第十三章 三角形
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.如图，∠BAC为钝角，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，则△ABC中边AC上的高为（ ）
第1题图
A.AD B.BE
C.CF D.AF
2.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长多3 cm.若AB＝10 cm，则AC的长为（ ）
第2题图
A.6 cm B.5 cm
C.8 cm D.7 cm
3.如图，在△ABC中，D为AB延长线上的一点，DE⊥AC于点E，∠C＝40°，∠D＝20°，则∠ABC的度数为（ ）
第3题图
A.50° B.60° C.70° D.80°
4.将一副三角板按如图所示的方式放置，则图中∠CAF的度数为（ ）
第4题图
A.50° B.60° C.75° D.85°
5.为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地，则在篱笆CD上接上新的篱笆的长度可以为（ ）
A.4 m B.3 m C.9 m D.8 m
6.如图，在△ABC中，高BD，CF相交于点E，若∠A＝52°，则∠BEC的度数为（ ）
A.116°
B.128°
C.138°
D.142°
二、填空题（每小题5分，共20分）
7.一个等腰三角形一边长为3 cm，另一边长为7 cm，那么这个等腰三角形的周长是 cm.
8.如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是 .
第8题图
9.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，BE的中点，且图中阴影部分S△CEF＝2，则△ABC的面积是 .
第9题图
10.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BM，CM分别是内角∠ABC，∠ACB的平分线，BN，CN是外角的平分线，则∠M－∠N＝ °.
三、解答题（共50分）
11.（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝80°，且AD平分∠BAC，BE⊥AD，交AD的延长线于点E.求∠EBD的度数.
12.（12分）在△ABC中，BC＝10，AB＝2.
（1）若AC是偶数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为13，求△BCD的周长.
13.（14分）[数学建模]如图1，AD，BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为“8”字形ABCD.
（1）求证：∠A＋∠B＝∠C＋∠D；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线交于点E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由.
14.（14分）如图，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E.
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
（2）当点P在线段AD上运动时，求证：∠E＝（∠ACB－∠B）.第十三章 三角形
一、选择题（每小题5分，共30分）
1.如图，∠BAC为钝角，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，则△ABC中边AC上的高为（ B ）
第1题图
A.AD B.BE
C.CF D.AF
2.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长多3 cm.若AB＝10 cm，则AC的长为（ D ）
第2题图
A.6 cm B.5 cm
C.8 cm D.7 cm
3.如图，在△ABC中，D为AB延长线上的一点，DE⊥AC于点E，∠C＝40°，∠D＝20°，则∠ABC的度数为（ C ）
第3题图
A.50° B.60° C.70° D.80°
4.将一副三角板按如图所示的方式放置，则图中∠CAF的度数为（ C ）
第4题图
A.50° B.60° C.75° D.85°
5.为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地，则在篱笆CD上接上新的篱笆的长度可以为（ A ）
A.4 m B.3 m C.9 m D.8 m
6.如图，在△ABC中，高BD，CF相交于点E，若∠A＝52°，则∠BEC的度数为（ B ）
A.116°
B.128°
C.138°
D.142°
二、填空题（每小题5分，共20分）
7.一个等腰三角形一边长为3 cm，另一边长为7 cm，那么这个等腰三角形的周长是 17 cm.
8.如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是 三角形具有稳定性 .
第8题图
9.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，BE的中点，且图中阴影部分S△CEF＝2，则△ABC的面积是 8 .
第9题图
10.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BM，CM分别是内角∠ABC，∠ACB的平分线，BN，CN是外角的平分线，则∠M－∠N＝ 60 °.
三、解答题（共50分）
11.（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝80°，且AD平分∠BAC，BE⊥AD，交AD的延长线于点E.求∠EBD的度数.
解：在△ABC中，
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－60°－80°＝40°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝20°.
∵BE⊥AE，∴∠E＝90°.
∴∠ABE＝90°－20°＝70°.
∴∠EBD＝∠ABE－∠ABC＝70°－60°＝10°.
12.（12分）在△ABC中，BC＝10，AB＝2.
（1）若AC是偶数，求AC的长；
（2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为13，求△BCD的周长.
解：（1）由三角形的三边关系可知：BC－AB＜AC＜BC＋AB，
则10－2＜AC＜10＋2，即8＜AC＜12.
∵AC是偶数，∴AC＝10.
（2）∵△ABD的周长为13，
∴AB＋AD＋BD＝13.
∵AB＝2，∴AD＋BD＝11.
∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD.∴CD＋BD＝11.
∵BC＝10，∴△BCD的周长为BC＋CD＋BD＝10＋11＝21.
13.（14分）[数学建模]如图1，AD，BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为“8”字形ABCD.
（1）求证：∠A＋∠B＝∠C＋∠D；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线交于点E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由.
（1）证明：∵∠A＋∠B＋∠AOB＝180°，
∠C＋∠D＋∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
（2）解：2∠E＝∠A＋∠C.理由如下：
∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，
∴设∠ABE＝∠EBC＝x，
∠ADE＝∠EDC＝y.
∵∠A＋x＝∠E＋y，∠C＋y＝∠E＋x，
∴∠A＋∠C＝∠E＋∠E，
即2∠E＝∠A＋∠C.
14.（14分）如图，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E.
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
（2）当点P在线段AD上运动时，求证：∠E＝（∠ACB－∠B）.
（1）解：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝180°－35°－85°＝60°.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝30°.
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝35°＋30°＝65°.
∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°.
∴∠E＝90°－∠PDE＝90°－65°＝25°.
（2）证明：∵∠BAC＝180°－（∠B＋∠ACB），AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝90°－（∠B＋∠ACB）.
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝90°－（∠ACB－∠B）.
∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°.
∴∠E＝90°－∠ADC，
即∠E＝（∠ACB－∠B）.
