第十七章 因式分解 综合评价
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ D ）
A.ab＋ac＋d＝a（b＋c）＋d
B.（x＋2）（x－2）＝x2－4
C.6ab＝2a·3b
D.x2－8x＋16＝（x－4）2
2.多项式12ab2－8a2bc的公因式是（ A ）
A.4ab B.4a2b2 C.2ab D.2abc
3.下列各式能用平方差公式分解因式的有（ B ）
①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；④－x2－y2；⑤1－a2b2；⑥x2＋4.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.下列分解因式正确的一项是（ A ）
A.x2－9＝（x＋3）（x－3）
B.2xy＋4x＝2（xy＋2x）
C.x2－2x－1＝（x－1）2
D.x2＋y2＝（x＋y）2
5.若关于x的多项式x2－2（a＋3）x＋25是完全平方式，则a的值为（ C ）
A.±8 B.±2
C.2或－8 D.－2或8
6.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是（ D ）
A.a2－1
B.a2＋a
C.（a＋2）2－2（a＋2）＋1
D.a2－2a＋1
7.若58－1可以被20到30之间的某两个整数整除，则这两个整数是（ A ）
A.24，26 B.25，27
C.26，28 D.27，29
8.如果多项式mx2－nx－2能因式分解为（3x＋2）（x＋p），那么下列结论正确的是（ B ）
A.m＝6 B.n＝1
C.p＝－2 D.mnp＝3
9.已知a，b，c是△ABC的三条边，则代数式（a－c）2－b2的值（ B ）
A.一定是正数
B.一定是负数
C.正、负数都有可能
D.有可能为零
10.如果x－2是ax2－bx＋2的一个因式，则2a－b的值是（ B ）
A.－2 B.－1 C.0 D.1
11.如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长、宽分别为a，b的长方形卡片4张.现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ B ）
A.4a＋b B.2a＋b
C.a＋2b D.a＋3b
12.取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），当x＝9，y＝9时，各个因式的值是x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码可以是（ A ）
A.101030 B.010103
C.100130 D.301001
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13.请你写出一个整式A，使得多项式4x2－A能因式分解，这个整式A可以是 xy（答案不唯一） .
14.若a＋b＝4，a－b＝1，则（a＋1）2－（b－1）2的值为 12 .
15.如图，长为a、宽为b的长方形的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为 70 .
16.已知a＝2 023x＋2 023，b＝2 023x＋2 024，c＝2 023x＋2 025，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是 3 .
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）分解因式：
（1）－2a3＋12a2－18a；
解：原式＝－2a（a2－6a＋9）
＝－2a（a－3）2.
（2）a2（x－y）－4b2（x－y）.
解：原式＝（x－y）（a2－4b2）
＝（x－y）（a＋2b）（a－2b）.
18.（10分）用简便方法计算：
（1）1.992＋1.99×0.01；
解：原式＝1.99×（1.99＋0.01）
＝1.99×2
＝3.98.
（2）842－28×84＋142.
解：原式＝842－2×14×84＋142
＝（84－14）2
＝702
＝4 900.
19.（10分）先因式分解，再计算求值：ab（a－b）－a（b－a）2，其中a＝3，b＝2.
解：原式＝ab（a－b）－a（a－b）2
＝a（a－b）[b－（a－b）]
＝a（a－b）（2b－a）.
当a＝3，b＝2时，原式＝3×（3－2）×（2×2－3）＝3×1×1＝3.
20.（10分）先阅读，再解决问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法.
例如：am＋an＋bm＋bn＝（am＋an）＋（bm＋bn）＝a（m＋n）＋b（m＋n）＝（m＋n）（a＋b）.
（1）分解因式：ab－2a－2b＋4；
（2）若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值.
解：（1）ab－2a－2b＋4
＝（ab－2a）－（2b－4）
＝a（b－2）－2（b－2）
＝（b－2）（a－2）.
（2）∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0.
∴（m＋n）2＋（n－3）2＝0.
∴m＋n＝0，n－3＝0.
∴m＝－3，n＝3.
21.（10分）下面是某同学对多项式（x2－2x）（x2－2x＋2）＋1进行因式分解的过程：
解：设x2－2x＝y.
原式＝y（y＋2）＋……………………………………（第一步）
＝y2＋2y＋1…………………………………（第二步）
＝（y＋1）2…………………………………（第三步）
＝（x2－2x＋1）2.………………………… （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了（ C ）
A.提取公因式 B.平方差公式 C.完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为 （x－1）4 ；
（3）请你模仿上述方法，对多项式（x2－2）（x2－6）＋4进行因式分解.
解：（3）设x2－2＝y，则
原式＝y（y－4）＋4
＝y2－4y＋4
＝（y－2）2
＝（x2－2－2）2
＝（x2－4）2
＝（x－2）2（x＋2）2，
即（x2－2）（x2－6）＋4＝（x－2）2（x＋2）2.
22.（12分）有一系列等式：
1×2×3×4＋1＝52＝（12＋3×1＋1）2；
2×3×4×5＋1＝112＝（22＋3×2＋1）2；
3×4×5×6＋1＝192＝（32＋3×3＋1）2；
4×5×6×7＋1＝292＝（42＋3×4＋1）2；
……
（1）根据你的观察、归纳发现的规律，写出11×12×13×14＋1的结果为 24 025 ；
（2）试猜想n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1是哪一个数的平方，并予以证明.
解：（2）猜想n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1＝（n2＋3n＋1）2.
证明：n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1
＝n（n＋3）·（n＋1）（n＋2）＋1
＝（n2＋3n）（n2＋3n＋2）＋1
＝（n2＋3n）2＋2（n2＋3n）＋1
＝（n2＋3n＋1）2.
23.（12分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块是长为a cm，宽为b cm的相同的小长方形，且a＞b.
（1）观察图形，可以发现代数式2a2＋5ab＋2b2可以因式分解为 （a＋2b）（b＋2a） ；
（2）若图中阴影部分的面积为34 cm2，大长方形纸板的周长为30 cm.
①求a＋b的值；
解：（2）①根据长方形的周长为30 cm，
可得2（2a＋b＋a＋2b）＝30，
2（3a＋3b）＝30，
6（a＋b）＝30，
a＋b＝5.
∴a＋b的值为5.
②求图中空白部分的面积.
解：②空白部分的面积为5ab cm2，
根据①得a＋b＝5.
∵阴影部分的面积为34 cm2，
且阴影部分的面积表示为2a2＋2b2，
故a2＋b2＝17.
∵（a＋b）2－2ab＝a2＋b2，
∴52－2ab＝17.
∴ab＝4.∴5ab＝20.
∴空白部分的面积为20 cm2.
24.（12分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”.如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“幸运数”.
（1）请判断：28 是 “幸运数”；（填“是”或“不是”）
（2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由.
①奇奇发现：两个连续偶数2k＋2和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数；
解：（2）①奇奇的发现结论正确，理由如下：
∵两个连续偶数2k＋2和2k（其中k取非负整数）构造了“幸运数”，
∴（2k＋2）2－（2k）2
＝（2k＋2＋2k）（2k＋2－2k）
＝2（4k＋2）
＝4（2k＋1），
∴两个连续偶数2k＋2和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数.
②妙妙发现：2 024是“幸运数”.
解：②妙妙的发现结论错误，理由如下：
由①得4（2k＋1）＝2 024，
解得k＝252.5.
∵k不是整数，
∴妙妙的发现不成立，2 024不是“幸运数”.
25.（12分）数学教科书中这样写道：“我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常进行如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用.
例1：因式分解：a2＋6a＋8.
解：原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）.
例2：若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值.
解：a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1.
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1.
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：x2－16x＋60；
（2）求代数式－x2＋14x＋10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2＝2ab＋4b＋6c－13，试求△ABC的周长.
解：（1）原式＝x2－16x＋64－4
＝（x－8）2－22
＝（x－8－2）（x－8＋2）
＝（x－10）（x－6）.
（2）原式＝－（x2－14x）＋10
＝－（x2－14x＋72－72）＋10
＝－（x－7）2＋49＋10
＝－（x－7）2＋59.
∵－（x－7）2≤0，
∴－（x－7）2＋59≤59.
∴代数式－x2＋14x＋10的最大值为59，此时x＝7.
（3）∵a2＋2b2＋c2＝2ab＋4b＋6c－13，
∴（a－b）2＋（b－2）2＋（c－3）2＝0.
∴a－b＝0，b－2＝0，c－3＝0.
∴a＝b＝2，c＝3.
∴△ABC的周长为2＋2＋3＝7.第十七章 因式分解 综合评价
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A.ab＋ac＋d＝a（b＋c）＋d
B.（x＋2）（x－2）＝x2－4
C.6ab＝2a·3b
D.x2－8x＋16＝（x－4）2
2.多项式12ab2－8a2bc的公因式是（ ）
A.4ab B.4a2b2 C.2ab D.2abc
3.下列各式能用平方差公式分解因式的有（ ）
①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；④－x2－y2；⑤1－a2b2；⑥x2＋4.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.下列分解因式正确的一项是（ ）
A.x2－9＝（x＋3）（x－3）
B.2xy＋4x＝2（xy＋2x）
C.x2－2x－1＝（x－1）2
D.x2＋y2＝（x＋y）2
5.若关于x的多项式x2－2（a＋3）x＋25是完全平方式，则a的值为（ ）
A.±8 B.±2
C.2或－8 D.－2或8
6.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是（ ）
A.a2－1
B.a2＋a
C.（a＋2）2－2（a＋2）＋1
D.a2－2a＋1
7.若58－1可以被20到30之间的某两个整数整除，则这两个整数是（ ）
A.24，26 B.25，27
C.26，28 D.27，29
8.如果多项式mx2－nx－2能因式分解为（3x＋2）（x＋p），那么下列结论正确的是（ ）
A.m＝6 B.n＝1
C.p＝－2 D.mnp＝3
9.已知a，b，c是△ABC的三条边，则代数式（a－c）2－b2的值（ ）
A.一定是正数
B.一定是负数
C.正、负数都有可能
D.有可能为零
10.如果x－2是ax2－bx＋2的一个因式，则2a－b的值是（ ）
A.－2 B.－1 C.0 D.1
11.如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长、宽分别为a，b的长方形卡片4张.现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A.4a＋b B.2a＋b
C.a＋2b D.a＋3b
12.取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），当x＝9，y＝9时，各个因式的值是x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码可以是（ ）
A.101030 B.010103
C.100130 D.301001
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13.请你写出一个整式A，使得多项式4x2－A能因式分解，这个整式A可以是 .
14.若a＋b＝4，a－b＝1，则（a＋1）2－（b－1）2的值为 .
15.如图，长为a、宽为b的长方形的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为 .
16.已知a＝2 023x＋2 023，b＝2 023x＋2 024，c＝2 023x＋2 025，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是 .
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）分解因式：
（1）－2a3＋12a2－18a；
（2）a2（x－y）－4b2（x－y）.
18.（10分）用简便方法计算：
（1）1.992＋1.99×0.01；
（2）842－28×84＋142.
19.（10分）先因式分解，再计算求值：ab（a－b）－a（b－a）2，其中a＝3，b＝2.
20.（10分）先阅读，再解决问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法.
例如：am＋an＋bm＋bn＝（am＋an）＋（bm＋bn）＝a（m＋n）＋b（m＋n）＝（m＋n）（a＋b）.
（1）分解因式：ab－2a－2b＋4；
（2）若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值.
21.（10分）下面是某同学对多项式（x2－2x）（x2－2x＋2）＋1进行因式分解的过程：
解：设x2－2x＝y.
原式＝y（y＋2）＋……………………………………（第一步）
＝y2＋2y＋1…………………………………（第二步）
＝（y＋1）2…………………………………（第三步）
＝（x2－2x＋1）2.………………………… （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了（ ）
A.提取公因式 B.平方差公式 C.完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为 ；
（3）请你模仿上述方法，对多项式（x2－2）（x2－6）＋4进行因式分解.
22.（12分）有一系列等式：
1×2×3×4＋1＝52＝（12＋3×1＋1）2；
2×3×4×5＋1＝112＝（22＋3×2＋1）2；
3×4×5×6＋1＝192＝（32＋3×3＋1）2；
4×5×6×7＋1＝292＝（42＋3×4＋1）2；
……
（1）根据你的观察、归纳发现的规律，写出11×12×13×14＋1的结果为 ；
（2）试猜想n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1是哪一个数的平方，并予以证明.
23.（12分）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块是长为a cm，宽为b cm的相同的小长方形，且a＞b.
（1）观察图形，可以发现代数式2a2＋5ab＋2b2可以因式分解为 ；
（2）若图中阴影部分的面积为34 cm2，大长方形纸板的周长为30 cm.
①求a＋b的值；
②求图中空白部分的面积.
24.（12分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”.如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“幸运数”.
（1）请判断：28 “幸运数”；（填“是”或“不是”）
（2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由.
①奇奇发现：两个连续偶数2k＋2和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数；
②妙妙发现：2 024是“幸运数”.
25.（12分）数学教科书中这样写道：“我们把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫作完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常进行如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用.
例1：因式分解：a2＋6a＋8.
解：原式＝a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）.
例2：若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值.
解：a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1.
∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0，
∴当a＝b＝1时，M有最小值1.
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：x2－16x＋60；
（2）求代数式－x2＋14x＋10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2＝2ab＋4b＋6c－13，试求△ABC的周长.
