4．3 一元二次不等式的应用 (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
掌握与一元二次不等式相关的不等式解法；能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决．
题型(一) 简单分式不等式的解法
[例1] 解下列不等式：
(1)<0；(2)≤1.
听课记录：
|思|维|建|模|
分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
[针对训练]
1．解下列不等式：
(1)≥0；(2)<3.
题型(二) 一元二次不等式恒成立问题
[例2] 对 x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围．
听课记录：
[变式拓展]
1．在本例中，是否存在m∈R，使得 x∈R，不等式mx2－mx－1>0？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
2．在本例中，把条件“ x∈R”改为“x∈[2,3]”，其余不变，求m的取值范围．
|思|维|建|模|
一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号．
(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．
[针对训练]
2．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．
3．当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围．
题型(三) 一元二次不等式的实际应用
[例3] 某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
听课记录：
|思|维|建|模|
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式．
[针对训练]
4．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问谁超速行驶应负主要责任．
一元二次不等式的应用
[题型(一)]
[例1] 解：(1)<0 (x－3)(x＋2)<0 －2
∴原不等式的解集为{x|－2(2)∵≤1，∴－1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
[针对训练]
1．解：(1)不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.
即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}．
(2)不等式<3可改写为－3<0，即<0.
可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1所以原不等式的解集为{x|－1[题型(二)]
[例2] 解：若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则解得－4综上，m的取值范围为(－4,0]．
[变式拓展]
1．解：不存在．理由：显然当m＝0时不等式不成立；当m≠0时，由题意可得解得m∈ ，所以不存在m∈R，使得 x∈R，不等式mx2－mx－1>0.
2．解：由不等式mx2－mx－1<0得m(x2－x)<1，
因为x∈[2,3]，所以x2－x>0，
所以m(x2－x)<1可化为m<，
因为x2－x＝2－≤6，
所以≥，所以m<.
即m的取值范围是.
[针对训练]
2．解析：当k＝1时，－1<0恒成立；当k≠1时，由题意得解得－3答案：{k|－33．解：令y＝x2＋mx＋4，∵y<0在1≤x≤2上恒成立，∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得
解得m<－5，
∴实数m的取值范围是{m|m<－5}．
[题型(三)]
[例3] 解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当
即解得0＜x＜，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足x∈.
[针对训练]
4．解：由题意列出不等式s甲＝0.1x甲＋0.01x>12，
解得x甲<－40或x甲>30，s乙＝0.05x乙＋0.005x>10，解得x乙<－50或x乙>40.
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
2 / 3(共48张PPT)
4.3
一元二次不等式的应用
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
掌握与一元二次不等式相关的不等式解法;能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 简单分式不等式的解法
题型(二) 一元二次不等式恒成立问题
题型(三) 一元二次不等式的实际应用
4
课时跟踪检测
题型(一) 简单分式不等式的解法
01
多维理解
[例1] 解下列不等式:
(1)<0;
解:<0 (x-3)(x+2)<0 -2∴原不等式的解集为{x|-2(2)≤1.
解:∵≤1,∴-1≤0,∴≤0,即≥0.此不等式等价于(x-4)
≥0且x-≠0,解得x<或x≥4,
∴原不等式的解集为.
|思|维|建|模|
分式不等式的解法
(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.
1.解下列不等式:
(1)≥0;
解:不等式≥0可转化成不等式组
解这个不等式组,可得x≤-1或x>3.
即知原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.
针对训练
(2)<3.
解:不等式<3可改写为-3<0,即<0.
可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,
解得-1所以原不等式的解集为{x|-1题型(二)
一元二次不等式恒成立问题
02
[例2] 对 x∈R,不等式mx2-mx-1<0,求m的取值范围.
解:若m=0,显然-1<0恒成立;
若m≠0,则解得-4综上,m的取值范围为(-4,0].
变式拓展
1.在本例中,是否存在m∈R,使得 x∈R,不等式mx2-mx-1>0 若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:不存在.理由:显然当m=0时不等式不成立;当m≠0时,由题意可得解得m∈ ,所以不存在m∈R,使得 x∈R,不等式mx2-mx-1>0.
2.在本例中,把条件“ x∈R”改为“x∈[2,3]”,其余不变,求m的取值范围.
解:由不等式mx2-mx-1<0得m(x2-x)<1,
因为x∈[2,3],所以x2-x>0,
所以m(x2-x)<1可化为m<,
因为x2-x=-≤6,
所以≥,所以m<.
即m的取值范围是.
|思|维|建|模|
一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题,考虑两个方面:x2的系数和对应方程的判别式的符号.
(2)转化为二次函数的最值问题:分离参数后,求相应二次函数的最值,使参数大于(小于)这个最值.
针对训练
2.若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立,则实数k的取值范围是 .
解析:当k=1时,-1<0恒成立;当k≠1时,由题意得解得-3{k|-33.当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
解:令y=x2+mx+4,∵y<0在1≤x≤2上恒成立,∴y=0的根一个小于1,另一个大于2.如图,可得解得m<-5,
∴实数m的取值范围是{m|m<-5}.
题型(三)
一元二次不等式的实际应用
03
[例3] 某电动车生产企业,上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;
解:由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0整理得y=-60x2+20x+200(0(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内
解:要保证本年度的年利润比上年度有所增加,
当且仅当即解得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应满足x∈.
|思|维|建|模|
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目中有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为x,用x来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系列不等式.
针对训练
4.在一个限速40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2,问谁超速行驶应负主要责任.
解:由题意列出不等式s甲=0.1x甲+0.01>12,
解得x甲<-40或x甲>30,s乙=0.05x乙+0.005>10,
解得x乙<-50或x乙>40.
由于x>0,从而得x甲>30 km/h,x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速,应负主要责任.
课时跟踪检测
04
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A级——达标评价
1.(多选)与不等式≥0同解的不等式是( )
A.(x-3)(2-x)≥0 B.0C.≤0 D.(x-3)(2-x)>0
解析:不等式≥0可化Z为≤0,∴解得2√
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2.不等式<0的解集为( )
A.{x|-1C.{x|2解析:原不等式
所以-116
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√
3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}= ,则实数a的取值范围是 ( )
A.(0,4) B.[0,4)
C.(0,4] D.[0,4]
解析:当a=0时,满足条件;当a≠0时,由得016
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4.已知命题“ x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,3)
C.(-3,+∞) D.(-3,1)
解析:原命题是假命题,则其否定是真命题,即 x∈R,2x2+(a-1)x+>0恒成立,故判别式(a-1)2-4<0,解得-116
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5.已知关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是 .
解析:由题意Δ=a2-4(a+3)≤0,解得-2≤a≤6.
16
[-2,6]
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6.不等式≥5的解集是 .
解析:原不等式 -5≥0 ≤0 解得016
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7.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位:天)的关系式是y1=t+10
(0解析:z=(t+10)(-t+35),依题意有(t+10)·(-t+35)≥500,解得10≤t≤15,t∈N,所以t的取值范围为{t|10≤t≤15,t∈N}.
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{t|10≤t≤15,t∈N}
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8.(8分)解下列不等式:
(1)<0;
解:原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0,∴-116
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(2)≥0;
解:原不等式可化为≤0,
∴∴即-故原不等式的解集为.
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(3)>1.
解:原不等式可化为-1>0,∴>0,>0,则x<-2.故原不等式的解集为{x|x<-2}.
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9.(10分)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.
[注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)]
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的关系式;
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解:(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,依题意知用电量增至+a,电力部门的收益为y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).
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(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
解:依题意有(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)](1+20%),且0.55≤x≤0.75,
整理得
解得0.6≤x≤0.75.
故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
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B级——重点培优
10.(多选)若“ x∈R,ax2+ax+1≤0”为假命题,则a的值可能为( )
A.-1 B.0
C.2 D.4
解析: “ x∈R,ax2+ax+1≤0”为假命题,则“ x∈R,ax2+ax+1>0”为真命题,当a=0时,1>0,符合题意,当a≠0时,解得0√
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11.某种杂志原以每本3元的价格销售,可以售出10万本.根据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元,要使得提价后的销售总收入不低于42万元,则x应满足 ( )
A.6≤x≤7 B.5≤x≤7
C.5≤x≤6 D.4≤x≤6
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解析:设提价后杂志的定价为x元,则提价后的销售量为10-×0.1万本,因为销售的总收入不低于42万元,列不等式为x≥42,即(x-6)(x-7)≤0,即6≤x≤7,故选A.
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12.若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4},则实数a= .
解析:由题意知,不等式的解集为{x|x<-1或x>4},故(x-a)(x+1)>0 (x+1)
(x-4)>0,故a=4.
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13.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是 .
解析:由题意,得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20.
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14.(11分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x的取值范围;
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解:由已知得,200≥3 000,
整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0,
又因为1≤x≤10,可解得3≤x≤10,即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,x的取值范围是{x|3≤x≤10}.
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(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度 并求最大利润.
解:设利润为y元,y=·100=9×104=
9×104,
所以当x=6时,ymax=457 500元,即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大,最大利润为457 500元.
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15.(12分)已知集合{x∈R|x2-(k+2)x-3k+1≥0}={x|x≤-1或x≥5}.
(1)求实数k的值;
解:由题意可知,-1和5是方程x2-(k+2)x-3k+1=0的两个根,
所以由根与系数的关系得
解得k=2.
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(2)已知t<2,若不等式x2-(k+2)x-3k-m2+4m+15≥0在t≤x≤4上恒成立,求实数m的取值范围.
解:由(1)知,k=2,原不等式可化为
x2-4x+9-m2+4m≥0,
所以x2-4x≥m2-4m-9在t≤x≤4(t<2)上恒成立,令y=x2-4x=(x-2)2-4,
因为t≤x≤4(t<2),所以ymin=-4,
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所以不等式恒成立等价于m2-4m-9≤-4,
即m2-4m-5≤0,解得-1≤m≤5,
故实数m的取值范围为[-1,5].
16课时跟踪检测(十五) 一元二次不等式的应用
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(多选)与不等式≥0同解的不等式是( )
A．(x－3)(2－x)≥0 B．0C.≤0 D．(x－3)(2－x)>0
2．不等式<0的解集为( )
A．{x|－1B．{x|1C．{x|2D．{x|－13．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4) B．[0,4)
C．(0,4] D．[0,4]
4．已知命题“ x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,3)
C．(－3，＋∞) D．(－3,1)
5．已知关于x的不等式x2－ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
6．不等式≥5的解集是________．
7．某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(08．(8分)解下列不等式：
(1)<0；(2)≥0；(3)>1.
9．(10分)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．
[注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)]
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
B级——重点培优
10．(多选)若“ x∈R，ax2＋ax＋1≤0”为假命题，则a的值可能为( )
A．－1 B．0
C．2 D．4
11．某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本．根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1 000本．设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足( )
A．6≤x≤7 B．5≤x≤7
C．5≤x≤6 D．4≤x≤6
12．若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝________.
13．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增长x%，八月份销售额比七月份增长x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
14．(11分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．
15．(12分)已知集合{x∈R|x2－(k＋2)x－3k＋1≥0}＝{x|x≤－1或x≥5}．
(1)求实数k的值；
(2)已知t<2，若不等式x2－(k＋2)x－3k－m2＋4m＋15≥0在t≤x≤4上恒成立，求实数m的取值范围．
课时跟踪检测(十五)
1．选BC 不等式≥0可化为≤0，∴解得2∴02．选A 原不等式
所以－13．选D 当a＝0时，满足条件；当a≠0时，由得04．选B 原命题是假命题，则其否定是真命题，即 x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0恒成立，故判别式(a－1)2－4<0，解得－15．解析：由题意Δ＝a2－4(a＋3)≤0，解得－2≤a≤6.
答案：[－2,6]
6．解析：原不等式 －5≥0 ≤0 解得0答案：
7．解析：z＝(t＋10)(－t＋35)，依题意有(t＋10)·(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15，t∈N，所以t的取值范围为{t|10≤t≤15，t∈N}．
答案：{t|10≤t≤15，t∈N}
8．解：(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，∴－1(2)原不等式可化为≤0，
∴
∴即－故原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为－1>0，
∴>0，>0，则x<－2.故原不等式的解集为{x|x<－2}．
9．解：(1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意有
(x－0.3)≥[a×(0.8－0.3)](1＋20%)，且0.55≤x≤0.75，
整理得
解得0.6≤x≤0.75.
故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
10．选BC “ x∈R，ax2＋ax＋1≤0”为假命题，则“ x∈R，ax2＋ax＋1>0”为真命题，当a＝0时，1>0，符合题意，当a≠0时，解得011．选A 设提价后杂志的定价为x元，则提价后的销售量为10－×0.1万本，因为销售的总收入不低于42万元，列不等式为x≥42，即(x－6)·(x－7)≤0，即6≤x≤7，故选A.
12．解析：由题意知，不等式的解集为{x|x<－1或x>4}，故(x－a)(x＋1)>0 (x＋1)(x－4)>0，故a＝4.
答案：4
13．解析：由题意，得3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2或x%≤－3.2(舍去)，所以x≥20，即x的最小值为20.
答案：20
14．解：(1)由已知得，200≥3 000，整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，
又因为1≤x≤10，可解得3≤x≤10，即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是{x|3≤x≤10}．
(2)设利润为y元，y＝·100＝9×104＝9×104，
所以当x＝6时，ymax＝457 500元，即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．
15．解：(1)由题意可知，－1和5是方程x2－(k＋2)x－3k＋1＝0的两个根，
所以由根与系数的关系得
解得k＝2.
(2)由(1)知，k＝2，原不等式可化为
x2－4x＋9－m2＋4m≥0，
所以x2－4x≥m2－4m－9在t≤x≤4(t<2)上恒成立，令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，
因为t≤x≤4(t<2)，所以ymin＝－4，
所以不等式恒成立等价于m2－4m－9≤－4，即m2－4m－5≤0，
解得－1≤m≤5，
故实数m的取值范围为[－1,5]．
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