2.1.1 必要条件与充分条件、充要条件
—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．
2．理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．
3．理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．
逐点清(一) 必要条件
[多维理解]
1．命题的概念及结构形式
可以判断______，用____________表述的陈述句叫作命题．一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式．当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的______，q是命题的______．当命题“若p，则q”是真命题时，就说__________，记作______．
2．必要条件
一般地，当命题“若p，则q”是____命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是______的．
3．性质定理与必要条件的关系
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件．
|微|点|助|解|
(1)前提p q，有方向，条件在前，结论在后．
(2)只有“若p，则q”为真命题时，才有“p q”．
(3)“q是p的必要条件”还可以换种说法“p的必要条件是q”．
[微点练明]
1．下列命题是真命题的是( )
A．若xy＝1，则x，y互为倒数
B．平面内，四条边相等的四边形是正方形
C．平行四边形是梯形
D．若ac3>bc3，则a>b
2．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有( )
A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数
B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根
C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
D．若ab＝0，则a＝0
3．用必要条件的语言表述下面的性质：
(1)若A＝ ，则A B；
(2)正方形的对角线互相垂直且相等；
(3)两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等．
逐点清(二) 充分条件
[多维理解]
1．充分条件
一般地，“若p，则q”为真命题时，称p是q的______条件．
2．判定定理与充分条件的关系
数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个______条件．
3．必要条件与充分条件
对于真命题“若p，则q”，即p q时，称q是p的______条件，也称p是q的______条件．
|微|点|助|解|
(1)叙述充分、必要条件时，注意p和q的前后顺序．
(2)“p是q的充分条件”还可以换种说法“q的充分条件是p”．
[微点练明]
1．下列是“四边形是矩形”的充分条件的是( )
A．四边形的对角线相等
B．四边形的两组对边分别相等
C．四边形有两个内角都为直角
D．四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补
2．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是( )
A．若x＜1，则x＜2
B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C．若|x|≠1，则x≠1
D．若ab＞0，则a＞0，b＞0
3．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若a，b为无理数，则ab为无理数；
(2)在△ABC中，若A>B，则BC>AC；
(3)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.
逐点清(三) 充要条件
[多维理解]
1．一般地，如果______，且______，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的________条件，记作________．p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”．
2．条件与结论的等价性：当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件．
|微|点|助|解|
(1)分类：
①p q，q不能推出p p是q的充分不必要条件；
②q p，p不能推出q p是q的必要不充分条件；
③p q且q p p是q的充要条件；
④p不能推出q且q不能推出p p是q的既不充分也不必要条件．
(2)传递性：
①p q，q s则p s，即p是s的充分条件；
②q p，s q则s p，即p是s的必要条件；
③p q，q s则p s，即p是s的充要条件．
[微点练明]
1．(2023·北京高考)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．指出下列各题中，p是q的什么条件．(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：m<0，q：一元二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根和一负根；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
必要条件与充分条件、
充要条件
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.真假 文字或符号
条件 结论 由p推出q p q
2．真 必要 3.必要
[微点练明] 1.A 2.BCD
3．解：(1)A B是A＝ 的必要条件；
(2)四边形的对角线互相垂直且相等是该四边形为正方形的必要条件；
(3)两条直线被第三条直线所截，同位角相等是两条直线平行的必要条件．
[逐点清(二)]
[多维理解]
1．充分 2.充分 3.必要 充分
[微点练明] 1.D 2.ABC
3．解：(1)，2为无理数，但×2＝4，为有理数，因此p不能推出q，所以p不是q的充分条件．
(2)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC，因此p q，所以p是q的充分条件．
(3)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0，由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p q，所以p是q的充分条件．
[逐点清(三)]
[多维理解] 1.p q q p 充要 p q
[微点练明] 1.C 2.B
3．解：(1)∵p q，q不能推出p，
∴p是q的充分不必要条件．
(2)记一元二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根为x1，x2，
则x1x2＝m，∴方程有一正根和一负根等价于x1x2<0，x1x2<0 m<0，
故p是q的充要条件．
(3)∵p不能推出q，q p，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，
∴“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.
而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q p.
∴p是q的必要不充分条件．
1 / 4(共53张PPT)
必要条件与充分条件、充要条件
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
2.1.1
课时目标
1.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
2.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.
3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 必要条件
逐点清(二) 充分条件
逐点清(三) 充要条件
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 必要条件
01
多维理解
1.命题的概念及结构形式
可以判断_____,用____________表述的陈述句叫作命题.一个命题通常可以表示为“若p,则q”和“p是q”两种形式.当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的______,q是命题的______.当命题“若p,则q”是真命题时,就说__________,记作______.
真假
文字或符号
条件
结论
由p推出q
p q
2.必要条件
一般地,当命题“若p,则q”是____命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是______的.
3.性质定理与必要条件的关系
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_____条件.
真
必要
必要
|微|点|助|解|
(1)前提p q,有方向,条件在前,结论在后.
(2)只有“若p,则q”为真命题时,才有“p q”.
(3)“q是p的必要条件”还可以换种说法“p的必要条件是q”.
1.下列命题是真命题的是 ( )
A.若xy=1,则x,y互为倒数
B.平面内,四条边相等的四边形是正方形
C.平行四边形是梯形
D.若ac3>bc3,则a>b
微点练明
√
解析:对于A,由倒数定义知:若xy=1,则x,y互为倒数,真命题;对于B,平面内,四条边相等的四边形是菱形,但不一定是正方形,假命题;对于C,平行四边形两组对边互相平行,梯形只有一组对边互相平行,故平行四边形不是梯形,假命题;对于D,当c3<0时,有a2.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有 ( )
A.若x,y是偶数,则x+y是偶数
B.若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根
C.若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形
D.若ab=0,则a=0
√
√
√
解析:A:x+y是偶数不一定能推出x,y是偶数,因为x,y可以是奇数,不符合题意;B:当方程x2-2x+a=0有实根时,则有(-2)2-4a≥0 a≤1,显然能推出a<2,符合题意;C:因为菱形对角线互相垂直,所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直,符合题意;D:显然由a=0可以推出ab=0,符合题意.
3.用必要条件的语言表述下面的性质:
(1)若A= ,则A B;
解:A B是A= 的必要条件;
(2)正方形的对角线互相垂直且相等;
解:四边形的对角线互相垂直且相等是该四边形为正方形的必要条件;
(3)两条直线被第三条直线所截,如果两条直线平行,那么同位角相等.
解:两条直线被第三条直线所截,同位角相等是两条直线平行的必要条件.
逐点清(二) 充分条件
02
多维理解
1.充分条件
一般地,“若p,则q”为真命题时,称p是q的______条件.
2.判定定理与充分条件的关系
数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个_____条件.
3.必要条件与充分条件
对于真命题“若p,则q”,即p q时,称q是p的____条件,也称p是q的____条件.
充分
充分
必要
充分
|微|点|助|解|
(1)叙述充分、必要条件时,注意p和q的前后顺序.
(2)“p是q的充分条件”还可以换种说法“q的充分条件是p”.
微点练明
1.下列是“四边形是矩形”的充分条件的是 ( )
A.四边形的对角线相等
B.四边形的两组对边分别相等
C.四边形有两个内角都为直角
D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补
√
解析:四边形的对角线相等且平分才是矩形,故A错误;四边形的两组对边分别相等为平行四边形,故B错误;四边形有三个内角为直角才是矩形,故C错误;四边形两组对边分别平行则为平行四边形,则相邻两角互补,又有一组对角互补,故相邻两角相等,又相邻两角之和为180°,故相邻两角均为直角,故该平行四边形是矩形,故D正确.
2.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是 ( )
A.若x<1,则x<2
B.若两个三角形的三边对应成比例,则这两个三角形相似
C.若|x|≠1,则x≠1
D.若ab>0,则a>0,b>0
√
√
√
解析:由x<1,可以推出x<2,所以选项A符合题意;由两个三角形的三边对应成比例,可以推出这两个三角形相似,所以选项B符合题意;由|x|≠1,可以推出x≠1,所以选项C符合题意;由ab>0,不一定能推出a>0,b>0,比如a=b=-1,所以选项D不符合题意.
3.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若a,b为无理数,则ab为无理数;
解:,2为无理数,但×2=4,为有理数,因此p不能推出q,所以p不是q的充分条件.
(2)在△ABC中,若A>B,则BC>AC;
解:由三角形中大角对大边可知,若A>B,则BC>AC,因此p q,所以p是q的充分条件.
(3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0.
解:因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p q,所以p是q的充分条件.
逐点清(三) 充要条件
03
多维理解
1.一般地,如果_____,且_____,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的_____条件,记作______.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”.
2.条件与结论的等价性:当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
p q
q p
充要
p q
|微|点|助|解|
(1)分类:
①p q,q不能推出p p是q的充分不必要条件;
②q p,p不能推出q p是q的必要不充分条件;
③p q且q p p是q的充要条件;
④p不能推出q且q不能推出p p是q的既不充分也不必要条件.
(2)传递性:
①p q,q s则p s,即p是s的充分条件;
②q p,s q则s p,即p是s的必要条件;
③p q,q s则p s,即p是s的充要条件.
微点练明
1.(2023·北京高考)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
2.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
√
3.指出下列各题中,p是q的什么条件.(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)
(1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除;
解:∵p q,q不能推出p,
∴p是q的充分不必要条件.
(2)p:m<0,q:一元二次方程x2+(m-3)x+m=0有一正根和一负根;
解:记一元二次方程x2+(m-3)x+m=0的两根为x1,x2,
则x1x2=m,∴方程有一正根和一负根等价于x1x2<0,x1x2<0 m<0,
故p是q的充要条件.
(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;
解:∵p不能推出q,q p,
∴p是q的必要不充分条件.
(4)p:|ab|=ab,q:ab>0.
解:∵ab=0时,|ab|=ab,
∴“|ab|=ab”不能推出“ab>0”,
即p不能推出q.
而当ab>0时,有|ab|=ab,即q p.
∴p是q的必要不充分条件.
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
√
1.若p是q的充分条件,则q是p的 ( )
A.充分条件 B.必要条件
C.不充分条件 D.不必要条件
解析:因为p是q的充分条件,所以p q,所以q是p的必要条件.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
√
2.“|x|=1”是“x2=1”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由|x|=1可得x=±1,由x2=1可得x=±1,所以“|x|=1”是“x2=1”的充要条件.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
√
3.“x<0”是“|x|=-x”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:因|x|=-x x≤0,由“x<0”可得“x≤0”,即“x<0”是“|x|=-x”的充分条件;而由“x≤0”显然不能得到“x<0”,即“x<0”不是“|x|=-x”的必要条件.所以“x<0”是“|x|=-x”的充分不必要条件.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
√
4.荀子曰:“故不积硅步,无以至千里;不积小流,无以成江海”,这句话是来自先秦时期的名言,此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的 ( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:由已知设“积跬步”为命题p,“至千里”为命题q,“故不积跬步,无以至千里”,即“若 p,则 q”为真命题.其逆否命题为“若q,则p”为真命题,反之不成立,所以命题p是命题q的必要不充分条件,故“积跬步”一定是“至千里的必要条件”.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
√
5.(多选)下列各选项中,p是q的充分条件的是 ( )
A.p:a是无理数,q:a2是无理数
B.p:四边形为等腰梯形,q:四边形对角线相等
C.p:x>2,q:x≥1
D.p:a>b,q:ac2>bc2
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:A中,a=是无理数,a2=2是有理数,所以p不是q的充分条件;B中,因为等腰梯形的对角线相等,所以p是q的充分条件;C中,x>2 x≥1,所以p是q的充分条件;D中,当c=0时,ac2=bc2,所以p不是q的充分条件.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
√
6.下列p是q的必要条件的是 ( )
A.p:a=1,q:|a|=1 B.p:a>1,q:|a|>1
C.p:ab,q:a>b+1
解析:题意知,需q p.对于A,|a|=1,则a=±1,不能判断a=1;对于B,|a|>1,则a>1或a<-1 不能判断a>1;对于C,ab+1 a-b>1 a-b>0.故选D.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
√
7.“a=b”是“a2+b2+c2=ab+bc+ac”的 ( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:由a2+b2+c2=ab+bc+ac,得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0,即(a-b)2
+(b-c)2+(c-a)2=0,则a=b=c,所以“a=b”是“a2+b2+c2=ab+bc+ac”的必要不充分条件.故选A.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
8.若x,y∈R,则“x=y”是“x2+y2≤2xy”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:当x=y时,x2+y2=2x2=2x·x=2xy,所以x2+y2≤2xy成立,又当x2+y2
≤2xy时,即x2+y2-2xy=(x-y)2≤0,得到x=y,所以x2+y2≤2xy可以得到x=y,所以“x=y”是“x2+y2≤2xy”的充要条件.故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
9.从符号“ ”“ ”“ ”中选择适当的一个填空:
(1)x2>1 x>1;
(2)a,b都是偶数 a+b是偶数;
(3)n是偶数 n是4的倍数.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
10.“x2=2x”是“x=0”的 条件,“x=0”是“x2=2x”的______条件(用“充分”“必要”填空).
解析:由于x=0 x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件.
必要
充分
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
11.在△ABC中,p:△ABC为钝角三角形,q:∠A>90°,则命题p是q的_____ 条件.(填“必要”或“充分”)
解析:∠A>90° △ABC为钝角三角形,则p是q的必要条件.
必要
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
12.对于集合A,B及元素x,若A B,则x∈B是x∈(A∪B)的 条件.
解析:由x∈B,显然可得x∈(A∪B);反之,由于A B,则(A∪B)=B,所以由x∈(A∪B)可得x∈B,故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件.
充要
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.(10分)判断下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
(1)已知x∈R,p:x>1,q:x>2;
解:法一:由x>1 x>2,所以p不是q的充分条件.反之,若x>2,则必有x>1,所以p是q的必要条件. 故p是q的必要不充分条件.
法二:设集合A={x|x>1},B={x|x>2},则B A,所以p是q的必要不充分条件.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)p:a能被6整除,q:a能被3整除;
解:p:a能被6整除,故也能被3和2整除,
q:a能被3整除,不一定能被6整除,故p是q的充分不必要条件.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(3)p:两个角不都是直角,q:两个角不相等;
解:由题意,知p q,但q p,所以p是q的必要不充分条件.
(4)p:A∩B=A,q: UB UA.
解:∵A∩B=A A B UB UA,
∴p是q的充要条件.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.(10分)设A={a+b||a2-2b2|=1,a,b∈ Z},现有以下三个条件:
甲:x∈A且y∈A;乙:xy∈A;丙:∈A.
求证:甲分别是乙和丙的充分条件.
证明:设x=a+b,y=c+d,
则|a2-2b2|=1,a,b∈ Z,|c2-2d2|=1,c,d∈Z,
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
则xy=(a+b)(c+d)=(ac+2bd)+(bc+ad),显然ac+2bd,bc+ad∈Z,
因为(ac+2bd)2-2(bc+ad)2=(a2-2b2)(c2-2d2),a,b,c,d∈Z,
所以|(ac+2bd)2-2(bc+ad)2|=|(a2-2b2)(c2-2d2)|=1,a,b,c,d∈Z,所以xy∈A.
所以甲是乙的充分条件.
因为===-·,
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
且|a2-2b2|=1,a,b∈Z,
所以若a2-2b2=1,则=a-b∈A;
若a2-2b2=-1,则=-a+b∈A.
所以甲是丙的充分条件.
综上,甲分别是乙和丙的充分条件.课时跟踪检测(六) 必要条件与充分条件、充要条件
(满分80分，选填小题每题5分)
1．若p是q的充分条件，则q是p的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．不充分条件 D．不必要条件
2．“|x|＝1”是“x2＝1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“x<0”是“|x|＝－x”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．荀子曰：“故不积硅步，无以至千里；不积小流，无以成江海”，这句话是来自先秦时期的名言，此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(多选)下列各选项中，p是q的充分条件的是( )
A．p：a是无理数，q：a2是无理数
B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C．p：x>2，q：x≥1
D．p：a>b，q：ac2>bc2
6．下列p是q的必要条件的是( )
A．p：a＝1，q：|a|＝1 B．p：a>1，q：|a|>1
C．p：ab，q：a>b＋1
7．“a＝b”是“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．若x，y∈R，则“x＝y”是“x2＋y2≤2xy”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．从符号“ ”“”“ ”中选择适当的一个填空：
(1)x2>1________x>1；
(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数；
(3)n是偶数________n是4的倍数．
10．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的______条件(用“充分”“必要”填空)．
11．在△ABC中，p：△ABC为钝角三角形，q：∠A＞90°，则命题p是q的________条件．(填“必要”或“充分”)
12．对于集合A，B及元素x，若A B，则x∈B是x∈(A∪B)的________条件．
13．(10分)判断下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)．
(1)已知x∈R，p：x>1，q：x>2；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等；
(4)p：A∩B＝A，q： UB UA.
14．(10分)设A＝{a＋b||a2－2b2|＝1，a，b∈Z}，现有以下三个条件：
甲：x∈A且y∈A；乙：xy∈A；丙：∈A.
求证：甲分别是乙和丙的充分条件．
课时跟踪检测(六)
1．选B 因为p是q的充分条件，所以p q，所以q是p的必要条件．
2．选C 由|x|＝1可得x＝±1，由x2＝1可得x＝±1，所以“|x|＝1”是“x2＝1”的充要条件．
3．选A 因|x|＝－x x≤0，由“x<0”可得“x≤0”，即“x<0”是“|x|＝－x”的充分条件；而由“x≤0”显然不能得到“x<0”，即“x<0”不是“|x|＝－x”的必要条件．所以“x<0”是“|x|＝－x”的充分不必要条件．
4．选B 由已知设“积跬步”为命题p，“至千里”为命题q，“故不积跬步，无以至千里”，即“若綈p，则綈q”为真命题．其逆否命题为“若q，则p”为真命题，反之不成立，所以命题p是命题q的必要不充分条件，故“积跬步”一定是“至千里的必要条件”．
5．选BC A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；C中，x>2 x≥1，所以p是q的充分条件；D中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件．
6．选D 由题意知，需q p.对于A，|a|＝1，则a＝±1，不能判断a＝1；对于B，|a|>1，则a>1或a<－1 不能判断a>1；对于C，ab＋1 a－b>1 a－b>0.故选D.
7．选A 由a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，所以“a＝b”是“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac”的必要不充分条件．故选A.
8．选C 当x＝y时，x2＋y2＝2x2＝2x·x＝2xy，所以x2＋y2≤2xy成立，又当x2＋y2≤2xy时，即x2＋y2－2xy＝(x－y)2≤0，得到x＝y，所以x2＋y2≤2xy可以得到x＝y，所以“x＝y”是“x2＋y2≤2xy”的充要条件．故选C.
9．(1) (2) (3)
10．解析：由于x＝0 x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．
答案：必要 充分
11．解析：∠A＞90° △ABC为钝角三角形，则p是q的必要条件．
答案：必要
12．解析：由x∈B，显然可得x∈(A∪B)；反之，由于A B，则(A∪B)＝B，所以由x∈(A∪B)可得x∈B，故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件．
答案：充要
13．解：(1)法一：由x>1 x>2，所以p不是q的充分条件．反之，若x>2，则必有x>1，所以p是q的必要条件. 故p是q的必要不充分条件．
法二：设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，则B?A，所以p是q的必要不充分条件．
(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，
q：a能被3整除，不一定能被6整除，故p是q的充分不必要条件．
(3)由题意，知p q，但q p，所以p是q的必要不充分条件．
(4)∵A∩B＝A A B UB UA，
∴p是q的充要条件．
14．证明：设x＝a＋b，y＝c＋d，
则|a2－2b2|＝1，a，b∈Z，|c2－2d2|＝1，c，d∈Z，
则xy＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋2bd)＋(bc＋ad)，显然ac＋2bd，bc＋ad∈Z，
因为(ac＋2bd)2－2(bc＋ad)2＝(a2－2b2)·(c2－2d2)，a，b，c，d∈Z，
所以|(ac＋2bd)2－2(bc＋ad)2|＝|(a2－2b2)(c2－2d2)|＝1，a，b，c，d∈Z，所以xy∈A.
所以甲是乙的充分条件．
因为＝＝＝－·，
且|a2－2b2|＝1，a，b∈Z，
所以若a2－2b2＝1，则＝a－b∈A；
若a2－2b2＝－1，则＝－a＋b∈A.
所以甲是丙的充分条件．
综上，甲分别是乙和丙的充分条件．
2 / 2
