2024-2025学年辽宁省锦州市高一（下）期末数学试卷(图片版,含答案)

2024-2025 学年辽宁省锦州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.已知复数 = 1+ ，则 的虚部为( )
A. 12 B.
1
2 C.
1
2 D.
1
2
2.下列四个命题正确的是( )
A. // ， ， // B. ⊥ ， ， ⊥
C. ∩ = ， // // D. ⊥ ， ， // ⊥
3.下列函数为奇函数的是( )
A. = | | B. = C. = + D. =
4.已知 = (3,3)， = ( 2,5)，则向量 在 上的投影的数量为( )
A. 9 2929 B.
7 3
13 C.
17 3
17 D.
4 3
15
5.如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、
三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的
轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为 1 且侧棱长为 2，则棱锥侧面积为( )
A. 3 72
B. 2 33
C. 2 55
D. 3 67
6.△ 中，∠ = 45°， 是 边上一点， = 5， = 7， = 3，则 的长为( )
A. 5 2 B. 3 6 C. 5 62 D. 4 3
7.已知函数 ( ) = 2 2 + 3 2 1( > 0)的最小正周期为 ，则下列说法正确的有( )
A. = 2
B. 函数 ( )在[0, 6 ]上为减函数
C.直线 = 3是函数 = ( )图象的一条对称轴
D. ( 5 点 12 , 0)是函数 = ( )图象的一个对称中心
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8.在正三棱柱 1
64
1 1中， = 2，外接球表面积为 3 ， 为 1 1的中点， 为侧面 1 1内(含边
界)一点，若 //平面 1，则点 运动轨迹的长度为( )
A. 5 B. 3 C. 10 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 是虚数单位，若复数 1满足 ( 1 2 ) = 1，则( )
A. 1的共轭复数为
B. | 1| = 1
C. 91 =
D.若复数 2满足| 2| = 1，则| 1 2|的最大值为 2
10.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < 2 )
10
的部分图象如图所示，其中 ( 3 , 2)， ( 3 , 0)，则( )
A. ( )的最小正周期为 4
B. ∈ [0, 2 3 ]时， ( )的最大值是 3
C. ( ) 2 的图象向右平移 3个单位后为奇函数
D. ( )与 ( ) = 2 12 有相同的零点
11.如图，线段 为圆 的直径，点 ， 在圆 上， // ，矩形 所在平面和圆 所在平面垂直，且 = 2，
= = 1，则下述正确的是( )
A. //平面
B. ⊥平面
C. 21点 到平面 的距离为 7
D.三棱锥 外接球的体积为 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.化简： 40°( 10° 3) = ．
13.函数 = 11 的图象与函数 = 2 ( 2 ≤ ≤ 4)的图象所有交点的横
坐标之和等于______．
14.如图，在三棱锥 的平面展开图中， = 1， = = 3， ⊥
， ⊥ ，∠ = 30°，则 cos∠ = ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,1), | | = 2 2．
(1)若 // ，求 的坐标；
(2)若(5 2 ) ⊥ ( + )，求 与 的夹角．
16.(本小题 15 分)
2
如图，直三棱柱 1 1 1中， 1 = = = 2 ，若 ， 分别是 1 ， 1 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证：平面 1 1 ⊥平面 1；
(3)设 是 中点，求直线 1 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，向量 = ( , + )， = ( 3 + , 1)， = 2( +
)．
(1)求 ；
(2)若 = 2 3, = 2 ， = 2.求△ 的面积．
18.(本小题 17 分)
如图，在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ， = ， 为 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若△ 是边长为 1 的等边三角形，点 在棱 上， = 2 ，且二面角 的大小为 45°，求
三棱锥 的体积．
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19.(本小题 17 分)
已知△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中 [ 600° + sin( 3 2 + )] = (

2 + )．
(1) = 5若 2 ，求 的值；
(2)当 取最大值时，记 = 2 3 ，求 ；
(3)在(2) 的条件下设 ( ) = (2 + 3 )，若 ∈ (0, + ∞)

时，对于任意的 ∈ ( 4 , 2 )均有 (
1 2 6 )
( 12 +

12 ) ≥ 2 恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.8
14. 14
15.解：(1)由题意，设 = = ( , )，
因为| | = 2 2，所以 2 + 2 = 2 2，所以 =± 2，
所以 = (2,2)或 = ( 2, 2)．
(2)因为(5 2 ) ⊥ ( + )，
2 2
所以(5 2 ) ( + ) = 0，所以 5 + 3 2 = 0，
即 10 + 3 2 × 8 = 0，

设 与 的夹角为 ，则 = = 2 = 1，
| || | 2×2 2 2
又 ∈ [0, ]，所以 = 3，所以 与 的夹角3．
16.(1)证明：法一：取 1中点 ，连接 ， ，
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因为 ， ， 分别为 1 ， 1 和 1 中点，
所以 // ， // 1 1，
因为 1 1// ，从而 // ，
平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
同理可证得 //平面 ，
而 平面 ， 平面 ，
且 ∩ = ，
所以平面 //平面 ，
而 平面 ，
所以 //平 ；
法二：连接 1 ，
因为 为 1中点，可得 为 1 中点，
又因为 为 1 中点，
所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)证明：在直棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
设 = 1，因为 = = = 21 1 2 ，
可得 = = 1， = 2，
因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ 1 = ，
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所以 ⊥平面 1 1，
因为 平面 1，
所以平面 1 ⊥平面 1 1；
(3)解：连接 ， 1，
因为 1 ⊥平面 ，所以直线 为直线 1 在平面 内的射影，
可得∠ 1 是 1 与平面 所成的角，
在△ 1 中， = 2 + 2 = 1+
1 5，
4 = 2
1 = 2 + 2 = 1+
5 = 31 ，4 2
故 sin∠ =
1 2
1 = ．1 3
17.解：(1)根据 = ( , + )， = ( 3 + , 1)，可得 = ( 3 + ) + + ，
结合题意 = 2( + )，化简得 3 + = + ，
根据正弦定理得 3 + = + ，
因为△ 中， = sin( + ) = + ，
所以 3 + = + + ，整理得 3 = ( + 1)．
结合△ 中， ≠ 0，化简得 3 = 1，即 2 ( 6 ) = 1，
△ ∈ ( , 5 ) = 在 中， 6 6 6 ，所以 6 6， = 3；
(2)由 = 2 ，可得 = 2( )，化简得 = 1 3
+ 2 3 ，
1 2 1 2 4 2 4
所以| |2 = ( + )2 = + + 3 3 9 9 9
，
因为 = = 2 3, = , = 2，
1 4 4
所以 4 = (2 3)2 + 2 29 9 + 9 2 3cos 3，整理得 + 3 6 = 0，解得 = 3(舍负)．
1 3 3
所以 △ = 2 = 2 ．
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18.解：(1)证明：因为 = ， 为 的中点，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面
，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ；
(2)方法一：
取 的中点 ，因为△ 为正三角形，所以 ⊥ ，
过 作 // 与 交于点 ，则 ⊥ ，
所以 ， ， 两两垂直，
以点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系如图所示，
则 (0, 1,0)， ( 3 , 1 , 0)， (0,1,0)，2 2
设 (0,0, )( > 0) 1 2 ，则 (0, 3 , 3 )，
因为 ⊥平面 ，故平面 的一个法向量为 = (0,0, )，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
又 = ( 3 , 3 , 0), = (0, 4 , 2 ，2 2 3 3 )
3 3
= 0 2 + 2 = 0所以由 ，得 ，
= 0 4
3 +
2
3 = 0
2 2
令 = 3，则 = 1， = ，故 = ( 3, 1, )，
因为二面角 的大小为 45°，

所以|cos < , > | =
| | = 2 = 2
| || | 4+ 4 2 ，
2
解得 = 1，所以 = 1，
又 = 1 3△ 2 × 1 × 1 × 2 =
3，所以 34 △ = ，2
故 1 = 3 △ =
1 × 33 2 × 1 =
3．
6
方法二：
过 作 ⊥ ，交 于点 ，过 作 ⊥ 于点 ，连结 ，
由题意可知， // ，又 ⊥平面
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
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所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，
则∠ 为二面角 的平面角，即∠ = 45°，
又 = = = = 1，
所以∠ = 120°，则∠ = ∠ = 30°，
故∠ = 90°，
所以 // ，
2
因为 = = = 3，
则 = 3 , = 12 3 , =
2
3，
1+1所以 = ，则 = 3 = 2 ，2 3
所以 = = 2 33，则 = 2 = 1，
所以 1 1 1 = 3 △ = 3 × 2 × 3 × 1 × 1 =
3．
6
19.(1) [ 600° + sin( 3 + )] = ( 因为 2 2 + )，
所以 ( 60° ) = ，即 ( 3 ) = ，
在△ 中，由正弦定理得， ( 3 ) = ，
则 3 = + ，
所以 3 = sin( + ) = sin( + )，即 3 = ，
由正弦定理得 = 3 .
5 2 2 2 2+
25 2 2
又 = ，由余弦定理得， = + = 4
3
= 172 2 ；2 52 20
(2)由 = 3 得 为锐角，则当 最大时 最小，
2 2 2 2 2
所以 = + = 2 + = + ≥ 2 = 62 2 3 3 2 3 3 2 3 3 ，

当且仅当 3 =
3
2 3 时，即 = 2 时取最小值，此时 = 1 cos
2 = 3 ，
所以 = 2 3 = 2；
(3) ( ) = 2 (2 + 3 )，则 2 2 ≥ 2， ∈ (
, 4 2 )恒成立，
> 0 1 ≤ 因为 ，所以 1+ = tan 2， ∈ ( 4 , 2 )恒成立，
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设 ( ) = tan ∈ ( 2，当 4 , 2 )时， ( )是增函数，
则 ( ) > ( 4 ) = tan

8，
2
又 tan = 8 24 1 tan2 ，设 = tan 8，则 + 2 1 = 0，解得 = 2 1，8
1
所以 ≤ 2 1，因为 > 0，所以 ≥ 2 + 1，即 的取值范围是{ | ≥ 2 + 1}．
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