第十五章 轴对称 综合评价
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.（天津中考）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，△ABC和△AB'C'关于直线l对称，下列结论中，错误的是（ ）
A.△ABC≌△AB'C'
B.∠BAC'＝∠B'AC
C.直线l垂直平分点C，C'所连线段
D.直线BC和B'C'的交点不在直线l上
3.在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A.（－3，2） B.（3，－2）
C.（－2，－3） D.（－3，－2）
4.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ ）
A.65°，65°
B.50°，80°
C.65°，65°或50°，80°
D.50°，50°
5.已知等腰三角形的一边长为2，且一个内角等于60°，则它的周长为（ ）
A.2 B.3 C.6 D.8
6.观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明AB＞AC的是（ ）
A.①④ B.①③ C.②④ D.③④
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝1，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为（ ）
第7题图
A.1.5 B.3 C.2 D.4
8.如图，在等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，已知AB＝8，则BF的长为（ ）
第8题图
A.3 B.4 C.5 D.6
9.如图，在3×3的正方形网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A，B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
第9题图
A.10个 B.8个 C.6个 D.4个
10.如图，P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（ ）
第10题图
A.14 B.15 C.16 D.17
11.如图，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB＝∠ABD，AC＝24，△BCD的周长为34，则BD的长为（ ）
第11题图
A.10 B.12 C.14 D.16
12.如图，在△ABC和△ADE中，C，D两点分别在AE，AB上，BC，DE交于点F，若BD＝DC＝CE，∠ADC＋∠ACD＝114°，则∠DFC的度数为（ ）
第12题图
A.123° B.114° C.132° D.147°
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝70°，点D，E在BC上，△ABD与△AED关于直线AD对称，则∠CAE的度数是 .
第13题图
14.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 .
第14题图
15.如图，BD是等边三角形ABC的中线，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BQ＝4，则PE的长为 .
第15题图
16.如图，△ABC中，AB＝AC＝13，S△ABC＝60，AD是△ABC的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF＋EF的最小值为 .
第16题图
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等？
18.（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）.
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 ；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标.
19.（10分）在△ABC中，AB＝AC，M是边BC的中点，BD平分∠ABC，交AM于点E，交AC于点D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度数.
20.（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，AD＝4，E是AB的中点，连接DE.
（1）求∠B的度数；
（2）求△BDE的面积.
21.（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE.
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，求DC长.
22.（12分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，E是底边BC的延长线上的一点且CD＝CE.
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝36°，求∠ADE的度数.
23.（12分）如图，某船在海上航行，在A处观测到灯塔B在北偏东60°方向上，该船以每小时15海里的速度向东航行到达C处，观测到灯塔B在北偏东30°方向上，继续向东航行到D处，观测到灯塔B在北偏西30°方向上，当该船到达D处时恰与灯塔B相距60海里.
（1）判断△BCD的形状；
（2）求该船从A处航行至D处所用的时间；
（3）若该船从A处向东航行6小时到达E处，观测灯塔B，灯塔B在什么方向上？
24.（12分）如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.
（1）求证：AB＝AD；
（2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么关系？并证明你的结论.
25.（12分）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
（1）问题发现：如图1，若△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 ，线段BE与AD之间的数量关系是 ；
（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请写出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.第十五章 轴对称 综合评价
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1.（天津中考）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ D ）
A. B. C. D.
2.如图，△ABC和△AB'C'关于直线l对称，下列结论中，错误的是（ D ）
A.△ABC≌△AB'C'
B.∠BAC'＝∠B'AC
C.直线l垂直平分点C，C'所连线段
D.直线BC和B'C'的交点不在直线l上
3.在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于x轴对称的点的坐标是（ B ）
A.（－3，2） B.（3，－2）
C.（－2，－3） D.（－3，－2）
4.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ C ）
A.65°，65°
B.50°，80°
C.65°，65°或50°，80°
D.50°，50°
5.已知等腰三角形的一边长为2，且一个内角等于60°，则它的周长为（ C ）
A.2 B.3 C.6 D.8
6.观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明AB＞AC的是（ A ）
A.①④ B.①③ C.②④ D.③④
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝1，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为（ C ）
第7题图
A.1.5 B.3 C.2 D.4
8.如图，在等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，已知AB＝8，则BF的长为（ C ）
第8题图
A.3 B.4 C.5 D.6
9.如图，在3×3的正方形网格中，每个网格线的交点称为格点，已知图中A，B为两格点，请在图中再寻找另一格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ B ）
第9题图
A.10个 B.8个 C.6个 D.4个
10.如图，P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（ B ）
第10题图
A.14 B.15 C.16 D.17
11.如图，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB＝∠ABD，AC＝24，△BCD的周长为34，则BD的长为（ C ）
第11题图
A.10 B.12 C.14 D.16
12.如图，在△ABC和△ADE中，C，D两点分别在AE，AB上，BC，DE交于点F，若BD＝DC＝CE，∠ADC＋∠ACD＝114°，则∠DFC的度数为（ A ）
第12题图
A.123° B.114° C.132° D.147°
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝70°，点D，E在BC上，△ABD与△AED关于直线AD对称，则∠CAE的度数是 50° .
第13题图
14.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 2 .
第14题图
15.如图，BD是等边三角形ABC的中线，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BQ＝4，则PE的长为 4 .
第15题图
16.如图，△ABC中，AB＝AC＝13，S△ABC＝60，AD是△ABC的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF＋EF的最小值为 .
第16题图
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等？
解：如图，连接MN；作线段MN的垂直平分线l，
交直线AB于点C，则点C即为所求.
18.（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）.
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是 4 ；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 （－4，3） ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标.
解：（1）如图，△ABC即为所求.
（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴BP＝8.
∴点P的横坐标为2＋8＝10或2－8＝－6.
故点P的坐标为（10，0）或（－6，0）.
19.（10分）在△ABC中，AB＝AC，M是边BC的中点，BD平分∠ABC，交AM于点E，交AC于点D，若∠AED＝64°，求∠BAC的度数.
解：∵AB＝AC，M是边BC的中点，
∴∠AMB＝90°，∠BAM＝∠CAM.
∵∠BEM＝∠AED＝64°，∴∠EBM＝90°－∠BEM＝26°.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBM＝52°.
∴∠BAM＝90°－∠ABM＝38°.∴∠BAC＝2∠BAM＝76°.
20.（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，AD＝4，E是AB的中点，连接DE.
（1）求∠B的度数；
（2）求△BDE的面积.
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝（180°－∠BAC）＝45°.
（2）∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝4.
∵点E是AB的中点，
∴S△BDE＝S△ABD＝×AD·BD＝××4×4＝4.
21.（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE.
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，求DC长.
解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD垂直平分BE.
又EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC.∴∠C＝∠CAE.
∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝70°.
∴∠C＝∠AED＝35°.
（2）∵△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，
∴AB＋BE＋EC＝7 cm.即2DE＋2EC＝7 cm，
∴DC＝DE＋EC＝3.5 cm.
22.（12分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，E是底边BC的延长线上的一点且CD＝CE.
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝36°，求∠ADE的度数.
（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC.
∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE.
∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，∴∠E＝∠ACB.
∴∠E＝∠DBE.∴BD＝DE.
∴△BDE是等腰三角形.
（2）解：∵∠A＝36°，∴∠ABC＋∠ACB＝144°.
∴∠ABC＝∠ACB＝72°.
∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝36°.
∴∠E＝∠DBE＝36°.
∴∠CDE＝∠E＝36°.
∴∠ADE＝180°－36°＝144°.
23.（12分）如图，某船在海上航行，在A处观测到灯塔B在北偏东60°方向上，该船以每小时15海里的速度向东航行到达C处，观测到灯塔B在北偏东30°方向上，继续向东航行到D处，观测到灯塔B在北偏西30°方向上，当该船到达D处时恰与灯塔B相距60海里.
（1）判断△BCD的形状；
（2）求该船从A处航行至D处所用的时间；
（3）若该船从A处向东航行6小时到达E处，观测灯塔B，灯塔B在什么方向上？
解：（1）△BCD是等边三角形.
（2）∵△BCD是等边三角形，∴CD＝BD＝BC＝60海里.
∵∠BAC＝90°－60°＝30°，∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝30°.
∴∠BAC＝∠ABC.∴AC＝BC＝60海里.
∴AD＝AC＋CD＝120海里.
∴该船从A处航行至D处所用的时间为120÷15＝8（小时）.
（3）过点B作BH⊥CD于点H，∵△BCD是等边三角形，
∴CH＝CD＝30海里.∴AH＝AC＋CH＝90海里.
∴该船从A处向东航行到达H处所用时间为90÷15＝6（小时）.
∴点E与点H重合.∴灯塔B在正北方向上.
24.（12分）如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.
（1）求证：AB＝AD；
（2）请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么关系？并证明你的结论.
（1）证明：连接AC，
∵E是BC的中点，AE⊥BC，∴AB＝AC，
∵F是CD的中点，AF⊥CD，∴AD＝AC，
∴AB＝AD.
（2）解：∠EAF＝∠BAE＋∠DAF.
证明：∵由（1）知AB＝AC，即△ABC为等腰三角形.
∵AE⊥BC，∴∠BAE＝∠EAC.
同理可得∠CAF＝∠DAF.
∴∠EAF＝∠EAC＋∠CAF＝∠BAE＋∠DAF.
25.（12分）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
（1）问题发现：如图1，若△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 60° ，线段BE与AD之间的数量关系是 BE＝AD ；
（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请写出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝40°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE.
（3）解：∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM.理由如下：
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE.
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.
∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝180°－45°＝135°，∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.
∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，
∴CM＝DM＝EM，∴DE＝DM＋EM＝2CM.
∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.
