阶段专项提分练八 勾股定理的实际应用
【类型一】求物体的高度和长度
【典例1】(2024·娄底娄星区期末)国旗是一个国家的象征和标志,每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大,心中充满了自豪和敬仰.某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量,测量结果如表(不完整)所示.
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长:×××组员:×××,×××,×××
工具 皮尺等
测 量 示 意 图 说明:线段AB表示学校旗杆,AB垂直地面于点B,如图1,第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面,并多出了一段BC,用皮尺测出BC的长度;如图2,第二次将绳子拉直,绳子末端落在地面的点D处,用皮尺测出BD的长度
测量 数据 测量项目 数值
图1中BC的长度 1米
图2中BD的长度 5.4米
… …
(1)根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度;
(2)该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处,已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米,求五星红旗升起的平均速度的取值范围(计算结果精确到0.01).
【类型二】方位角问题
【典例2】如图,在学校A的正南方向,距其240 m的B处有一辆汽车,且该汽车正以18 m/s的速度沿北偏东30°的方向往C处移动,汽车在行进的过程中会发出噪音.若汽车周围150 m以内会受到噪音的影响,请问:
(1)该学校是否会受到噪音影响 请说明理由.
(2)若学校会受到噪音影响,求该学校受到噪音影响的持续时间有多长.
【变式1】一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 km.
【变式2】如图,点A在信号中心O正北方向8海里处,点B在点O正西方向6海里处.甲船从A处出发沿着AB方向往B处行驶,同时,乙船从B处出发往正东方向行驶.已知甲、乙两船平均速度均为5海里/时.当乙船到达O时,求甲、乙两船的距离.
【类型三】利用勾股定理解决其他生活实际问题
【典例3】我国古代数学名著《九章算术》卷九记载了一个有关“勾股”的问题:今有户不知高广,竿不知长短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出,问户高几何.其大意是:今有门,不知其高宽,有竿,不知其长短,横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺,斜放,竿与门对角线恰好相等,问门高是多少 若设门高为x尺,则可列关于x的方程为 .
【变式1】一个门框的尺寸如图所示,下列长×宽型号(单位:m)的长方形薄木板能从门框内通过的是( )
A.2.6×2.5 B.2.7×2.4
C.2.8×2.3 D.3×2.2
【变式2】如图,在笔直的公路AB旁有一座山,从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC=15 km,与公路上另一停靠站B的距离为BC=20 km,停靠站A,B之间的距离为AB=25 km,为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处,且CD⊥AB.
(1)请判断△ABC的形状.
(2)求修建的公路CD的长.
【类型四】利用勾股定理进行判断或预测
【典例4】为了积极宣传创文创卫工作,某区政府采用了移动车进行广播.如图,小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处,小明家到公路MN的距离AB为600米,假使广播车P周围1 000米以内能听到广播宣传,广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时,假如小明此时在家,他是否能听到广播宣传 若能,请求出他总共能听到多长时间的广播宣传;若不能,请说明理由.
【变式】如图,有一公路AB和一铁路CD在A处相交,且∠BAD=30°,在公路的点P处有一所学校(学校看作点P,点P与公路AB的距离忽略不计),AP=320 m,动车行驶时,动车周围200 m以内(包括200 m)会受到噪声的影响.现有一列动车在铁路CD上沿AD方向行驶,该动车车身长200 m,动车的速度为180 km/h,那么在该动车行驶过程中.
(1)学校P是否会受到噪声的影响 说明理由.
(2)如果受噪声影响,那么学校P受影响的时间为多少秒 阶段专项提分练八 勾股定理的实际应用
【类型一】求物体的高度和长度
【典例1】(2024·娄底娄星区期末)国旗是一个国家的象征和标志,每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大,心中充满了自豪和敬仰.某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量,测量结果如表(不完整)所示.
课题 测量学校旗杆的高度
成员 组长:×××组员:×××,×××,×××
工具 皮尺等
测 量 示 意 图 说明:线段AB表示学校旗杆,AB垂直地面于点B,如图1,第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面,并多出了一段BC,用皮尺测出BC的长度;如图2,第二次将绳子拉直,绳子末端落在地面的点D处,用皮尺测出BD的长度
测量 数据 测量项目 数值
图1中BC的长度 1米
图2中BD的长度 5.4米
… …
(1)根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度;
(2)该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处,已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米,求五星红旗升起的平均速度的取值范围(计算结果精确到0.01).
【自主解答】(1)由题图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米,设旗杆的高度为x米,则绳子的长度为(x+1)米,
由题图2可得,在Rt△ABD中,AB2+BD2=AD2,即x2+5.42=(x+1)2,解得x=14.08,
答:旗杆的高度为14.08米.
(2)96厘米=0.96米,14.08-0.96=13.12(米),13.12÷45≈0.29(米/秒),13.12÷50≈0.26(米/秒).
答:五星红旗升起的平均速度不小于0.26米/秒且不大于0.29米/秒.
【类型二】方位角问题
【典例2】如图,在学校A的正南方向,距其240 m的B处有一辆汽车,且该汽车正以18 m/s的速度沿北偏东30°的方向往C处移动,汽车在行进的过程中会发出噪音.若汽车周围150 m以内会受到噪音的影响,请问:
(1)该学校是否会受到噪音影响 请说明理由.
(2)若学校会受到噪音影响,求该学校受到噪音影响的持续时间有多长.
【解析】(1)该学校会受到噪音影响,理由如下:
如图,过点A作AD⊥BC,
因为∠ABC=30°,AB=240 m,
所以AD=120 m.
因为120<150,所以该学校会受到噪音影响.
(2)以点A为圆心,150 m为半径画弧交BC于点E,F,则AE=AF=150 m.
由勾股定理得:DE===90(m),则DF=90 m,则EF=180 m,则影响时间为180÷18=10(s).
答:噪音影响该学校的持续时间有10 s.
【变式1】一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 50 km.
【变式2】如图,点A在信号中心O正北方向8海里处,点B在点O正西方向6海里处.甲船从A处出发沿着AB方向往B处行驶,同时,乙船从B处出发往正东方向行驶.已知甲、乙两船平均速度均为5海里/时.当乙船到达O时,求甲、乙两船的距离.
【解析】由题意可知,OB=6海里,AO=8海里,
由勾股定理得,AB===10(海里).
因为甲、乙两船平均速度均为5海里/时,乙船到达O时,乙船行驶了6海里,
所以甲船行驶了6海里.
设此时甲船运动到点A',则AA'=6海里,连接OA',作OD⊥AB于点D,
如图,
所以OD==4.8(海里),
所以AD===6.4(海里),
所以A'D=AD-AA'=0.4海里,
所以OA'===(海里).
答:甲、乙两船的距离为海里.
【类型三】利用勾股定理解决其他生活实际问题
【典例3】我国古代数学名著《九章算术》卷九记载了一个有关“勾股”的问题:今有户不知高广,竿不知长短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出,问户高几何.其大意是:今有门,不知其高宽,有竿,不知其长短,横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺,斜放,竿与门对角线恰好相等,问门高是多少 若设门高为x尺,则可列关于x的方程为 x2+(x-2)2=(x+2)2 .
【变式1】一个门框的尺寸如图所示,下列长×宽型号(单位:m)的长方形薄木板能从门框内通过的是(D)
A.2.6×2.5 B.2.7×2.4
C.2.8×2.3 D.3×2.2
【变式2】如图,在笔直的公路AB旁有一座山,从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC=15 km,与公路上另一停靠站B的距离为BC=20 km,停靠站A,B之间的距离为AB=25 km,为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处,且CD⊥AB.
(1)请判断△ABC的形状.
(2)求修建的公路CD的长.
【解析】(1)△ABC是直角三角形.
因为AC=15 km,BC=20 km,AB=25 km,152+202=252,所以AC2+BC2=AB2,
所以∠ACB=90°,所以△ABC是直角三角形.
(2)因为CD⊥AB,所以S△ABC=AB·CD=AC·BC,
所以CD===12(km).
答:修建的公路CD的长是12 km.
【类型四】利用勾股定理进行判断或预测
【典例4】为了积极宣传创文创卫工作,某区政府采用了移动车进行广播.如图,小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处,小明家到公路MN的距离AB为600米,假使广播车P周围1 000米以内能听到广播宣传,广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时,假如小明此时在家,他是否能听到广播宣传 若能,请求出他总共能听到多长时间的广播宣传;若不能,请说明理由.
【解析】小明能听到广播宣传,
因为小明家A到公路MN的距离600米<1 000米,
所以小明能听到广播宣传.
如图,假设当广播车行驶到P点时小明开始听到广播宣传,行驶到Q点时小明听不到广播宣传,
则AP=AQ=1 000米,AB=600米,
所以BP=BQ==800(米),
所以PQ=1 600米,
所以小明听到广播宣传的时间为1 600÷250=6.4(分钟),
所以他总共能听到6.4分钟的广播宣传.
【变式】如图,有一公路AB和一铁路CD在A处相交,且∠BAD=30°,在公路的点P处有一所学校(学校看作点P,点P与公路AB的距离忽略不计),AP=320 m,动车行驶时,动车周围200 m以内(包括200 m)会受到噪声的影响.现有一列动车在铁路CD上沿AD方向行驶,该动车车身长200 m,动车的速度为180 km/h,那么在该动车行驶过程中.
(1)学校P是否会受到噪声的影响 说明理由.
(2)如果受噪声影响,那么学校P受影响的时间为多少秒
【解析】(1)如图,作PH⊥CD于H.
在Rt△APH中,因为∠PAH=30°,PA=320 m,
所以PH=PA=160 m.
因为160<200,所以学校P会受到噪声的影响.
(2)当PE=PF=200 m时,动车在线段EF上,学校P受噪声影响.
在Rt△PFH中,由勾股定理得FH===120(m),
所以EF=2FH=240 m.
因为180 km/h=50 m/s,所以=8.8(s).
答:学校P受影响的时间为8.8 s.
