阶段质量评价(一)　预备知识（含解析）高中数学北师大版（2019）必修 第一册 第一章

阶段质量评价(一)　预备知识
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
1．把集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为(　　)
A．{x＝－1, x＝5} B．{x＝－1或x＝5}
C．{x2－4x－5＝0} D．{－1, 5}
2．已知集合U＝{x|x2>1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，则 UA等于(　　)
A．{x|1B．{x|x<1或x≥3}
C．{x|x<－1或x≥3}
D．{x|x<－1或x>3}
3．命题“ x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A． x∈R，x3－x2＋1<0
B． x∈R，x3－x2＋1≥0
C． x∈R，x3－x2＋1>0
D． x∈R，x3－x2＋1≤0
4．若b＞a＞1，则下列不等式一定正确的是(　　)
A．ab>2 B．a＋b<2
C.＜ D.＋>2
5．命题“ x∈[1,2]，x2－a≤0”是真命题的充要条件是(　　)
A．a>4 B．a≥4
C．a<1 D．a≥1
6．设全集U，有以下四个关系式：甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙： UB UA；丁：( UA)∪( UB)＝ UA.如果有且只有一个不成立，则该式是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
7．已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
8．已知关于x的不等式ax2＋2bx＋4<0的解集为，其中m<0，则＋的最小值为(　　)
A．－2 B．1
C．2 D．8
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．)
9．设a>1>b>－1，b≠0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.< B.>
C．a>b2 D．a2>b2
10．下列说法正确的是(　　)
A．命题“ x∈R，x2>－1”的否定是“ x∈R，x2≤－1”
B．命题“ x>－3，x2≤9”的否定是“ x>－3，x2>9”
C．“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件
D．“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件
11．已知x，y都为正数，且2x＋y＝1，则(　　)
A．2xy的最大值为
B．4x2＋y2的最小值为
C．x(x＋y)的最大值为
D.＋的最小值为3＋2
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．已知全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合P＝{1, 3, 5}，Q＝{1, 2, 4}，则( UP)∪Q＝________.
13．若二次函数y＝ax2＋2ax－2的图象都在x轴下方，则实数a的取值范围为________．
14．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y均为正数，则＋≥，当且仅当＝时，等号成立．根据权方和不等式，＋的最小值为__________．
四、解答题(本大题共5小题，共77分．)
15．(13分)已知a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，求证：＋＋<＋＋.
16．(15分)已知x>0，y>0，且＋＝1.
(1)求x＋y的最小值；
(2)若xy>m2＋6m恒成立，求实数m的取值范围．
17．(15分)设命题p：方程x2＋(2m－4)x＋m＝0有两个不相等的实数根；命题q：对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立．
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围．
18．(17分)已知不等式x2＋mx＋n<0的解集为{x|1(1)求m和n的值；
(2)若x2＋mx＋n≥ax对任意x>0恒成立，求实数a的取值范围．
19．(17分)某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：
(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的取值范围；
(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；
(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．
阶段质量评价(一)
1．选D　根据题意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或x＝5，用列举法表示可得{－1, 5}．故选D.
2．选C　∵U＝{x|x2>1}＝{x|x>1或x<－1}，A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|13．选C　由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“ x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.
4．选D　令b＝，a＝，则ab＝×＝2，故A错误；因为a>1，b＞1，所以a＋b＞2，故B错误；又－＝，已知b＞a＞1则b－a＞0，ab＞0，所以－＞0，即＞，故C错误；＋≥2 ＝2，且b＞a＞1，所以等号不成立，所以＋＞2，故D正确．
5．选B　命题“ x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题，则a≥x2在[1,2]上恒成立，∵x∈[1,2]，∴x2∈，则a≥4.
6．选C　由题意，甲：A∩B＝A A B；乙：A∪B＝B A B；丙： UB UA UA UB B A；丁：( UA)∪( UB)＝ UA UB UA A B.由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个不成立，则该式是丙．
7．选C　若a＝0，则不等式等价为2x＋3>0，对于 x∈R不成立，若a≠0，则解得a>，∴命题p为真命题的实数a的取值范围是，∴命题p为假命题的实数a的取值范围是.
8．选C　由题意可知，方程ax2＋2bx＋4＝0的两个根为m，，则m·＝，解得a＝1，故m＋＝－2b.因为m<0，所以2b＝－m－≥2 ＝4，当且仅当－m＝－，即m＝－2时，等号成立．则b≥2，所以＋＝＋≥2 ＝2，当且仅当＝，即b＝4时，等号成立．故＋的最小值为2.
9．选CD　对于A，若a＝2，b＝－，此时满足a>1>b>－1，但>，故A错误；对于B，若a＝2，b＝，此时满足a>1>b>－1，但<，故B错误；对于C，由a>1>b>－1可得a>1>b2，故C正确；对于D，由a>1>b>－1可得a2>1>b2，故D正确．
10．选ABD　对于A项，命题“ x∈R，x2>－1”的否定是“ x∈R，x2≤－1”，故A正确；对于B，命题“ x>－3，x2≤9”的否定是“ x>－3，x2>9”，故B正确；对于C，|x|>|y|不能推出x>y，例如|－2|>|1|，但－2<1；x>y也不能推出|x|>|y|，例如1>－2，而|1|<|－2|，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不是充分条件，也不是必要条件，故C错误；对于D，关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根 m<0，所以“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件，故D正确．
11．选ABD　对于A，因为x，y都为正数，且2x＋y＝1，所以2xy≤2＝，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，等号成立．所以2xy的最大值为，所以A正确；对于B，因为2x＋y＝1，所以4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝1－4xy，由选项A可知xy≤，所以4x2＋y2＝1－4xy≥，当且仅当x＝，y＝时，等号成立．所以4x2＋y2的最小值为，所以B正确；对于C，因为2x＋y＝1，所以x(x＋y)≤2＝，当且仅当x＝x＋y，即x＝，y＝0时，等号成立，但x，y都为正数，故等号取不到，所以C错误；对于D，因为x，y都为正数，且2x＋y＝1，所以＋＝(2x＋y)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即x＝1－，y＝－1时，等号成立．所以＋的最小值为3＋2，所以D正确．
12．解析：( UP)∪Q＝{2, 4, 6}∪{1, 2, 4}＝{1, 2, 4, 6}．
答案：{1, 2, 4, 6}
13．解析：由于f(x)是二次函数，则二次项系数a≠0，依题意，f(x)<0对于x∈R恒成立，则二次函数开口必然向下，且和x轴没有交点，即解得－2答案：(－2,0)
14．解析：因为00，所以＋＝＋≥＝8，当且仅当＝，即x＝时，等号成立．所以＋的最小值为8.
答案：8
15．证明：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，∴＋＋＝ ＋ ＋ <＋＋＝＋＋.
故原不等式成立．
16．解：(1)因为x>0，y>0，所以x＋y＝(x＋y)·＝5＋＋≥5＋2 ＝9，
当且仅当＝，即x＝3，y＝6时，等号成立．所以x＋y的最小值为9.
(2)因为x>0，y>0，所以1＝＋≥2 ＝，所以xy≥16，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时，等号成立．因为xy>m2＋6m恒成立，所以16>m2＋6m，解得－8所以实数m的取值范围为{m|－817．解：(1)若命题p为真命题，即方程x2＋(2m－4)x＋m＝0有两个不相等的实数根，
则有Δ＝(2m－4)2－4m＝4m2－20m＋16>0，解得m>4或m<1.
∴实数m的取值范围为{m|m>4或m<1}．
(2)若命题q为真命题，则对所有的2≤x≤3，不等式x2－4x＋13≥m2恒成立．
设y＝x2－4x＋13只需2≤x≤3时，
m2≤ymin即可．
∵y＝x2－4x＋13＝(x－2)2＋9,2≤x≤3，
∴ymin＝9，∴m2≤9，解得－3≤m≤3.
∴当命题q为真命题时，
实数m的取值范围为{m|－3≤m≤3}．
∵命题p，q一真一假，
∴若命题p为真命题，命题q为假命题，
则有
解得m>4或m<－3；
若命题p为假命题，命题q为真命题，
则有解得1≤m≤3.
综上所述，当命题p，q一真一假时，实数m的取值范围为{m|m<－3或1≤m≤3或m>4}．
18．解：(1)由题意知1,4是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个根．所以－m＝1＋4＝5，n＝1×4＝4，故m＝－5，n＝4.
(2)由(1)易知x2－5x＋4≥ax对任意x>0恒成立，即a≤x＋－5对任意x>0恒成立，即a≤min，x>0.
因为x＋≥2 ＝4(当且仅当x＝2时，等号成立)，所以x＋－5≥－1，
所以min＝－1，
即a的取值范围是(－∞，－1]．
19．解：税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，即销售额为y1＝80(80－10P)，
税金为y2＝80(80－10P)·P%，其中0(1)由解得2≤P≤6.故P的取值范围为{P|2≤P≤6}．
(2)∵y1＝80(80－10P)(2≤P≤6)，
∴当P＝2时，y1取最大值，为4 800万元．
(3)∵0＝－8(P－4)2＋128，
∴当P＝4时，国家所得税收金额最高为128万元．
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