板块综合融会 概率与统计案例的综合问题
概率与统计问题是热点问题，主要包括以下题型：①概率与2×2列联表的综合；②概率与线性回归方程的综合；③概率与统计指标的综合；④概率与统计图表的综合等.各类题型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻，解决此类问题的关键是把握概率、统计的本质，合理构造模型，正确进行数字运算和必要的逻辑推理.
融通点(一) 统计图表与统计案例的综合
[例1] 某地区在2020年底全面建成小康社会，随着实施乡村振兴战略规划，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加.该地区统计了2019年—2023年农村居民人均消费支出情况，对有关数据处理后，制作如图1的折线图(其中变量Y(万元)表示该地区农村居民人均消费支出，年份用变量T表示，其取值依次为1,2,3，…).
(1)由图1可知，变量Y与T具有很强的线性相关关系，求Y关于T的线性回归方程，并预测2024年该地区农村居民人均消费支出；
2019—2023年该地区农村居民人均消费支出
(2)在国际上，常用恩格尔系数(其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况.根据联合国粮农组织的标准：恩格尔系数在40%～50%为小康，30%～40%为富裕.已知2023年该地区农村居民人均消费支出构成如图2所示，预测2024年该地区农村居民食品类支出比2023年增长3%，从恩格尔系数判断2024年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准.
2023年该地区农村居民人均消费支出构成
参考公式：线性回归方程Y＝X＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－.
听课记录：
解决此类问题的关键是正确的识读统计图表，从统计图表中获取数据，然后计算得到数据(如平均数)，用以回归分析、独立性检验等.
[针对训练]
1.某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x(单位：t)，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求这400亩水稻平均亩产量的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位)；
(2)若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到右表：
亩产量超过0.7 t 亩产量不超过0.7 t 总计
河水灌溉 180 90 270
井水灌溉 70 60 130
总计 250 150 400
试判断是否有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源相关.
融通点(二) 独立性检验与概率的综合
[例2] 某校为了调查学生喜欢冰雪运动与性别的关系，在高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的2×2列联表(单位：人).
性别 是否喜欢冰雪运动
喜欢 不喜欢 总计
男 a c
女 b d
总计
已知从这200名学生中随机抽取1人，此人不喜欢冰雪运动的概率为0.2，表格中b＝60，d＝20.
(1)完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关；
(2)从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层随机抽样的方法抽取8人，再从中抽取3人调查其喜欢的项目，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及均值.
听课记录：
此类题型以2×2列联表为载体，考查独立性检验与概率中的二项分布、超几何分布以及正态分布的交汇知识，是高考的常考知识点.核心素养方面考查数学运算、数据分析以及直观想象等.
[针对训练]
2.某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本.将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好.已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人.
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；
B学科良好 B学科不够良好 总计
A学科良好
A学科
不够良好
总计
(2)用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良好的人数为随机变量X，求X的分布列与均值.
融通点(三) 回归分析与概率的综合
[例3] 某专营店统计了最近5天到该店购物的人数yi和时间第xi天之间的数据，列表如下：
xi 1 2 3 4 5
yi 75 84 93 98 100
(1)由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系？(若|r|>0.75，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算r时精确到0.01)
(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减10元；方案二，购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买一件价值1 000元的商品，请从实际付款金额的均值的角度分析，选哪种方案更优惠？
参考数据：≈65.88.
附：样本相关系数r＝.
听课记录：
此类题型重点考查回归方程以及样本相关系数的求解，常与概率统计知识结合考查.核心素养方面重点考查数学运算、数据分析和直观想象等.
[针对训练]
3.秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量(单位：杯)，列表如下：
日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
日期代码x 1 2 3 4 5 6 7
杯数y 4 15 22 26 29 31 32
(1)请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dln x哪一个更适宜作为y关于x的回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)建立y关于x的回归方程(结果保留1位小数)，并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？
(3)若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量X的分布列.
附：
xiyi uiyi u e2.1
22.7 1.2 759 235.1 13.2 8.2
其中ui＝ln xi，＝ui.
参考公式：线性回归方程Y＝X＋中，
＝，＝－.
板块综合融会 概率与统计案例的综合问题
[融通点(一)]
[例1] 解：(1)由已知得，t]＝＝3，
＝×(1.01＋1.10＋1.21＋1.33＋1.40)＝1.21，
t＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
tiyi＝1×1.01＋2×1.10＋3×1.21＋4×1.33＋5×1.40＝19.16，
∴＝＝＝0.101，
＝1.21－0.101×3＝0.907，
∴所求线性回归方程为Y＝0.101T＋0.907.
当T＝6时，Y＝0.101×6＋0.907＝1.513(万元)，
∴2024年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元.
(2)已知2024年该地区农村居民人均消费支出为1.513万元，由题图2可知，2023年该地区农村居民食品类支出为4 451元，则预测2024年该地区食品类支出为4 451×(1＋3%)＝4 584.53元，∴恩格尔系数＝×100%≈30.3%∈(30%,40%).
∴2024年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准.
[针对训练]
1.解：(1)由题意得(0.75×2＋1.25×2＋1.75＋2.25＋b)×0.1＝1，解得b＝2，
所以这400亩水稻平均亩产量的估计值为
(0.45×0.75＋0.55×1.25＋0.65×1.75＋0.75×2.25＋0.85×2＋0.95×1.25＋1.05×0.75)×0.1≈0.75.
(2)由题表数据得χ2＝
＝≈6.154，
因为6.154>3.841，所以有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源相关.
[融通点(二)]
[例2] 解：(1)依题意得，不喜欢冰雪运动的有200×0.2＝40人，喜欢冰雪运动的有200－40＝160人，即a＝100，b＝60，c＝20，d＝20.
补全列联表如下.
由表得χ2＝≈2.083<2.706，所以没有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关.
(2)按分层随机抽样，设抽取女生x名，男生y名，由＝＝，解得x＝3，y＝5，
即抽取的8人中女生有3人，男生有5人.
显然X的可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
[针对训练]
2.解：(1)由频率分布直方图可得A学科良好的人数为100×(0.040＋0.025＋0.005)×10＝70，所以2×2列联表如下：
B学科良好 B学科不够良好 总计
A学科良好 40 30 70
A学科不够良好 10 20 30
总计 50 50 100
由表得χ2＝
＝＝≈4.8>3.841，
所以有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关.
(2)由题意得A，B学科均良好的概率
P＝＝，
X的可能取值为0,1,2,3，且X～B.
所以P(X＝0)＝C×0×3＝，
P(X＝1)＝C×1×2＝，
P(X＝2)＝C×2×1＝，
P(X＝3)＝C×3×0＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为X～B，所以EX＝3×＝.
[融通点(三)]
[例3] 解：(1)＝＝3，
＝×(75＋84＋93＋98＋100)＝90，
所以 (xi－)(yi－)＝－2×(－15)－1×(－6)＋0＋1×8＋2×10＝64，
(xi－)2＝4＋1＋0＋1＋4＝10，(yi－)2＝(－15)2＋(－6)2＋32＋82＋102＝434，
所以r＝＝≈≈0.97>0.75.
所以y与x的线性相关程度很高，故可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系.
(2)设方案一的实际付款金额为X元，方案二的实际付款金额为Y元，
由题意可知，EX＝1 000×0.9＝900(元)，
Y的可能取值有600,800,900,1 000，
则P(Y＝600)＝3＝，
P(Y＝800)＝C·2·＝，
P(Y＝900)＝C··2＝，
P(Y＝1 000)＝3＝，
所以EY＝600×＋800×＋900×＋1 000×＝<＝EX，
所以方案二更优惠.
[针对训练]
3.解：(1)根据散点图，知y＝c＋dln x更适宜作为y关于x的回归方程模型.
(2)令u＝ln x，则y＝＋u，
由已知数据得＝
＝≈14.2，
＝－＝22.7－14.2×1.2≈5.7，
所以＝5.7＋14.2u.
故y关于x的回归方程为＝5.7＋14.2ln x，
进而由题意知，令5.7＋14.2ln x>35，
整理得ln x>2.1，即x>e2.1≈8.2，故当x＝9，即要到第9天售出的奶茶才能超过35杯.
(3)由题意知，这7天中销售超过25杯的有4天，则随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P(共80张PPT)
板块综合融会 概率与统计案例的综合问题
(习题课—小结评价式教学)
概率与统计问题是热点问题，主要包括以下题型：①概率与2×2列联表的综合；②概率与线性回归方程的综合；③概率与统计指标的综合；④概率与统计图表的综合等．各类题型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻，解决此类问题的关键是把握概率、统计的本质，合理构造模型，正确进行数字运算和必要的逻辑推理．
CONTENTS
目录
1
2
3
融通点(一) 统计图表与统计案例的综合
融通点(二) 独立性检验
与概率的综合
融通点(三) 回归分析与
概率的综合
4
课时跟踪检测
融通点(一) 统计图表与
统计案例的综合
01
[例1] 某地区在2020年底全面建成小康社会，随着实施乡村振兴战略规划，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加．该地区统计了2019年—2023年农村居民人均消费支出情况，对有关数据处理后，制作如图1的折线图(其中变量Y(万元)表示该地区农村居民人均消费支出，年份用变量T表示，其取值依次为1,2,3，…)．
(1)由图1可知，变量Y与T具有很强的线性相关关系，求Y关于T的线性回归方程，并预测2024年该地区农村居民人均消费支出；
(2)在国际上，常用恩格尔系数(其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况．根据联合国粮农组织的标准：恩格尔系数在40%～50%为小康，30%～40%为富裕．已知2023年该地区农村居民人均消费支出构成如图2所示，预测2024年该地区农村居民食品类支出比2023年增长3%，从恩格尔系数判断2024年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准．
方法技巧
解决此类问题的关键是正确的识读统计图表，从统计图表中获取数据，然后计算得到数据(如平均数)，用以回归分析、独立性检验等．
针对训练
1．某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收．
为了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量x(单位：t)，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求这400亩水稻平均亩产量的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位)；
(2)若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：
亩产量超过0.7 t 亩产量不超过0.7 t 总计
河水灌溉 180 90 270
井水灌溉 70 60 130
总计 250 150 400
试判断是否有95%的把握认为亩产量与所用灌溉水源相关．
解：(1)由题意得(0.75×2＋1.25×2＋1.75＋2.25＋b)×0.1＝1，解得b＝2，
所以这400亩水稻平均亩产量的估计值为
(0.45×0.75＋0.55×1.25＋0.65×1.75＋0.75×2.25＋0.85×2＋0.95×1.25＋1.05×0.75)×0.1≈0.75.
(2)由题表数据得
融通点(二) 独立性检验
与概率的综合
02
[例2] 某校为了调查学生喜欢冰雪运动与性别的关系，在高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的2×2列联表(单位：人).
性别 是否喜欢冰雪运动 总计
喜欢 不喜欢 男 a c
女 b d
总计
已知从这200名学生中随机抽取1人，此人不喜欢冰雪运动的概率为0.2，表格中b＝60，d＝20.
(1)完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关；
(2)从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层随机抽样的方法抽取8人，再从中抽取3人调查其喜欢的项目，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及均值．
解：(1)依题意得，不喜欢冰雪运动的有200×0.2＝40人，喜欢冰雪运动的有200－40＝160人，
即a＝100，b＝60，c＝20，d＝20.
补全列联表如下.
方法技巧
此类题型以2×2列联表为载体，考查独立性检验与概率中的二项分布、超几何分布以及正态分布的交汇知识，是高考的常考知识点．核心素养方面考查数学运算、数据分析以及直观想象等．
2．某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．
针对训练
(1)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；
B学科良好 B学科不够良好 总计
A学科良好
A学科 不够良好
总计
(2)用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A，B学科均良好的人数为随机变量X，求X的分布列与均值．
解：(1)由频率分布直方图可得A学科良好的人数为100×(0.040＋0.025＋0.005)×10＝70，
所以2×2列联表如下：
B学科良好 B学科不够良好 总计
A学科良好 40 30 70
A学科不够良好 10 20 30
总计 50 50 100
所以X的分布列为
融通点(三) 回归分析与
概率的综合
03
[例3] 某专营店统计了最近5天到该店购物的人数yi和时间第xi天之间的数据，列表如下：
xi 1 2 3 4 5
yi 75 84 93 98 100
(2)设方案一的实际付款金额为X元，方案二的实际付款金额为Y元，
由题意可知，EX＝1 000×0.9＝900(元)，
Y的可能取值有600,800,900,1 000，
方法技巧
此类题型重点考查回归方程以及样本相关系数的求解，常与概率统计知识结合考查．核心素养方面重点考查数学运算、数据分析和直观想象等．
3．秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网．后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人．某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量(单位：杯)，列表如下：
针对训练
日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
日期 代码x 1 2 3 4 5 6 7
杯数y 4 15 22 26 29 31 32
(2)建立y关于x的回归方程(结果保留1位小数)，并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？
(3)若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量X的分布列．
附：
解：
课时跟踪检测
04
1
4
5
2
1．2023年7月28日，第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕．为庆祝大运会的到来，有A，B，C，…，J共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练．教练训练前对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分及以上的为“优秀”．
3
1
4
5
2
3
1
4
5
2
优秀人数 非优秀人数 总计
训练前
训练后
总计
(1)将上面的列联表补充完整，并判断能否有90%以上的把握认为跳水员的优秀情况与训练有关？并说明原因；
(2)现决定从训练后成绩最好的5人中任选2人为大运游泳场馆的志愿者，求所选2人中至少有1人训练前成绩已为优秀的概率．
3
1
4
5
2
解：(1)由题意得列联表为
优秀人数 非优秀人数 总计
训练前 2 8 10
训练后 8 2 10
总计 10 10 20
3
1
4
5
2
3
1
5
2
4
2．电视传媒公司为了了解南京市区某部电视剧的收视情况，随机抽取容量为180人的样本，调查其对该电视剧的态度，其结果如下：
态度 男 女 总计
喜欢 60 60 120
不喜欢 20 40 60
总计 80 100 180
3
1
5
2
4
3
1
5
2
4
解：(1)由题表数据得
3
1
5
2
4
3
1
5
2
4
3
1
5
2
3
4
1
5
2
4
3
1
5
2
4
3
1
5
2
4
(2)设A家庭套住小白兔的人数为X1，
3
1
5
2
4
设B家庭套住小白兔的人数为Y1，
则Y1的可能取值为0,1,2,3，
3
1
5
2
4
3
1
5
4
2
4．某中学高三年级为丰富学生课余生活，减轻学习压力，组建了篮球社团．为了了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了该年级男、女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢篮球 不喜欢篮球 总计
男生 20
女生 15
总计
3
1
5
4
2
3
1
5
4
2
解：(1)依题意，2×2列联表如下：
喜欢篮球 不喜欢篮球 总计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
总计 45 55 100
3
1
5
4
2
3
1
5
4
2
3
1
5
4
2
3
1
5
4
2
3
1
5
4
2
合格 不合格 总计
高三年级的学生 54
高一年级的学生 16
总计 100
3
1
5
4
2
(1)请完成2×2列联表，依据独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？
(2)以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为X，求X的分布列和均值．
3
1
5
4
2
合格 不合格 总计
高三年级的学生 54 6 60
高一年级的学生 24 16 40
总计 78 22 100
3
1
5
4
2
3
1
5
4
2
3
1
5
4
2
所以X的分布列为
3课时跟踪检测(六十二) 概率与统计案例的综合问题
1.2023年7月28日，第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来，有A，B，C，…，J共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营，并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员测试打分，得分情况如图中虚线所示；集训后再进行测试，10位跳水员得分情况如图中实线所示，规定满分为10分，记得分在8分及以上的为“优秀”.
优秀人数 非优秀人数 总计
训练前
训练后
总计
(1)将上面的列联表补充完整，并判断能否有90%以上的把握认为跳水员的优秀情况与训练有关？并说明原因；
(2)现决定从训练后成绩最好的5人中任选2人为大运游泳场馆的志愿者，求所选2人中至少有1人训练前成绩已为优秀的概率.
2.电视传媒公司为了了解南京市区某部电视剧的收视情况，随机抽取容量为180人的样本，调查其对该电视剧的态度，其结果如下：
态度 男 女 总计
喜欢 60 60 120
不喜欢 20 40 60
总计 80 100 180
(1)能否有97.5%以上的把握认为“喜欢该电视剧”与“性别”有关？
(2)经统计得，不喜欢该电视剧的人为老年人，从老年人中任取5人，随机变量X表示所取男、女老年人相差的个数.求X的分布列和均值.
3.某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节.小张弄了一个套小白兔的摊位，设xi表示第i天的平均气温，yi表示第i天参与活动的人数，i＝1，2，…，20，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：(xi－)2＝80，(yi－)2＝9 000， (xi－)(yi－)＝800.
(1)根据所给数据，用样本相关系数r(精确到0.01)判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；
(2)现有两个家庭参与套圈，A家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为，B家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为，，，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费30元，每个小白兔价值60元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的均值为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？
附：样本相关系数r＝.
4.某中学高三年级为丰富学生课余生活，减轻学习压力，组建了篮球社团.为了了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了该年级男、女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢篮球 不喜欢篮球 总计
男生 20
女生 15
总计
(1)根据所给数据完成上表，并判断能否有99.5%的把握认为该校高三年级学生喜欢篮球与性别有关？
(2)社团指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范罚分线处定点投篮.已知这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人投篮一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数X的分布列和均值.
5.在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表：
合格 不合格 总计
高三年级的学生 54
高一年级的学生 16
总计 100
(1)请完成2×2列联表，依据独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？
(2)以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为X，求X的分布列和均值.
课时跟踪检测(六十二)
1．解：(1)由题意得列联表为
优秀人数 非优秀人数 总计
训练前 2 8 10
训练后 8 2 10
总计 10 10 20
由表格数据得
χ2＝＝＝7.2>2.706，
故有90%以上的把握认为跳水员的优秀情况与训练有关．
(2)由题图知，训练后成绩最好的5人中有2人训练前成绩为优秀，
所以5人中任选2人训练前成绩均不优秀的概率为＝，故所选2人中至少有1人训练前成绩已为优秀的概率为1－＝.
2．解：(1)由题表数据得
χ2＝＝＝4.5<5.024，
故没有97.5%以上的把握认为“喜欢该电视剧”与“性别”有关．
(2)在不喜欢该电视剧的60人中，老年人占15人，其中女的有10人，男的有5人．
所以X的可能取值为1,3,5，
则P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
故X的分布列为
X 1 3 5
P
所以EX＝1×＋3×＋5×＝.
3．解：(1)由题意得
r＝＝＝≈0.94，
则根据样本相关系数r的值接近1，知可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)设A家庭套住小白兔的人数为X1，
∵事件本身独立重复，则X1～B，
∴EX1＝3×＝，
设A家庭的盈利为X2，则X2＝60X1－90，
∴EX2＝E(60X1－90)＝60EX1－90
＝54－90＝－36.
设B家庭套住小白兔的人数为Y1，
则Y1的可能取值为0,1,2,3，
∴P(Y1＝0)＝××＝，
P(Y1＝1)＝××＋××＋××＝，
P(Y1＝2)＝××＋××＋××＝，
P(Y1＝3)＝××＝，
∴EY1＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
设B家庭的盈利为Y2，则Y2＝60Y1－90，
∴EY2＝E(60Y1－90)＝60EY1－90＝45－90＝－45.
∵－36>－45，∴B家庭损失较大．
4．解：(1)依题意，2×2列联表如下：
喜欢篮球 不喜欢篮球 总计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
总计 45 55 100
由表格数据得
χ2＝＝≈9.091>7.879，所以有99.5%的把握认为该校高三年级学生喜欢篮球与性别有关．
(2)依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝2×＝，P(X＝1)＝C×××＋2×＝，
P(X＝2)＝C×××＋2×＝＝，
P(X＝3)＝2×＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
5．解：(1)由100名学生中高三年级的学生占，可知高三年级的学生有60人，高一年级的学生有40人．
补充完整列联表如下：
合格 不合格 总计
高三年级的学生 54 6 60
高一年级的学生 24 16 40
总计 78 22 100
根据列联表中的数据，
得χ2＝＝≈12.59>10.828.
所以可以认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关．
(2)由(1)得，高一年级的学生对公式的掌握情况合格的频率为＝.
依题意，得X～B，
则P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝3＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
EX＝np＝3×＝.
