第十七章 因式分解
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ C ）
A.a（x＋y）＝ax＋ay
B.x2－4x＋4＝x（x－4）＋4
C.10x2－5x＝5x（2x－1）
D.x2－16＋3x＝（x－4）（x＋4）＋3x
2.下列因式分解正确的是（ C ）
A.m2＋n2＝（m＋n）（m－n）
B.x2＋2x－1＝（x－1）2
C.a2－a＝a（a－1）
D.a2＋2a＋1＝a（a＋2）＋1
3.式子n2－1与n2＋n的公因式是（ A ）
A.n＋1 B.n2 C.n D.n－1
4.利用因式分解计算：11×1022－11×982的结果是（ D ）
A.44 B.800 C.2 200 D.8 800
5.若x2＋2（m－3）x＋1是完全平方式，x＋n与x＋2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为（ D ）
A.－4 B.16
C.－4或－16 D.4或16
6.已知m，n均为正整数且满足mn－2m－3n－20＝0，则m＋n的最小值是（ A ）
A.20 B.30 C.32 D.37
二、填空题（每小题5分，共20分）
7.若a＋b＝－1，则a2＋2ab＋b2＝ 1 .
8.若（－x2－4y2）·A＝16y4－x4，则A＝ x2－4y2 .
9.若2 0252 025－2 0252 023＝2 026×2 025n×2 024，则n的值是 2 023 .
10.甲、乙两个同学因式分解x2＋ax＋b时，甲看错了b，分解结果为（x＋2）（x＋4）；乙看错了a，分解结果为（x＋1）（x＋9），则多项式x2＋ax＋b因式分解的正确结果为 （x＋3）2 .
三、解答题（共50分）
11.（18分）分解因式：
（1）x2＋7x＋；
解：原式＝.
（2）（a＋2）2－8（a＋2）＋16；
解：原式＝（a＋2－4）2
＝（a－2）2.
（3）a2（x＋y）－4b2（x＋y）；
解：原式＝（x＋y）（a2－4b2）
＝（x＋y）（a＋2b）（a－2b）.
（4）（x2＋25）2－100x2；
解：原式＝（x2＋25＋10x）（x2＋25－10x）
＝（x＋5）2（x－5）2.
（5）（x2＋2x＋1）－y2；
解：原式＝（x＋1）2－y2
＝（x＋1＋y）（x＋1－y）.
（6）m4－16n4.
解：原式＝（m2＋4n2）（m2－4n2）
＝（m2＋4n2）（m＋2n）（m－2n）.
12.（10分）先分解因式，再求值：
（1）4a2（x＋7）－3（x＋7），其中a＝－5，x＝3.
解：原式＝（x＋7）（4a2－3）.
当a＝－5，x＝3时，
原式＝（3＋7）×（100－3）＝970.
（2）（2x－3y）2－（2x＋3y）2，其中x＝，y＝.
解：原式＝[（2x－3y）＋（2x＋3y）][（2x－3y）－（2x＋3y）]＝－24xy.
当x＝，y＝时，
原式＝－24××＝－.
13.（10分）（福建中考节选）已知实数a，b，c，m，n满足3m＋n＝，mn＝.求证：b2－12ac为非负数.
证明：因为3m＋n＝，mn＝，
所以b＝a（3m＋n），c＝amn.
所以b2－12ac＝[a（3m＋n）]2－12a·amn
＝a2（3m＋n）2－12a2mn
＝a2（9m2＋6mn＋n2－12mn）
＝a2（9m2－6mn＋n2）
＝a2（3m－n）2.
又因为a，m，n都是实数，
所以a2（3m－n）2≥0.
所以b2－12ac为非负数.
14.（12分）【阅读材料】
因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，
则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2.
再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2.
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
【问题解决】
（1）因式分解：1＋4（x－y）＋4（x－y）2；
（2）因式分解：（a＋b）（a＋b－8）＋16；
（3）求证：若n为正整数，则式子（n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋1的值一定是某个整数的平方.
（1）解：原式＝（2x－2y＋1）2.
（2）解：令a＋b＝A，
则原式＝A（A－8）＋16
＝A2－8A＋16
＝（A－4）2
可得“A”还原，得原式＝（a＋b－4）2
（3）证明：原式＝（n2＋3n＋2）（n2＋3n）＋1
＝（n2＋3n）2＋2（n2＋3n）＋1
＝（n2＋3n＋1）2.
∵n为正整数，
∴n2＋3n＋1为正整数.
∴式子（n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋1的值一定是某个整数的平方.第十七章 因式分解
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
A.a（x＋y）＝ax＋ay
B.x2－4x＋4＝x（x－4）＋4
C.10x2－5x＝5x（2x－1）
D.x2－16＋3x＝（x－4）（x＋4）＋3x
2.下列因式分解正确的是（ ）
A.m2＋n2＝（m＋n）（m－n）
B.x2＋2x－1＝（x－1）2
C.a2－a＝a（a－1）
D.a2＋2a＋1＝a（a＋2）＋1
3.式子n2－1与n2＋n的公因式是（ ）
A.n＋1 B.n2 C.n D.n－1
4.利用因式分解计算：11×1022－11×982的结果是（ ）
A.44 B.800 C.2 200 D.8 800
5.若x2＋2（m－3）x＋1是完全平方式，x＋n与x＋2的乘积中不含x的一次项，则nm的值为（ ）
A.－4 B.16
C.－4或－16 D.4或16
6.已知m，n均为正整数且满足mn－2m－3n－20＝0，则m＋n的最小值是（ ）
A.20 B.30 C.32 D.37
二、填空题（每小题5分，共20分）
7.若a＋b＝－1，则a2＋2ab＋b2＝ .
8.若（－x2－4y2）·A＝16y4－x4，则A＝ .
9.若2 0252 025－2 0252 023＝2 026×2 025n×2 024，则n的值是 .
10.甲、乙两个同学因式分解x2＋ax＋b时，甲看错了b，分解结果为（x＋2）（x＋4）；乙看错了a，分解结果为（x＋1）（x＋9），则多项式x2＋ax＋b因式分解的正确结果为 .
三、解答题（共50分）
11.（18分）分解因式：
（1）x2＋7x＋；
（2）（a＋2）2－8（a＋2）＋16；
（3）a2（x＋y）－4b2（x＋y）；
（4）（x2＋25）2－100x2；
（5）（x2＋2x＋1）－y2；
（6）m4－16n4.
12.（10分）先分解因式，再求值：
（1）4a2（x＋7）－3（x＋7），其中a＝－5，x＝3.
（2）（2x－3y）2－（2x＋3y）2，其中x＝，y＝.
13.（10分）（福建中考节选）已知实数a，b，c，m，n满足3m＋n＝，mn＝.求证：b2－12ac为非负数.
14.（12分）【阅读材料】
因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，
则原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2.
再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）2.
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
【问题解决】
（1）因式分解：1＋4（x－y）＋4（x－y）2；
（2）因式分解：（a＋b）（a＋b－8）＋16；
（3）求证：若n为正整数，则式子（n＋1）（n＋2）（n2＋3n）＋1的值一定是某个整数的平方.
