1.1.1 集合的概念
[课时目标]
1．理解集合的含义是学习集合的关键，理解元素与集合的关系．
2．能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单问题．
3．熟记常用数集的表示符号，通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系．
逐点清(一) 集合与元素的概念
[多维理解]
1．集合与元素
集合 一般地，我们把指定的某些对象的________称为集合，通常用大写英文字母__________表示
元素 集合中的__________叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母____________表示
|微|点|助|解|
对集合概念的理解
(1)“集合”是数学中的一个基本概念，同“点”“线”“面”等概念一样都是描述性概念．
(2)集合是一个“整体”，一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．
(3)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．
2．集合中的元素必须满足的性质
确定性 一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的
互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同．也就是说，集合中的元素没有重复
无序性 集合中的元素是没有顺序的
[微点练明]
1．(多选)考察下列每组对象，能组成集合的是( )
A．中国各地最美的乡村
B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．不小于3的自然数
D．唐宋散文八大家
2．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中元素个数为( )
A．6 B．3
C．4 D．5
3．已知集合A中含有5和a2＋2a＋4这两个元素，且7是A中的元素，则a3的值为( )
A．0 B．1或－27
C．1 D．－27
4．若方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的所有实数根组成的集合为M，则M中的元素个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．已知集合A中含有元素1，x，y，集合B中含有元素1，x2,2y，若A与B相等，则x－y＝________.
逐点清(二) 集合与元素的关系
[多维理解]
1．集合与元素的关系
关系 概念 符号 读法
属于 如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A ______ ______
不属于 如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A ______ ______
2．常用的数集
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集
记法 ____ ______ ____ ____ ____ R＋
|微|点|助|解|
(1)元素和集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的．
(2)由元素的确定性可知，对于任何a与A，a∈A或a A这两种情况必有一种且只有一种成立．
(3)符号“∈”和“ ”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
(4)N是非负整数集(即自然数集)，而N*与N＋表示正整数集，N包括元素0，而N*与N＋不包括元素0.
[微点练明]
1．若集合A含有两个元素0,1，则( )
A．1 A B．0∈A
C．0 A D．2∈A
2．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1 A，2∈A，则( )
A．a>－4 B．a≤－2
C．－4
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5
C. D.
4．(多选)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A．－2∈A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34 A
5．用“∈”或“ ”填空：
________N；－3________Z；________Q；－______R；______R＋；3.141 6______Q.
逐点清(三) 集合元素性质的应用
[典例] 已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
听课记录：
[变式拓展]
1．本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．
2．已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．
|思|维|建|模| 由集合中的元素性质求参数的步骤
[针对训练]
已知集合A中含有三个元素，分别是a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3，若1∈A，求实数a的值．
集合的概念
[逐点清(一)]
[多维理解]
1．全体 A，B，C，… 每个对象 a，b，c，…
[微点练明]
1．BCD 2.D 3.B 4.C 5.
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.a∈A a属于A a A
a不属于A 2.N N＋或N* Z Q R
[微点练明] 1.B 2.D 3.D 4.BC
5． ∈ ∈ ∈ ∈
[逐点清(三)]
[典例] 解：由题意，可知a＝1或a2＝a，
若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.
若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.
[变式拓展]
1．解：由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.
所以a的取值范围是a≠±1.
2．解：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，集合A有重复元素，与集合中元素的互异性矛盾，所以a≠1.
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性，所以a＝－1.
[针对训练]
解：若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中元素是1,0,1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．
若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，
当a＝0时，A中元素是2,1,3，符合题意；
当a＝－2时，A中元素是0,1,1，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．
若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)．综上可知a＝0.
1 / 4(共50张PPT)
集合的概念
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
1.1.1
课时目标
1.理解集合的含义是学习集合的关键,理解元素与集合的关系.
2.能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单问题.
3.熟记常用数集的表示符号,通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 集合与元素的概念
逐点清(二) 集合与元素的关系
逐点清(三) 集合元素性质的应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 集合与元素的概念
01
多维理解
1.集合与元素
集合 一般地,我们把指定的某些对象的_______称为集合,通常用大写英文字母__________表示
元素 集合中的__________叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母________表示
全体
A,B,C,…
每个对象
a,b,c,…
|微|点|助|解|
对集合概念的理解
(1)“集合”是数学中的一个基本概念,同“点”“线”“面”等概念一样都是描述性概念.
(2)集合是一个“整体”,一些对象一旦组成了集合,那么这个集合就是这些对象的全体,而非个别对象.
(3)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等.
2.集合中的元素必须满足的性质
确定性 一个集合一旦确定,某一个元素属于或不属于这个集合是确定的
互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同.也就是说,集合中的元素没有重复
无序性 集合中的元素是没有顺序的
1.(多选)考察下列每组对象,能组成集合的是 ( )
A.中国各地最美的乡村
B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C.不小于3的自然数
D.唐宋散文八大家
微点练明
√
√
√
解析: A中“最美”标准不明确,不符合确定性,B、C、D中的元素标准明确,均可构成集合,故选B、C、D.
2.设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A,则A中元素个数为 ( )
A.6 B.3
C.4 D.5
解析:由集合中元素的互异性可知,该集合中共有“我”“和”“的”“祖”“国”5个元素.
√
3.已知集合A中含有5和a2+2a+4这两个元素,且7是A中的元素,则a3的值为 ( )
A.0 B.1或-27
C.1 D.-27
解析:根据题意得a2+2a+4=7,整理得(a+3)(a-1)=0,解之得a=1或a=-3,则a3=1或a3=-27.
√
4.若方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的所有实数根组成的集合为M,则M中的元素个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的实数根分别是2,3和2,-1,又集合中的元素具有互异性,所以集合M中的元素个数为3个.
√
5.已知集合A中含有元素1,x,y,集合B中含有元素1,x2,2y,若A与B相等,则x-y= .
解析:设x=x2,y=2y,则x=0,y=0或x=1,y=0,不满足条件;设x=2y,y=x2,则x=0,y=0(舍去)或x=,y=(满足题意),所以x-y=.
逐点清(二) 集合与元素的关系
02
多维理解
1.集合与元素的关系
关系 概念 符号 读法
属于 如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A _____________ ___________________
不属于 如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A _____________ _______________________
a∈A
a属于A
a A
a不属于A
2.常用的数集
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集
记法 ________ _____________________ _________ _________ _________ R+
N
N+或N*
Z
Q
R
|微|点|助|解|
(1)元素和集合是两个完全不同的概念,元素是集合中的某一对象,而集合是由所有的元素组成的.
(2)由元素的确定性可知,对于任何a与A,a∈A或a A这两种情况必有一种且只有一种成立.
(3)符号“∈”和“ ”只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性,左右两边不能互换.
(4)N是非负整数集(即自然数集),而N*与N+表示正整数集,N包括元素0,而N*与N+不包括元素0.
微点练明
1.若集合A含有两个元素0,1,则 ( )
A.1 A B.0∈A
C.0 A D.2∈A
解析:因为集合A含有两个元素0,1,所以0∈A,1∈A,故选B.
√
2.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1 A,2∈A,则 ( )
A.a>-4 B.a≤-2
C.-4解析:由题意可知解得-4√
3.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是 ( )
A.3.14 B.-5
C. D.
解析:因为是实数,但不是有理数,所以选D.
√
4.(多选)已知集合A中元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是 ( )
A.-2∈A B.-11 A
C.3k2-1∈A D.-34 A
解析:令3k-1=-2,解得k=-,- Z,∴-2 A;令3k-1=-11,解得k=-,- Z,
∴-11 A;∵k2∈Z,∴3k2-1∈A;令3k-1=-34,解得k=-11,-11∈Z,∴-34∈A.
√
√
5.用“∈”或“ ”填空:
N;-3 Z; Q;- R; R+;
3.141 6 Q.
∈
∈
∈
∈
逐点清(三) 集合元素性质的应用
03
[典例] 已知集合A中含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值.
解:由题意,可知a=1或a2=a,
若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1.
若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可知,实数a的值为0.
变式拓展
1.本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a的取值范围.
解:由集合中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1.
所以a的取值范围是a≠±1.
2.已知集合A中含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.
解:若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.
当a=1时,集合A有重复元素,与集合中元素的互异性矛盾,所以a≠1.
当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合集合中元素的互异性,所以a=-1.
|思|维|建|模| 由集合中的元素性质求参数的步骤
针对训练
已知集合A中含有三个元素,分别是a+2,(a+1)2,a2+3a+3,若1∈A,求实数a的值.
解:若a+2=1,则a=-1,此时A中元素是1,0,1,与集合中元素的互异性矛盾,舍去.
若(a+1)2=1,则a=0或a=-2,
当a=0时,A中元素是2,1,3,符合题意;
当a=-2时,A中元素是0,1,1,与集合中元素的互异性矛盾,舍去.
若a2+3a+3=1,
则a=-1或a=-2(均舍去).
综上可知a=0.
课时跟踪检测
04
1
3
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2
√
1.(多选)下列各组对象能构成集合的是 ( )
A.倒数等于它本身的数
B.某班视力较好的同学
C.所有有理数
D.小于π的正整数
16
√
√
1
3
4
5
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14
15
2
解析:根据集合的概念,可知集合中元素具有确定性,可得选项A、C、D中的元素都是确定的,故选项A、C、D能构成集合,但B选项中“视力较好”的标准不明确,不符合确定性,不能构成集合.故选A、C、D.
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1
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2
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4
√
2.(多选)下列元素与集合的关系正确的是 ( )
A.-1∈N B.0 N*
C.∈Q D.∈R
16
√
1
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6
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3
4
2
√
3.设不等式3-2x<0的解集为M,下列关系正确的是 ( )
A.0∈M,2∈M B.0 M,2∈M
C.0∈M,2 M D.0 M,2 M
解析:本题是判断0和2与集合M间的关系,因此只需判断0和2是否是不等式3-2x<0的解即可.当x=0时,3-2x=3>0,所以0 M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2∈M.
16
1
5
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3
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2
√
4.若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
解析:选D 由集合中元素的互异性,知△ABC的三边长两两不等,故选D.
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√
5.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是 ( )
A.1 B.0
C.-2 D.2
解析:因为-1∈M,所以2×(-1)∈M,即-2∈M.
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1
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3
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2
√
6.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是 ( )
A.1 B.-2
C.-1 D.2
解析:由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a,解得a≠±2,且a≠1,即a的取值不可能是1,±2.
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√
√
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2
√
7.下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是 ( )
A.P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合
B.P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合
C.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D.P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集
解析:由于A中P、Q的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B、C、D中P、Q的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.
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8.(多选)下列四个语句正确的是 ( )
A.集合N*中最小的数是1
B.若-a N,则a∈N
C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2
D.x2+1=2x的解集中含有1个元素
√
16
√
1
5
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3
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2
解析:对于A,因为N*是正整数集,最小的正整数是1,所以A正确;
对于B,取a=,则- N, N,所以B错误;
对于C,当a=b=0时,a+b取得最小值0,而不是2,所以C错误;
对于D,解集中只含有元素1,所以D正确.
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√
9.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,则a为 ( )
A.2 B.2或4
C.4 D.0
解析:若a=2∈A,则6-a=4∈A;或a=4∈A,则6-a=2∈A;若a=6∈A,则6-a=0 A.故选B.
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10.已知a,b是非零实数,代数式++的值组成的集合是M,则下列判断正确的是( )
A.0∈M B.-1∈M
C.3 M D.1∈M
解析:当a,b全为正数时,代数式的值是3;当a,b全是负数时,代数式的值是-1;当a,b是一正一负时,代数式的值是-1.综上可知B正确.
√
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2
11.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合中,含有元素的个数最多为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:∵=|x|,-=-|x|,故当x=0时,这几个实数均为0;
当x>0时,它们分别是x,-x,x,x,-x;
当x<0时,它们分别是x,-x,-x,-x,x.
最多表示2个不同的数,故集合中的元素最多为2个.故选A.
√
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5
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2
12.设集合D是满足方程y=x2的有序数对(x,y)的集合,则-1 D,(-1,1)___D
(填“∈”或“ ”).
解析:因为集合D中的元素是有序数对(x,y),而-1是数,所以-1 D,(-1,1)∈D.
16
∈
1
5
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11
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14
15
3
4
2
13.已知集合A含有两个元素1和2,集合B表示方程x2+ax+b=0的解组成的集合,且集合A与集合B相等,则a= ,b= .
解析:因为集合A与集合B相等,且1∈A,2∈A,所以1∈B,2∈B,即1,2是方程x2+ax+b=0的两个实数根.所以所以
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-3
2
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3
4
2
14.集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为 .
解析:∵∈N,∴3-x=1或3-x=2或3-x=3或3-x=6,即x=2或x=1或x=0或x=-3.又x∈N,故x=0或x=1或x=2.即集合A中的元素为0,1,2.
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0,1,2
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15.(10分)已知集合A含有两个元素m,m2-3m,其中m∈R.
(1)实数m不能取哪些数
解:根据题意,可得m≠m2-3m,解得m≠0且m≠4,因此,实数m不能取0和4.
(2)若4∈A,求实数m的值.
解:由(1)的结论,可知m≠4,若4∈A,则m2-3m=4,解得m=-1(m=4不符合题意),因此,实数m的值是-1.
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16.(10分)设集合S中的元素全是实数,且满足下面两个条件:
①1 S;②若a∈S,则∈S.
(1)求证:若a∈S,则1-∈S;
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1
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2
解:证明:因为1 S,a∈S,
所以1-a≠0,且∈S,
可得==1-∈S,
故若a∈S,则1-∈S.
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2
(2)若2∈S,则在S中必含有其他的两个元素,试求出这两个元素.
解:由2∈S,得=-1∈S;
由-1∈S,得=∈S;
而当∈S时,=2∈S,…,因此当2∈S时,集合S中必含有-1,两个元素.
16课时跟踪检测(一) 集合的概念
(满分90分，选填小题每题5分)
1．(多选)下列各组对象能构成集合的是( )
A．倒数等于它本身的数
B．某班视力较好的同学
C．所有有理数
D．小于π的正整数
2．(多选)下列元素与集合的关系正确的是( )
A．－1∈N B．0 N*
C.∈Q D.∈R
3．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系正确的是( )
A．0∈M,2∈M B．0 M,2∈M
C．0∈M,2 M D．0 M,2 M
4．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．已知集合M具有性质：若a∈M，则2a∈M，现已知－1∈M，则下列元素一定是M中的元素的是( )
A．1 B．0
C．－2 D．2
6．(多选)由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是( )
A．1 B．－2
C．－1 D．2
7．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
8．(多选)下列四个语句正确的是( )
A．集合N*中最小的数是1
B．若－a N，则a∈N
C．若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2
D．x2＋1＝2x的解集中含有1个元素
9．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
10．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∈M B．－1∈M
C．3 M D．1∈M
11．由实数x，－x，|x|, ，－所组成的集合中，含有元素的个数最多为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
12．设集合D是满足方程y＝x2的有序数对(x，y)的集合，则－1__________D，(－1,1)_________D(填“∈”或“ ”)．
13．已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a＝________，b＝________.
14．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
15．(10分)已知集合A含有两个元素m，m2－3m，其中m∈R.
(1)实数m不能取哪些数？
(2)若4∈A，求实数m的值．
16．(10分)设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件：
①1 S；②若a∈S，则∈S.
(1)求证：若a∈S，则1－∈S；
(2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．
课时跟踪检测(一)
1．选ACD 根据集合的概念，可知集合中元素具有确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“视力较好”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选A、C、D.
2．BD
3．选B 本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0 M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M.
4．选D 由集合中元素的互异性，知△ABC的三边长两两不等，故选D.
5．选C 因为－1∈M，所以2×(－1)∈M，即－2∈M.
6．选ABD 由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，即a的取值不可能是1，±2.
7．选A 由于A中P、Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中P、Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．
8．选AD 对于A，因为N*是正整数集，最小的正整数是1，所以A正确；对于B，取a＝，则－ N, N，所以B错误；对于C，当a＝b＝0时，a＋b取得最小值0，而不是2，所以C错误；对于D，解集中只含有元素1，所以D正确．
9．选B 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0 A.故选B.
10．选B 当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．
11．选A ∵＝|x|，－＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；
当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；
当x<0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．故选A.
12．解析：因为集合D中的元素是有序数对(x，y)，而－1是数，所以－1 D，(－1,1)∈D.
答案： ∈
13．解析：因为集合A与集合B相等，且1∈A,2∈A，所以1∈B,2∈B，即1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根．所以所以
答案：－3 2
14．解析：∵∈N，∴3－x＝1或3－x＝2或3－x＝3或3－x＝6，即x＝2或x＝1或x＝0或x＝－3.又x∈N，故x＝0或x＝1或x＝2.即集合A中的元素为0,1,2.
答案：0,1,2
15．解：(1)根据题意，可得m≠m2－3m，解得m≠0且m≠4，因此，实数m不能取0和4.
(2)由(1)的结论，可知m≠4，若4∈A，则m2－3m＝4，解得m＝－1(m＝4不符合题意)，因此，实数m的值是－1.
16．解：(1)证明：因为1 S，a∈S，
所以1－a≠0，且∈S，
可得＝＝1－∈S，
故若a∈S，则1－∈S.
(2)由2∈S，得＝－1∈S；
由－1∈S，得＝∈S；
而当∈S时，＝2∈S，…，因此当2∈S时，集合S中必含有－1，两个元素．
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