板块综合 集合的综合问题(阶段小结课—习题讲评式教学)
[建构知识体系]
[融通学科素养]
1．浸润的核心素养
关于集合概念，突出了对逻辑推理，数学运算和数学抽象等核心素养的考查；关于集合间的基本关系，体现了对数据分析和直观想象的核心素养的考查；关于集合的交、并、补集的考查，突出了数学建模，直观想象和逻辑推理的核心素养．
2．渗透的数学思想
(1)数形结合思想：在解答有关集合的交、并、补运算以及抽象集合问题时，一般要借助数轴或Venn图求解，体现了数形结合的思想．
(2)分类讨论思想：涉及集合包含关系或含参数的集合问题时，常常对集合是否为空集进行讨论，体现了分类讨论的思想．
题型(一) 集合交、并、补混合运算
[例1] (2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)＝( )
A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．
听课记录：
[例2] 已知全集U＝{x∈Z|－5
听课记录：
|思|维|建|模|
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
[针对训练]
1.设全集U＝R，集合A＝{x|4－x2≥0}，B＝{x|x≤－1}，则如图所示阴影部分表示的集合为( )
A．(－1,2] B．[－1,2]
C．[－2，－1) D．(－∞，－1]
2.(多选)已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论正确的是( )
A．M∩( RN)＝
B．M∪( RN)＝R
C．( RM)∪( RN)＝ RM
D．( RM)∩( RN)＝ RM
题型(二) 集合中的参数问题
[例3] 集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
听课记录：
[变式拓展]
1．若本例条件“B A”变为“A∩B≠ ”，求实数m的取值范围．
2．若本例条件变为“已知集合A＝[2a＋1,3a－5]，B＝[3,22]”．求能使A∩B＝A成立的实数a的取值范围．
3．若本例条件“集合A＝{x|－2≤x≤5}”变为”A＝{x|x≤3或x>5}”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
|思|维|建|模| 解集合中参数问题的注意点及常用方法
注意点 ①不能忽视集合为 的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论
常用方法 对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答
[针对训练]
3．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<－1，或x>16}，若A (A∩B)，求实数a的取值范围．
题型(三) Venn图的应用
[例4] 学校开运动会，某班45人，参加100 m跑的同学20人，参加200 m跑的同学20人，参加400 m跑的同学17人，既参加100 m跑又参加200 m跑的同学10人，既参加100 m跑又参加400 m跑的同学7人，既参加200 m跑又参加400 m跑的同学8人，都不参加的同学11人，则同时参加100 m,200 m,400 m跑的同学有( )
A．1人 B．2人
C．3人 D．4人
听课记录：
|思|维|建|模|
解决数学问题最怕的就是仅仅局限在数学上，有时适当的变通会让我们更好的解决问题．对于某些应用题，若能构造Venn图求解，可使问题变得简单明了，通过图示先将无形的东西转化成有形，再将有形的东西转化成方程去求解，使复杂的问题简单化．
[针对训练]
4．某社团有若干名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项．得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图所示，则图中a＝______，b＝________，c＝________.
题型(四) 集合中新定义问题
[例5] 设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1，2,3}，定义A·B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A·B中元素的个数是( )
A．7 B．10
C．25 D．52
听课记录：
|思|维|建|模| 解决新定义问题的策略技巧
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
[针对训练]
5．(多选)若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若{x，y} A，则xy，x＋y∈A，且当x≠0时，∈A，则称集合A是“紧密集合”．以下说法正确的是( )
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合A是“紧密集合”，且x，y∈A，则x－y∈A
板块综合 集合的综合问题
[题型(一)]
[例1] 选A 法一 M＝{…，－2,1,4,7,10，…}，N＝{…，－1,2,5,8,11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1,1,2,4,5,7,8,10，11，…}，所以 U(M∪N)＝{…，－3,0,3,6，9，…}，其元素都是3的倍数，即 U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A.
法二 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
[例2] 解：全集U＝{x∈Z|－5[针对训练]
1．选A A＝{x|－2≤x≤2}， UB＝{x|x>－1}，易知阴影部分为集合A∩( UB)＝(－1,2]．
2．选BD 由题图可知，M∩( RN)＝ MN≠ ，A错误；M∪( RN)＝R，B正确；( RM)∪( RN)＝ R＝ RN，C错误；( RM)∩( RN)＝ R＝ RM，D正确．
[题型(二)]
[例3] 解：①当B＝ 时，B A，此时m＋1>2m－1，解得m<2，②当B≠ 时，为使B A，m需满足解得2≤m≤3，综上所述实数m的取值范围为{m|m≤3}．
[变式拓展]
1．解：先求A∩B＝ 时，实数m的取值范围，再求其补集，当B＝ 时，易知m<2，
当B≠ 时，为使A∩B＝ ，m需满足或
解得m>4，综上知，当m<2或m>4时，A∩B＝ ，所以若A∩B≠ ，则实数m的取值范围是{m|2≤m≤4}．
2．解：由A∩B＝A，可知A B，则解得63．解：若2m－1若2m－1≥m＋1，即m≥2时，要使B A，只需或解得m＝2或m>4.
综上所述，实数m的取值范围为{m|m≤2或m>4}．
[针对训练]
3．解：因为A (A∩B)，而(A∩B) A，所以A∩B＝A，即A B.当A＝ 满足条件，此时2a＋1>3a－5，即a<6.当A≠ 时，如图所示，
则或
由解得a∈ ；
由解得a>.
综上，满足条件A (A∩B)的实数a的取值范围是.
[题型(三)]
[例4] 选B 设同时参加100 m,200 m，400 m跑的同学有x人，作出Venn图如图所示，
∴3＋x＋2＋x＋2＋x＋10－x＋7－x＋8－x＋x＋11＝45，解得x＝2.
[针对训练]
4．解析：由题意得
解得
答案：9 8 10
[题型(四)]
[例5] 选B 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1，0,1,2,3}．由x∈A∩B，可知x可取0,1；由y∈A∪B，可知y可取－1，0,1,2,3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：
y x －1 0 1 2 3
0 (0，－1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3)
1 (1，－1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3)
所以A·B中的元素共有10个．故选B.
[针对训练]
5．选BC A选项，若x＝2，y＝1，而 Z，故整数集不是“紧密集合”，A错误；B选项，根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；C选项，集合{－1,0,1}是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；D选项，集合A＝{－1,0,1}是“紧密集合”，当x＝1，y＝－1时，x－y＝2 A，D错误．故选B、C.
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板块综合 集合的综合问题
(阶段小结课—习题讲评式教学)
建构知识体系
融通学科素养
1.浸润的核心素养
关于集合概念,突出了对逻辑推理,数学运算和数学抽象等核心素养的考查;关于集合间的基本关系,体现了对数据分析和直观想象的核心素养的考查;关于集合的交、并、补集的考查,突出了数学建模,直观想象和逻辑推理的核心素养.
2.渗透的数学思想
(1)数形结合思想:在解答有关集合的交、并、补运算以及抽象集合问题时,一般要借助数轴或Venn图求解,体现了数形结合的思想.
(2)分类讨论思想:涉及集合包含关系或含参数的集合问题时,常常对集合是否为空集进行讨论,体现了分类讨论的思想.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 集合交、并、补混合运算
题型(二) 集合中的参数问题
题型(三) Venn图的应用
4
题型(四) 集合中新定义问题
5
课时跟踪检测
题型(一) 集合交、并、补混合运算
01
[例1] (2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则 U(M∪N)= ( )
A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.
√
解析:法一 M={…,-2,1,4,7,10,…},N={…,-1,2,5,8,11,…},所以M∪N={…,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,…},所以 U(M∪N)={…,-3,0,3,6,9,…},其元素都是3的倍数,即 U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},故选A.
法二 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集,则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集,故选A.
[例2] 已知全集U={x∈Z|-5( UB)∩A={-4,4},A∩B= ,求集合( UA)∩( UB).
解:全集U={x∈Z|-5|思|维|建|模|
解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.
(2)如果所给集合是无限实数集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
1.设全集U=R,集合A={x|4-x2≥0},B={x|x≤-1},则如图所示阴影部分表示的集合为 ( )
A.(-1,2] B.[-1,2] C.[-2,-1) D.(-∞,-1]
解析:A={x|-2≤x≤2}, UB={x|x>-1},易知阴影部分为集合A∩( UB)=
(-1,2].
针对训练
√
2.(多选)已知集合M,N的关系如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.M∩( RN)= B.M∪( RN)=R
C.( RM)∪( RN)= RM D.( RM)∩( RN)= RM
√
√
解析:由题图可知,M∩( RN)= MN≠ ,A错误;M∪( RN)=R,B正确;
( RM)∪( RN)= R= RN,C错误;
( RM)∩( RN)= R= RM,D正确.
题型(二) 集合中的参数问题
02
[例3] 集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},若B A,求实数m的取值范围.
解:①当B= 时,B A,此时m+1>2m-1,解得m<2,②当B≠ 时,为使B A,m需满足解得2≤m≤3,综上所述实数m的取值范围为{m|m≤3}.
变式拓展
1.若本例条件“B A”变为“A∩B≠ ”,求实数m的取值范围.
解:先求A∩B= 时,实数m的取值范围,再求其补集,当B= 时,易知m<2,
当B≠ 时,为使A∩B= ,m需满足或
解得m>4,综上知,当m<2或m>4时,A∩B= ,所以若A∩B≠ ,则实数m的取值范围是{m|2≤m≤4}.
2.若本例条件变为“已知集合A=[2a+1,3a-5],B=[3,22]”.求能使A∩B=A成立的实数a的取值范围.
解:由A∩B=A,可知A B,则解得63.若本例条件“集合A={x|-2≤x≤5}”变为“A={x|x≤3或x>5}”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:若2m-1若2m-1≥m+1,即m≥2时,要使B A,只需或解得m=2或m>4.
综上所述,实数m的取值范围为{m|m≤2或m>4}.
|思|维|建|模|
解集合中参数问题的注意点及常用方法
注意点 ①不能忽视集合为 的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论
常用方法 对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答
针对训练
3.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1,或x>16},若A (A∩B),求实数a的取值范围.
解:因为A (A∩B),而(A∩B) A,所以A∩B=A,即A B.当A= 满足条件,此时2a+1>3a-5,即a<6.当A≠ 时,如图所示,
则或由解得a∈ ;由解得a>.
综上,满足条件A (A∩B)的实数a的取值范围是.
题型(三) Venn图的应用
03
[例4] 学校开运动会,某班45人,参加100 m跑的同学20人,参加200 m跑的同学20人,参加400 m跑的同学17人,既参加100 m跑又参加200 m跑的同学10人,既参加100 m跑又参加400 m跑的同学7人,既参加200 m跑又参加400 m跑的同学8人,都不参加的同学11人,则同时参加100 m,200 m,400 m跑的同学有 ( )
A.1人 B.2人
C.3人 D.4人
√
解析:设同时参加100 m,200 m,400 m跑的同学有x人,作出Venn图如图所示,
∴3+x+2+x+2+x+10-x+7-x+8-x+x+11=45,解得x=2.
|思|维|建|模|
解决数学问题最怕的就是仅仅局限在数学上,有时适当的变通会让我们更好的解决问题.对于某些应用题,若能构造Venn图求解,可使问题变得简单明了,通过图示先将无形的东西转化成有形,再将有形的东西转化成方程去求解,使复杂的问题简单化.
针对训练
4.某社团有若干名社员,他们至少参加了A,B,C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人,参加B活动的有60人,参加C活动的有50人,数据如图所示,则图中a= ,b= ,c= .
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解析:由题意得解得
题型(四) 集合中新定义问题
04
[例5] 设集合A={-1,0,1},B={0,1,2,3},定义A·B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A·B中元素的个数是 ( )
A.7 B.10
C.25 D.52
√
解析:因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.由x∈A∩B,可知x可取0,1;由y∈A∪B,可知y可取-1,0,1,2,3.所以元素(x,y)的所有结果如下表所示:
所以A·B中的元素共有10个.故选B.
y x -1 0 1 2 3
0 (0,-1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3)
1 (1,-1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3)
|思|维|建|模| 解决新定义问题的策略技巧
(1)紧扣“新”定义:分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键所在.
(2)把握“新”性质:集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.
(3)遵守“新”法则:准确把握新定义的运算法则,将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可.
针对训练
5.(多选)若集合A具有以下性质:①集合中至少有两个元素;②若{x,y} A,则xy,x+y∈A,且当x≠0时,∈A,则称集合A是“紧密集合”.以下说法正确的是( )
A.整数集是“紧密集合”
B.实数集是“紧密集合”
C.“紧密集合”可以是有限集
D.若集合A是“紧密集合”,且x,y∈A,则x-y∈A
√
√
解析:A选项,若x=2,y=1,而 Z,故整数集不是“紧密集合”,A错误;B选项,根据“紧密集合”的性质,实数集是“紧密集合”,B正确;C选项,集合
{-1,0,1}是“紧密集合”,故“紧密集合”可以是有限集,C正确;D选项,集合A={-1,0,1}是“紧密集合”,当x=1,y=-1时,x-y=2 A,D错误.故选B、C.
课时跟踪检测
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√
A级——达标评价
1.(2023·全国甲卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪ UM=( )
A.{2,3,5} B.{1,3,4}
C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5}
解析:由题意知, UM={2,3,5},又N={2,5},所以N∪ UM={2,3,5},故选A.
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√
2.满足M {a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:由题意知集合M一定含有元素a1,a2,并且不含元素a3,故M={a1,a2}或M={a1,a2,a4}.
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3.已知( RA)∩B= ,则下列选项中一定成立的是 ( )
A.A∩B=A B.A∩B=B
C.A∪B=B D.A∪B=R
解析:作出Venn图如图所示,则B A,所以A∩B=B.
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4.已知集合M={x|2x+1<3},N={x|xA.[1,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,1] D.(-∞,1)
解析:M={x|2x+1<3}={x|x<1},因为M∩N=N,所以N为M的子集,所以a≤1.
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√
5.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A∩B,y∈A∪B}.若集合A={1,2,3},
B={0,1,2},则 (A*B)A= ( )
A.{0} B.{0,4}
C.{0,6} D.{0,4,6}
解析:因为A={1,2,3},B={0,1,2},所以A∩B={1,2},A∪B={0,1,2,3},所以当x∈A∩B,y∈A∪B时,z=0,1,2,3,4,6,所以A*B={0,1,2,3,4,6},所以 (A*B)A={0,4,6}.故选D.
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√
6.已知全集U={1,2,3,4},且 U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩( UB)等于 ( )
A.{3} B.{4}
C.{3,4} D.
解析:因为全集U={1,2,3,4},且 U(A∪B)={4},所以A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以 UB={3,4},A={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},所以A∩( UB)={3}.
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7.设全集U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∪( UB)= .
解析:∵U=R,B={x|x>1},∴ UB={x|x≤1}.
又∵A={x|x>0},∴A∪( UB)={x|x>0}∪{x|x≤1}=R.
R
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8.对于任意两集合A,B,定义A-B={x|x∈A且x B},A*B=(A-B)∪(B-A),记A={y|y≥0},B={x|-3≤x≤3},则A*B= .
解析:A-B={x|x>3},B-A={x|-3≤x<0},所以A*B={x|-3≤x<0或x>3}.
{x|-3≤x<0或x>3}
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9.(8分)已知全集U={x|-10≤x≤10},A={x|-1≤x≤10},B={x|-5≤x<5}.
(1)求 UA;
解:由U={x|-10≤x≤10},A={x|-1≤x≤10},
得 UA={-10≤x<-1}.
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(2)求( UB)∩A;
解:因为U={x|-10≤x≤10},B={x|-5≤x<5},
所以 UB={x|-10≤x<-5或5≤x≤10},
所以( UB)∩A={x|5≤x≤10}.
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(3)求 U(A∪B).
解:因为A∪B={x|-5≤x≤10},
所以 U(A∪B)={x|-10≤x<-5}.
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10.(8分)已知集合A={x|1(1)求A∩B与( RA)∪B;
解:由集合A={x|12}.
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(2)设集合P={x|a解:由集合A={x|1由集合P={x|a故实数a的取值范围为[1,3].
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B级——重点培优
11.设全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|kA.k<0或k>3 B.2C.0解析:∵A={x|x≤1或x≥3},∴ UA={x|1√
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√
12.我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集,用card(A)表示有限集合A中元素的个数.例如,A={a,b,c},则card(A)=3.容斥原理告诉我们,如果被计数的事物有A,B,C三类,那么,card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).某校初一四班学生46人寒假参加体育训练,其中足球队25人,排球队22人,游泳队24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,则三项都参加的有(教材阅读与思考改编) ( )
A.2人 B.3人 C.4人 D.5人
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解析:设集合A={参加足球队的学生},集合B={参加排球队的学生},集合C={参加游泳队的学生},则card(A)=25,card(B)=22,card(C)=24,
card(A∩B)=12,card(B∩C)=8,card(A∩C)=9.设三项都参加的有x人,即card(A∩B∩C)=x,card(A∪B∪C)=46,所以由card(A∪B∪C)=card(A)
+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C),得46=25+22+24-12-8-9+x,解得x=4,故三项都参加的有4人.
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√
13.若集合A具有以下性质:(1)0∈A,1∈A;(2)若x∈A,y∈A,则x-y∈A,且x≠0时,∈A.则称集合A是“好集”,给出下列说法:①集合B={-1,0,1}是“好集”;②有理数集Q是“好集”;③设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A.其中,正确说法的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
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解析:对于①,当x=1,y=-1时,x-y=2,故集合B不满足第2个条件,集合B不是“好集”;对于②,有理数集Q满足0∈Q,1∈Q,且满足第2个条件,即x∈Q,y∈Q时,x-y∈Q,且x≠0时,∈Q,故有理数集Q是“好集”;对于③,由“好集”的定义知,x,y∈A,0∈A,∴0-y=-y∈A,∴x-(-y)=x+y∈A.
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14.已知集合A={x|2a-2解析:由题意得 RB={x|x≤1或x≥2}≠ .因为A ( RB),所以分A= 和A≠ 两种情况讨论.若A= ,此时有2a-2≥a,所以a≥2;若A≠ ,则有或所以a≤1.综上所述,a≤1或a≥2.
{a|a≤1或a≥2}
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15.(10分)已知全集U=R,集合A={x|x≤-a-1},B={x|x>a+2},C={x|x<0或x≥4}都是U的子集.若 U(A∪B) C,问这样的实数a是否存在 若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:因为 U(A∪B) C,所以应分两种情况.
①若 U(A∪B)= ,则A∪B=R,
因此a+2≤-a-1,即a≤-.
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②若 U(A∪B)≠ ,则a+2>-a-1,即a>-.
又A∪B={x|x≤-a-1或x>a+2},
所以 U(A∪B)={x|-a-1又 U(A∪B) C,所以a+2<0或-a-1≥4,
即a<-2或a≤-5.
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又a>-,故此时a不存在.综上,存在这样的实数a,且a的取值范围是.
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16.(10分)给定数集A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,a-b∈A,则称集合A为闭集合.
(1)判断集合A1={-4,-2,0,2,4},B={x|x=3k,k∈Z}是否为闭集合,并给出证明;
解:因为4∈A1,2∈A1,4+2=6 A1,所以A1不是闭集合.任取x,y∈B,设x=3m,y=3n,m,n∈Z,则x+y=3m+3n=3(m+n)且m+n∈Z,所以x+y∈B,同理,x-y∈B,故B为闭集合.
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(2)若集合C,D为闭集合,则C∪D是否一定为闭集合 请说明理由;
解:结论:不一定.
不妨令C={x|x=2k,k∈Z},D={x|x=3k,k∈Z},则由(1)可知, D为闭集合,同理可证C为闭集合.因为2,3∈C∪D,2+3=5 C∪D,因此,C∪D不一定是闭集合.所以若集合C,D为闭集合,则C∪D不一定为闭集合.
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(3)若集合C,D为闭集合,且C R,D R,证明:(C∪D) R.
解:证明:不妨假设C∪D=R,则由C R,可得存在a∈R且a C,故a∈D.同理,存在b∈R且b D,故b∈C.因为a+b∈R=C∪D,所以a+b∈C或a+b∈D.若a+b∈C,则由C为闭集合且b∈C,得a=(a+b)-b∈C,与a C矛盾.若a+b∈D,则由D为闭集合且a∈D,得b=(a+b)-a∈D,与b D矛盾,
综上,C∪D=R不成立,故(C∪D) R.
16课时跟踪检测(五) 集合的综合问题
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(2023·全国甲卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪ UM＝( )
A．{2,3,5} B．{1,3,4}
C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5}
2．满足M {a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．已知( RA)∩B＝ ，则下列选项中一定成立的是( )
A．A∩B＝A B．A∩B＝B
C．A∪B＝B D．A∪B＝R
4．已知集合M＝{x|2x＋1<3}，N＝{x|xA．[1，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
5．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A∩B，y∈A∪B}．若集合A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，则 (A*B)A＝( )
A．{0} B．{0,4}
C．{0,6} D．{0,4,6}
6．已知全集U＝{1,2,3,4}，且 U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩( UB)等于( )
A．{3} B．{4}
C．{3,4} D．
7．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∪( UB)＝________.
8．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝________.
9．(8分)已知全集U＝{x|－10≤x≤10}，A＝{x|－1≤x≤10}，B＝{x|－5≤x<5}．
(1)求 UA；
(2)求( UB)∩A；
(3)求 U(A∪B)．
10．(8分)已知集合A＝{x|1(1)求A∩B与( RA)∪B；
(2)设集合P＝{x|aB级——重点培优
11．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|kA．k<0或k>3 B．2C．012．我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的个数．例如，A＝{a，b，c}，则card(A)＝3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)．某校初一四班学生46人寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的有(教材阅读与思考改编)( )
A．2人 B．3人
C．4人 D．5人
13．若集合A具有以下性质：(1)0∈A,1∈A；(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.则称集合A是“好集”，给出下列说法：①集合B＝{－1，0,1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
14．已知集合A＝{x|2a－215．(10分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x>a＋2}，C＝{x|x<0或x≥4}都是U的子集．若 U(A∪B) C，问这样的实数a是否存在？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
16．(10分)给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，a－b∈A，则称集合A为闭集合．
(1)判断集合A1＝{－4，－2,0,2,4}，B＝{x|x＝3k，k∈Z}是否为闭集合，并给出证明；
(2)若集合C，D为闭集合，则C∪D是否一定为闭集合？请说明理由；
课时跟踪检测(五)
1．选A 由题意知， UM＝{2,3,5}，又N＝{2,5}，所以N∪ UM＝{2,3,5}，故选A.
2．选B 由题意知集合M一定含有元素a1，a2，并且不含元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．
3．选B 作出Venn图如图所示，则B A，所以A∩B＝B.
4．选C M＝{x|2x＋1<3}＝{x|x<1}，因为M∩N＝N，所以N为M的子集，所以a≤1.
5．选D 因为A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，所以A∩B＝{1,2}，A∪B＝{0,1,2,3}，所以当x∈A∩B，y∈A∪B时，z＝0,1,2,3,4,6，所以A*B＝{0,1,2,3,4,6}，所以 (A*B)A＝{0,4,6}．故选D.
6．选A 因为全集U＝{1,2,3,4}，且 U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以 UB＝{3,4}，A＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，所以A∩( UB)＝{3}．
7．解析：∵U＝R，B＝{x|x>1}，∴ UB＝{x|x≤1}．又∵A＝{x|x>0}，∴A∪( UB)＝{x|x>0}∪{x|x≤1}＝R.
答案：R
8．解析：A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}，所以A*B＝{x|－3≤x<0或x>3}．
答案：{x|－3≤x<0或x>3}
9．解：(1)由U＝{x|－10≤x≤10}，A＝{x|－1≤x≤10}，
得 UA＝{－10≤x<－1}．
(2)因为U＝{x|－10≤x≤10}，B＝{x|－5≤x<5}，所以 UB＝{x|－10≤x<－5或5≤x≤10}，
所以( UB)∩A＝{x|5≤x≤10}．
(3)因为A∪B＝{x|－5≤x≤10}，
所以 U(A∪B)＝{x|－10≤x<－5}．
10．解：(1)由集合A＝{x|1又由 RA＝{x|x≤1或x≥3}，得( RA)∪B＝{x|x≤1或x>2}．
(2)由集合A＝{x|1由集合P＝{x|a故实数a的取值范围为[1,3]．
11．选C ∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴ UA＝{x|112．选C 设集合A＝{参加足球队的学生}，集合B＝{参加排球队的学生}，集合C＝{参加游泳队的学生}，则card(A)＝25，card(B)＝22，card(C)＝24，card(A∩B)＝12，card(B∩C)＝8，card(A∩C)＝9.设三项都参加的有x人，即card(A∩B∩C)＝x，card(A∪B∪C)＝46，所以由card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，得46＝25＋22＋24－12－8－9＋x，解得x＝4，故三项都参加的有4人．
13．选C 对于①，当x＝1，y＝－1时，x－y＝2，故集合B不满足第2个条件，集合B不是“好集”；对于②，有理数集Q满足0∈Q,1∈Q，且满足第2个条件，即x∈Q，y∈Q时，x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，故有理数集Q是“好集”；对于③，由“好集”的定义知，x，y∈A,0∈A，∴0－y＝－y∈A，∴x－(－y)＝x＋y∈A.
14．解析：由题意得 RB＝{x|x≤1或x≥2}≠ .因为A?( RB)，所以分A＝ 和A≠ 两种情况讨论．若A＝ ，此时有2a－2≥a，所以a≥2；若A≠ ，则有或所以a≤1.综上所述，a≤1或a≥2.
答案：{a|a≤1或a≥2}
15．解：因为 U(A∪B) C，所以应分两种情况．
①若 U(A∪B)＝ ，则A∪B＝R，
因此a＋2≤－a－1，即a≤－.
②若 U(A∪B)≠ ，则a＋2>－a－1，即a>－.
又A∪B＝{x|x≤－a－1或x>a＋2}，
所以 U(A∪B)＝{x|－a－1又 U(A∪B) C，所以a＋2<0或－a－1≥4，即a<－2或a≤－5.
又a>－，故此时a不存在．综上，存在这样的实数a，且a的取值范围是.
16．解：(1)因为4∈A1,2∈A1,4＋2＝6 A1，所以A1不是闭集合．任取x，y∈B，设x＝3m，y＝3n，m，n∈Z，则x＋y＝3m＋3n＝3(m＋n)且m＋n∈Z，所以x＋y∈B，同理，x－y∈B，故B为闭集合．
(2)结论：不一定．
不妨令C＝{x|x＝2k，k∈Z}，D＝{x|x＝3k，k∈Z}，则由(1)可知， D为闭集合，同理可证C为闭集合．因为2,3∈C∪D,2＋3＝5 C∪D，因此，C∪D不一定是闭集合．所以若集合C，D为闭集合，则C∪D不一定为闭集合．
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