
②当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“______”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“______”，表示总体的分布越集中．
x轴
矮胖
高瘦
5．正态曲线的性质
如果随机变量X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，则EX＝μ，DX＝σ2.
正态曲线有如下性质：
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
(2)曲线是单峰的，关于直线______对称．
x＝μ
(3)曲线的最高点位于_______处．
(4)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．
x＝μ
6．正态总体在三个特殊区间内取值的概率
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ7．3σ原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间__________________之间的值，并称之为3σ原则．
0.682 6
0.954 4
0.997 4
(μ－3σ，μ＋3σ]
基点训练
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“?”)
(1)正态分布密度函数中的参数μ，σ的意义分别是样本的均值和方差． ( )
(2)正态曲线是单峰的，其与x轴之间图形的面积是随参数μ，σ的变化而变化的． ( )
(3)正态曲线可以关于y轴对称． ( )
×
×
√
(4)在正态分布中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计． ( )
(5)若随机变量X～N(μ，σ2)，则X可以是离散型随机变量． ( )
(6)正态曲线的对称轴的位置由μ确定，曲线形状由σ确定． ( )
√
×
√
√
3．已知随机变量X～N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.8，那么P(2≤X≤4)＝( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.8
解析：因为X～N(2，σ2)，所以P(X≤2)＝0.5，又P(X≤4)＝0.8，所以P(2≤X≤4)＝P(X≤4)－P(X≤2)＝0.8－0.5＝0.3.
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 正态曲线及其性质
√
√
√
√
√
解析：正态分布关于x＝μ对称，且μ越大图象的对称轴越靠近右边，故第一个曲线的均值比第二个和第三个的均值小，且二，三两个的均值相等，故μ1<μ2＝μ3，故A正确，C错误．
σ越小，曲线越“高瘦”，则第二个图象σ要比第三个的σ要小，故σ1＝σ2<σ3，故B正确，D错误．
方法技巧
1．已知随机变量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，则Dη＝( )
A．0 B．1
C．4 D．16
针对训练
√
√
[例3] [多选]已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(1A．P(3B．P(3C．P(－2D．P(－2P(3题型(二) 利用正态曲线的性质求概率
√
√
利用正态分布求概率的两种方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间的概率相等．如：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)“3σ”法：利用随机变量X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别约为0.682 6,0.954 4,0.997 4求解．
方法技巧
3．随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝________.
解析：由随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，可得正态曲线关于x＝0对称，
因为P(ξ>2)＝0.023，可得P(ξ<－2)＝0.023，
所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ<－2)－P(ξ>2)＝1－0.023－0.023＝0.954.
针对训练
4．设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1(2)P(3参考数据：P(μ－σ解：(1)因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
所以P(－1(2)因为P(3[例4] 假设某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布N(500,52)(单位：g)，该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于515 g.
(1)求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于515 g的概率为多少；
(2)检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．
题型(三) 正态分布的应用
解：(1)设正常情况下，该生产线上生产出来的食盐质量为X g，由题意可知X～N(500,52)．
由于515＝500＋3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知，
(2)检测员的判断是合理的．因为如果生产线不出现异常的话，由(1)可知，随机抽取两包检查，质量都大于515 g的概率约为0.15%×0.15%＝2.25×10－6，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的．
随机变量X的取值
解题时，应当注意零件尺寸应落在(μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．
方法技巧
5．为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于或等于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么此次参加考试的学生成绩特别优秀的概率为________．(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ针对训练
0.158 7
0.022 8
解析：因为数学成绩服从正态分布N(100,17.52)，
则P(100－17.5课时跟踪检测
1
3
4
5
6
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8
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10
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2
√
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3
4
2
解析：由题意，得σ(X)＝0.8，σ(Y)＝1，σ(Z)＝2，因为当σ较小时，峰值高，正态曲线“高瘦”，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)，所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号依次为①②③.
4．某班有60名同学，一次数学考试(满分150分)的成绩X服从正态分布N(90，σ2)，若P(80≤X≤100)＝0.6，则本班在100分以上的人数约为( )
A．6 B．12
C．18 D．24
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3
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√
√
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4
2
6．如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝_____.
2
1
5
6
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13
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4
2
7．某地区高二理科学生有28 000名，在一次模拟考试中，数学成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)，已知P(80<ξ≤120)＝0.7，则本次考试中数学成绩在120分以上的大约有________人．
解析：由模拟考试中，数学成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)，且P(80<ξ≤120)＝0.7，
4 200
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
所以本次考试中数学成绩在120分以上的大约有28 000×0.15＝4 200人．
1
5
6
7
8
9
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13
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4
2
32
1
5
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12
13
3
4
2
解析：根据正态曲线的对称性知，要使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
9．设随机变量X～N(2,9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)．
(1)求c的值；
(2)求P(－4＜X≤8)．
附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4.
解：(1)由X～N(2,9)可知，正态曲线关于直线x＝2对称．
因为P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，
所以2－(c－1)＝(c＋1)－2，解得c＝2.
1
5
6
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11
12
13
3
4
2
(2)由X～N(2,9)，得μ＝2，σ＝3，
所以P(－4＜X≤8)＝P(2－2×3＜X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4.
1
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6
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12
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3
4
2
10．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从正态分布N(6,0.16)．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
解：还有7分钟时：
1
5
6
7
8
9
10
11
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13
3
4
2
1
5
6
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13
3
4
2
B级——应用创
11．[多选]山东东阿盛产阿胶，阿胶与人参、鹿茸并称“中药三宝”．阿胶的主要原料是驴皮，配以冰糖、绍酒、豆油等十几种辅料，用东阿特有的含多种矿物质的井水，采取传统的制作工艺熬制而成．已知每盒某阿胶产品的质量M(单位：g)服从正态分布N(250，σ2)，且P(M<251)＝0.75，P(2491
5
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7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
A．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量大于249 g的概率为0.75
B．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量在251 g～253 g内的概率为0.15
C．若从该阿胶产品中随机选取1 000盒，则质量大于253 g的盒数的方差为47.5
D．若从该阿胶产品中随机选取1 000盒，则质量在251 g～253 g内的盒数的均值为200
√
√
√
1
5
6
7
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13
3
4
2
解析：因为M～N(250，σ2)，所以P(M>249)＝P(M<251)＝0.75，A正确．
因为P(M<251)＝0.75，所以P(2491
5
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因为P(249253)＝0.75－0.7＝0.05，若从该阿胶产品中随机选取1 000盒，则质量大于253 g的盒数X～B
(1 000,0.05)，所以DX＝1 000×0.05×(1－0.05)＝47.5，C正确．
P(2511
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12．为庆祝中国共产党成立103周年，不断提升广大党员干部学习党的政治理论知识的自觉性，某市面对全体党员，举办了“强国复兴有我”党史知识竞赛．比赛由初赛、复赛和决赛三个环节组成．已知进入复赛的党员共有100 000人，复赛总分105分，所有选手的复赛成绩都不低于55分．经过复赛，有2 280名党员进入了决赛，并最终评出了若干一等奖和52个特等奖．复赛成绩和决赛成绩都服从正态分布．
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现从中随机选出100名选手的复赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图．
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(3)甲在决赛中取得了99分的优异成绩，乙对甲说：“据可靠消息，此次决赛的平均成绩是75分，90分以上才能获得特等奖．”试用统计学的相关知识，分析乙所说消息的真实性．
参考数据：P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 4.
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由90＝μ＋2σ＝75＋2σ得σ＝7.5，
所以μ＋3σ＝75＋22.5＝97.5，而P(ξ≥μ＋3σ)≈0.001 3，
所以甲取得99分是小概率事件，这几乎是不可能发生的，
根据统计学的相关原理，我们可以判断，乙所说的消息是不真实的．
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13．为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关．现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查.
分数 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
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(参考数据：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ1
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2课时跟踪检测(五十八) 正态分布
A级——综合提能
1.已知正态分布密度函数f(x)＝e，x∈R，则μ，σ分别是( )
A.0和4 B.0和2
C.0和8 D.0和
2.已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.如图是三个正态分布X～N(0,0.64)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号依次为( )
A.①②③ B.③②①
C.②③① D.①③②
4.某班有60名同学，一次数学考试(满分150分)的成绩X服从正态分布N(90，σ2)，若P(80≤X≤100)＝0.6，则本班在100分以上的人数约为( )
A.6 B.12
C.18 D.24
5.[多选]设随机变量ξ服从正态分布N(μ，7)，若P(ξ<2)＝P(ξ>4)＝a，则下列结论正确的为( )
A.μ＝3 B.P(3≤ξ≤4)＝1－2a
C.Dξ＝ D.P(2≤ξ≤3)＝－a
6.如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝________.
7.某地区高二理科学生有28 000名，在一次模拟考试中，数学成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)，已知P(80<ξ≤120)＝0.7，则本次考试中数学成绩在120分以上的大约有________人.
8.对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量______次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜2σ)＝0.954 5).
9.设随机变量X～N(2,9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1).
(1)求c的值；
(2)求P(－4＜X≤8).
附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4.
10.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1)；第二条路线较长不拥挤，X服从正态分布N(6,0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
B级——应用创新
11.[多选]山东东阿盛产阿胶，阿胶与人参、鹿茸并称“中药三宝”.阿胶的主要原料是驴皮，配以冰糖、绍酒、豆油等十几种辅料，用东阿特有的含多种矿物质的井水，采取传统的制作工艺熬制而成.已知每盒某阿胶产品的质量M(单位：g)服从正态分布N(250，σ2)，且P(M<251)＝0.75，P(249A.若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量大于249 g的概率为0.75
B.若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量在251 g～253 g内的概率为0.15
C.若从该阿胶产品中随机选取1 000盒，则质量大于253 g的盒数的方差为47.5
D.若从该阿胶产品中随机选取1 000盒，则质量在251 g～253 g内的盒数的均值为200
12.为庆祝中国共产党成立103周年，不断提升广大党员干部学习党的政治理论知识的自觉性，某市面对全体党员，举办了“强国复兴有我”党史知识竞赛.比赛由初赛、复赛和决赛三个环节组成.已知进入复赛的党员共有100 000人，复赛总分105分，所有选手的复赛成绩都不低于55分.经过复赛，有2 280名党员进入了决赛，并最终评出了若干一等奖和52个特等奖.复赛成绩和决赛成绩都服从正态分布.现从中随机选出100名选手的复赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试根据频率分布直方图，求这100名选手的平均成绩 (同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)若全体复赛选手的平均成绩刚好等于，标准差为9.5，试确定由复赛进入决赛的分数线是多少？
(3)甲在决赛中取得了99分的优异成绩，乙对甲说：“据可靠消息，此次决赛的平均成绩是75分，90分以上才能获得特等奖.”试用统计学的相关知识，分析乙所说消息的真实性.
参考数据：P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 4.
13.为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关.现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查.
分数 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
人数 10 15 45 20 10
(1)假设分数Z近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数 (每组数据取区间的中点值)，σ2近似为样本方差s2≈212，若该校有4 000名学生参与答题活动，试估计分数在(30,93)内的学生数；
(2)学校规定：分数在[60,100]内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分；只有第一关闯关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；对两关均闯关成功的学生记德育学分10分.在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关成功的概率均为，同学之间第二关闯关是相互独立的.从第一关闯关成功的学生中随机抽取2人，记2人本次活动总分为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
(参考数据：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ课时跟踪检测(五十八)
1．选B 由题意得f(x)＝e＝·e，故μ＝0，σ＝2.
2．选A 因为随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以正态曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5，由P(X＞1)＝0.5，可知a＝1.
3．选A 由题意，得σ(X)＝0.8，σ(Y)＝1，σ(Z)＝2，因为当σ较小时，峰值高，正态曲线“高瘦”，且σ(X)<σ(Y)<σ(Z)，所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号依次为①②③.
4．选B 因为P(X>100)＝0.5－＝0.2，所以本班在100分以上的人数约为60×0.2＝12.
5．选AD 因为P(ξ<2)＝P(ξ>4)＝a，根据正态曲线的对称性可知，μ＝＝3，故A正确；根据对称性可知，P(3≤ξ≤4)＝≠1－2a，故B错误；因为ξ～N(μ，7)，所以Dξ＝7，故C错误；根据对称性可知，P(2≤ξ≤3)＝－a，故D正确．
6．解析：因为ξ～N(μ，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝μ对称，又P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)，从而μ＝＝2.
答案：2
7．解析：由模拟考试中，数学成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)，且P(80<ξ≤120)＝0.7，
根据正态曲线的对称性，可得P(ξ>120)＝＝＝0.15，
所以本次考试中数学成绩在120分以上的大约有28 000×0.15＝4 200人．
答案：4 200
8．解析：根据正态曲线的对称性知，要使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，则(μ－2σ，μ＋2σ) (－0.5,0.5)且μ＝0，σ＝，∴0.5≥2，解得n≥32.故至少要测量32次．
答案：32
9．解：(1)由X～N(2,9)可知，正态曲线关于直线x＝2对称．
因为P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，
所以2－(c－1)＝(c＋1)－2，解得c＝2.
(2)由X～N(2,9)，得μ＝2，σ＝3，
所以P(－4＜X≤8)＝P(2－2×3＜X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4.
10．解：还有7分钟时：
若选第一条路线，即X～N(5,1)，能及时到达的概率P1＝P(X≤7)＝P(X≤5)＋P(5若选第二条路线，即X～N(6,0.16)，能及时到达的概率P2＝P(X≤7)＝P(X≤6)＋P(6同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．
11．选ACD 因为M～N(250，σ2)，所以P(M>249)＝P(M<251)＝0.75，A正确．因为P(M<251)＝0.75，所以P(249253)＝0.75－0.7＝0.05，若从该阿胶产品中随机选取1 000盒，则质量大于253 g的盒数X～B(1 000,0.05)，所以DX＝1 000×0.05×(1－0.05)＝47.5，C正确．P(25112．解：(1)由10×(0.005＋0.03＋0.04＋a＋0.005)＝1，得a＝0.02，
所以＝60×0.05＋70×0.3＋80×0.4＋90×0.2＋100×0.05＝79.
(2)由已知，得复赛选手进入决赛的概率为＝0.022 8，又因为复赛成绩ξ～N(79，9.52)，而P(ξ≥μ＋2σ)≈＝0.022 8，所以进入决赛的分数线为μ＋2σ＝79＋9.5×2＝98.
(3)若乙所说消息为真，则决赛中获得特等奖的概率为≈0.022 8＝P(ξ≥μ＋2σ)，
由90＝μ＋2σ＝75＋2σ得σ＝7.5，
所以μ＋3σ＝75＋22.5＝97.5，
而P(ξ≥μ＋3σ)≈0.001 3，所以甲取得99分是小概率事件，这几乎是不可能发生的，
根据统计学的相关原理，我们可以判断，乙所说的消息是不真实的．
13．解：(1)样本的平均数 ＝10×0.1＋30×0.15＋50×0.45＋70×0.2＋90×0.1＝51，
所以分数Z近似服从正态分布N(51,212)，
即μ＝51，σ＝21，可得μ－σ＝30，μ＋2σ＝93，
所以P(μ－σ所以分数在(30,93)内的学生数约为4 000×0.818 5＝3 274.
(2)随机变量X的所有可能取值为10,15,20，
P(X＝10)＝2＝，
P(X＝15)＝C××＝，
P(X＝20)＝C×2＝，
所以X的分布列为
X 10 15 20
P
EX＝10×＋15×＋20×＝17.5.