阶段专项提分练七 综合运用等腰三角形的性质进行判定和计算
【类型一】利用等腰三角形的定义进行判定
【典例1】已知,a,b,c为△ABC的三边长,b,c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|a-4|=2的解,请判断△ABC的形状.
思路点拨利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b,c的值,进而利用三角形三边关系和方程得出a的值,从而判断出其形状.
【解析】因为(b-2)2+|c-3|=0,
所以b-2=0,c-3=0,
解得b=2,c=3,
因为a为方程|a-4|=2的解,
所以a-4=±2,
解得a=6或2,
因为a,b,c为△ABC的三边长,b+c<6,
所以a=6不合题意舍去,
所以a=b=2,
所以△ABC是等腰三角形.
【变式1】△ABC中,三边长a,b,c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角形一定为(B)
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【变式2】如果三角形的三边a,b,c满足(a2-2ac)(b-a)=c2(a-b),则a,b,c之间满足的关系是 a=b或a=c ;有同学分析后判断△ABC是等边三角形,你的判断是 △ABC是等腰三角形 .
【变式3】已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,则此三角形的形状为 等边三角形 .
【类型二】利用等腰三角形的性质求角
【典例2】(2025·长沙浏阳市期中)已知:如图,△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,且AB=BD,AD=CD,求∠B的度数.
思路点拨根据等腰三角形的性质,得出∠B=∠C=∠CAD,∠BDA=∠BAD,再结合三角形的外角性质定理得出∠BDA=∠BAD=2∠B,在△ABD中利用三角形内角和定理,计算出∠B的度数.
【解析】因为AB=AC,
所以∠B=∠C.
因为CD=DA,
所以∠C=∠DAC.
因为BA=BD,
所以∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B.
又因为∠B+∠BAD+∠BDA=180°,
所以5∠B=180°,
所以∠B=36°.
【变式】 (2025·湘西州花垣县期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB=(B)
A.100° B.115° C.130° D.145°
【类型三】等腰三角形性质与判定的综合应用
【典例3】 (2025·常德武陵区期中)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,DE∥CB,F是BD的中点.
(1)求证:△BDE是等腰三角形.
(2)若∠ABC=50°,求∠DEF的度数.
思路点拨(1)根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBD是等腰三角形,即可解答;
(2)先利用平行线的性质求得∠DEB的度数,然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠DEF=∠DEB,即可解答.
【解析】(1)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC,因为DE∥CB,所以∠EDB=∠DBC,所以∠ABD=∠EDB,
所以EB=ED,所以△EBD是等腰三角形;
(2)因为DE∥CB,所以∠DEB=180°-∠ABC=130°.因为EB=ED,F是BD的中点,所以∠DEF=∠DEB=65°.
【变式】在△ABC中,BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB,过点D作EF∥BC,分别交AB,AC于点E,F.
(1)若AB=AC,请判断△AEF是否是等腰三角形,并说明理由;
(2)若△ABC的周长为18,BC=6,求△AEF的周长.
【解析】(1)△AEF是等腰三角形,
理由:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,
因为EF∥BC,所以∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,所以∠AEF=∠AFE,
所以△AEF是等腰三角形;
(2)因为△ABC的周长为18,BC=6,
所以AB+AC=18-6=12,因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD,
因为EF∥BC,所以∠EDB=∠DBC,
所以∠ABD=∠EDB,所以BE=ED,
同理DF=CF,所以△AEF的周长为:AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF=AE+EB
+FC+AF=AB+AC=12.
【类型四】等边三角形性质与判定的综合应用
【典例4】(2025·长沙质检)如图,点D在等边△ABC的外部,连接AD,CD,AD=CD,过点D作DE∥AB交AC于点F,交BC于点E.
(1)判断△CEF的形状,并说明理由;
(2)连接BD,若BC=10,CF=4,求DE的长.
思路点拨(1)根据平行线的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论;
(2)根据等边三角形的性质得到AB=BC,CF=CE=4.通过AD=DC推出BD是线段AC的垂直平分线,根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD.根据平行线的性质得到∠ABD=∠BDE,于是得到结论.
【解析】(1)△CEF是等边三角形,理由如下:
因为△ABC是等边三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°.
因为AB∥DE,所以∠CEF=∠ABC=60°,
所以∠CEF=∠CFE=∠ECF=60°,所以△CEF是等边三角形;
(2)因为△ABC是等边三角形,△CEF是等边三角形,所以AB=BC,CF=CE=4.
因为AD=CD,所以BD是线段AC的垂直平分线,所以BD平分∠ABC,
所以∠ABD=∠CBD.
因为AB∥DE,所以∠ABD=∠BDE,
所以∠BDE=∠CBD,所以BE=DE.
因为BC=BE+EC=DE+CF,
所以DE=BC-CF=10-4=6.
【变式】如图,△ABC为等边三角形,∠1=∠2=∠3.
(1)求∠BEC的度数;
(2)求证:△DEF是等边三角形.
【解析】(1)因为△ABC为等边三角形,
所以∠ACB=60°,
所以∠3+∠BCE=60°.
因为∠2=∠3,所以∠BEF=∠2+∠BCE=60°,
所以∠BEC=180°-∠BEF=120°.
(2)由(1)知,∠DEF=60°.
同理,∠EFD=∠FDE=60°,所以△DEF是等边三角形.阶段专项提分练七 综合运用等腰三角形的性质进行判定和计算
【类型一】利用等腰三角形的定义进行判定
【典例1】已知,a,b,c为△ABC的三边长,b,c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|a-4|=2的解,请判断△ABC的形状.
思路点拨利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b,c的值,进而利用三角形三边关系和方程得出a的值,从而判断出其形状.
【变式1】△ABC中,三边长a,b,c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角形一定为( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【变式2】如果三角形的三边a,b,c满足(a2-2ac)(b-a)=c2(a-b),则a,b,c之间满足的关系是 ;有同学分析后判断△ABC是等边三角形,你的判断是 .
【变式3】已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,则此三角形的形状为 .
【类型二】利用等腰三角形的性质求角
【典例2】(2025·长沙浏阳市期中)已知:如图,△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,且AB=BD,AD=CD,求∠B的度数.
思路点拨根据等腰三角形的性质,得出∠B=∠C=∠CAD,∠BDA=∠BAD,再结合三角形的外角性质定理得出∠BDA=∠BAD=2∠B,在△ABD中利用三角形内角和定理,计算出∠B的度数.
【变式】 (2025·湘西州花垣县期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB=( )
A.100° B.115° C.130° D.145°
【类型三】等腰三角形性质与判定的综合应用
【典例3】 (2025·常德武陵区期中)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,DE∥CB,F是BD的中点.
(1)求证:△BDE是等腰三角形.
(2)若∠ABC=50°,求∠DEF的度数.
思路点拨(1)根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBD是等腰三角形,即可解答;
(2)先利用平行线的性质求得∠DEB的度数,然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠DEF=∠DEB,即可解答.
【变式】在△ABC中,BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB,过点D作EF∥BC,分别交AB,AC于点E,F.
(1)若AB=AC,请判断△AEF是否是等腰三角形,并说明理由;
(2)若△ABC的周长为18,BC=6,求△AEF的周长.
【类型四】等边三角形性质与判定的综合应用
【典例4】(2025·长沙质检)如图,点D在等边△ABC的外部,连接AD,CD,AD=CD,过点D作DE∥AB交AC于点F,交BC于点E.
(1)判断△CEF的形状,并说明理由;
(2)连接BD,若BC=10,CF=4,求DE的长.
思路点拨(1)根据平行线的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论;
(2)根据等边三角形的性质得到AB=BC,CF=CE=4.通过AD=DC推出BD是线段AC的垂直平分线,根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD.根据平行线的性质得到∠ABD=∠BDE,于是得到结论.
【变式】如图,△ABC为等边三角形,∠1=∠2=∠3.
(1)求∠BEC的度数;
(2)求证:△DEF是等边三角形.
