2.2.2 全称量词与存在量词的综合问题
(教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
[课时目标]
1．能够根据数学实例，正确理解含有一个量词的命题与它们的否定在真假上的关系，
能正确地判断含有一个量词的命题的真假．
2．能根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数的值或范围．
题型(一) 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
[例1] 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N, 2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0；
(3)对任意实数a，|a|＞0；
(4)有一个角α，使sin α＝.
听课记录：
|思|维|建|模|
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可，这就是通常所说的“举出一个反例”．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
[针对训练]
1．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
(1) x∈R，x2>0；
(2) x∈R，x2＝1；
(3) x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；
(4)等腰梯形的对角线垂直．
题型(二) 全称量词命题与存在量词命题的应用
[例2] 命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围．
听课记录：
[变式拓展]
若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．
|思|维|建|模|
利用含量词命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解的问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．
[针对训练]
2．已知命题p：“ x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是________．
3．已知命题p： x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且p的否定是假命题，求实数a的取值范围．
全称量词与存在量词的综合问题
[题型(一)]
[例1] 解：(1)是全称量词命题．因为 x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．
(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题．
[针对训练]
1．解：(1)命题的否定： x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．
(2)命题的否定： x∈R，x2≠1，
因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假．
(3)命题的否定： x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假．
(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，所以命题的否定是真命题．
[题型(二)]
[例2] 解：命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a，所以2＋a≥3，所以a≥1.故a的取值范围是[1，＋∞)．
[变式拓展]
解：由题意知“存在x>1，使得x<”是真命题，故有>1，解得a<1.故a的取值范围是(－∞，1)．
[针对训练]
2．解析： x≥3，使得2x－1≥m成立，只需m≤2×3－1＝5.
答案：(－∞，5]
3．解：因为p的否定是假命题，所以p是真命题，又 x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，所以{x|－3≤x≤2} {x|a－4≤x≤a＋5}，
则解得－3≤a≤1.
即实数a的取值范围是[－3,1]．
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全称量词与存在量词的综合问题 (教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学)
2.2.2
课时目标
1.能够根据数学实例,正确理解含有一个量词的命题与它们的否定在真假上的关系,能正确地判断含有一个量词的命题的真假.
2.能根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数的值或范围.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
题型(二) 全称量词命题与存在量词命题的应用
课时跟踪检测
题型(一) 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
01
[例1] 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.
(1) x∈N, 2x+1是奇数;
解:是全称量词命题.因为 x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.
(2)存在一个x∈R,使=0;
解:是存在量词命题.因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题.
(3)对任意实数a,|a|>0;
解:是全称量词命题.因为|0|=0,所以|a|>0不都成立,因此,该命题是假命题.
(4)有一个角α,使sin α=.
解:是存在量词命题.因为当α=30°时,sin α=,所以该命题是真命题.
|思|维|建|模|
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
(1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可,这就是通常所说的“举出一个反例”.
(2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x使p(x)成立即可;否则,这个存在量词命题就是假命题.
1.写出下列命题的否定,并判断它们的真假:
(1) x∈R,x2>0;
解:命题的否定: x∈R,使x2≤0,因为x=0时,02=0,所以命题的否定为真.
(2) x∈R,x2=1;
解:命题的否定: x∈R,x2≠1,
因为x=1时,x2=1,所以命题的否定为假.
针对训练
(3) x∈R,x是方程x2-3x+2=0的根;
解:命题的否定: x∈R,x不是方程x2-3x+2=0的根,因为x=1时,
12-3×1+2=0,即x=1为方程的根,所以命题的否定为假.
(4)等腰梯形的对角线垂直.
解:命题的否定:存在一个等腰梯形的对角线不垂直,所以命题的否定是真命题.
题型(二) 全称量词命题与存在量词命题的应用
02
[例2] 命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值范围.
解:命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,所以此命题的否定“任意x>1,使得2x+a≥3”是真命题,因为对任意x>1,都有2x+a>2+a,所以2+a≥3,所以a≥1.故a的取值范围是[1,+∞).
变式拓展
若把本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.
解:由题意知“存在x>1,使得x<”是真命题,故有>1,解得a<1.故a的取值范围是(-∞,1).
|思|维|建|模|
利用含量词命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围.
(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,可借助根的判别式等知识解决.
针对训练
2.已知命题p:“ x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,则实数m的取值范围是 .
解析: x≥3,使得2x-1≥m成立,只需m≤2×3-1=5.
(-∞,5]
3.已知命题p: x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},且p的否定是假命题,求实数a的取值范围.
解:因为p的否定是假命题,所以p是真命题,
又 x∈{x|-3≤x≤2},
都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},
所以{x|-3≤x≤2} {x|a-4≤x≤a+5},
则解得-3≤a≤1.
即实数a的取值范围是[-3,1].
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1．命题p：存在一个实数，它的绝对值不是正数．则下列结论正确的是( )
A．綈p：任意实数，它的绝对值是正数，綈p为假命题
B．綈p：任意实数，它的绝对值不是正数，綈p为假命题
C．綈p：存在一个实数，它的绝对值是正数，綈p为真命题
D．綈p：存在一个实数，它的绝对值是负数，綈p为真命题
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解析: 因为命题p“存在一个实数，它的绝对值不是正数”为存在量词命题，綈p为“任意实数，它的绝对值是正数”，因为|0|＝0，所以綈p为假命题.
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2.下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是 ( )
A.实数都大于0 B.有些菱形是正方形
C.三角形内角和为180° D.有小于1的自然数
解析:实数都大于0,是全称量词命题,但不是真命题,所以A选项错误;有些菱形是正方形,是真命题,但不是全称量词命题,所以B选项错误;三角形内角和为180°,是真命题,也是全称量词命题,所以C选项正确;有小于1的自然数,是真命题,但不是全称量词命题,所以D选项错误.
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3.已知命题p： x，y∈Z,2x＋4y＝3，则( )
A．p是假命题，綈p： x，y∈Z,2x＋4y≠3
B．p是假命题，綈p： x，y∈Z,2x＋4y≠3
C．p是真命题，綈p： x，y∈Z,2x＋4y≠3
D．p是真命题，綈p： x，y∈Z,2x＋4y≠3
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解析：由于x，y是整数，2x＋4y是偶数，所以p是假命题．原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以綈p：“ x，y∈Z,2x＋4y≠3”．
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4.若命题“ x∈R,x2-4x+a≠0”为假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,4] B.(-∞,4)
C.(-∞,-4) D.[-4,+∞)
解析:命题“ x∈R,x2-4x+a≠0”为假命题,∴“ x0∈R,-4x0+a=0”是真命题,∴方程x2-4x+a=0有实数根,则Δ=(-4)2-4a≥0,解得a≤4.
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5.已知命题p:“ x∈R,使得x2-2x+m=0成立”是真命题,则实数m的取值范围是( )
A.{m|m<3} B.{m|m>3}
C.{m|m≤3} D.{m|m≥3}
解析: x∈R,使得x2-2x+m=0成立 Δ=12-4m≥0,∴m≤3.
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6.命题“已知y=|x|-1, x∈R都有m≤y”是真命题,则实数m的取值范围是 .
解析:由已知y=|x|-1,得y≥-1,要使 x∈R,都有m≤y成立,只需m≤-1.
{m|m≤-1}
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7.能够说明“ x∈N*,2x≥x2”是假命题的一个x值为 .
解析:∵x∈N*,将x代入1,2,3,…可知,当x=3时,23<32,∴说明“ x∈N*,2x≥x2”是假命题.
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8.(8分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断真假.
(1)所有的实数a,b,方程ax+b=0恰有唯一解.
解:该命题是全称量词命题.
当a=0,b=0时方程有无数解,故该命题为假命题.
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(2)存在实数x,使x2-2x+3=.
解:该命题是存在量词命题.
∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,
∴不存在实数x,使x2-2x+3=,
故该命题是假命题.
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9.(8分)已知命题“ x∈R,ax2+2x+1≠0”为假命题,求实数a的取值范围.
解:题中的命题为全称量词命题,因为其是假命题,所以其否定“ x∈R,ax2+2x+1=0”为真命题,即关于x的方程ax2+2x+1=0有实数根.
所以a=0或即a=0或a≤1且a≠0,所以a≤1.故实数a的取值范围是{a|a≤1}.
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B级——重点培优
10.下列命题正确的是( )
A.对所有的正实数t,有B.存在实数x,使x2-3x-4=0
C.不存在实数x,使x<4且x2+5x-24=0
D.对任意实数x,都有|x+1|≤1且x2>4
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解析:当t=时,>t,所以A选项错误;由x2-3x-4=0,得x=-1或x=4,因此当x=-1或x=4时,x2-3x-4=0,故B选项正确;由x2+5x-24=0,得x=-8或x=3,所以C选项错误;当x=0时,x2=0<4,所以D选项错误.
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11.有四张卡片,它们的一面为数字,另一面写着英文字母.现在它们平放在桌面上,只能看到向上面的情况如图.对于命题p:所有大写字母的背面都写着奇数,要验证p的真假,至少要翻开的是 ( )
A.①④ B.①②
C.①③ D.①③④
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解析:根据命题p:所有大写字母的背面都写着奇数,因为①的向上面为大写字母,④的背面可能是大写字母,所以要验证p的真假,至少要翻开的是①④.
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12.已知命题p:“ x≥3,2x-1解析:∵命题p“ x≥3,2x-15
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13.某中学开展小组合作学习模式,高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若命题“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的取值范围.王小二略加思索,反手给了王小一一道题:若命题“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的取值范围.你认为,两位同学题中m的取值范围是否一致 .(填“是”“否”中的一个)
是
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解析:因为命题“ x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是“ x∈R,x2+2x+m>0”,而命题“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,则其否定“ x∈R,x2+2x+m>0”为真命题,所以两位同学题中m的取值范围是一致的.
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14.(12分)已知集合A={x|-3≤x≤10},B={x|2m+1≤x≤3m-2},且B≠ .
(1)若命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,求实数m的取值范围;
解:由命题p:“ x∈B,x∈A”是真命题,可知B A,又B≠ ,所以解得3≤m≤4.故m的取值范围是[3,4].
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(2)若命题q:“ x∈A,x∈B”是真命题,求实数m的取值范围.
解: 因为B≠ ,所以2m+1≤3m-2,得m≥3.
因为命题q:“ x∈A,x∈B”是真命题,所以A∩B≠ ,所以-3≤2m+1≤10或-3≤3m-2≤10,得-2≤m≤.综上,m的取值范围是.
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15.(13分)是否存在整数m,使得命题“ x∈,-5<3-4m解:假设存在整数m,使得命题“ x∈,-5<3-4m因为当x≥-时,x+1≥,
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所以-5<3-4m<,解得又m为整数,所以m=1,
故存在整数m=1,
使得命题“ x∈,-5<3-4m(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．命题p：存在一个实数，它的绝对值不是正数．则下列结论正确的是( )
A．命题p的否定：任意实数，它的绝对值是正数，命题p的否定为假命题
B．命题p的否定：任意实数，它的绝对值不是正数，命题p的否定为假命题
C．命题p的否定：存在一个实数，它的绝对值是正数，命题p的否定为真命题
D．命题p的否定：存在一个实数，它的绝对值是负数，命题p的否定为真命题
2．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是( )
A．实数都大于0 B．有些菱形是正方形
C．三角形内角和为180° D．有小于1的自然数
3．已知命题p： x，y∈Z,2x＋4y＝3，则( )
A．p是假命题，p否定是 x，y∈Z,2x＋4y≠3
B．p是假命题，p否定是 x，y∈Z,2x＋4y≠3
C．p是真命题，p否定是 x，y∈Z,2x＋4y≠3
D．p是真命题，p否定是 x，y∈Z,2x＋4y≠3
4．若命题“ x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．(－∞，4)
C．(－∞，－4) D．[－4，＋∞)
5．已知命题p：“ x∈R，使得x2－2x＋m＝0成立”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A．{m|m<3} B．{m|m>3}
C．{m|m≤3} D．{m|m≥3}
6．命题“已知y＝|x|－1， x∈R都有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是________．
7．能够说明“ x∈N*,2x≥x2”是假命题的一个x值为________．
8．(8分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解．
(2)存在实数x，使x2－2x＋3＝.
9．(8分)已知命题“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
B级——重点培优
10．下列命题正确的是( )
A．对所有的正实数t，有B．存在实数x，使x2－3x－4＝0
C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0
D．对任意实数x，都有|x＋1|≤1且x2>4
11．有四张卡片，它们的一面为数字，另一面写着英文字母．现在它们平放在桌面上，只能看到向上面的情况如图．对于命题p：所有大写字母的背面都写着奇数，要验证p的真假，至少要翻开的是( )
A．①④ B．①②
C．①③ D．①③④
12．已知命题p：“ x≥3,2x－1＜m”是假命题，则实数m的最大值是________．
13．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致？________.(填“是”“否”中的一个)
14．(12分)已知集合A＝{x|－3≤x≤10}，B＝{x|2m＋1≤x≤3m－2}，且B≠ .
(1)若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．
15．(13分)是否存在整数m，使得命题“ x∈，－5<3－4m课时跟踪检测(九)
1．选A 因为命题p“存在一个实数，它的绝对值不是正数”为存在量词命题，其命题p的否定为“任意实数，它的绝对值是正数”，因为|0|＝0，所以命题p的否定为假命题．
2．选C 实数都大于0，是全称量词命题，但不是真命题，所以A选项错误；有些菱形是正方形，是真命题，但不是全称量词命题，所以B选项错误；三角形内角和为180°，是真命题，也是全称量词命题，所以C选项正确；有小于1的自然数，是真命题，但不是全称量词命题，所以D选项错误．
3．选A 由于x，y是整数，2x＋4y是偶数，所以p是假命题．原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以p的否定是“ x，y∈Z,2x＋4y≠3”．
4．选A 命题“ x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，∴“ x0∈R，x－4x0＋a＝0”是真命题，∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.
5．选C x∈R，使得x2－2x＋m＝0成立 Δ＝12－4m≥0，∴m≤3.
6．解析：由已知y＝|x|－1，得y≥－1，要使 x∈R，都有m≤y成立，只需m≤－1.
答案：{m|m≤－1}
7．解析：∵x∈N*，将x代入1,2,3，…可知，当x＝3时，23<32，∴说明“ x∈N*，2x≥x2”是假命题．
答案：3
8．解：(1)该命题是全称量词命题．
当a＝0，b＝0时方程有无数解，故该命题为假命题．
(2)该命题是存在量词命题．
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
∴不存在实数x，使x2－2x＋3＝，
故该命题是假命题．
9．解：题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“ x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．
所以a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1.故实数a的取值范围是{a|a≤1}．
10．选B 当t＝时，>t，所以A选项错误；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错误；当x＝0时，x2＝0<4，所以D选项错误．
11．选A 根据命题p：所有大写字母的背面都写着奇数，因为①的向上面为大写字母，④的背面可能是大写字母，所以要验证p的真假，至少要翻开的是①④.
12．解析：∵命题p“ x≥3,2x－1＜m”是假命题，∴“ x≥3,2x－1≥m”是真命题，故m≤5，∴m的最大值是5.
答案：5
13．解析：因为命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的．
答案：是
14．解：(1)由命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，可知B A，又B≠ ，所以解得3≤m≤4.
故m的取值范围是[3,4]．
(2)因为B≠ ，所以2m＋1≤3m－2，得m≥3.
因为命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠ ，所以－3≤2m＋1≤10或－3≤3m－2≤10，得－2≤m≤.综上，m的取值范围是.
15．解：假设存在整数m，使得命题“ x∈，－5<3－4m因为当x≥－时，x＋1≥，
所以－5<3－4m<，解得又m为整数，所以m＝1，
故存在整数m＝1，使得命题“ x∈，－5<3－4m2 / 2
