3.2.2 基本不等式的应用 (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
[课时目标]
1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过配凑、变形等利用基本不等式求最值.
2.要灵活应用不等式解决问题，能够利用基本不等式解决实际问题.
1．用基本不等式求最值
当x，y均为________时，
(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当________时，xy取得最大值.
(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当________时，x＋y取得最小值2.
2．应用基本不等式解决问题的关注点
(1)三个关键点：一正、二定、三相等．①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备．
(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换．
题型(一) 利用基本不等式求最值
[例1] (配凑求最值)已知x>3，求y＝2x＋的最小值．
听课记录：
[例2] (拆裂项求最值)若x>1，求函数y＝的最小值．
听课记录：
[例3] (常数代换求最值)已知x>0，y>0，且满足＋＝1，求x＋2y的最小值．
听课记录：
[变式拓展]
若把例3的条件“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
|思|维|建|模|
(1)为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使得“和”或“积”为定值．
(2)裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值．
(3)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．
[针对训练]
1．(1)已知x>0，求4x＋的最小值；
(2)已知x>0，求2－3x－的最大值；
(3)已知x<，求 4x－2＋的最大值．
题型(二) 利用基本不等式解决实际问题
[例4] 如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．现有可围36 m长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？听课记录：
[变式拓展]
本例条件变为”每间虎笼的面积为20 m2”，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
|思|维|建|模|
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义；
(2)构造定值，利用基本不等式求最值；
(3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意；
(4)结论．
[针对训练]
2．制作一个面积为1 m2且形状为直角三角形的铁支架，现有4.6 m,4.8 m,5 m,5.2 m四种长度的铁管供选择，较经济(够用，又耗材最少)的是哪一种？
题型(三) 基本不等式的综合运用
[例5] 已知x>1时，不等式2x＋m＋>0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－8) B．(－8，＋∞)
C．(－∞，－6) D．(－6，＋∞)
听课记录：
[例6] 已知函数y＝4x＋(x>0, a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
听课记录：
|思|维|建|模|
含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．
[针对训练]
3．已知正实数a，b满足＋＝m，若的最小值为4，则实数m的取值范围是( )
A．{2} B．{m|m≥2}
C．{m|00}
4．已知a>0，b>0，若＋≥恒成立，则m的取值范围是________．
基本不等式的应用
1．正数 (1)x＝y (2)x＝y
[题型(一)]
[例1] 解：因为x>3，所以2x－6>0，
所以y＝2x＋＝2x－6＋＋6≥2 ＋6＝2×2＋6＝10，
当且仅当2x－6＝，即x＝4时，等号成立．
所以y＝2x＋的最小值是10.
[例2] 解：由x>1，知x－1>0.
所以y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立．
所以当x＝2时，y取得最小值4.
[例3] 解：因为x>0，y>0，＋＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，即x＝12，y＝3时，等号成立，所以x＋2y的最小值为18.
[变式拓展]
解：因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋2y)·＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，x＋2y＝1，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为18.
[针对训练]
1．解：(1)因为x>0，故4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立．故4x＋的最小值为4.
(2)因为x>0，故2－3x－＝2－≤2－2＝2－4，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，故2－3x－的最大值为2－4.
(3)因为x<，所以5－4x>0.
所以4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立．
故当x＝1时，4x－2＋的最大值为1.
[题型(二)]
[例4] 解：设每间老虎笼的长为x m，宽为y m，则每间老虎笼的面积为S＝xy，
由已知可得4x＋5y＝36，由基本不等式可得S＝xy＝·4x·5y≤×2＝(m2)，当且仅当即时，等号成立，因此，每间虎笼的长为 m，宽为 m时，可使得每间虎笼的面积最大．
[变式拓展]
解：设每间老虎笼的长为x m，宽为y m，则xy＝20，钢筋网总长为4x＋5y≥2＝40(m)，当且仅当即时，等号成立，因此，每间虎笼的长为5 m，宽为4 m时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小．
[针对训练]
2．解：设一条直角边长为x，则另一条直角边长是，斜边长为 ，
故周长C＝x＋＋ ，
由于x＋≥2 ＝2，
且 ≥ ＝2，
因此C＝x＋＋ ≥2＋2≈4.83当且仅当x＝且x2＝时，即x＝时等号成立，故较经济(够用，又耗材最少)的是5 m.
[题型(三)]
[例5] 选D 不等式2x＋m＋>0化为2(x－1)＋>－m－2，
∵x>1，∴2(x－1)＋≥2×＝4，当且仅当x＝2时，等号成立．
∵不等式2x＋m＋>0对一切x∈{x|x>1}恒成立，
∴－m－2<4，解得m>－6.
[例6] 解析：∵x>0，a>0，
∴y＝4x＋≥2＝4.
当且仅当4x＝，即4x2＝a时y取得最小值，又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.
答案：36
[针对训练]
3．选B 因为a，b为正实数，
＝ab＋＋2
≥2＋2＝4，
当且仅当ab＝，即ab＝1时等号成立，此时有b＝，又因为＋＝m，所以a＋＝m，
由基本不等式可知a＋≥2(当且仅当a＝1时等号成立)，所以m≥2.
4．解析：根据题意，a>0，b>0，＋≥恒成立等价于(a＋3b)≥m恒成立．所以(a＋3b)＝3＋＋＋3＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，所以m≤12.
答案：(－∞，12]
1 / 4(共54张PPT)
基本不等式的应用
(教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学)
3.2.2
课时目标
1.进一步熟练掌握基本不等式,能够通过配凑、变形等利用基本不等式求最值.
2.要灵活应用不等式解决问题,能够利用基本不等式解决实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 利用基本不等式求最值
题型(二)
利用基本不等式解决实际问题
题型(三) 基本不等式的综合运用
4
课时跟踪检测
1.用基本不等式求最值
当x,y均为______时,
(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当______时,xy取得最大值.
(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当_____时,x+y取得最小值2.
正数
x=y
x=y
2.应用基本不等式解决问题的关注点
(1)三个关键点:一正、二定、三相等.①一正:各项必须为正;②二定:各项之和或各项之积为定值;③三相等:必须验证取等号时的条件是否具备.
(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换.
题型(一) 利用基本不等式求最值
01
[例1] (配凑求最值)已知x>3,求y=2x+的最小值.
解:因为x>3,所以2x-6>0,
所以y=2x+=2x-6++6≥2+6=2×2+6=10,
当且仅当2x-6=,即x=4时,等号成立.
所以y=2x+的最小值是10.
[例2] (拆裂项求最值)若x>1,求函数y=的最小值.
解:由x>1,知x-1>0.
所以y===x+1+=x-1++2≥2+2=4,
当且仅当=x-1,即x=2时,等号成立.
所以当x=2时,y取得最小值4.
[例3] (常数代换求最值)已知x>0,y>0,且满足+=1,求x+2y的最小值.
解:因为x>0,y>0,+=1,
所以x+2y=(x+2y)=8+++2=10++≥10+2=18,
当且仅当=,
即x=12,y=3时,等号成立,
所以x+2y的最小值为18.
若把例3的条件“+=1”改为“x+2y=1”,其他条件不变,求+的最小值.
解:因为x>0,y>0,所以+=(x+2y)·=
8+++2=10++≥10+2=18,
当且仅当=,x+2y=1,即x=,y=时,等号成立,所以+的最小值为18.
变式拓展
|思|维|建|模|
(1)为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使得“和”或“积”为定值.
(2)裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和,再根据分式分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式求最值创造条件,进而求出最值.
(3)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.
1.(1)已知x>0,求4x+的最小值;
解:因为x>0,故4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立.故4x+的最小值为4.
针对训练
(2)已知x>0,求2-3x-的最大值;
解:因为x>0,故2-3x-=2-≤2-2=2-4,当且仅当3x=,即x=时,等号成立,故2-3x-的最大值为2-4.
(3)已知x<,求 4x-2+的最大值.
解:因为x<,所以5-4x>0.
所以4x-2+=-+3≤-2+3=1,
当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立.
故当x=1时,4x-2+的最大值为1.
题型(二)
利用基本不等式解决实际问题
02
[例4] 如图,动物园要以墙体为背面,用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼.现有可围36 m长钢筋网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼的面积最大
解:设每间老虎笼的长为x m,宽为y m,则每间老虎笼的面积为S=xy,
由已知可得4x+5y=36,由基本不等式可得S=xy=·4x·5y≤
×=(m2),当且仅当即时,等号成立,因此,每间虎笼的长为 m,宽为 m时,可使得每间虎笼的面积最大.
变式拓展
本例条件变为”每间虎笼的面积为20 m2”,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小
解:设每间老虎笼的长为x m,宽为y m,则xy=20,钢筋网总长为4x+5y≥2=40(m),当且仅当即时,等号成立,因此,每间虎笼的长为5 m,宽为4 m时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小.
|思|维|建|模|
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义;
(2)构造定值,利用基本不等式求最值;
(3)检验,检验等号成立的条件是否满足题意;
(4)结论.
针对训练
2.制作一个面积为1 m2且形状为直角三角形的铁支架,现有4.6 m,4.8 m,5 m,
5.2 m四种长度的铁管供选择,较经济(够用,又耗材最少)的是哪一种
解:设一条直角边长为x,则另一条直角边长是,斜边长为 ,
故周长C=x++ ,
由于x+≥2 =2,
且 ≥ =2,
因此C=x++ ≥2+2≈4.83当且仅当x=且x2=时,即x=时等号成立,故较经济(够用,又耗材最少)的是5 m.
题型(三) 基本不等式的综合运用
03
[例5] 已知x>1时,不等式2x+m+>0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-8) B.(-8,+∞)
C.(-∞,-6) D.(-6,+∞)
√
解析:不等式2x+m+>0化为2(x-1)+>-m-2,∵x>1,∴2(x-1)+≥
2×=4,当且仅当x=2时,等号成立.∵不等式2x+m+>0对一切x∈{x|x>1}恒成立,∴-m-2<4,解得m>-6.
[例6] 已知函数y=4x+(x>0, a>0)在x=3时取得最小值,则a= .
解析:∵x>0,a>0,∴y=4x+≥2=4.
当且仅当4x=,即4x2=a时y取得最小值,又∵x=3,∴a=4×32=36.
36
|思|维|建|模|
含参数不等式的求解策略
(1)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围.
(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往将已知不等式看作关于参数的不等式,体现了主元与次元的转化.
√
3.已知正实数a,b满足+=m,若·的最小值为4,则实数m的取值范围是( )
A.{2} B.{m|m≥2}
C.{m|00}
针对训练
解析:因为a,b为正实数,
=ab++2≥2+2=4,
当且仅当ab=,即ab=1时等号成立,此时有b=,又因为+=m,
所以a+=m,
由基本不等式可知a+≥2(当且仅当a=1时等号成立),所以m≥2.
4.已知a>0,b>0,若+≥恒成立,则m的取值范围是 .
解析:根据题意,a>0,b>0,+≥恒成立等价于(a+3b)≥m恒成立.所以(a+3b)=3+++3=6++≥6+2=12,当且仅当=,即a=3b时等号成立,所以m≤12.
(-∞,12]
课时跟踪检测
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√
A级——达标评价
1.下列各式中最小值为2的是( )
A.y=t+(t>1) B.y=+
C.y=t+(t>1) D.y=t++1(t>0)
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解析:对于A,y=t+≥2,当且仅当t=1时,等号成立;对于B,y=+≥2,当且仅当t=1时,等号成立;对于C,y=t+=t-1++1≥3;对于D,y=t++1≥3.
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√
2.函数y=(x>1)在x=t处取得最小值,则t等于( )
A.1+ B.2
C.3 D.4
解析:y==x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.
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√
3.函数y=3x2+的最小值是( )
A.3-3 B.3
C.6 D.6-3
解析:y=3(x2+1)+-3≥2-3=2-3=6-3,当且仅当x2=-1时,等号成立,故选D.
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√
4.已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为( )
A.4 B.2
C.8 D.16
解析:由a+b=+=,得ab=1,则+≥2=2,当且仅当=时,等号成立.
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√
5.已知正实数a,b满足a+b=2,则+的最大值为( )
A.2 B.4
C.4 D.16
解析:因为(+)2=(a+1)+(b+1)+2·≤(a+1)+
(b+1)+(a+1)+(b+1)=2(a+b+2)=8,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以+的最大值为2.
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6.已知0解析:因为00,所以x(1-x)≤==,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立,即当x=时,x(1-x)取得最大值.
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7.矩形的长为a,宽为b,且面积为64,则矩形周长的最小值为 .
解析:由题意,矩形的长为a,宽为b,且面积为64,即ab=64,所以矩形的周长为2a+2b=2a+≥2=32,当且仅当a=8时,等号成立,即矩形周长的最小值为32.
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8.已知正数x,y满足(x-2)(y-1)=2,若不等式x+2y>m恒成立,则实数m的取值范围是 .
解析:因为x>0,y>0,则(x-2)(y-1)=xy-(x+2y)+2=2,所以x+2y=xy,所以+=1.
所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当=时,即x=4,y=2时,等号成立.又x+2y>m恒成立,所以m<8.
16
{m|m<8}
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9.(8分)设a,b为正实数,且+=2.
(1)求a2+b2的最小值;
解:∵a,b为正实数,且+=2≥2,当且仅当a=b时,等号成立,即ab≥,当且仅当a=b时,等号成立.
∵a2+b2≥2ab≥2×=1,当且仅当a=b时,等号成立,∴a2+b2的最小值为1.
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(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.
解:∵+=2,∴a+b=2ab.∵(a-b)2≥4(ab)3,
∴(a+b)2-4ab≥4(ab)3,即(2ab)2-4ab≥4(ab)3,
即(ab)2-2ab+1≤0,(ab-1)2≤0.
∵a,b为正实数,∴ab=1.
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10.(10分)如图,汽车行驶时,由于惯性作用,刹车后还要向前滑行一段距离才能停住,我们把这段距离叫做“刹车距离”.在某公路上,“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式:s=v2+v.为保证安全行驶,要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米.现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长为5米,每辆车均以相同的速度v行驶,并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”.
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(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式;
解:T===++.
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(2)问v为多少时,经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大
解:经过A点的车流量最大,即每辆车之间的时间间隔T最小.
∵T=++≥2+=,
当且仅当=,即v=20时取等号.
∴当v=20米/秒时,经过观测点A的车流量最大.
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B级——重点培优
11.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于2,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为( )
A. B.1
C.2 D.6
√
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解析:设该直角三角形的斜边为c=2,直角边为a,b,则a2+b2=c2=8.因为2ab≤a2+b2,所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当a=b,且a2+b2=8,即a=b=2时,等号成立.因为a>0,b>0,所以a+b≤4,所以a+b的最大值为4.该直角三角形周长为a+b+c≤4+2.故这个直角三角形周长取最大值4+2时,a=b=2,此时三角形的面积为×2×2=2.
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12.(多选)三元均值不等式:“当a,b,c均为正实数时,≥ ,即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当a=b=c时等号成立”.利用上面结论,则下列不等式成立的是( )
A.若x>0,则x2+≥3 B.若0C.若x>0,则2x+≥3 D.若016
√
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解析:因为x>0,x2+=x2++≥3=3,当且仅当x2=时,即当x=1时,等号成立,A正确;因为00,则2x+=x+x+≥3=3,当且仅当x=时,即当x=1时,等号成立,C正确;因为0≤·=,当且仅当2x=1-x,即x=时,等号成立,D错误.
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13.设自变量x对应的因变量为y,在满足对任意的x,不等式y≤M都成立的所有常数M中,将M的最小值叫做y的上确界.若a,b为正实数,且a+b=1,则--的上确界为 .
解析:因为a,b为正实数,且a+b=1,所以+=×(a+b)=+
≥+2=,当且仅当b=2a,即a=,b=时,等号成立,因此有--≤-,即--的上确界为-.
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14.(12分)若a>0,b>0,且a2+=1,求a的最大值.
解:∵a>0,b>0,a2+=1,
∴a==
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= ≤ = =,
当且仅当正数a,b满足a2=且a2+=1,
即a=,b=时,等号成立.∴a的最大值为.
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15.(12分)已知正实数x,y满足x+y=4.
(1)是否存在正实数x,y,使得xy=5 若存在,求出x,y的值;若不存在,请说明理由.
解:不存在.因为正实数x,y满足x+y=4,
所以4=x+y≥2,所以xy≤4.
故不存在正实数x,y,使得xy=5.
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(2)求证:+≥,并说明等号成立的条件.
解:证明:由x+y=4,得x+1+y+2=7.
又因为x,y都是正实数,
所以+=[(x+1)+(y+2)]·=≥
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=,当且仅当=时,等号成立,
又因为x+y=4,
所以当且仅当x=,y=时,等号成立.课时跟踪检测(十二) 基本不等式的应用
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．下列各式中最小值为2的是( )
A．y＝t＋(t>1) B．y＝＋
C．y＝t＋(t>1) D．y＝t＋＋1(t>0)
2．函数y＝(x＞1)在x＝t处取得最小值，则t等于( )
A．1＋ B．2
C．3 D．4
3．函数y＝3x2＋的最小值是( )
A．3－3 B．3
C．6 D．6－3
4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
A．4 B．2
C．8 D．16
5．已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最大值为( )
A．2 B．4
C．4 D．16
6．已知07．矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为________．
8．已知正数x，y满足(x－2)(y－1)＝2，若不等式x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是________．
9．(8分)设a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
10．(10分)如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长为5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”．
(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；
(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？
B级——重点培优
11．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题．如果一个直角三角形的斜边长等于2，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为( )
A. B．1
C．2 D．6
12．(多选)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，≥ ，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时等号成立”．利用上面结论，则下列不等式成立的是( )
A．若x>0，则x2＋≥3
B．若0C．若x>0，则2x＋≥3
D．若013．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为__________．
14．(12分)若a>0，b>0，且a2＋＝1，求a的最大值．
15．(12分)已知正实数x，y满足x＋y＝4.
(1)是否存在正实数x，y，使得xy＝5？若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由．
(2)求证：＋≥，并说明等号成立的条件．
课时跟踪检测(十二)
1．选B 对于A，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，等号成立；对于B，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时，等号成立；对于C，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3；对于D，y＝t＋＋1≥3.
2．选B y＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
3．选D y＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时，等号成立，故选D.
4．选B 由a＋b＝＋＝，得ab＝1，则＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立．
5．选A 因为(＋)2＝(a＋1)＋(b＋1)＋2·≤(a＋1)＋(b＋1)＋(a＋1)＋(b＋1)＝2(a＋b＋2)＝8，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以＋的最大值为2.
6．解析：因为00，所以x(1－x)≤2＝2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.
答案：
7．解析：由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab＝64，所以矩形的周长为2a＋2b＝2a＋≥2＝32，当且仅当a＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.
答案：32
8．解析：因为x>0，y>0，则(x－2)(y－1)＝xy－(x＋2y)＋2＝2，所以x＋2y＝xy，
所以＋＝1.
所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，
当且仅当＝时，即x＝4，y＝2时，等号成立．
又x＋2y>m恒成立，所以m<8.
答案：{m|m<8}
9．解：(1)∵a，b为正实数，且＋＝2≥2 ，当且仅当a＝b时，等号成立，即ab≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
∵a2＋b2≥2ab≥2×＝1，当且仅当a＝b时，等号成立，
∴a2＋b2的最小值为1.
(2)∵＋＝2，∴a＋b＝2ab.
∵(a－b)2≥4(ab)3，
∴(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，即(2ab)2－4ab≥4(ab)3，
即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0.
∵a，b为正实数，∴ab＝1.
10．解：(1)T＝＝＝＋＋.
(2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小．
∵T＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即v＝20时取等号．
∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大．
11．选C 设该直角三角形的斜边为c＝2，直角边为a，b，则a2＋b2＝c2＝8.因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤16，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝8，即a＝b＝2时，等号成立．因为a>0，b>0，所以a＋b≤4，所以a＋b的最大值为4.该直角三角形周长为a＋b＋c≤4＋2.故这个直角三角形周长取最大值4＋2时，a＝b＝2，此时三角形的面积为×2×2＝2.
12．选AC 因为x>0，x2＋＝x2＋＋≥3＝3，当且仅当x2＝时，即当x＝1时，等号成立，A正确；因为00，则2x＋＝x＋x＋≥3＝3，当且仅当x＝时，即当x＝1时，等号成立，C正确；因为013．解析：因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝×(a＋b)＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－.
答案：－
14．解：∵a>0，b>0，a2＋＝1，
∴a＝＝
＝ ≤
＝＝，
当且仅当正数a，b满足a2＝且a2＋＝1，即a＝，b＝时，等号成立．
∴a的最大值为.
15．解：(1)不存在．因为正实数x，y满足x＋y＝4，
所以4＝x＋y≥2，所以xy≤4.
故不存在正实数x，y，使得xy＝5.
(2)证明：由x＋y＝4，得x＋1＋y＋2＝7.
又因为x，y都是正实数，
所以＋＝[(x＋1)＋(y＋2)]·＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立，
又因为x＋y＝4，
所以当且仅当x＝，y＝时，等号成立．
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