1．2 集合的基本关系 (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．理解集合之间包含与相等的含义，能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念．
2．能识别给定集合的子集、真子集，掌握列举有限集所有集合的方法．
3．会判断集合间的关系，并能用符号和Venn图表示．注意空集在解题中的影响．
逐点清(一) 子集
[多维理解]
子集的概念与性质
定义 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都________集合B，即若a∈A，则______，那么称集合A是集合B的子集
记法与读法 记作______(或B A)，读作__________(或“B包含A”)
图示
性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即________．(2)空集是任何集合的子集，即________
|微|点|助|解|
(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)A B的理解：不能把“A B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A.
(4)在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若A B，则要考虑A＝ 和A≠ 两种可能．
[微点练明]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a∈A，则{a} A.( )
(2)如果集合B A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.( )
2．已知集合M＝{x|y2＝2x}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x}，则两个集合间的关系是( )
A．M P B．P M
C．M＝P D．M，P互不包含
3．若集合A＝{1,2}，A B，则集合B可以是( )
A．{1} B．{2}
C．{0,1,2} D．
4．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A B，则a＝( )
A．2 B．1
C. D．－1
5．用适当的符号( ， ，∈， )填空：
(1)(1,3)________{(x，y)|y＝2x＋1}；
(2)2________{m|m＝2(n－1)，n∈Z}；
(3)N*________N；
(4)R________Q.
6．集合A＝{x|1
逐点清(二) 集合相等与真子集
[多维理解]
1．集合相等
对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的_______，且集合B也是集合A的_______，那么称集合A与集合B相等，记作________.
即对于两个集合A与B，若A B，且B A，则________．
2．真子集
定义 对于两个集合A与B，如果A B，且______，那么称集合A是集合B的真子集
记法 记作______(或BA)
图示
性质 (1)AB且BC，则AC；(2)A B且A≠B，则AB
|微|点|助|解|
理解真子集的概念时，需明确：AB，首先要满足A B，只要满足至少有一个元素x∈B且x A.如集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，则A B，且集合B中有两个元素不属于集合A，即3 A,4 A，满足至少有一个元素不属于集合A，故AB.
[微点练明]
1．已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是( )
A．M＝N B．NM
C．MN D．N M
2．已知集合A＝{a1，a2，a3}所有的非空真子集的元素之和等于12，则a1＋a2＋a3＝( )
A．4 B．12 C．6 D．3
3．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y＝________.
4．若集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
逐点清(三) 确定子集(真子集)的个数
若集合A是集合B的子集，即A B，则
(1)A＝ ；(2)AB；(3)A＝B.
有限集合的子集个数的结论：
①n个元素的集合有2n个子集；
②n个元素的集合有(2n－1)个真子集；
③n个元素的集合有(2n－1)个非空子集；
④n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
[典例] (1)已知a为给定的实数，那么，集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．不确定
(2)满足{a} M{a，b，c，d}的集合M共有( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．15个
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)当集合中元素很少时，我们可以写出它的全部子集，从而得到子集和真子集的个数．写子集时不要忘记空集及集合本身．
(2)当集合中元素很多时，可以利用公式求解，注意真子集与子集公式的不同．
[针对训练]
1．已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足ABC的集合B的个数为( )
A．32 B．31
C．30 D．5
2．设集合A＝，则集合A的子集个数为________．
集合的基本关系
[逐点清(一)]
[多维理解] 属于 a∈B A B
“A包含于B” A A A
[微点练明] 1.(1)√ (2)√ 2.D
3．C 4.B 5.(1)∈ (2)∈ (3)
(4) 6.{a|a≥6}
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.子集 子集 A＝B
A＝B 2.A≠B A?B
[微点练明] 1.C 2.A 3.2 4.5
[逐点清(三)]
[典例] 解析：(1)由方程x2－3x－a2＋2＝0的根的判别式Δ＝1＋4a2>0，知方程有两个不相等的实数根，则M有2个元素，得集合M有22＝4个子集．
(2)集合M中必含元素a，且为{a，b，c，d}的真子集，可按元素个数分类依次写出集合M为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，共7个．故选B.
答案：(1)C (2)B
[针对训练]
1．选C 由题意，知集合B的个数可以看成由5个元素构成的集合的非空真子集的个数，有25－2＝30个，所以集合B的个数为30.
2．解析：因为A＝，所以2＋x＝1或2＋x＝2或2＋x＝3或2＋x＝6，
解得x＝－1或x＝0或x＝1或x＝4，
即A＝{－1,0,1,4}，集合A中含有4个元素，故其子集有24＝16个．
答案：16
1 / 4(共52张PPT)
1.2
集合的基本关系
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1.理解集合之间包含与相等的含义,能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念.
2.能识别给定集合的子集、真子集,掌握列举有限集所有集合的方法.
3.会判断集合间的关系,并能用符号和Venn图表示.注意空集在解题中的影响.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 子集
逐点清(二) 集合相等与真子集
逐点清(三) 确定子集(真子集)的个数
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 子集
01
多维理解
子集的概念与性质
定义 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都_____集合B,即若a∈A,则______,那么称集合A是集合B的子集
记法与 读法 记作_____ (或B A),读作______________ (或“B包含A”)
属于
a∈B
A B
“A包含于B”
图示
性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即______.
(2)空集是任何集合的子集,即_______
A A
A
续表
|微|点|助|解|
(1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)A B的理解:不能把“A B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”,因为集合A可能是空集,也可能是集合B.
(3)特殊情形:如果集合A中存在着不是集合B中的元素,那么集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A.
(4)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如若A B,则要考虑A= 和A≠ 两种可能.
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若a∈A,则{a} A. ( )
(2)如果集合B A,那么若元素a不属于A,则必不属于B. ( )
微点练明
√
√
2.已知集合M={x|y2=2x}和集合P={(x,y)|y2=2x},则两个集合间的关系是 ( )
A.M P B.P M
C.M=P D.M,P互不包含
解析:由于集合M为数集,集合P为点集,因此M与P互不包含.
√
3.若集合A={1,2},A B,则集合B可以是 ( )
A.{1} B.{2}
C.{0,1,2} D.
√
4.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a= ( )
A.2 B.1
C. D.-1
解析:依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时,解得a=2,此时A={0,-2},
B={1,0,2},不满足A B;当2a-2=0时,解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足A B.所以a=1,故选B.
√
5.用适当的符号( , ,∈, )填空:
(1)(1,3) {(x,y)|y=2x+1};
解析:当x=1时,y=2×1+1=3,故(1,3)∈{(x,y)|y=2x+1}.
(2)2 {m|m=2(n-1),n∈Z};
解析:当n=2∈Z时,m=2×(2-1)=2,故2∈{m|m=2(n-1),n∈Z}.
∈
∈
(3)N* N;
解析:因为N*为正整数集,N为自然数集,所以N* N.
(4)R Q.
解析:因为R为实数集,Q为有理数集,所以R Q.
6.集合A={x|1解析:∵A={x|1{a|a≥6}
逐点清(二) 集合相等与真子集
02
多维理解
1.集合相等
对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的______,且集合B也是集合A的______,那么称集合A与集合B相等,记作______.
即对于两个集合A与B,若A B,且B A,则______.
子集
子集
A=B
A=B
2.真子集
定义 对于两个集合A与B,如果A B,且_______,那么称集合A是集合B的真子集
记法 记作_______ (或B A)
A≠B
A B
图示
性质 (1)A B且B C,则A C;
(2)A B且A≠B,则A B
续表
|微|点|助|解|
理解真子集的概念时,需明确:A B,首先要满足A B,只要满足至少有一个元素x∈B且x A.如集合A={1,2},B={1,2,3,4},则A B,且集合B中有两个元素不属于集合A,即3 A,4 A,满足至少有一个元素不属于集合A,故A B.
微点练明
1.已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={0,1,2},则集合M与N的关系是 ( )
A.M=N B.N M
C.M N D.N M
解析:解方程x2-3x+2=0得x=2或x=1,则M={1,2},因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N,所以M N.又因为0∈N但0 M,所以M N.
√
2.已知集合A={a1,a2,a3}所有的非空真子集的元素之和等于12,则a1+a2+a3= ( )
A.4 B.12
C.6 D.3
解析:因为集合A的所有非空真子集为{a1},{a2},{a3},{a1,a2},{a1,a3},
{a2,a3},所以3(a1+a2+a3)=12,即a1+a2+a3=4.
√
3.设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则2x+y= .
解析:由集合元素的互异性可知x2≠0,则x≠0,因为A=B,所以解得
因此2x+y=2.
2
4.若集合 A {1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合有 个.
解析:若A中含有一个奇数,则A可能为{1},{3},{1,2},{2,3};若A中含有两个奇数,则A={1,3}.
5
逐点清(三) 确定子集(真子集)的个数
03
若集合A是集合B的子集,即A B,则
(1)A= ;(2)A B;(3)A=B.
有限集合的子集个数的结论:
①n个元素的集合有2n个子集;
②n个元素的集合有(2n-1)个真子集;
③n个元素的集合有(2n-1)个非空子集;
④n个元素的集合有(2n-2)个非空真子集.
[典例] (1)已知a为给定的实数,那么,集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 ( )
A.1 B.2
C.4 D.不确定
解析:由方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0,知方程有两个不相等的实数根,则M有2个元素,得集合M有22=4个子集.
√
(2)满足{a} M {a,b,c,d}的集合M共有( )
A.6个 B.7个
C.8个 D.15个
解析:集合M中必含元素a,且为{a,b,c,d}的真子集,可按元素个数分类依次写出集合M为{a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},共7个.故选B.
√
|思|维|建|模|
(1)当集合中元素很少时,我们可以写出它的全部子集,从而得到子集和真子集的个数.写子集时不要忘记空集及集合本身.
(2)当集合中元素很多时,可以利用公式求解,注意真子集与子集公式的不同.
针对训练
1.已知集合A,B,C,其中A有10个元素,C有15个元素,则满足A B C的集合B的个数为( )
A.32 B.31
C.30 D.5
解析:由题意,知集合B的个数可以看成由5个元素构成的集合的非空真子集的个数,有25-2=30个,所以集合B的个数为30.
√
2.设集合A=,则集合A的子集个数为 .
解析:因为A=,所以2+x=1或2+x=2或2+x=3或2+x=6,解得x=-1或x=0或x=1或x=4,即A={-1,0,1,4},集合A中含有4个元素,故其子集有24=16个.
16
课时跟踪检测
04
1
3
4
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6
7
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9
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11
12
13
14
15
2
√
1.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是 ( )
A.-3∈A B.3 B
C.B A D.A B
解析:集合A={y|y≥-1},B={x|x≥2},所以B A.
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4
√
16
2.集合M={x∈N|-2A.7 B.8
C.15 D.16
解析:集合M中共有0,1,2,3四个元素,真子集的个数是24-1=15.
1
5
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2
√
3.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则集合A,B间的关系为( )
A.A B B.B A
C.A=B D.A B
解析:∵B=={(x,y)|y=x,x≠0},∴B A.
16
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2
√
4.(多选)下列关系正确的是 ( )
A.0∈ B. ∈{ }
C. { } D. {0}
解析:空集中没有元素,故A错误;{ }中只有一个元素 ,故B正确;空集是任意集合的子集,故C、D正确.
16
√
√
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3
4
2
√
5.若集合A={1,3,x},B={x2,1}且B A,则满足条件的实数x的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:因为B A,所以x2∈A.又x2≠1,所以x2=3或x2=x,所以x=±或x=0.故选C.
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2
√
6.已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间最适合的关系是 ( )
A.A B B.B A
C.A B D.B A
解析:集合A是能被3整除的整数组成的集合,集合B是能被6整除的整数组成的集合,能被6整除的数一定能被3整除,所以B A.
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2
√
7.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4个子集,则实数m= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:根据题意,集合M有4个子集,则M中有2个元素,又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数,故m=2.
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8.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+1=0},若B≠ ,B A,则a等于 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.±1
解析:当B={-1}时,x2-2ax+1=0有两个相等的实根-1,即a=-1;当B={1}时,x2-2ax+1=0有两个相等的实根1,即a=1;当B={-1,1}时,不成立.故a=±1.
√
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2
√
9.已知非空集合M满足对任意x∈M,总有x2 M,且 M.若M {0,1,2,3,4,5},则满足条件的M的个数是( )
A.11 B.12
C.15 D.16
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解析:当M中有元素0时,02=0∈M,=0∈M.当M中有元素1时,
12=1∈M,=1∈M,所以0 M,1 M,所以集合M是集合{2,3,4,5}的非空子集,且去掉元素2,4同时出现的集合,故满足题意的集合M有{2},{3},{4},{5},{2,3},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{2,3,5},{3,4,5}共11个.
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1
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3
4
2
10.(多选)下列命题正确的是 ( )
A.集合{a,b}的真子集是{a},{b}
B.{x|x是菱形} {x|x是平行四边形}
C.设a,b∈R,A={1,a},B={-1,b},若A=B,则a-b=-2
D. ∈{x|x2+1=0,x∈R}
√
16
√
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3
4
2
解析:对于A,集合{a,b}的真子集是{a},{b}, ,故A不正确;对于B,
因为菱形一定是平行四边形,所以{x|x是菱形} {x|x是平行四边形},故B正确;对于C,由A=B及集合元素的互异性得a=-1,b=1,故a-b=-2,故C正确.对于D,因为x是实数,所以x2+1=0无解,所以{x|x2+1=0,x∈R}= ,故D不正确.
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2
11.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为 .
解析:∵xy>0,∴x,y同号.又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.
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M=P
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12.若A={1,2},B={x|x A},则B= .
解析:因为A={1,2},B={x|x A},所以集合B中的元素是集合A的子集: ,{1},{2},{1,2},则集合B={ ,{1},{2},{1,2}}.
16
{ ,{1},{2},{1,2}}
1
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2
13.设A,B是R的两个子集,对任意x∈R,定义:m=n=若A B,则对任意x∈R,m(1-n)= .
解析:∵A B,∴当x A时,m=0,m(1-n)=0;当x∈A时,
必有x∈B,∴m=n=1,m(1-n)=0.综上,m(1-n)=0.
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14.若集合M满足{1,2} M {1,2,3,4},则集合M= .(写出一个集合M即可)
解析:因为集合M满足{1,2} M {1,2,3,4},
所以M={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}.
16
{1,2}(答案不唯一)
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15.(10分)已知集合A={1,2,3}.
(1)若M是A的子集,且至少含有元素3,写出满足条件的所有集合M;
解:∵M A,3∈M,∴集合M可能为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}.
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3
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2
(2)若B={x|ax-3=0},且B A,求实数a的取值集合.
解:当a=0时,B= ,满足B A;
当a≠0时,B=;
若B A,则=1或=2或=3,
解得a=3或a=或a=1.
综上所述,实数a的取值集合为.
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1
5
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3
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2
16.(10分)若集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}至多有一个真子集,求a的取值范围.
解:①当A无真子集时,即A= 时,
则方程ax2+2x+1=0无实根,
所以解得a>1.
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1
5
6
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②当A只有一个真子集时,即A为单元素集,这时有两种情况:
当a=0时,方程化为2x+1=0,
解得x=-,符合题意;
当a≠0时,由Δ=4-4a=0,解得a=1,符合题意.
综上,当集合A至多有一个真子集时,a的取值范围是{a|a=0或a≥1}.
16课时跟踪检测(三) 集合的基本关系
(满分90分，选填小题每题5分)
1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．－3∈A B．3 B
C．B A D．A B
2．集合M＝{x∈N|－2A．7 B．8
C．15 D．16
3．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则集合A，B间的关系为( )
A．A?B B．B?A
C．A＝B D．A B
4．(多选)下列关系正确的是( )
A．0∈ B． ∈{ }
C． { } D． {0}
5．若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}且B A，则满足条件的实数x的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是( )
A．A B B．B A
C．A?B D．B?A
7．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝ ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
8．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠ ，B A，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
9．已知非空集合M满足对任意x∈M，总有x2 M，且 M.若M {0,1,2,3,4,5}，则满足条件的M的个数是( )
A．11 B．12
C．15 D．16
10．(多选)下列命题正确的是( )
A．集合{a，b}的真子集是{a}，{b}
B．{x|x是菱形} {x|x是平行四边形}
C．设a，b∈R，A＝{1，a}，B＝{－1，b}，若A＝B，则a－b＝－2
D． ∈{x|x2＋1＝0，x∈R}
11．设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为_______．
12．若A＝{1,2}，B＝{x|x A}，则B＝________.
13．设A，B是R的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝若A B，则对任意x∈R，m(1－n)＝________.
14．若集合M满足{1,2} M {1,2,3,4}，则集合M＝________.(写出一个集合M即可)
15．(10分)已知集合A＝{1,2,3}．
(1)若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M；
(2)若B＝{x|ax－3＝0}，且B A，求实数a的取值集合．
16．(10分)若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围．
课时跟踪检测(三)
1．选C 集合A＝{y|y≥－1}，B＝{x|x≥2}，所以B A.
2．选C 集合M中共有0,1,2,3四个元素，真子集的个数是24－1＝15.
3．选B ∵B＝＝{(x，y)|y＝x，x≠0}，∴B?A.
4．选BCD 空集中没有元素，故A错误；{ }中只有一个元素 ，故B正确；空集是任意集合的子集，故C、D正确．
5．选C 因为B A，所以x2∈A.又x2≠1，所以x2＝3或x2＝x，所以x＝±或x＝0.故选C.
6．选D 集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，能被6整除的数一定能被3整除，所以B?A.
7．选B 根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，故m＝2.
8．选D 当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根－1，即a＝－1；当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根1，即a＝1；当B＝{－1,1}时，不成立．故a＝±1.
9．选A 当M中有元素0时，02＝0∈M，＝0∈M.当M中有元素1时，12＝1∈M，＝1∈M，所以0 M,1 M，所以集合M是集合{2,3,4,5}的非空子集，且去掉元素2,4同时出现的集合，故满足题意的集合M有{2}，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{2,3,5}，{3,4,5}共11个．
10．选BC 对于A，集合{a，b}的真子集是{a}，{b}， ，故A不正确；
对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以{x|x是菱形} {x|x是平行四边形}，故B正确；对于C，由A＝B及集合元素的互异性得a＝－1，b＝1，故a－b＝－2，故C正确．对于D，因为x是实数，所以x2＋1＝0无解，所以{x|x2＋1＝0，x∈R}＝ ，故D不正确．
11．解析：∵xy＞0，∴x，y同号．又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
答案：M＝P
12．解析：因为A＝{1,2}，B＝{x|x A}，所以集合B中的元素是集合A的子集： ，{1}，{2}，{1,2}，则集合B＝{ ，{1}，{2}，{1,2}}．
答案：{ ，{1}，{2}，{1,2}}
13．解析：∵A B，∴当x A时，m＝0，m(1－n)＝0；当x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m(1－n)＝0.综上，m(1－n)＝0.
答案：0
14．解析：因为集合M满足{1,2} M {1,2,3,4}，所以M＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}．
答案：{1,2}(答案不唯一)
15．解：(1)∵M A,3∈M，∴集合M可能为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．
(2)当a＝0时，B＝ ，满足B A；
当a≠0时，B＝；
若B A，则＝1或＝2或＝3，
解得a＝3或a＝或a＝1.
综上所述，实数a的取值集合为.
16．解：①当A无真子集时，即A＝ 时，
则方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
所以解得a>1.
②当A只有一个真子集时，即A为单元素集，这时有两种情况：
当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，
解得x＝－，符合题意；
当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，符合题意．
综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}．
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